基于Bootstrap方法的随机性准备金进展法及R实现_张连增
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P P E （XPi， ） Var （XPi， ） （XPi， ） 12 ） j =m i， j， j =PE j =Pm i， j （ P P mPi， j=μ i×γ j
∑ POi， j→j+1 POj→j+1= i=1 （1≤j≤n-1 ） （5 ） n-j 上述式 （4 ） 表示准备金支付率的流量三角形， 式 （5 ） 表示各进展年支付率的算术平均数。 步骤四， 通过事故年 i 在第 j+1 个进展年的已发 生已报案未决赔款准备 金除以事故 年 i 在第 j 个进
P i， j
展年的已发生已报案未决赔款准备金得到准备金结 转率的流量三角形，Biblioteka Baidu而得到各进展年结转率的算
③ 术平均数， 即：
RVi， j+1 CEDi， （i ≥1， j ≥ 1， i+j ≤n ） j →j+1-POi， j →j+1= RVi， j （6 ） CEDj→j+1-POj→j+1= （1≤j≤n-1 ） （7 ） 表示各进展年结转率的算术平均数。 步骤五，通过步骤一得到的已发生已报案未决 赔款准备金的上三角数据乘以对应各进展年结转率 的选定值来估计流量三角形下三角的已发生已报案 未决赔款准备金， 即： RV i， （CEDi， ） （i≥1， j ≥ 1， i+ j+1=RV i， j× j→j+1-POi， j→j+1 j≥n+1 ） （8 ） 步骤六，将步骤五的已发生已报案未决赔款准 备 金 下三 角 数 据 乘 以对 应 各 进 展年 支 付 率 的 选 定 值， 得到增量已决赔款的下三角数据， 即： X P i， i≥ 1， j≥ 1， i+j≥n+1 ） （9 ） j+1=RV i， j×POi， j→j+1（ 步骤七，将步骤六估计的增量已决赔款转化为 累计已决赔款，最后一列求和即为所有事故年最终 损失 （UL ） 的估计值， 进一步可得到所有事故年未决 赔款 准 备 金 （CV ） 和 已 发 生未 报 案 未 决 赔款 准 备 金 （IBNR ） 的估计值。④
② 形， 进而得到各进展年支付率的算术平均数， 即： P X i， j+1 POi， （i≥1， j≥ 1， i+j≤n ） （4 ） j→j+1= RVi， j P i， 1 I i， 1
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（10 ）
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RV = ∑ i=1 P i， CV = ∑ i=2（P i， IBNR = ） ， n ， n -Pi， n+1-i ∑i=2 （P i， ） n-Ii， n+1-i （一 ） 随机性准备金进展法的模型假设 设 事 故 年 i 在 第 j 个进 展年的增 量已 决 赔款 X
一、 引言 通常情况下， 精算师在评估准备金时， 或者是使 用已决赔款数据， 或者是使用已报案赔款数据， 但这 种做法存在一些缺陷。 一方面， 对于历史数据中所包 含的已决赔款数据和已报案赔款数据之间的关系并 未有效使用，也就是未充分利用有关信息；另一方 面， 在实务操作中， 基于两类数据得到的最终损失存 在较大差异，导致精算师对于已决赔款数据和已报 案赔款数据的选择产生困惑。 传统的准备金进展法 [1］已经考虑到了两类数据 的关系。 在确定性准备金进展法中， 已决赔款和已发
P j+1 i，
∑i=1 （CEDi， ） j→j+1-POi， j→j+1 n-j （7 ）
n-j
上述式 （6 ） 表示准备金结转率的流量三角形， 式
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， 另一部分仍为下一进展年已报
① 案未决赔款准备金 RVi， j+1 的一部分。 我们引入准备 ] 金 进 展 率 [2 （ CEDi， ） ， 对于转化为已决赔款的 j→j+1 比率
n-j
（13 ） （14 ）
I i， j
γ +…+γ =1
P 1
P n
对于增量已报案赔款 X ， 过度分散泊松模型可 以表述为： 对所有的 i 和 j， XIi， 而且都服从 j 相互独立， 过度分散泊松分布， 参数由式 （15 ） 、 （16 ） 、 （17 ） 确定。 ·19·
I I E （XIi， ） Var （XIi， ） （XIi， ） （15 ） j =m i， j， j =IE j =Im i， j
［基金项目］教育部重大项目 “金融信用风险的量化研究” (309009)； 南开大学经济实验教学中心教学改革项目 “非寿险精算 理论研究： 准备金评估随机性方法及软件 R 实现” ［作者简介］张连增 （1968- ） ， 男， 山东莱芜人， 南开大学经济学院风险管理与保险学系教授， 研究方向是精算理论、 非寿险 精算； 段白鸽 （1983- ） ， 女， 山西临汾人， 南开大学经济学院风险管理与保险 学系博士研究生， 研究方向是风险 管理与精算。
抽 取 随 机 数 作 为 模 拟 的增 量已 决 赔款 （上三 角 数 赞 XI 的过度分散泊松分 据 ） 。从均值为 XIi， 方差为 j、 I i， j 布中抽取随机数作为模拟的增量已报案赔款 （上三 角数据 ） 。 （5 ） 应用前面介绍的准备金进展法， 计算相应的 模拟增量已决赔款 （下三角） ， 对这些模 拟 的增 量 赔 （ 3， …， n； j=n+2-i， n+3-i， …， n ） 求和即可 款X p*i， j i=2， 得到未决赔款准备金的均值估计，同时也可以得到 最终损失和 IBNR 的均值估计。 （6 ） 这些模拟的增量赔款X p*i， （ 3， …， n； j=n+ j i=2， n+3-i， …， n ） 可 视 为相 应 事 故 年 和 进 展年的增 2-i， 量赔款额变量的均值， 这样就可从均值为X p*i， 方差 j、
部分用准 备金支付率 （POi， ） 表示 ， 对于仍为 j→j+1 比率 已报案未决赔款准备金的部分用准备金结转率 （CE－ Di， ） 表示。 j→j+1-POi， j→j+1 比率 （二 ） 利用确定性准备金进展法评估准备金的主 要步骤 步骤一，利用给定的按事故年统计的累计已决 赔款和累计已报案赔款流量三角形得到已发生已报 案未决赔款准备金的流量三角形， 即： RVi， （ j≥ 1， i+j≤n+1 ） （1 ） j=Ii， j-Pi， j i≥ 1， 步骤二，将给定的按事故年统计的累计已决赔 款和累计已报案赔款流量三角形转化为增量已决赔 款和增量已报案赔款流量三角形， 即： X =Pi， X =Ii， （ j=1 ） （2 ） 1； 1 1≤ i≤ n， P I X i， X i， i ≥ 1， j≥2， i+j≤n+ j+1=Pi， j+1-Pi， j； j+1=Ii， j+1-Ii， j（ 1 ） （3 ） 步骤三， 通过事故年 i 在第 j+1 个进展年的增量 已决赔款除以事故年 i 在 第 j 个进展年的已发生已 报案未决赔款准备金得到准备金支付率的流量三角
［收稿日期］2011- 02- 19
生已报案未决赔款准备金数据的统计可以采用两种 形式， 即按报案年统计和按事故年统计。相应地， 准 备金进展法也就分为报案年准备金进展法和事故年 准备金进展法。 但是， 由于报案年准备金进展法无法 评估已发生未报案未决赔款准备金 （纯 IBNR ） ， 因此 下面只对事故年准备金进展法进行介绍。 二、 确定性准备金进展法 （一 ） 确定性准备金进展法的基本思路 如果按事故年统计数据，则总会有新的索赔数 据不断进入统计范围，这就给准备金进展法的应用 造成了一定困难。 在应用事故年准备金进展法时， 要
P Pi， i≥ 1， j≥ 1， i+j≥n+1 ） j+1 =Pi， j+X i， j+1（
表示事故年 i 在第 j 个进展年的增量已决赔
款流量三角形， Ii， j 表 示 事 故 年 i 在 第 j 个进 展年的 累计已报案赔款流量三角形， XIi， j 表示事故年 i 在 第 j 个进展年的增量已报案赔款流量三角形 （i≥1， j≥ 1， i+j≤n+1 ） 。事故年 i 在第 j 个进展年的已发生已 报 案 未 决 赔款 准 备 金 流 量 三 角 形记 为 RVi， j =Ii， j -Pi， j （i≥1， j≥ 1， i+j≤n+1 ） 。准备金进展法的基本思想是 考察已报案 未决赔款准 备金的进展 情况。事故年 i 在 第 j 个进 展年的 已 发 生 已 报 案 未 决 赔款 准 备 金 RVi， j 在下一进 展年 j+1 一部分 转化为下 一进展年的 增量已决赔款 X
Stochastic Reserve Development Method and Its R Implementation Using Boot － strap ZHANG Lian- zeng， DUAN Bai- ge
（Dept. of Risk Management & Insurance, Nankai University, Tianjin 300071, China ） Abstract：This paper is based upon the traditional reserve development method, and with the proposed model assumptions, proposes an idea that the traditional reserve development method should be modified to stochastic method. It shows how the bootstrap method is applied to the reserve development method, in order to obtain the predictive distribution of the total reserve. The authors put forward the countermeasures and suggestions which have important significance as to the accuracy and sufficiency of the reserves liability. Key Words：traditional reserve development method; over- dispersed poisson model; mean square error of prediction; Bootstrap method
山西财经大学学报
2011 年 4 月 第 33 卷 第 4 期
Joumal of Shanxi Finance and Economics University
Apr.， 2011 Vol. 3 3 No. 4
金 融·投 资
基 于 Bootstrap 方 法 的 随 机 性 准 备 金 进 展 法 及 R 实现
·18·
假设 IBNR 索赔 与 已 报 案 索赔 之 间 具有 稳 定 的 关 系。 对于大多数报案较快的险种来说， 在事故年的初 期可以积累大量赔案数据，这就为评估 IBNR 提供 了一个稳定的基础。 假设事故年和进展年的年数都为 n。 以 Pi， j 表示 事故年 i 在第 j 个进展年的 累计已决赔款流量三角 形， X
张连增， 段白鸽
（南开大学 经济学院， 天津 300071 ）
［摘
要］在传统准备金进展法的基础上， 结合模型假设提出了一种新的思路， 将传统的确定性准备金进展法合理转化为随
机性方法， 并将 Bootstrap 方法应用于准备金进展法中， 得到了未决赔款准备金的预测分布， 进而由该分布得到了各个分位数以 及相关的分布度量 （如均值、 方差等 ） ， 最后通过精算实务中的数值实例加以实证分析。 ［关键词］确定性准备金进展法； 过度分散泊松模型； 预测均方误差； Bootstrap 方法 ［中图分类号］F842 [文献标识码] A [文章编号] 1007- 9556 （2011 ） 04- 0018- 07
P i， j n
^
n
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n
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（11 ）
三、 基于 Bootstrap 方法的随机性准备金进展法
和增量已报案赔款 XIi， i ≥ 1， j ≥ 1， i+j≤n+1 ） 都 j（
服 从过度 分 散泊松 （Over-dispersed Poisson ） 分 布 [3]。 对于增量已决赔款 XPi， j， 过度 分 散泊松 模型 可 以 表 述为： 对 所 有 的 i 和 j， XPi， 而且都服 从过 j 相互 独 立 ， 度分散泊松分布， 参数由式 （12 ） 、 （13 ） 、 （14 ） 确定。
∑ POi， j→j+1 POj→j+1= i=1 （1≤j≤n-1 ） （5 ） n-j 上述式 （4 ） 表示准备金支付率的流量三角形， 式 （5 ） 表示各进展年支付率的算术平均数。 步骤四， 通过事故年 i 在第 j+1 个进展年的已发 生已报案未决赔款准备 金除以事故 年 i 在第 j 个进
P i， j
展年的已发生已报案未决赔款准备金得到准备金结 转率的流量三角形，Biblioteka Baidu而得到各进展年结转率的算
③ 术平均数， 即：
RVi， j+1 CEDi， （i ≥1， j ≥ 1， i+j ≤n ） j →j+1-POi， j →j+1= RVi， j （6 ） CEDj→j+1-POj→j+1= （1≤j≤n-1 ） （7 ） 表示各进展年结转率的算术平均数。 步骤五，通过步骤一得到的已发生已报案未决 赔款准备金的上三角数据乘以对应各进展年结转率 的选定值来估计流量三角形下三角的已发生已报案 未决赔款准备金， 即： RV i， （CEDi， ） （i≥1， j ≥ 1， i+ j+1=RV i， j× j→j+1-POi， j→j+1 j≥n+1 ） （8 ） 步骤六，将步骤五的已发生已报案未决赔款准 备 金 下三 角 数 据 乘 以对 应 各 进 展年 支 付 率 的 选 定 值， 得到增量已决赔款的下三角数据， 即： X P i， i≥ 1， j≥ 1， i+j≥n+1 ） （9 ） j+1=RV i， j×POi， j→j+1（ 步骤七，将步骤六估计的增量已决赔款转化为 累计已决赔款，最后一列求和即为所有事故年最终 损失 （UL ） 的估计值， 进一步可得到所有事故年未决 赔款 准 备 金 （CV ） 和 已 发 生未 报 案 未 决 赔款 准 备 金 （IBNR ） 的估计值。④
② 形， 进而得到各进展年支付率的算术平均数， 即： P X i， j+1 POi， （i≥1， j≥ 1， i+j≤n ） （4 ） j→j+1= RVi， j P i， 1 I i， 1
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RV = ∑ i=1 P i， CV = ∑ i=2（P i， IBNR = ） ， n ， n -Pi， n+1-i ∑i=2 （P i， ） n-Ii， n+1-i （一 ） 随机性准备金进展法的模型假设 设 事 故 年 i 在 第 j 个进 展年的增 量已 决 赔款 X
一、 引言 通常情况下， 精算师在评估准备金时， 或者是使 用已决赔款数据， 或者是使用已报案赔款数据， 但这 种做法存在一些缺陷。 一方面， 对于历史数据中所包 含的已决赔款数据和已报案赔款数据之间的关系并 未有效使用，也就是未充分利用有关信息；另一方 面， 在实务操作中， 基于两类数据得到的最终损失存 在较大差异，导致精算师对于已决赔款数据和已报 案赔款数据的选择产生困惑。 传统的准备金进展法 [1］已经考虑到了两类数据 的关系。 在确定性准备金进展法中， 已决赔款和已发
P j+1 i，
∑i=1 （CEDi， ） j→j+1-POi， j→j+1 n-j （7 ）
n-j
上述式 （6 ） 表示准备金结转率的流量三角形， 式
^
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， 另一部分仍为下一进展年已报
① 案未决赔款准备金 RVi， j+1 的一部分。 我们引入准备 ] 金 进 展 率 [2 （ CEDi， ） ， 对于转化为已决赔款的 j→j+1 比率
n-j
（13 ） （14 ）
I i， j
γ +…+γ =1
P 1
P n
对于增量已报案赔款 X ， 过度分散泊松模型可 以表述为： 对所有的 i 和 j， XIi， 而且都服从 j 相互独立， 过度分散泊松分布， 参数由式 （15 ） 、 （16 ） 、 （17 ） 确定。 ·19·
I I E （XIi， ） Var （XIi， ） （XIi， ） （15 ） j =m i， j， j =IE j =Im i， j
［基金项目］教育部重大项目 “金融信用风险的量化研究” (309009)； 南开大学经济实验教学中心教学改革项目 “非寿险精算 理论研究： 准备金评估随机性方法及软件 R 实现” ［作者简介］张连增 （1968- ） ， 男， 山东莱芜人， 南开大学经济学院风险管理与保险学系教授， 研究方向是精算理论、 非寿险 精算； 段白鸽 （1983- ） ， 女， 山西临汾人， 南开大学经济学院风险管理与保险 学系博士研究生， 研究方向是风险 管理与精算。
抽 取 随 机 数 作 为 模 拟 的增 量已 决 赔款 （上三 角 数 赞 XI 的过度分散泊松分 据 ） 。从均值为 XIi， 方差为 j、 I i， j 布中抽取随机数作为模拟的增量已报案赔款 （上三 角数据 ） 。 （5 ） 应用前面介绍的准备金进展法， 计算相应的 模拟增量已决赔款 （下三角） ， 对这些模 拟 的增 量 赔 （ 3， …， n； j=n+2-i， n+3-i， …， n ） 求和即可 款X p*i， j i=2， 得到未决赔款准备金的均值估计，同时也可以得到 最终损失和 IBNR 的均值估计。 （6 ） 这些模拟的增量赔款X p*i， （ 3， …， n； j=n+ j i=2， n+3-i， …， n ） 可 视 为相 应 事 故 年 和 进 展年的增 2-i， 量赔款额变量的均值， 这样就可从均值为X p*i， 方差 j、
部分用准 备金支付率 （POi， ） 表示 ， 对于仍为 j→j+1 比率 已报案未决赔款准备金的部分用准备金结转率 （CE－ Di， ） 表示。 j→j+1-POi， j→j+1 比率 （二 ） 利用确定性准备金进展法评估准备金的主 要步骤 步骤一，利用给定的按事故年统计的累计已决 赔款和累计已报案赔款流量三角形得到已发生已报 案未决赔款准备金的流量三角形， 即： RVi， （ j≥ 1， i+j≤n+1 ） （1 ） j=Ii， j-Pi， j i≥ 1， 步骤二，将给定的按事故年统计的累计已决赔 款和累计已报案赔款流量三角形转化为增量已决赔 款和增量已报案赔款流量三角形， 即： X =Pi， X =Ii， （ j=1 ） （2 ） 1； 1 1≤ i≤ n， P I X i， X i， i ≥ 1， j≥2， i+j≤n+ j+1=Pi， j+1-Pi， j； j+1=Ii， j+1-Ii， j（ 1 ） （3 ） 步骤三， 通过事故年 i 在第 j+1 个进展年的增量 已决赔款除以事故年 i 在 第 j 个进展年的已发生已 报案未决赔款准备金得到准备金支付率的流量三角
［收稿日期］2011- 02- 19
生已报案未决赔款准备金数据的统计可以采用两种 形式， 即按报案年统计和按事故年统计。相应地， 准 备金进展法也就分为报案年准备金进展法和事故年 准备金进展法。 但是， 由于报案年准备金进展法无法 评估已发生未报案未决赔款准备金 （纯 IBNR ） ， 因此 下面只对事故年准备金进展法进行介绍。 二、 确定性准备金进展法 （一 ） 确定性准备金进展法的基本思路 如果按事故年统计数据，则总会有新的索赔数 据不断进入统计范围，这就给准备金进展法的应用 造成了一定困难。 在应用事故年准备金进展法时， 要
P Pi， i≥ 1， j≥ 1， i+j≥n+1 ） j+1 =Pi， j+X i， j+1（
表示事故年 i 在第 j 个进展年的增量已决赔
款流量三角形， Ii， j 表 示 事 故 年 i 在 第 j 个进 展年的 累计已报案赔款流量三角形， XIi， j 表示事故年 i 在 第 j 个进展年的增量已报案赔款流量三角形 （i≥1， j≥ 1， i+j≤n+1 ） 。事故年 i 在第 j 个进展年的已发生已 报 案 未 决 赔款 准 备 金 流 量 三 角 形记 为 RVi， j =Ii， j -Pi， j （i≥1， j≥ 1， i+j≤n+1 ） 。准备金进展法的基本思想是 考察已报案 未决赔款准 备金的进展 情况。事故年 i 在 第 j 个进 展年的 已 发 生 已 报 案 未 决 赔款 准 备 金 RVi， j 在下一进 展年 j+1 一部分 转化为下 一进展年的 增量已决赔款 X
Stochastic Reserve Development Method and Its R Implementation Using Boot － strap ZHANG Lian- zeng， DUAN Bai- ge
（Dept. of Risk Management & Insurance, Nankai University, Tianjin 300071, China ） Abstract：This paper is based upon the traditional reserve development method, and with the proposed model assumptions, proposes an idea that the traditional reserve development method should be modified to stochastic method. It shows how the bootstrap method is applied to the reserve development method, in order to obtain the predictive distribution of the total reserve. The authors put forward the countermeasures and suggestions which have important significance as to the accuracy and sufficiency of the reserves liability. Key Words：traditional reserve development method; over- dispersed poisson model; mean square error of prediction; Bootstrap method
山西财经大学学报
2011 年 4 月 第 33 卷 第 4 期
Joumal of Shanxi Finance and Economics University
Apr.， 2011 Vol. 3 3 No. 4
金 融·投 资
基 于 Bootstrap 方 法 的 随 机 性 准 备 金 进 展 法 及 R 实现
·18·
假设 IBNR 索赔 与 已 报 案 索赔 之 间 具有 稳 定 的 关 系。 对于大多数报案较快的险种来说， 在事故年的初 期可以积累大量赔案数据，这就为评估 IBNR 提供 了一个稳定的基础。 假设事故年和进展年的年数都为 n。 以 Pi， j 表示 事故年 i 在第 j 个进展年的 累计已决赔款流量三角 形， X
张连增， 段白鸽
（南开大学 经济学院， 天津 300071 ）
［摘
要］在传统准备金进展法的基础上， 结合模型假设提出了一种新的思路， 将传统的确定性准备金进展法合理转化为随
机性方法， 并将 Bootstrap 方法应用于准备金进展法中， 得到了未决赔款准备金的预测分布， 进而由该分布得到了各个分位数以 及相关的分布度量 （如均值、 方差等 ） ， 最后通过精算实务中的数值实例加以实证分析。 ［关键词］确定性准备金进展法； 过度分散泊松模型； 预测均方误差； Bootstrap 方法 ［中图分类号］F842 [文献标识码] A [文章编号] 1007- 9556 （2011 ） 04- 0018- 07
P i， j n
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（11 ）
三、 基于 Bootstrap 方法的随机性准备金进展法
和增量已报案赔款 XIi， i ≥ 1， j ≥ 1， i+j≤n+1 ） 都 j（
服 从过度 分 散泊松 （Over-dispersed Poisson ） 分 布 [3]。 对于增量已决赔款 XPi， j， 过度 分 散泊松 模型 可 以 表 述为： 对 所 有 的 i 和 j， XPi， 而且都服 从过 j 相互 独 立 ， 度分散泊松分布， 参数由式 （12 ） 、 （13 ） 、 （14 ） 确定。