离散系统稳态误差计算

1 K 2T 2 KT
K 2T 2 KT 1 0
1.618 KT 0.618 6.427 K 2.427
§6.6.2
静态误差系数法（６）
例3 已知采样系统, T=0.25, r(t)=2· 1(t)+t, 使e(∞)<0.5, 求K范围。 解. K 的稳定范围为：
自动控制原理
自动控制原理
本次课程作业
(34)
6 — 14, 15, 16 6 — 17（选做）
课程回顾 §6.5 离散系统的稳定性分析
§6.5.1 s →z →w 映射
§6.5.2 离散系统稳定的充要条件
— F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内
§6.5.3 离散系统的稳定判据
(1) w域中的劳斯(Routh)稳定判据 (2) z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据
0 K 2.472
1 e Ts Ke 2Ts G( z ) Z s s Tz KT 2 z 1 1 2 1 2 K (1 z ) z Z 2 Kz 2 z ( z 1) z ( z 1) s KT K v lim ( z 1)G( z ) lim ( z 1) 2 KT z 1 z 1 z ( z 1) r1 (t ) 2 1(t ) e1 () 0
c0 c1 s c2 s 2
cm s m
ci s i
i 0

ess (kT ) c0r(kT ) c1r(kT ) c2r (kT )
cmr ( m ) (kT )
§6.6.3
动态误差系数法（2）
e T z (1 2e T ) 例4 单位反馈离散系统的开环脉冲传递函数 G( z ) ( z 1)( z e T )
§6.6.1
解．
一般方法（利用终值定理）（3）
例１ 已知离散系统, K=2, T=1; 分别求 r(t)=1(t), t, t2/2 时的e (∞)。
0 K 4.33
z 1
e( ) lim( z 1) R( z )F e ( z )
( z 1)( z e T ) Fe ( z ) ( z 1)( z e T ) K (1 e T )z
§6.6.2
静态误差系数法（1）
§6.6.2 静态误差系数法 —— r(t) 作用时e(∞)的计算规律
( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )
1 GH ( z ) Z G( s ) H ( s ) GH0 ( z ) v ( z 1) lim GH 0 ( z ) K
z 1
设
Fe ( z )
E( z) 1 R( z ) 1 GH ( z )
z 1
e( ) lim ( z 1) F e ( z ) R( z )
lim( z 1) R( z )
z 1
1 1 GH ( z )
§6.6.2
静态误差系数法（2）
e(T ) lim( z 1) F e ( z ) R( z ) lim( z 1) R( z )
* F* ( s ) F e e ( z ) z eTs
Φe (0)
1 1 2 Φ (0) s Φ (0) s e e 1! 2!
( m 0, 1, 2,

1 (m) Φe (0) s m m!
) （动态误差系数）
1 d m F* e ( s) cm m ! ds m s 0
z ( z 1)( z e T ) z 1) 0 r1 ( t ) 1(t ) e1 () lim( T T z 1 z 1 ( z 1)( z e ) K (1 e )z
r2 (t ) t
t2 r3 ( t ) 2
Tz ( z 1)( z e T ) T e2 () lim( z 1) 2 T T z 1 ( z 1) ( z 1)( z e ) K (1 e )z K Tz( z 1) ( z 1)( z e T ) e3 () lim( z 1) 3 T T z 1 2( z 1) ( z 1)( z e ) K (1 e )z
z 1
2
1 AT A 2 e(T ) lim( z 1) AT z( z 1) r (t ) t 3 2 z 1 2 ( z 1 ) 1 GH ( z ) lim ( z 1 ) GH ( z ) 2 z 1
AT 2 Ka
静态加速度误差系数 K a lim ( z 1)2 GH ( z )
G( z ) Z v 1 T s ( s 1 ) ( z 1 )( z e ) 无ZOH时 K (1 e T ) z K v lim ( z 1)G( z ) lim K T z 1 z 1 (z e )
1 e Ts K z 1 1 G( z ) Z Z 2 K s s ( s 1 ) z s ( s 1)
T 1
es (20) 20.5
§6.7
动态性能分析（1）
(z z ) (z p )
k 1 k i 1 n i m
6.7.1 闭环极点分布与动态响应
M ( z ) bm F( z ) D( z ) a n
C ( z ) F( z ) R( z )
mn
M (z) z D( z ) z 1 n c z M (1) z k D(1) z 1 k 1 z pk
e( )
AT 2T Kv K
— 与 T 有关
有ZOH时
(T 1 e T ) z (1 e T TeT ) K ( z 1)(z e T )
v 1
K (T Te T ) K v lim( z 1)G( z ) lim KT z 1 z 1 z e T
z 1
计算稳态误差的步骤 （1）判定稳定性 （2）求误差脉冲传递函数
E( z) 1 Fe ( z ) R( z ) 1 GH ( z )
（3）用终值定理求 e( )
1 e( ) lim ( z 1) F e ( z ) R( z ) lim( z 1) R( z ) z 1 z 1 1 GH ( z )
D( z ) z 2 [ K (1 eT ) (1 eT )]z eT 0
D(1) K (1 eT ) 0
D(1) 2(1 e T ) K (1 e T ) 0
e T 1
2(1 e T ) T 1 0 K 4.33 T (1 e )
z 1 z 1
1 1 GH ( z )
( z 1) r ( t ) A 1( t ) e(T ) lim z 1
静态位置误差系数
Az 1 A z 1 1 GH ( z ) 1 lim GH ( z )
z 1

A 1 K p
K p lim GH ( z )
§6.6.1
一般方法（利用终值定理）（2）
K s 1
例１ 已知离散系统, K=2, T=1; 分别求 r(t)=1(t), t, t2/2 时的e (∞)。 解． Ts
1 1 e G( z ) Z Z s s
K (1 e T ) z ( z 1)( z e T ) v 1 1 ( z 1)( z e T ) Fe ( z ) T K (1 e ) z ( z 1)( z e T ) K (1 e T ) z 1 ( z 1)( z e T )
自动控制原理
（第 34 讲）
§6 线性离散系统的分析与校正
§6.6 稳态误差计算 §6.7 动态性能分析
§6.6.1
一般方法（利用终值定理）（1）
§6.6.1 一般方法（利用终值定理）
设
1 GH ( z ) Z G( s ) H ( s ) GH0 ( z ) v ( z 1) lim GH 0 ( z ) K
采样周期T=1, r(t)=t2/2, 求t=20时的动态误差es(20)=?
1 ( z 1)( z e T ) 解. F e ( z ) 1 G( z ) ( z 1)( z e T ) e T z (1 2e T )
z 2 1.386z 0.386 e 2 s 1.386e s 0.386 2 e 2 s e s 0.632 z z 0.632 2 * t c0 Fe (0) 0 r (t ) 2 d * c1 Fe ( s) s0 1 r ( t ) t ds 1 d2 * 1 c2 Fe ( s) s0 r ( t ) 1 2 2! ds 2 es (kT ) c0r (kT ) c1r (kT ) c2r (kT ) t 1 2
v 1
r2 (t ) t
e2 () TA K v 1 K
2 K 2.472
e() e1 () e2 () 1 K 0.5
K2
§6.6.3
动态误差系数法（1）
§6.6.3 动态误差系数法
E( z) 1 Fe ( z ) R( z ) 1 GH ( z )
(3) z域中的根轨迹法
自动控制原理
（第 34 讲）Hale Waihona Puke Baidu
§6 线性离散系统的分析与校正
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6 §6.7 §6.8 §6.9 离散系统 信号采样与保持 Z 变换 离散系统的数学模型 稳定性分析 稳态误差计算 动态性能分析 离散系统的模拟化校正 离散系统的数字校正
AT A 2 e( ) Kv K K
— 与 T 无关
§6.6.2
静态误差系数法（5）
例3 已知采样系统, T=0.25, r(t)=2· 1(t)+t, 使e(∞)<0.5, 求K范围。 解. 系统稳定条件：
1 e Ts Ke 2Ts G( z ) Z s s 0 0 K D(1) KT KT Tz 2 z 1 1 2 1 2 2.472 D(1) K 2 KT 0 Z K 22 T Kz 8 (1 z )z 2 K 0 z ( z 1) z ( z 1) s KT 1 3 K0 1 T 4 D ( z ) z z 2 KT
z 1
§6.6.2
1 GH ( z ) ( z 1)v GH 0 ( z ) lim 静态误差系数法（ 3 ）GH 0 ( z ) K 1 z
§6.6.2
静态误差系数法（4）
例2 稳定离散系统的结构图如图 所示，已知r(t)=2t, 试讨论 有或没有ZOH 时的e(∞)。 解． K K (1 e T )z
z 1
r (t ) A t
AT ATz 1 AT e(T ) lim ( z 1) z 1 ( z 1) 2 1 GH ( z ) lim( z 1) GH ( z ) Kv z 1
静态速度误差系数
2
K v lim ( z 1) GH ( z )