高二数学9月月考试题 理(2)
2023-2024学年达州市外国语高二数学上学期9月考试卷附答案解析
2023-2024学年达州市外国语高二数学上学期9月考试卷考试时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则点M 的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,52．一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22,1A D B C A B ''''''===，则平面图形ABCD 的面积为（）A ．2B ．C ．3D ．4．如图，G ，H ，M ，N 均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．下列说法正确的是（）A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B ．如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β6．已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（）A ．B ．2132C ．1934D ．7．如图，球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，3BA BC ==，球心O 到平面ABC 的距离是，则球O 的体积是（）A ．72πB ．36πC ．18πD ．8π8．如图正方体的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F 且EF =，则下列结论错误的是（）A ．AC 与BE 所成角为45︒B ．三棱锥A BEF -的体积为定值C ．//EF 平面ABCDD ．二面角A EF B --是定值二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．以下各角中可能为钝角的有（）A ．异面直线所成角B ．直线和平面所成角C ．二面角的平面角D ．两个向量形成的角10．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直11．如图，已知,G H 分别是,BC CD 的中点，,E F 分别在,AD AB 上，13AE AF AD AB ==，二面角A BD C --的大小为π3，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是（）A ．,,,E F G H 四点共面B ．//FG 平面ADCC ．若直线,FG HE 交于点P ，则,,P A C 三点共线D ．若ABD △的面积为6，则BCD △的面积为312．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且2AB =.若鳖臑-P ABC 外接球的体积为36π，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是（）A ．4PA =B ．4BC =C ．该鳖臑体积的最大值为83D ．该鳖臑的表面积为885+第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）．13．已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x =-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==，AC BC ⊥点D 是AB 的中点，则直线1B B和平面1CDB 所成角的正切值为.15．如图三棱柱111ABC A B C －中，侧面11BB C C 是边长为2菱形，∠160CBB =︒，1BC 交1B C 于点O ，AO ⊥侧面11BB C C ，且1AB C V 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O xyz -，则点1A 的坐标为．16．在边长为6的菱形ABCD 中，3A π∠=，现将ABD △沿BD 折起，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.18．如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径2BD =，C 为底面上异于B ，D 的点，且30BDC ∠= ．求：(1)二面角A CD B --的余弦值；(2)点B 到平面ACD 的距离．19．如图所示，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，2AB =，4PA =，5PB PD ==AC 与BD 相交于点O ，E 为PD 中点．(1)求证：EO ∥平面PBC ；(2)PA 上是否存在点F ，使平面OEF ∥平面PBC ．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．20．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，5QD QA ==3QC =．(1)求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线QC 与AD 所成角的余弦值．21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB BC CC AB BC ===⊥.(1)求证：11AC B C⊥；(2)求1B C与平面11AA C C所成的角的大小.22．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝2π，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．1．C【分析】点在平面Oxy 内的射影是,x y 坐标不变，z 坐标为0的点.【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C 2．B【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.【详解】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确，几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确故选：B.3．C【分析】根据斜二测画法还原四边形ABCD ，由梯形面积公式求解．【详解】如图，作平面直角坐标系xOy ，使A 与O 重合，AD 在x 轴上，且2AD =，AB 在y 轴上，且2AB =，过B 作//BC AD ，且1BC =，连接CD ，则直角梯形ABCD 为原平面图形，其面积为()112232S =⨯+⨯=．故选：C 4．D【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解.【详解】在题图②④中，直线GH ，MN 是异面直线；在题图①中，由G ，M 均为所在棱的中点，易得GH MN ∥；在题图③中，连接GM ，由G ，M 均为所在棱的中点，所以GM //NH ,且12GM NH =，易得四边形GMNH为梯形，则GH 与MN相交．故选：D ．5．C【分析】根据直线与平面的关系判断A ，根据线面平行、面面平行的性质判断B ，由直线与平面相交即平面平行的性质判断C ，根据平面垂直的性质判断D.【详解】如果直线l 不平行于平面α，例如l ⊂α，则平面α内存在与l 平行的直线，故A 错误；如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面β或l β⊂，故B 错误；如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，直线l 与平面β也相交，故C 正确；如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β或α与β相交，故D 错误.故选：C 6．D【分析】先利用勾股定理求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心1OO ，1OO 即为三棱台的高，过B 作1BC AO ⊥，垂足为C ，则1OO BC h ==，111AC AO CO AO BO =-=-,又上下底面外接圆半径分别132sin 3OB π=⨯，1162sin 3O A π=⨯=，侧棱长为2AB =，所以正三棱台的高为11OO BC ==，因为正三棱台的上､下底面的边长分别为3，6，所以上下底面面积分别为2132S '=，213622S =⨯=，所以其体积为(11133V h S S '=+=⨯⨯=⎝.故选：D.7．B【分析】求出ABC 外接圆的半径，结合已知条件可求得球O 的半径，再利用球体体积公式可求得球O 的体积.【详解】在ABC 中，90ABC ∠=，3BA BC ==，则ABC外接圆的直径为2r AC ====2r =，因此，球心O 到平面ABC 的距离为322，所以，球O的半径为3R =，因此，球O 的体积为3344ππ336π33V R ==⨯=.故选：B.8．A【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项A ，AC ⊥BD ，AC ⊥BB1，且BD 1,BB B ⋂=可得AC ⊥面DD1B1B ，即得AC ⊥BE ，此命题错误；选项B,由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，此命题正确；选项C ，由正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上且EF 与平面ABCD 无公共点，故EF ∥平面ABCD ，此命题正确；选项D ，由于E 、F 为线段B1D1上有两个动点，故二面角A ﹣EF ﹣B 的平面角大小始终是二面角A ﹣B1D1﹣B 的平面角大小，为定值，故正确；故选A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.9．CD【分析】根据各类角的范围直接判断可得.【详解】异面直线所成角的范围为(0,]2π，A 错误；直线和平面所成角的范围为[0,2π，B 错误；二面角的平面角的范围为[0,]π，C 正确；两个向量形成的角的范围为[0,]π，C 正确.故选：CD 10．ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.11．ACD【分析】由题意证出EF GH ∥即可判断A 项；假设B 项正确，然后利用直线与平面平行的性质得出FG AC ，从而推出与已知条件矛盾的结论，可判断B 项；利用基本事实3可判断C 项；通过作出二面角的平面角，从而找到ABD △与BCD △的公共边BD 上的高之间的关系，从而求出结果，可判断D 项.【详解】由13AE AF AD AB ==知EF 平行且等于13BD ，又,G H 分别是,BC CD 的中点，所以GH 平行且等于12BD，∴EF GH ∥，因此E ，F ，G ，H 四点共面，A 项正确；假设//FG 平面ADC 成立，因为FG ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面DAC AC =，所以FG AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与13AF AB =矛盾，B 项不正确；因为直线,FG HE 交于点P ，所以P FG ∈，P HE ∈，因为FG ⊂平面ABC ，P FG ∈，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，因为平面ABC ⋂平面ADC AC =，所以P AC ∈，所以P ，A ，C 三点共线，因此C 正确；在平面BCD 内作CO BD ⊥，垂足为O ，连接AO ，因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又因为,,AC CO C AC CO =⊂ 平面ACO ，所以BD ⊥平面ACO ，又AO ⊂平面ACO ，所以BD AO ⊥，则AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，即π3AOC ∠=，因为AC ⊥平面BCD ，CO ⊂平面BCD ，所以AC CO ⊥，所以1cos 2CO AO AOC AO =∠=，所以111116322222BCD ABD S CO BD AO BD S ==⨯==⨯= ，D 正确.故选：ACD.12．ABD【分析】根据鳖臑的几何特征，分别根据外接球半径求出边长判断A,B 选项，根据体积及表面积公式计算判断C,D 选项即可.【详解】在鳖臑-P ABC 中，四个面都为直角三角形，可知PC 的中点O 到四个顶点的距离都相等，所以点O 是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为36π，得外接球半径3R =，所以6PC =.设PA a=，BC b=，则2222PA AB BC PC++=，得2232a b +=，所以221111162323323P ABCa b V b a ab -+=⨯⨯⨯=≤⨯=，当且仅当4a b ==时，P ABC V-取得最大值163,A,B 选项正确，C 错误；此时PB AC ===所以鳖臑的表面积1122424822S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+D 选项正确.故选:ABD.13【分析】根据a →与b →垂直，可知0a b →→⋅=，根据空间向量的数量积运算可求出x 的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解： a →与b →垂直，∴0a b →→⋅=，则()()211130a b x ⋅=⨯-+-⨯+=，解得：1x =，∴()1,1,1b →=-，则()()()22,1,32,2,20,1,5a b +=-+-= ，∴222201526a b +=++= .故答案为：26.14．22【分析】作出直线1B B 和平面1CDB 所成角，由此求得所成角的正切值.【详解】,AC BC D =是AB 的中点，所以CD AB ⊥，在直三棱柱中，1BB CD ⊥，由于1AB BB BÇ=，所以CD ⊥平面11ABB A .过B 作1BE B D ⊥，垂足为E ，则CD BE ⊥，由于1CD B D D ⋂=，所以BD ⊥平面1CDB ，所以1BB E ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成角，111122tan 2AB BD BB E BB BB ∠===.所以直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为22.故答案为：2215．()3,1,1【分析】过点1A 作1A E ⊥平面11BCC B ，连接11,B E C E ，则11111//,//,//B E OC C E OB A E AO ，由此可求得点1A 的坐标.【详解】三棱柱111ABC A B C －中，侧面11BB C C 是边长为2菱形，∠160CBB =︒，1BC 交1B C 于点O ，AO ⊥侧面11BB C C ，且1AB C V 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O xyz －，过1A 作1A E ⊥平面11BCC B ，垂足是E ，连接1B E ，1C E ，则11111//,//,//B E OC C E OB A E AO，∴点1A 的坐标为()．故答案为:().16．60π【分析】当三棱锥A BCD -的体积最大时平面ABD ⊥平面BCD ，据此可求外接球的半径，从而可求表面积.【详解】当三棱锥A BCD -的体积最大时平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接,AH CH ，则AH BD ⊥，设12,O O 分别为,ABD BCD 外接圆的圆心，O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，则1O 在AH 上，2O 在CH 上，且11223AO O H AH ==⨯=，且2O H BD ⊥，1OO ⊥平面ABD ，2OO ⊥平面BCD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AH ⊂平面ABD ，故AH ⊥平面BCD ，故2//AH O O ，同理，1//CH OO ，故四边形12O OO H 为平行四边形，因为AH ⊥平面BCD ，2O H ⊂平面BCD ，故2AH O H ⊥，故四边形12O OO H 矩形，故213OO O H ==，而22362332CO =⨯⨯=，故外接球半径222231215R OO CO =+=+=，故外接球的表面积为41560ππ⨯=，故答案为：60π.【点睛】思路点睛：求几何体的外接球的半径，关键是确定球心的位置，一般通过过不同面的外接圆的圆心且垂直于该面的直线的交点来确定.17．（1）256；（2）240.【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接11A C ，11B D 交于点O ，取11B C 的中点E ，连接PO ，OE ，PE（1）883192V =⨯⨯=长方体11111883643P A B C D V -=⨯⨯⨯=∴19264256V =+=总（2）∵3PO =，4OE =∴225PE PO OE =+=1485802S =⨯⨯⨯=四棱椎侧48388160S =⨯⨯+⨯=长方体80160240S =+=总【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.18．(1)1010(2)31010【分析】（1）依题意可得AB CD ⊥，证明CD ⊥平面ABC ，即可得到CD AC ⊥，则ACB ∠为二面角A CD B --的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（2）在平面ABC 中，作BE AC ⊥于E ，即可证明BE ⊥平面ACD ，即BE 为点B 到平面ACD 的距离，在Rt ABC △中，利用等面积法求出BE ，即可得解．【详解】（1）BD Q 是底面的直径，C 为底面上异于B ，D 的点，CD BC ∴⊥，又AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，又BC AB B =I ，BC ，AB ⊂平面ABC ，CD \^平面ABC ，AC ⊂ 平面ABC ，CD AC ∴⊥，ACB ∴∠为二面角A CD B --的平面角．因为圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径2BD =，所以2π6πAB ⨯=，3AB =，在Rt BDC 中，30BDC ∠=︒，所以112BC BD ==，在Rt ABC △中，AC =，所以cos BC ACB AC ∠=，所以二面角A CD B --的余弦值为10；（2）在平面ABC 中，作BE AC ⊥于E ，由（1）知，CD ⊥平面ABC ，又BE ⊂平面ABC ，则CD BE ⊥，CD AC C ⋂= ，CD ，AC ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ，即BE 为点B 到平面ACD 的距离，在Rt ABC △中，AB BC BE AC ⨯=，即点B 到平面ACD 的距离为10.19．(1)证明见解析(2)存在点F ，证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断//EO PB ，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点F 的位置，即可证明.【详解】（1）因为,O E 分别是,BD PD 的中点，所以//EO PB ，且EO ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以//EO 平面PBC ；（2）存在，点F 是PA 的中点，此时，连结,EF OF因为,O F 分别是,AC AP 的中点，所以//OF PC ，OF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OF 平面PBC ，由（1）可知，//EO 平面PBC ，且OF EO O = ，且,OF EO ⊂平面OEF ，所以平面//OEF 平面PBC ，所以PA 上存在中点F ，使平面//OEF 平面PBC .20．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到平面QAD ⊥平面ABCD .（2）连接BO ，由//AD BC 可得BC 与QC 所成的角为异面直线QC 与AD 所成角，再求得3QB =，从而可得2cos BCBCQ QC ∠=，即可得到答案.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ，而2,5AD QA ==512QO =-=.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故5CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥，因为OC AD O = ，,OC AD ⊂平面ABCD ，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）因为//AD BC ，连接BO ，则BC 与QC 所成的角为异面直线QC 与AD 所成角，所以BCQ ∠或它的补角为所求的角，由题意可得BO =3QB ==，所以QC QB =，所以12cos 3BC BCQ QC ∠==，即异面直线QC 与AD 所成角的余弦值为13.21．(1)证明见解析(2)30【分析】（1）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质和各棱长可知，连接1BC ，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面11BB C C ，易知四边形11BCC B 为菱形，可得1B C ⊥平面1ABC ，由线面垂直的性质即可得11AC B C ⊥；（2）取11A C 的中点E ，连接1,B E CE ，可证明1ECB ∠是1CB 与平面11AA C C 所成角的平面角，在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，11sin 2ECB ∠=，即1CB 与平面11AA C C 所成的角的大小为30 .【详解】（1）连接1BC 与1B C 相交于点D，如下图所示在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面,ABC AB Ì平面ABC ，1B B AB ∴⊥，又1,AB BC BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BB C C ，所以，AB ⊥平面11BB C C ，又1B C ⊂ 平面11BB C C ，1AB B C ∴⊥1BC CC = ，∴四边形11BCC B 为菱形，即11B C BC ⊥又1AB BC D ⋂= ，且1,AB BC ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂Q 平面1ABC ，11B C AC ∴⊥.（2）取11A C 的中点E ，连接1,B E CE .如下图所示；111111,A B B C A E EC == ，111B E AC∴⊥又1CC ⊥ 平面1111,A B C B E ⊂平面111A B C ，11,CC B E ∴⊥又1111A C CC C =Q I ，且111,A C CC ⊂平面11AA C C ，1B E ∴⊥平面11AA C C ，CE ∴是1CB 在面11AA C C 内的射影，1ECB ∠是1CB 与平面11AA C C 所成角的平面角.在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，1111sin 2B E ECB CB ∠∴==，130ECB ∠∴= 即1CB 与平面11AA C C 所成的角的大小为30.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ，在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ，可得二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角∠DHG ，计算∠DHG 的余弦值即可.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，因为2ABC BAD π∠=∠=，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE∩BE ＝E ，故EF ⊥平面ABE ．（2）解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD∩平面EBCF ＝EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG∩DH ＝D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF ＝12（BC+AD ）＝3，故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG ＝AE ＝2，GF ＝1，在Rt △BEF 中，2tan 3BFE ∠=，因为∠BFE 为三角形的内角，故sin BFE ∠1sin GH BFE =⨯∠=故2tan 2DHG ∠==，因为∠DHG 为三角形的内角，故14cos 14DHG ∠=．所以二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角的余弦值为1414．。
四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题
【详解】解：∵ A = {x 1 < x < 2}， B = {x 1 £ x £ 2} ，
∴ A Ç B = {x 1 < x < 2} ，
故选：D． 2．C 【分析】由复数运算法则可得 z 代数形式，后可得其虚部.
【详解】
z
=
3 + 2i 1+ i
=
(3 + 2i)(1- i) (1+ i)(1- i)
=
5
2
i
=
5 2
-
1 2
i
，则
z
的虚部是
-
1 2
.
故选：C 3．B
【分析】根据点 P ( x, y) 在椭圆上得
x2 a2
+
y2 b2
= 1，且 -a
£
x
£ a ，再利用两点距离求得
PF1
=
c a
x + a ，从而可确定
PF1
a, c 的最大值与最小值，即可求得 的值，即可得离心率
e
=
c a
的值.
【详解】设椭圆的半焦距为 c ，若椭圆上一点 P ( x,
为圆柱下底面圆
O
的直径，C
是下底面圆周上一点，已知
ÐAOC
=
π 3
，
OA
=
2
，圆柱的高为
5．若点
D
在圆柱表面上运动，且满足
uuur BC
×
uuur CD
=
0
，则点
D
的轨
迹所围成图形的面积为________．
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16．已知函数 f ( x) = aln2x +1- x (a Î R) 有且仅有一条切线经过点 (0, 0) .若"x Î[1, +¥) ， f ( x) + mlnx £ 0 恒成立，则实数 m 的最大值是______.
上海市2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)
（2）若 ，求 与 .（用反三角函数表示）
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据 及力的夹角，即可求得 、 的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出 与 的值。
【详解】因为关于 的方程 在区间 上有三个解，且函数 的最小正周期为 ，再由三角函数的对称性可知：方程 在区间 上的解的最小值与最大值分别为 和 ；
又它们的和为 ，所以中间的解为 ，
所以有 ，即 ，故 ，
又 ，所以 或 .
故答案为 或
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
由 ， ， 三点共线可得
即 ,所以
又因为
所以
即
当 时， ,此时
当 与 (或 )点重合时,此时 ,此时
所以
由基本不等式 ,可得
当 或 时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
二、选择题
13.已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对称轴方程为（）
综上, 实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.
11.设 ，若关于 的方程 在区间 上有三个解，且它们的和为 ，则 ________
【答案】 或
北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题)(含答案)
2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一､选择题（每小题4分，共40分）1.（4分）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（ ）A.B.C.D.2.（4分）直线同时要经过第一､二､四象限，则，，应满足（ ）A.， B.，C.，D.，3.（4分）已知，若，，共面，则等于（）A.B.3C.D.94.（4分）若关于，的方程组无解，则（ ）A.2C.15.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（ ）A.1B.2C.D.6.（4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（4分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）A.B. C. D.l (3,2)--(1,2)l (2,1)--(1,0)-(0,1)(2,1)0ax by c ++=a b c 0ab >0bc <0ab <0bc >0ab >0bc >0ab <0bc <(2,1,3),(1,2,3),(7,6,)a b c λ=-=-=a b c λ3-9-x y 4210()210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R a =P ABCD -2EC PE =DE xAB y A z AP C +=+x y z ++=13532m =1:(3)10l m x my -++=2:(1)20l mx m y +--=l sin 20x y θ--=l α[]0,ππ,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8.（4分）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当､变化时，的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.49.（4分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）D.10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为）A.B.点的坐标为C.，，，四点共面D.直线与直线二､填空题（每小题5分，共30分）11.（5分）已知，且，则__________.d (cos ,sin )P θθ20x my --=θm d A BCD -AB BC AC DB DC ====ABC BCD E BC EF AD ∥ADB ABF 66GE =C (2,2,-O E F A CE DG (2,1,3),(4,2,)a b x =-=- a b ∥x =12.（5分）过点且平行于直线的直线方程为__________.13.（5分）若，，则以为邻边的平行四边形面积为__________.14.（5分）已知，则向量在上的投影向量坐标为__________.15.（5分）若直线经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是__________.16.（5分）在正三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的有__________.（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值；②当时，三棱锥的体积为定值；③当时，有且仅有一个点，使得；④当时，有且仅有一个点，使得平面.三､解答题（共50分）17.（12分）已知的顶点分别为，，.（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的垂直平分线的方程.18.（12分）在平行六面体中，，，.（1）求的长；（2）求到直线的距离；(1,3)-23x y -+(2,3,1)a =-(2,1,3)b =-,a b(2,1,3),(2,2,6),(3,3,6)A B C -AC AB:1(0,0)x yl a b a b+=>>(1,2)l x y 111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+[0,1],[0,1]λμ∈∈1λ=1AB P 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ABC (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE 1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒1BD 1A BC（3）动点在线段上运动，求的最小值.19.（12分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.（1）求证：；（2）若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.20.（14分）设正整数，集合，对应集合A 中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时.若的子集满足：当且仅当时，，则称为A 的完美子集.（1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.P 1CD AP CP ⋅AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF 6πF PH 3n ≥(){}12,,,,,1,2,,n k A aa x x x x k n ==∈=R ∣()12,,n a x x x =⋯()12,,nb y y y =⋯λ(1,2,,)k k x y k n == ()()112212;,,;,,n n n a b a b x y x y x y a x x x λλλλ=+=++⋯+=⋯A {}123,,B a a a =1230λλλ===()1122330,0,,0a a a λλλ++= B 3n =12{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},{(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B B ==3n =()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---B A m {}123,,B a a a A =⊆()()12,,1,2,3i i i in a x x x i =⋯=1232ii i i i x x x x >++1,2,3i =B2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一､选择题（每小题4分，共40分）1.D【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点都在直线上，点不在直线上.故选：D.2.【答案】A【解答】解：由于直线同时要经过第一､二､四象限，故斜率小于0，在轴上的截距大于0，故，故，故选：A.3.【答案】C【解答】解：，共面，设，则，，解得，解得.故选：C.4.【答案】C【解答】解：关于的方程组无解，直线与直线平行，l ()()()()232213y x ----=----10x y -+=()()()2,1,1,0,0,1---l ()2,1l 0ax by c ++=y 00a b c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩0,0ab bc ><()()()2,1,3,1,2,3,7,6,a b c λ=-=-=,,a b c∴a mb nc =+ ()()2,1,37,26,3m n m n m n λ-=-+++7226133m n m n m n λ-+=⎧⎪∴+=⎨⎪+=-⎩11,44m n =-=9λ=- ,x y ()4210210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R ∴4210x y ++=210x ay ++=，解得.故选：C.5.【答案】A【解答】解：由题意，，又因为，所以，所以.故选：A.6.【答案】A【解答】解：由题意两条直线垂直时，则，即，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为，当时，则直线的斜率，当时，则，这时直线的倾斜角为，当，则，这时直线的倾斜角为，综上所述：直线的倾斜角的范围为.故选：C.8.【答案】C21421a ∴=≠1a =DE DC CA AE AB AC AP PE=++=-++()1133AB AC AP PC AB AC AP AC AP =-++=-++- 2233AB AC AP =-+DE x AB y AC z AP =++221,,33x y z ==-=1x y z ++=()()310m m m m -+-=2240m m -=0m =2m =2m =()1:310l m x my -++=()2:120l mx m y +--=sin 0θ=π2sin 0θ≠1sin k θ=0sin 1θ<…[)1,k ∞∈+ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭1sin 0θ-<…(],1k ∞∈--π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解答】解：由题意当时，.的最大值为3.故选：C.9.【答案】B【解答】解：如图，连接，因为为中点，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，可得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，d ∴()sin 1θα-=-max 13d =d ∴,AE DE ,AB BC AC DB DC E ====BC ,AE BC DE BC ⊥⊥ABC ⊥BCD ABC ⋂,BCD BC AE =⊂ABC AE ⊥BCD ,,ED EB EA E 2AB =EF ∥AD ()()(,,0,1,0,A DB F (()0,1,,,AB AD AF ===ABD (),,m x y z =m AB y m AD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =1y z ==()m = ABF (),,n a b c = 0n AB b n AF ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1c =0,a b ==()n =则则平面与平面故选：B.10.【答案】C【解答】解：由题意正方形的对角线，则，则，故A 错误；因为，则，故错误；对于，则，所以，又为三个向量的公共起点，所以四点共面，故C 正确；由，得，则，则所以直线与直线，故D 错误.故选：C.二､填空题（每小题5分，共30分）11.【答案】见试题解答内容【解答】解：因为，且，所以存在实数使得即cos ,m n m n m n ⋅<>===ADB ABF ABCD BD =((2,2,,0,G E GE ==12GA =⨯=(2,2,C -B ((,0,4,,C A F (((0,4,,0,,0,OA OE OF ===2OA OF =O ,,,O E F A DE =(D -((,3,1,CE DG ==-cos ,CE DG <>==CE DG ()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a∥b λa b λ=24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得.故答案为.12.【答案】见试题解答内容【解答】解：设要求的直线方程为：，把点（）代入上述方程可得：，解得.要求的直线方程为：，故答案为：.13.【答案】见试题解答内容【解答】解：设向量的夹角为，，，由同角三角函数的关系，得，以为邻边的平行四边形面积为，故答案为：14.【答案】.【解答】解：因为，所以，所以，所以向量在上的投影向量坐标为.故答案为：.15.【解答】解：直线经过点，6x =-6-20x y m -+=1,3-1230m --⨯+=7m =∴270x y -+=270x y -+=,a bθ()()2,3,1,2,1,3a b =-=-2cos 7a ba bθ⋅∴===-⋅ sin θ==∴,a b sin S a b θ=⋅== 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭()()()2,1,3,2,2,6,3,3,6A B C -()()1,2,3,0,3,3AC AB ==-693AC AB ⋅=-+=AC AB110,,22AC AB AB ABAB ⋅⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭ 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭():10,0x yl a b a b+=>>()1,2121a b∴+=，当且仅当时上式等号成立.直线在轴，轴上的截距之和的最小值为.故答案为：.16.【解答】解：由题意得：，所以为正方形内一点，①当时，，即，所以在线段上，所以周长为，如图1所示，当点在处时，，故①错误；②如图2，当时，即，即，所以在上，，因为平面平面，所以点到平面距离不变，即不变，故②正确；③当时，即，如图3，为中点，为的中点，是上一动点，易知当时，点与点重合时，由于为等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，因为平面，则，当时，点与点重合时，可证明出平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，为的中点，为的中点，则为上一动点，易知，若平面，只需即可，()12233b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭…b =∴xy 3+3+][1,0,1,0,1BP BC BB λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦P 11BCC B 1λ=1BP BC BB μ=+[]1,0,1CP BB μμ=∈ P 1CC 1AB P 11AB AP B P ++P 12,P P 111122B P AP B P AP +≠+1μ=1BP BC BB λ=+[]1,0,1B P BC λλ=∈ P 11B C 13P AIBC AIBC V S h -=⋅⋅ 11B C ∥11,BC B C ⊄1,A BC BC ⊂⊂1A BC P 1A BC h 12λ=112BP BC BB μ=+ M 11B C N BC P MN 0μ=P N ABC N BC AN BC ⊥11,AA BC AA AN A ⊥⋂=BN ⊥ANMA 1A P ⊂1ANMA 1BP A P ⊥1μ=P M 1A M ⊥11BCC B BM ⊂11BCC B 1A M BM ⊥1A P BP ⊥12μ=112BP BC BB λ=+ D 1BB E 1CC P DE 1AB AB ⊥1A B ⊥1AB P 11A B B P ⊥取的中点，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点与点重合时，故只有一个点符合要求，使得平面，故④正确.故答案为：②④.11B C F 1,A F BF 1A F ⊥11BCC B 1AF PB ⊥11A B PB ⊥1B P ⊥1A FB 1B P FB ⊥P E 1B P FB ⊥P 1A B ⊥1AB P三､解答题（共50分）17.【答案】（1）；（2）.【解答】解：（1）设中点的坐标为，则，边的中线过点两点，所在直线方程为，即；（2）的斜率，的垂直平分线的斜率，直线的方程为，即.18.【答案】（1（2）2；（3）.【解答】解：（1），因为，所以8340x y --=264130x y --=BC D ()00,x y 0076111,0222x y --+====BC AD ()12,4,,02A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭AD ∴40101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-8340x y --=BC 1127613k --==-+BC ∴DE 1132k =∴DE 131022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭264130x y --=14-1112,1,60AB AA AD BAD BAA DAA ∠∠∠====== 111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ 1BD ==而，，，所以，即；（2）因为，所以，所以，在中，，所以，即，又因为，所以平面，而平面，所以，即为到直线的距离，而，所以三角形为等边三角形，即，即到直线的距离为（3）设则1||||cos 602112AB AD AB AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 602222AB AA AB AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 601212AD AA AD AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 1BD == 1BD 11cos60212AD AA ==⨯= 1,A D AD AD ⊥∥BC 1A D BC ⊥ABD BD ===222AD BD AB +=BD BC ⊥1A D BD D ⋂=BC ⊥1A BD 1A B ⊂1A BD 1A B BC ⊥1A B 1A BC 112,60AA AB A AB ∠===1AA B 12A B =1A BC 2;1,CP CD λ= ()()()1111AP CP PA PC PC CB BA PC D C AD AB D C A B AD AB A B λλλλ⋅=⋅=++⋅=--⋅=--⋅，当时，这时的最小值为.19.【答案】（1）证明见解答；（2）（1）F 为中点；（2）2.【解答】（1）证明：在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）解：（1）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：()()111AB AA AD AB AA λλλ⎡⎤=---⋅-⎣⎦ ()()22111111AB AB AA AA AB AA AD AB AD AA λλλλλ⎡⎤=---⋅-⋅+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ ()()22111221cos602cos60cos60AB AA AD AB AD AA λλλλ⎡⎤=-⨯--⋅+⨯-⋅+⋅⎣⎦()()11141212241212222λλλλ⎡⎤=---⨯⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦242λλ=-211444λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14λ=AP CP ⋅14-PE AMDE AB ∥DE AB ∉,PDE DE ⊂PDE AB ∥PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB ∥FG F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -则，又为中点，则，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（2）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.20.【答案】（1）是的完美子集，不是完美子集；()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF === ABF (),,n x y z =00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =- BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>=== F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<< ()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅= ()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1B A 2B（3）是的完美子集.【解答】解（1）设，即，所以是完美子集，设，，可得解得：所以不是完美子集；（2）因为集合不是的完美子集，所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，当时，，解得：，所以存在使得，当时，因为，所以，不符合题意，B A ()1122330,0,0a a a λλλ++=1230λλλ===1B 112233(0,0a a a λλλ++=0)1231231232402350,3460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1232,3,1λλλ==-=2B ()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---A ()()123,,0,0,0λλλ≠()1122330,0,0a a a λλλ++=()()()123123123202101120m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩2m m ≠1m m ≠-12m m -≠0m ≠1m ≠-12320λλλ++=()()312122,,0,0λλλλλ=--≠()()()()()12121212212011220m m m m m m λλλλλλλλ⎧++---=⎪⎨-+-+--=⎪⎩()()()()12122103110m m m m λλλλ⎧-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩()1410m λ-+=14m =10λ=14m =123123123202303320λλλλλλλλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩12357,3λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩()1122330,0,0a a a λλλ++=10λ=1m ≠-230,0λλ==（3）一定是的完美子集，假设存在不全为0的实数满足，不妨设，则，否则与假设矛盾，由，可得，所以.即矛盾，所以假设不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.B A 123λλλ､､()1122330,0,0a a a λλλ++=123λλλ……10λ≠1112213310x x x λλλ++=3211213111x x x λλλλ=--32112131213111x x x x x λλλλ++……111121312x x x x >++11112131x x x x >++10λ=230λλ==B A。
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。
北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题(含解析)
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（ ）i 1i z=-z =A.0B.1D.22.如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD AA --=A.B. C. D.1AC 1AC 1D B 1DB 3.已知，则的坐标为（ ）()()2,3,1,6,5,3A B ---ABA.B.C.D.()8,8,4--()8,8,4-()8,8,4-()8,8,4--4.如图，已知正方体的棱长为（ ）ABCD A B C D '-'''1,AA DB ⋅=''A.1D.1-5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（12,n n,αβ()()121,,2,,2,1n y n x =-=- α∥βx y +=）A. B. C.3 D.92-72-726.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数1l()0,0,1u =2l()1v =-1l 2l 为（ ）A.B.C.D.30601201507.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（ ）n αa l a n ⊥l ∥αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与,,,O A B C a OA OB OC =++ b OA OB OC =+- 不能构成空间基底的向量是（ ）,a bA. B. C. D.或OA OB OC OA OB9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，Oxyz ()2,1,1A Oxz B y C 则两点间的距离为（ ）,B CB.C.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和ABCD ,M N ,BC ADAM 夹角的余弦值为（ ）CN A. C. D.231323-二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.()2,3,1a =- a 12.已知向量且，则__________，__________.()()2,0,1,,2,1a b m =-=-a b ⊥ m =a b += 13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.l ()()1,0,1,2,0,0A B ()2,1,4P l 14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的Oxyz ()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===CD CB余弦值为__________；在的投影向量__________.CD CB a = 15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则,,a b c a ∥,b b ∥c a ∥c ②任意向量满足,,a b c ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ ③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面{},,OA OB OC221333OD OA OB OC=+- ,,,A B C D ④已知向量，若，则为钝角()()1,1,,3,,9a x b x ==-310x <,a b <>其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.1111ABCD A B C D -2,AB E =11B C（1）求证：；11AA D E ⊥（2）求平面的法向量；1D BE （3）求点到平面的距离.1A 1D BE 17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.111ABC A B C -4,D 1CC E 11A B（1）求证：平面；1C E ∥1A BD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 1A BD18.如图，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -14,2,60AB AD AA BAD ∠====与相交于点，设.1145,BAA DAA AC ∠∠==BD O 1,,AB a AD b AA c ===（1）试用基底表示向量；{},,a b c1OA （2）求的长；1OA （3）求直线与直线所成角.1OA BC19.如图，四棱锥倍，为侧棱上的点.S ABCD -P SD（1）求证：；AC SD ⊥（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；SD ⊥PAC PAC ACD （3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；SC E BE ∥PAC :SE EC 若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.z【详解】依题意，，则()i 1i 1iz =-=--z ==故选：C 2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C 3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，()()2,3,1,6,5,3A B ---所以()8,8,4AB =-故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，DB DB BB AB AD BB AB AD AA '=+=-+'''=-+且，0,0AA AB AA AD ''⋅=⋅= 所以.()21AA DB AA AB AD AA AA AB AA AD AA '''''''⋅=⋅-+=⋅-⋅+= 故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.1n ∥1n 1221y x -==-,x y 【详解】，且分别是平面的法向量，则，α ∥β12,n n ,αβ1n ∥1n 则有，故，则.1221y x -==-1,42x y =-=72x y +=故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.cos ,u v u v u v⋅<>=⋅【详解】直线方向向量，1l ()0,0,1u= 直线方向向量，2l()1v =-，1cos ,2u v u v u v ⋅<>===-⋅所以两向量夹角为，120直线和所成角为，∴1l 2l 60故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，n αal 若，则或，充分性不成立，a n ⊥ l α⊂l ∥α若，则，必要性成立，l ∥αa n ⊥所以“”是“”的必要不充分条件.a n ⊥ l ∥α故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC=-=++-+- 与不能构成空间基底；OC ∴ a b､故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解,B C 【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，()2,1,1A Oxz B 所以，()2,0,1B 因为点关于轴的对称点为点，()2,1,1A y C 所以，()2,1,1C --所以BC ==故选：D 10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，BN P AMP ∠AM CN 计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：BN BN P ,AP MP由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又分别是的中点，所以，且,M P ,BC BN MP ∥CN 12MP CN ==所以即为异面直线和的夹角的平面角，AMP∠AM CN 又易知，且，所以BN AN ⊥12PN BN ==AP ===因此，2cos 3AMP ∠==即和夹角的余弦值为.AM CN 23故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或⎛⎝【分析】求出，再根据求解即可.aa a± 【详解】因为向量，所以()2,3,1a =-a==所以，aa ±==±所以与共线的单位向量为或.a⎛ ⎝故答案为：或.⎛ ⎝12.【答案】（1）（21##0.52【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，()()2,0,1,,2,1a b m =-=-当时，所以，a b ⊥210m -=所以；12m =因为，()12,0,1,,2,12a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，5,2,02a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以.a b +==故答案为：.1213.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到cos ,,AP AB AP<>AP 'PP 'P 直线的距离.l 【详解】如图，过点作于点P PP AB'⊥P '由题意得，，()()1,1,3,1,0,1,cos ,AP AB AP AB==-<>==，所以.AP ==cos ,3AP AP AP AB PP =⋅<='='>= 故答案为：3.14.【答案】①②12()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计CD CB算公式即可求出结果.【详解】因为，()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===所以，()()0,2,2,2,2,0CD AD AC CB AB AC =-=-=-=-所以，1cos ,2CD CB CD CB CD CB ⋅<>===在的投影向量为.CD CB()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB<>=-故答案为：.()1;1,1,02-15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断1133AD AB CB=+③；当时可判断④.3x =-【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，,,a b c a ∥,b b ∥c ,λμa b λ= ，故，所以，故①正确；b c μ= a c λμ= a ∥c 对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；,a c ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，{},,OA OB OC,,A B C ，且，221333OD OA OB OC =+- ()()1211133333OD OA OA OB OC OB OA OB OC-=-+-=-+- 所以，则四点共面，所以③正确；1133AD AB CB=+ ,,,A B C D 对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.3x =-,a b 3,,b a a b =- 180故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；()2,1,1-（3.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.11A D 【小问1详解】因为是正方体，故可得面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1111A B C D又面，故可得.1D E ⊂1111A B C D 11AA D E ⊥【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：D 则可得：，()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2D B E A ()()()1111,2,0,1,0,2,2,0,0D E BE A D ==-=-设平面的法向量为，1D BE (),,m x y z =则，即，取，可得，100m D E m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩2x =1,1y z =-=故平面的一个法向量为.1D BE ()2,1,1-【小问3详解】设点到平面的距离为，1A 1D BE d 则.11A D m d m ⋅===故点到平面.1A 1D BE17.【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面1C E 1A BD 平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A 为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴1,AC AA y z ABC AC x 建立空间直角坐标系，())()()()1110,2,4,,0,2,2,,4,0,0,4,0,2,02C B D E A C ⎫⎪⎪⎭所以113 ,0,4),(2)2C E A B BD ⎫=-=-=⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，1A BD (),,n x y z = 所以，即，100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4020y z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩令，x =1,1z y ==即为平面的一个法向量，)n = 1A BD 所以，1310102C E n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又因为平面，1C E ⊄1A BD 所以平面；1C E ∥1A BD 【小问2详解】由（1）知，()),BC n == 设直线与平面所成角为，BC 1A BD θ所以，sin cos ,BC θ= 所以直线与平面.BC 1A BD 18.【答案】（1）11122OA a b c =--+（2（3）π2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；11122OA a b c =--+ （3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】()111111111;22222OA OA AA AB AD AA AB AD AA a b c =+=-++=--+=--+ 【小问2详解】，1114,2,60,45AB AD AA BAD BAA DAA ∠∠∠====== 所以，1cos604242a b a b ⋅==⨯⨯=，cos4524b c b c ⋅==⨯=，cos4548a c a c ⋅==⨯= 由（1）知，11122OA a b c =--+ 所以，22222111111322442OA a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭ 所以1OA = 【小问3详解】，BC AD b == ，21111102222OA BC a b c b a b b b c ⎛⎫⋅=--+⋅=-⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，111cos ,0OA BC OA BC OA BC ⋅==所以与所成角为，1OA BC π2所以直线与直线所成角为.1OA BC π219.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.30 :2:1SE EC =【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O 分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可,,OB OC OS x y z OC SD 证明；AC SD ⊥（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；PAC ACD （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法BE ∥PAC BE PAC 向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O ，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系如图.OB ,OC OSx y z O xyz -设底面边长为，则高.aSO =于是,,0,0,,0S D C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,0,,0,OC SD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故，从而.0OC SD ⋅= OC SD ⊥AC SD ⊥（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC DS ⎫=⎪⎪⎭ DAC ，设所求角为，则平面与平面的夹角为.OS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭θcos OS DS OS DS θ⋅==∴⋅ PAC DAC 30（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，SC E BE ∥PAC DS PAC 且.,0,DS a CS a ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 设，则CE tCS = BE BC CE BC tCS=+=+ 而，()1t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭103BE DS t ⋅=⇔= 即当时:2:1SE EC =，而不在平面内，故平面.BE DS ⊥ BE PAC BE ∥PAC。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)
上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。
辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题(含答案解析)
uuur OE
uuur mOB
，
uuur OF
uuur nOC
，则
1 k
1 m
1 n
.
16．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， AB AC 2 ，点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点， 光线从点 P 出发，经 BC,CA 发射后又回到原点 P ，若光线 QR 经过 ABC 的重心，则 BP
4．下列命题正确的是（ ）
A．
a
b
a
b
是向量
a
，
b
不共线的充要条件
B．在空间四边形 ABCD 中， AB CD BC AD CA BD 0
C．在棱长为
1
的正四面体
ABCD
中，
AB
BC
1 2
D．设
A，B，C
三点不共线，O
为平面
ABC
外一点，若
OP
1
OA
2
OB
OC
B．经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x y 2 0 或 x y 0
C．过
x ,y 11
、
x ,y 22
两点的所有直线的方程为
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
D．无论 k 为何值，直线 kx y 1 2k 必过定点 2，1
11．对于非零空间向量 a ， b ， c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
长为
.
试卷第 3页，共 5页
四、解答题
17．（1）若直线 l 过点 P 1, 2 ，且与直线 3x 4 y 5 0 平行，求直线 l 的一般式方程．
（2）若直线 l 过点 Q 1, 2 ，且与直线 3x 4 y 5 0 垂直，求直线 l 的斜截式方程．
武清区天和城实验中学2020_2021学年高二数学上学期9月月考试题含解析
【答案】 或
【解析】
【分析】
分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.
【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等。此时设直线方程为 ，则 ，故 ,化简得 .
当截距不为0时,设直线方程为 ,则 .故 ，化简可得 .
故答案为： 或 。
【详解】
所以 ，所以 。
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理,把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
三、解答题
16。 （1）当 为何值时,直线 : 与直线 ： 平行？
（2）当 为何值时，直线 ： 与直线 : 垂直？
【答案】（1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）先求出两直线的斜率,再根据两直线平行，则斜率相等且在y轴上的截距不相等求解.
将方程整理为一般式,即可根据斜率以及 轴上的截距判断直线经过的象限。
【详解】 等价于 ，
根据题意 ,故直线必经过第一、三象限;
又因为 ，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C。
【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限,属基础题.
5. 直线 与 (其中 ， ， ），在同一坐标系中的图象是下图中的（ ）
【详解】因为所求直线垂直于直线 ,又直线 的斜率为 ，
所以所求直线的斜率 ，
所以直线方程为 ，即 。
故选：A
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属基础题。
4。 已知 , ,则直线 通过( ）
A. 第一、二、三象限B。 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2024-2025学年第一学期东莞外国语学校高三段考一命题人：夏俊东 审题人：龚建兵一、单选题（每题5分，共40分）1. 设集合{}24Ax x=≥，{}2B x x a =<，若A B A = ，则a 的取值范围是（ ）A. (],4−∞−B. (],1−∞−C. [)1,+∞D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式再根据集合间的关系求参． 【详解】(][),22,A ∞∞=−−∪+，,2a B ∞=−； 由A B A = 可以推出B A ⊆，所以22a≤−， a 的取值范围是(,4⎤-∞-⎦． 故选：A.2. 命题“N m ∃∈，N ”的否定是（ ） A. N m ∀∈N B. N m ∀∉N C N m ∃∈N D. N m ∀∈N【答案】D 【解析】【分析】利用命题否定的定义求解即可. 【详解】由命题否定的定义得命题“N m ∃∈，N ”的否定是N m ∀∈N ，故D 正确.故选：D3. 某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg ，标准差为6，男员工的平均体重为70kg ，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ） A. 29B. 120C. 100D. 112.【答案】B 【解析】【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差. 【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为392150705739213921×+×=++，则样本中所有员工的体重的方差222223921[6(5057)][4(7057)]12039213921s =×+−+×+−=++. 故选：B4. 二项式5212x x +−展开式中，含2x 项的系数为（ ）A. 20B. 20−C. 60−D. 80【答案】A 【解析】【分析】利用展开式的意义可求含2x 项的系数.【详解】5212x x +−表示5个因式212x x +−的乘积，要得到含2x 项，需有1个因式取2x ，其余的4个因式都取2−，系数为()415C 2−， 或者需有2个因式取2x 项，需有2个因式取1x，其余的1个因式都取2−，系数为()22532C C −， 故含2x 项的系数为()()42215352C C C 220−+−=． 故选：A.5. 函数()f x ax x =，经过点(1,1)−，则关于x 的不等式2(3)(40)f x f x +−<解集为（ ） A. (,1)(4,)−∞−+∞ B. (1,4)− C. (,4)(1,)∞∞−−∪+ D. (4,1)−【答案】B 【解析】【分析】根据图象经过点(1,1)−得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可. 【详解】由函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)−，得1a =−， 则ff (xx )=−xx |xx |=�xx 2,xx ≤0−xx 2,xx >0， 所以函数()f x 在(,0]−∞上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，又()||||()f x x x x x f x −=−==−，即函数()f x 是奇函数， 不等式2223)))(3)(40()(4(4f x f x f x f x f x +−=<⇔<−−−， 则243x x −<，即2340x x −−<，解得14x −<<， 所以原不等式的解集为(1,4)−. 故选：B.6. 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()2,12f x f x f −==，则()()()1230f f f +++=（ ） A. 2 B. 0C. 60D. 62【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出()()()()12340f f f f +++=即可得解. 【详解】由题意()()()()22f x f x f x f x −==−−=−−，所以()f x 的周期为4， 且()f x 关于直线1x =对称，而()()()())()()()()()12340112200f f f f f f f f f f +++=++−+===，所以()()()()()()()()()123029*********f f f f f f f f f +++=+=+=+=+= . 故选：A.7. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）A. 96种B. 64种C. 32种D. 16种【答案】B 【解析】【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果. 【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法； 第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264××=. 故选：B.8. 已知实数x ，y ，满足2ln e ln 2x y y y x =−，则y 的最小值为（ ）A. eB.e2C.2eD.【答案】A 【解析】【分析】化简变形后可设()e t f t t =，知其在(1,)+∞上单调递增，若()(ln 2)2f xy f x =，则22e x xy =，对2e 2xy x=求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.【详解】由已知有2ln ln 2e x y y y x +=，即2ln 2e x y xy =，即ln 22ln 2e 2e xy x xy x ⋅=，因为20x >，令()e t f t t =，0t >，()()1e 0t f t t +′=>易知()f t 在(0,)+∞上单调递增，因()(ln 2)2f xy f x =，所以ln 22xy x =，故22e xxy =，即2e 2xy x=. 所以22(21)e 2x x y x −′=，令22(21)e 02xx y x−′==，可得12x =， 又因22(21)e 2x x y x−′=在10,2上小于零，故y 在10,2 单调递减， 22(21)e 2x x y x−′=在1,2∞ + 上大于零，故y 在1,2∞ + 单调递增， 故当时12x =，y 取极小值也是最小值为e. 故选：A二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，错选得0分）9. 已知正数x ，y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为18B. 224x y +的最小值为12C.的最大值为D.13x y+的最小值为7+【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.【详解】对于A ：∵0x >，0y >，21x y +=. ∴222112224+ ⋅≤==x y x y ，18xy ≤. 当且仅当221x y x y =+=，即12x =，14y =，取“=”，∴A 正确； 对于B ：2224(2)414x y x y xy xy +=+−=−，由（1）知18xy ≤，∴142xy −≥−. ∴2211414122x y xy +=−≥−=.∴B 正确；对于C ：22112112=++=+≤++=+=x y x y .≤，∴C 错误；对于D ：()132******** ++=+++=++≥+y x y xx y x y x y x y 当且仅当23y xx y =，即222321y x x y = +=，取“=”，∴D 正确. 故选：ABD.10. 从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x 用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（ ）A. 指标值在区间[)205,215的产品约有48件B. 指标值的平均数的估计值是200C. 指标值的第60百分位数是200D. 指标值的方差估计值是150 【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的频率分布直方图，利用各组的频率结合频数及百分位数的意义计算判断AC ；利用频率分布直方图求估算平均数、方差的方法计算判断BD 作答.【详解】指标值[)205,215x ∈的样本频率是100.0240.24×=，指标值在区间[205,215)的产品约有2000.2448×=件，A 正确；1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =×+×+×+×+×+×+×=， 2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02150s =−×+−×+−×+×+×+×+×=，BD 正确；由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，所以指标值的第60百分位数m 在[)195,205内，()()1950.0330.60.020.090.22m −×=−++，解得203.18m ≈，C 错误.故选：ABD11. 已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x 的导函数为()g x ′，且()()5f x g x ′+=，()()155f x g x −′−−=，若()g x 为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A. ()05f =B.()2024110120n f n ==∑C. 若存在0x 使()f x 在()00,x 上单调递增，在()02x ,上单调递减，则()g x 的极小值点为()4Z k k ∈D. 若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，满足题意的()g x 不唯一 【答案】ABD 【解析】【分析】代入求得()05f =判断A ；利用函数的周期判断B ；利用已知条件和函数的周期性判断C ；根据函数的奇偶性结合已知条件求出()5f x =，()0g x ′=判断D .【详解】对A ，因为()g x 为偶函数，所以()g x ′是奇函数，所以()00g ′=，又()()5f x g x ′+=，所以()()()00505f g f ′+=⇒=，故A 对；对B ，由()()5f x g x ′+=，()()155f x g x −′−−=，得()()45f x g x ′−−=， 所以()()410f x f x −+=，所以()()1310f f +=，()()245f f ==，又()()()()554f x g x g x f x ′′=−=+−=+，所以()f x 是周期为4的函数，()g x ′也是周期为4的函数，所以()()()()12320242050610120f f f f ++++=×= ，故B 对； 对C ，()f x 在()00,x 上严格增，在()02x ,上严格减，由()()410f x f x −+=，()y f x =的图象关于()2,5对称且()25f =， 由A 可得()05f =，故()f x 在[)00,x 上严格增，在(]0,2x 上严格减， 可知()f x 在[)02,4x −严格递减，在(]04,4x −严格递增， 又()f x 的周期为4， 所以()f x 在(]0,0x −严格递增， 所以()g x ′在(]0,0x −严格递减，在[)00,x 严格递减，又()00g ′=，所以0是()g x 的极大值点，()g x ′是周期为4的函数， 所以则()g x 的极大值点为()4Z k k ∈，故C 错；对D ，若()f x 为偶函数，由于()g x ′是奇函数，()()5f x g x ′+=，则()()5f x g x +′−−=，即()()5f x g x −′=，所以()5f x =，()0g x ′=，所以()f x 唯一，()g x 不唯一，故D 对. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析.三、填空题（每题5分，共15分）12. 已知随机变量X 服从正态分布()31N ,，且()240.6827P X ≤≤=，则()4P X >=______.(精确到小数点后第五位) 【答案】0.15865 【解析】【分析】根据正态分布对称性结合题意求解即可.【详解】由于X 服从正态分布()31N ,，所以正态曲线的对称轴为直线3x =， 所以()()42P X P X >=<， 故()()12440.158652P X P X −≤≤>==．故答案为：0.15865.13. 已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222xxf x −=+，当0x <时，()22x x f x m n −=⋅+⋅，则m n +=________【答案】5− 【解析】【分析】根据奇函数可求得0x <的解析式，从而可求得4m =−，1n =−，进而可得答案. 【详解】令0x <，则0x −>，所以()222xx f x −+−+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−， 所以()222422xx x x f x +−−=−−=−×−，所以4m =−，1n =−，所以5m n +=−. 故答案为：5−14. 设a ∈R ，对任意实数x ，用ff (xx )表示22,35x x ax a −−+−中的较小者．若函数()f x 至少有3个零点，则a 的取值范围为______.的的【答案】10a ≥ 【解析】【分析】设()235g x x ax a =−+−，()2h x x =−，分析可知函数()g x 至少有一个零点，可得出0∆≥，求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围. 【详解】设()235g x x ax a =−+−，()2h x x =−，由20x −=可得2x =±.要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=−+≥， 解得2a ≤或10a ≥.①当2a =时，()221g x x x =−+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <， 要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤−，所以，()2224550ag a <− −=+−≥，解得a ∈∅； ③当10a =时，()21025g x x x =−+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a > =+−≥，解得4a >，此时10a > 综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞. 故答案为：[)10,+∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题15. 已知函数()ln af x x x=−． （1）当1a =−时，求()f x 的极值；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； 【答案】（1）极小值1，无极大值 （2）1a e≤− 【解析】【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值；（2）由()0f x ≥恒成立，转化为ln a x x ≤恒成立，继而结合求导得出()ln g x x x =的最小值即可. 【小问1详解】当1a =−时，()1ln f x x x=+，定义域为(0,+∞)， 则()22111x f x x x x=′−=−， 当01x <<时，ff ′(xx )<0，当1x >时，ff ′(xx )>0， 则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以()f x 有极小值()11f =，无极大值. 【小问2详解】.因为()0f x ≥恒成立，得0x ∀>，ln a x x ≤， 令()ln g x x x =，0x >，则()1ln g x x =′+， 当10e x <<，()0g x ′<，当1ex >时，()0g x ′>， 即函数()g x 在10,e上递减，在()e,∞+上递增，因此()min 11e e g x g ==−，则1a e ≤−， 所以a 的取值范围为1a e≤−.16. 随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下： 飞行距离x （千千米） 56 63 71 79 90 102 110 117 核心零件损坏数y （个） 617390105119136149163（1）据关系建立y 关于x 的回归模型 ˆˆˆybx a =+求y 关于x 的回归方程（ˆb 精确到0.1，ˆa 精确到1）. （2）为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程 ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 121()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ==−−=−∑∑，()()()()()22,,.ˆˆn ad bc ay bx K n a b c d a b c d a c b d −=−==+++++++20()P K k ≥0. 250. 10. 050.025 0. 01 0. 0010k1.3232.7063.841 5.0246.635 10.828参考数据：8821186,112,82743,62680i ii i i x y x y x ======∑∑【答案】（1）1.626ˆy x =−； （2）表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关. 【解析】【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善22×，求出2K 的观测值并与临界值比对即可得解. 【小问1详解】依题意，881188222211ˆ6()()8827438861121.62680886()8i i i ii i i ii i x x y y x y xybx x x x ====−−−−××==≈−×−−∑∑∑∑， ˆ112 1.68626ˆay bx =−=−×≈−， 所以y 关于 x 的线性回归方程为1.626ˆy x =−. 【小问2详解】依题意，报废机核心零件中保养过的有2030%6×=台，未保养的有20614−=台， 则22×列联表如下：保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废542680合计 60 40 100零假设0H ：核心零件是否报废与保养无关，则22100(6261454)9.375 6.63520406080K ××−×==>×××，根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x = 【解析】【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A A +，结合条件概率公式计算即可. （2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=. 【小问2详解】 依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为则()47887412342727272827E x =×+×+×+×=. 18. 已知函数1()e ln ln x f x a x a −−+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）21e −（2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点()()1,1f 切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数()f x 的单调性，当a =1时，由()10f ′=得()()11minf x f ==,符合题意；当a >1时，可证1()(1)0f f a′′<，从而()f x ′存在零点00x >，使得0101()0x f x ae x −′=−=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1f x ≥恒成立；当01a <<时，研究()1f .即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =−+ ，1()xf x e x′∴=−，(1)1k f e ′∴==−. (1)1f e =+ ，∴切点坐标(1,1+e ),∴函数()f x 在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x −−=−−,即()12y e x =−+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e −−, ∴所求三角形面积为1222||=211e e −××−−． （2）［方法一］：通性通法 1()ln ln x f x ae x a −−+ ,11()x f x ae x−′∴=−，且0a >. 为设()()g x f x =′,则121()0,x g x ae x −′=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x ′在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，(1)0f ′=,∴()()11minf x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−′′∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −′=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x ′<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x ′>，011x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−， 因此01min 00()()ln ln x f x f x aex a −==−+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++−+≥−++>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m hm e +′=>，所以()h m 在R 上单调递增． 由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+．令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−′=−=． 所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x ′>单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x ′<单调递减．所以max[()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥． ［方法三］：换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+． 于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在(0,)x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x x a e−≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e−−−−−−−==′． 当01x <<时，()0,()g x g x >′单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <′单调递减． 所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥． 令()ln S a a a =+，则1()10S a a=′+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增． 因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立． 因为11()0x T a ea−=+>′，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−． 因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立． 当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立． 所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可．19. 无穷数列1a ，2a ，…，n a ，…的定义如下：如果n 是偶数，就对n 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ﹔如果n 是奇数，就对31n +尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果n a m =且m a n =，求m ，n 的值； （3）记()n a f n =，*n ∈N ，求一个正整数n ，满足()()()()()()2024fn f n f f n f f f n <<<<个 ．【答案】（1）11a =，21a =，35a =，41a =，51a =，63a =，711a =； （2）1m n ==； （3）202521n k −（答案不唯一，满足()*212025,,m n k m m k =−≥∈N 即可）【解析】【分析】（1）根据数列{aa nn }的定义，逐一求解；（2）根据数列{aa nn }的定义，分1n =和1n >分别求解；（3）根据数列{aa nn }的定义，写出()f n 的值，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，()1311221a ×+÷÷，2221a =÷=，()333125a =×+÷=，44221a =÷÷=，()4535121a =×+÷=，6623a =÷=，()7371211a =×+÷=．【小问2详解】由已知，m ，n 均为奇数，不妨设m n ≤．当1n =时，因为11a =，所以1m =，故1m n ==；当1n >时，因为314n n m +<≤，而n 为奇数，n a m =，所以312n m +=． 又m 为奇数，m a n =，所以存在*k ∈N ，使得312km n +=为奇数． 所以()33195231122k n n n m ++=+=+=． 而95462n n n +<<，所以426k n n n <<，即426k <<，*k ∈N ，无解． 所以1m n ==． 【小问3详解】显然，n 不能为偶数，否则()2nf n n ≤<，不满足()n f n <． 所以，n 为正奇数．又()111f a ==，所以3n ≥． 设41n k =+或41n k =−，*k ∈N ． 当41n k =+时，()()341131414k f n k k n ++==+<+=，不满足()n f n <； 当41n k =−时，()()341161412k f n k k n −+==−>−=，即()n f n <．所以，取202521nk −，*k ∈N 时，()()()()2025202420242202332113321132132122k k k f f n k −+×−+=×−<==×−()()()()20223202322023332113212k f f f n k ×−+<<==×−()()()()2023220242024332113212k f f f n k ×−+<==×−即()()()()()()2024fn f n f f n f f f n <<<< 个．【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当41n k =−时，满足()n f n <，从而设202521nk −，*k∈N，验证满足条件.。
哈尔滨市延寿县第二中学2020_2021学年高二数学9月月考试题
黑龙江省哈尔滨市延寿县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下面对算法描述正确的一项是（)A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．图示程序的功能是()错误!A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a＝(）A．0 B．2C．4 D．144．用秦九韶算法求多项式f（x）＝208＋9x2＋6x4＋x6当x ＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．225．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋46．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本7．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人,高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(）A．5 B．4C．3 D．28．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…，800,利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始,依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行）1622779439495443548217379323788735209643 84263491648442175331572455068877047447672176335025 8392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342 99660279545760863244094727965449174609629052847727 0802734328A．425 B．506C．704 D．7449。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(含答案解析)
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（）.A ．450B ．360C ．400D ．3202．袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球，抽到的不是白球的概率为（）A ．23B ．35C ．415D ．253．已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．64．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（）A ．7378A A B ．8387A A C ．3737A A D ．3838A A 5．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002， ，649，650．从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A ．007B ．253C ．328D ．8606．某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）A ．19B ．29C ．13D ．237．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（）A ．21种B ．27种C ．30种D ．42种8．7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含21x 项的系数为（）A ．420B ．420-C ．560D ．560-二、多选题9．班长统计了去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法正确的是（）A ．阅读数量最大的是8月份B ．阅读数量最小的是1月份C ．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本D ．每月阅读数量超过40的有4个月10．若()102100121021,x a a x a x a x x -=++++∈R ，则（）A ．2180a =B ．01a =-C ．012101a a a a ++++= D ．1002410132a a a a -++++=11．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）A ．可组成300个不重复的四位数B ．可组成156个不重复的四位偶数C ．可组成120个能被5整除的不重复四位数D ．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301三、填空题12．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有种.(用数字填写答案)13．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.14．如图，一只蚂蚁位于点M 处，去搬运位于N 处的糖块，M N →的最短路线有条．四、解答题15．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．(1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；(3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．16．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，AD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥，E 是AD 的中点，M 是PB 的中点.(1)证明：//EM 平面PCD ；(2)若PA AD =，AB =，求平面PCE 与平面PBC 夹角的余弦值.17．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是111,,324，答对第二题的概率分别是112,,233.(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.18．已知二项式2(3)n x x +，若它的二项式系数之和为128.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.19．在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，AB AD ⊥，BC PA ⊥，222AB AD CD ===，PA 2PC =，E 是线段PB 上的点．(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23若存在，求出BEBP的值；若不存在，请说明理由．参考答案：题号12345678910答案B BCDACDDACAC题号11答案ABD1．B【分析】根据分层抽样定义计算即可.【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为328103603240⨯=+.故选：B.2．B【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果.【详解】从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有15种取法，其中取到白球的有9种取法，所以取到白球的概率为93155=.故选：B 3．C【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4．D【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有33A 种不同的站法，然后我们把他们捆绑为一个整体，再对这个整体和其他7个人全排列，共有88A 种不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为3838A A ，故D 正确.故选：D5．A【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次，读取到第4个即可.【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，故A 正确.故选：A.6．C【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A 、B 、C ，画树状图如下，共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，故他们选择同一项活动的概率是3193=，故选：C ．7．D【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解．【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D 8．D【分析】由二项展开式的通项公式解出r 的值，进而可得2x -项的系数.【详解】由题意知，7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为()()777317721C 212C rrr r r r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令732r -=-，得3r =，故含21x项的系数为()343712C 1635560-=-⨯=-.故选：D.9．AC【分析】根据折线图提供的数据，对选项中的结果进行判断.【详解】对于A ，根据折线统计图可知，课外阅读数量最多的是8月份，所以A 正确；对于B ，根据折线统计图可知，课外阅读数量最少的是6月份，所以B 不正确；对于C ，课外阅读数量最多为83本，最少为28本，83−28=55，所以C 正确；对于D ，每月课外阅读数量超过40的月份有2月，3月，4月，5月，7月，8月，共6个月，所以D 不正确.故选：AC.10．AC【分析】利用二项式定理求2x 的系数判断A ，对x 分别赋值0,1,1x x x ===-，判断B ，C ，D.【详解】由1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，则()882210C 21180a =-=，因此A 正确；取0x =，则100(01)a -=，即01a =，因此B 不正确；取1x =，则1001210(21)a a a a -=++++ ，即012101a a a a ++++= ①，因此C 正确；取1x =-，则10012031(21)a a a a a ---=++- ，即031012103a a a a a -+=-+ ②，①+②得1002410132a a a a +++++= ，因此D 不正确；故选：AC.11．ABD【分析】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A 中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B 中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B 中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D 中分首位为1、2、⋅⋅⋅依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可.【详解】A 选项，有1355C A 300=个，故A 正确；B 选项，分为两类：0在末位，则有35A 60=种；0不在末位，则有112244C C A 96=种，所以共有6096156+=种，故B 正确；C 选项，分为两类：0在末位，则有35A 60=种；5在末位，则有1244C A 48=种，所以共有6048108+=种，故C 错误；D 选项，首位为1的有35A 60=个；前两位为20的有24A 12=个；前两位为21的有24A 12=个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，故D 正确；故选：ABD.12．72【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论.【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂，分组方法是35，24，1，此时的涂法有34A 种，若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂，分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有442A 种，所以总的涂色方法有43442A A 72+=.故答案为：72.13．25/0.4【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2514．150【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解．【详解】由题可知，M N →的最短路线必经过,A B 两点，则M A →的最短路线有25C 种，A N →的最短路线有25C 种；M B →的最短路线有15C 种，→B N 的最短路线有35C 种；因为M N →的最短路线有M A N →→和M B N →→，所以M N →的最短路线有22135555C C C C 1010510150⨯+⨯=⨯+⨯=种，故答案为：150．15．(1)0.68(2)20；20.32(3)23.86【分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.【详解】（1）由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+⨯=，10.320.68-=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68.（2）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =，估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）(0.020.060.075)40.62++⨯= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=，由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y --=--，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86.16．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）利用中位线定理证得四边形DEMN 为平行四边形，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得平面PCE 与平面PBC 的法向量，进而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）取PC 中点N ，连接,MN DN ，,M N 分别为,PB PC 的中点，//MN BC ∴，12MN BC =，因为四边形ABCD 是矩形，E 是AD 的中点，所以//DE BC 且12DE BC =，故//DE MN 且MN DE =，则四边形DEMN 为平行四边形，//EM DN ∴，又EM ⊄面PCD ，DN ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD .（2）设2AD =，则2,PA AD AB ===因为PA PB ⊥，所以由勾股定理得2PB =，则PAB 是等腰直角三角形，又AD ⊥平面PAB ，故以AB 中点O 为原点，过点O 和AD 平行的直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -，则0,0)P，2)C，(0,E，B ，则(2)PC =uu u r，(PE =，(PB =uu r，设1(,,)n x y x = 是面PCE的一个法向量，则有11200PC n z PE n z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取3x =-，则1,y z ==-1(3,1,n =--，设2(,,)n a b c = 是面PBC的一个法向量，则有22200PC n c PB n ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1a =，则1,0b c ==，故()21,1,0n = ，记平面PCE 与平面PBC 夹角为θ，则1212121cos cos ,3n n n n n n θ⋅==== ，所以平面PCE 与平面PBC 夹角的余弦值13.17．(1)16(2)518(3)91216【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是13，答对第二题的概率分别是12，甲考生通过某校强基招生面试的概率为1111326P =⨯=.（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为2111236P =⨯=，∴甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：11115(1)(1)666618P =⨯-+-⨯=.（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为3121436P =⨯=，∴甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：11191'1111666216P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．(1)1011945,2835x x (2)12135103,5103x x 【分析】（1）由题意由二项式系数和求得7n =.从而得二项式系数最大的是37C 与47C ，由二项式展开式的通项公式可得答案；（2）设第r 项的系数最大，列出不等式组，解之可得系数最大的项,由此可得答案.【详解】（1）21287n n =∴= ，通项为727177C (3)3C r r r r r r r T xx x -++==.二项式系数最大的项为第4，5项，3423104324114757C (3)945,C (3)2835T x x x T x x x ====.（2）设展开式中系数最大的项为第r 项，则11771177C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，1,2,3,4,5,6r =，37!7!!(7)!(1)!(8)!7!37!!(7)!(1)!(6)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⨯⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩，解得56r ≤≤，因为1,2,3,4,5,6r =，所以=5r 或6r =，所以展开式中系数最大的项为第6，7项，2251261261367757C (3)5103,C (3)5103T x x x T x x x ====.19．(1)证明见解析(2)存在，且13BE BP =【分析】（1）首先证明⊥BC 面PAC ，可得出PC BC ⊥，利用勾股定理的逆定理可证得PC AC ⊥，再结合线面垂直的判定定理，即可证明PC ⊥面ABCD ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，设BE BP λ= ，且01λ≤≤，求平面EAC 的法向量n ，利用1cos ,3AP n = ，即可求得λ的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：在ADC △中，1AD DC ==，90ADC ∠= ，所以AC =在ABC V中，AC =，2AB =，45BAC ∠= ，由余弦定理有：2222cos45422222BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⨯⨯= ，所以，222AB AC BC =+，所以90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥，又因为BC PA ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以，BC PC ⊥，在PAC中：AC ，2PC =，PA =B 2=B 2+B 2，所以，PC AC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABCD ，所以PC ⊥面ABCD .（2）解：因为PC ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、CP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则有0,0,0、()0,2,0B 、1,1,0、()1,0,0D 、()1,1,2P ，设()()1,1,2,,2BE BP λλλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则(),2,2AE AB BE λλλ=+=- ，()1,1,0AC = ，()1,1,2AP = ，设(),,n x y z = 为面EAC 的法向量，则有()2200n AE x y z n AC x y λλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取x λ=-，则y λ=，1z λ=-，所以，平面EAC 的一个法向量为(),,1n λλλ=-- ，由题意可得2cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅ ，可得23210λλ+-=，因为01λ≤≤，所以13λ=.因此，存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23，且13BE BP =.。
广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。
河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(含答案解析)
河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线40x +=的倾斜角是（）A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．已知直线3230x y +-=和60x my +=互相平行，则它们之间的距离是（）A B C D ．33．已知圆M 经过()()1,1,2,2P Q -两点，且圆心M 在直线:10l x y -+=，则圆M 的标准方程是（）A ．22(2)(3)5x y -+-=B ．22(3)(4)13x y -+-=C ．22(3)(2)25x y +++=D ．22(3)(2)25x y ++-=4．已知椭圆22:1169x y C +=的左､右焦点分别为12F F ､，点P 在椭圆C 上.若1290F PF ∠=，则12F PF 的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．95．已知圆22:1C x y +=，则经过圆C 内一点12,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且被圆截得弦长最短的直线的方程为（）A ．3650x y --=B ．3650x y -+=C ．10x y -+=D ．6340x y -+=6．动点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和M 到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，则动点M 的轨迹方程是（）A ．2212516x y +=B ．221259x y +=C ．221169x y +=D ．221167x y +=7．已知M 是椭圆221259x y +=上一点，则点M 到直线:45400l x y -+=的最小距离是（）A B ．41C D 8．已知,M N 是椭圆22:12516x y C +=上关于原点对称的两点，F 是椭圆C 的右焦点，则2||6MF NF +的取值范围为（）A ．[]2,26B ．[]51,52C ．[]51,76D ．[]52,76二、多选题9．已知直线:1l y =+，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的一个方向向量为(B ．直线l 的一个法向量为)C ．若直线:10m x +=，则l m ⊥D ．点)到直线l 的距离是210．已知直线()():34330l m x y m m ++-+=∈R ，圆C 是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（）A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有两个点到直线l 的距离都等于1C ．若圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，过直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知椭圆22:1128x y C +=的长轴端点分别为12,A A ，两个焦点分别为12,,F F P 是C 上任意一点，则（）A ．椭圆CB ．12PF F 的周长为)41C ．12PA A △面积的最大值为D ．120PF PF ⋅>三、填空题12．方程22121x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是.13．已知圆22:4250M x x y y -+--=，若圆M 关于直线()2300,0ax y b a b ++-=>>对称，则11a b+的最小值为，此时直线的一般式方程为.14．椭圆222:12x y C b +=的左､右焦点分别为12F F ､，点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，直线l 过左焦点1F ，且与椭圆C 相交于,A B 两点，若直线l 的倾斜角为60o ，则2ABF △的面积等于.四、解答题15．（1）已知直线l 过定点()1,2，且其倾斜角是直线330x +=的倾斜角的二倍，求直线l 的方程；（2）已知入射光线经过点()3,4M -，且被直线:30l x y -+=反射，反射光线经过点(2,6)N ，求反射光线所在直线的方程.16．已知直线()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=，点A 和点B 分别是直线12,l l 上一动点.(1)若直线AB 经过原点O ，且3AB =，求直线AB 的方程；(2)设线段AB 的中点为P ，求点P 到原点O 的最短距离.17．已知圆C 过三点()()()1,3,2,2,4,2-.(1)求圆C 的标准方程；(2)斜率为1的直线l 与圆C 交于,M N 两点，若CMN 为等腰直角三角形，求直线l 的方程.18．已知圆()222:(1)0C x y r r -+=>在椭圆22:14x E y +=里.过椭圆E 上顶点P 作圆C 的两条切线，切点为,A B ，切线PA 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M .(1)求r 的取值范围；(2)是否存在圆C ，使得直线MN 与之相切，若存在求出圆C 的方程，若不存在，说明理由.19．已知两个定点()),A B.动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积是1 3-(1)求动点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；(2)记（1）中P点的轨迹为曲线C，不经过点A的直线l与曲线C相交于,E F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是13-，求证：直线l恒过定点.参考答案：题号12345678910答案D ACDBBCCACDACD题号11答案ABD1．D【分析】根据直线的斜截式以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】直线40x ++=的方程可化为33y x =-，可知倾斜角[)0,πα∈，且满足tan 3α=-，因此5π6α=.故选:D.2．A【分析】先利用平行直线的关系求出参数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可.【详解】因为3230x y +-=和60x my +=互相平行，所以326m =⨯，解得4m =，所以直线640x y +=可以转化为320x y +=，由两条平行直线间的距离公式可得13d =.故选：A 3．C【分析】先设圆心M 的坐标为(),a b ，根据点在线上及两点间距离得出3,2a b =-=-，再求出半径，得出圆的标准方程.【详解】设圆心M 的坐标为(),a b .因为圆心M 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=①，因为,P Q 是圆上两点，所以MP MQ =，根据两点间距离公式，有=，即330a b --=②，由①②可得3,2a b =-=-.所以圆心M 的坐标是(3,2--），圆的半径5r MP ===.所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=.故选:C.4．D【分析】在12F PF 中，结合椭圆定义及勾股定理可得1218PF PF ⋅=，进而求得12F PF 的面积.【详解】由椭圆定义可得121228,2PF PF a F F c +=====又因为1290F PF ∠=，所以由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即()22121212228PF PF PF PF F F +-⋅==，解得1218PF PF ⋅=，则12F PF 的面积为12192PF PF ⋅=.故选：D.5．B【分析】根据题意，由条件可得过点P 且弦长最短的弦应是垂直于直线CP 的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.【详解】设经过圆C 内一点P 且被圆截得弦长最短的直线的斜率为1k ，直线PC 的斜率为2k ，由题意得，22032103k -==---，过点P 且弦长最短的弦应是垂直于直线CP 的弦，则121k k ×=-，得112k =，所以过P 点且被圆截得弦长最短的直线的方程为211323y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即3650x y -+=.故选：B.6．B【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.【详解】设d 是点M 到直线25:4l x =的距离，根据题意，动点M 的轨迹就是集合45MF P M d ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭.45=，将上式两边平方并化简，得22925225x y +=，即221259x y +=.所以动点M 的轨迹方程为221259x y +=.故选：B.7．C【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解.【详解】解法一：设与直线:45400l x y -+=平行的直线l '为450x y m -+=，联立2210,259450,x y x y m ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩整理得222582250x mx m ++-=，令()22Δ644252250m m =-⨯⨯-=，解得25m =或25m =-，所以l 与l '距离d =，当25m =时，41d ==最小，即点M 到直线:45400l x y -+=的最小距离是41.解法二：设椭圆上点()5cos ,3sin M θθ，则点M 到直线l距离d ===其中43cos ,sin 55ϕϕ==，当()cos θϕ+=1-时，min d ==，故选:C.8．C【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得210MF NF a +==，即可得22||6(3)51MF NF MF +=-+，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由对称性和椭圆定义可知210MF NFa +==，其中3c =，故()2222|6|610||660(3)51MF NF MF MF MF MF MF +=+-=-+=-+，又因为()3,0F ，设点(),M m n ，则55m -≤≤，所以22222221693||(3)(3)166********m m m MF m n m m ⎛⎫=-+=-+-=-+=- ⎪⎝⎭，当5m =时，2||MF 取得最小值，最小值为4，当5m =-时，2||MF 取得最大值，最大值为64，所以[]2,8MF ∈，故当3MF =时，2||6MF NF +取得最小值，最小值为51，当8MF =时，2||6MF NF +取得最大值，最大值为255176+=，故2||6MF NF +的取值范围是[]51,76.故选：C.9．ACD【分析】由直线方向向量的定义判断选项A ；由直线法向量与方向向量的位置关系判断选项B ；由斜率关系得两直线垂直判断选项C ；求点到直线距离判断选项D.【详解】对于A ，因为直线:1l y =+的斜率k =所以直线l 的一个方向向量为(，故A 正确；对于B ，直线l 的一个方向向量为(，由110≠，所以)不是直线l 的一个法向量，故B 错误；对于C ，因为直线:10m x ++=的斜率k '=且1kk '=-，所以直线l 与直线m 垂直，故C 正确；对于D，点)到直线l 的距离2d =，故D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】对A ：整理得()()33430m x x y +++-=，根据直线恒过定点求解；对B ：求出圆心到直线的距离判断1d <，由此判断有四个点满足条件；对C ：根据两圆外切求得m ；对D ：设(),94P t t --，写出以PC 为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点.【详解】对于()()A,:34330l m x y m m ++-+=∈R ，整理得()()33430m x x y +++-=，所以30,3430,x x y +=⎧⎨+-=⎩解得3,3,x y =-⎧⎨=⎩所以直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确；对于B ，当0m =时，直线l 为3430x y +-=，则圆心()0,0C到直线l 的距离315d ==<，而圆的半径为2，所以圆C 上有且仅有4个点到直线l 的距离都等于1，故B 错误；对于C ，曲线22680x y x y m +--+=整理得22(3)(4)25x y m -+-=-，当25m <时，曲线是圆心为()3,4的圆，圆C 的圆心()0,0，半径为252=+，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以16m =，故C 正确；对于D ，当13m =时，直线l 的方程为490x y ++=，设(),94P t t --，则以PC 为直径的圆的方程为222294(94)224t t t t x y +++⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22940,x t x y y ty +-+++= 圆22:4,C x y +=∴两圆的公共弦的方程为4940tx ty y -+++=，整理得()40,4940,940,y x y x t y y -=⎧-++=∴⎨+=⎩解得16,94,9x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.【详解】椭圆22:1128x y C +=的长半轴长a =，短半轴长b =2c ，对于A ，椭圆C的离心率为c e a ==A 正确；对于B ，12PF F的周长为)2241a c +=+，故B 正确；对于C，122A A a ==()000,,P x y y ≤12PA A △面积的最大值为121122A A ⋅=C 错误；对于D ，设()()()220012002,,2,0,2,0,83P x y F F y x -=-，()()1002002,,2,PF x y PF x y =-∴--=--，因此2221200014403PF PF x y x ⋅=-+=+> ，故D 正确.故选：ABD.12．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解.【详解】由题意可得20,10,21,k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得312k <<，故实数k 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭.13．922370x y +-=【分析】根据圆的标准式方程可得圆心，即可根据直线经过圆心()2,1得42a b +=，利用不等式乘“1”法即可求解.【详解】圆22:425M x x y y -+-=，整理得22(2)(1)10x y -+-=，则M 的圆心为()2,1，由题意得直线230ax y b ++-=过圆心()2,1，所以42a b +=，又0,0a b >>，所以()11111141944152222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++⋅=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝.（当且仅当12,33a b ==时，取“”=）.此时直线方程为27033x y +-=，即2370x y +-=.故答案为:9;23702x y +-=.14【分析】根据点1,2P ⎛ ⎝⎭可得椭圆方程，即可得l的方程为)1y x =+，联立直线与椭圆方程得韦达定理，利用弦长公式以及点到直线的距离公式，结合面积公式即可求解.【详解】已知点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆222:12x y C b +=上，可得21b =，所以()()121,1,0,1,0c F F =-，又因为直线l的斜率tan60k == l的方程为)1y x =+.设()()1122,,,A x y B x y，联立方程组)221,1,2y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得271240x x ++=，可得1212124,77x x x x +=-=，所以127AB x x =-==，点()21,0F到直线0l y -=的距离d =所以21142277ABF S AB d ==⨯ .故答案为:7.15．（120y +-=；（2）660x y --=【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程，（2）利用点关于直线对称可得()1,0M '，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程.【详解】（1）因为直线330x +=π3，故所求直线的倾斜角为2π3，直线斜率为k =∴所求直线的方程为)21y x -=-20y +--=.（2）设()3,4M -关于直线:30l x y -+=对称的点为(),M a b '，则41,33430,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得1,0,a b =⎧⎨=⎩因为反射光线经过点()2,6N ，所以NM '所在直线的斜率为60621k -==-，故反射光线所在直线方程为()61y x =-，即660x y --=.16．(1)43y x =(2)110【分析】（1）根据平行线间距离公式可得AB 和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解,（2）根据12,l l 互相平行，可得P 的轨迹为873402x y -++=，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）将()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=化为一般式方程，得，12:3470,:3480l x y l x y +-=++=,则两直线平行，故两直线的距离为3d AB ==，因为3AB =，所以AB 和两直线垂直.因为12,l l 的斜率为34-，所以43AB k =.又因为直线AB 经过原点O ，所以直线AB 的方程为43y x =.（2）因为12,l l 互相平行，所以线段AB 的中点P 的轨迹为873402x y -++=，即1340,2x y ++=所以点P 到原点O 的最短距离即点O 到直线13402x y ++=的距离，因为点O 到直线13402x y ++=110=.所以点P 到原点O 的最短距离为110.17．(1)22(1)(2)25x y -++=(2)20x y -+=或80x y --=【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解，（2）根据等腰直角三角形的性质，可得2d r =，结合点到直线的距离即可求解.【详解】（1）设所求的圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=，其中2240D E F +->，把已知三点坐标代入得方程组()2222221330,22220,42420,D E F D E F D E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪++++=⎪⎩解得2,4,20.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆C 的一般方程为2224200x y x y +-+-=.故圆C 的标准方程为22(1)(2)25x y -++=.（2）设直线l 的方程为：0x y c -+=，因为CMN 为等腰直角三角形，又由（1）知圆C 的圆心为()1,2-，半径为5.所以圆心到直线的距离52d =⨯=解得2c =或8-，所以直线l 的方程为：20x y -+=或80x y --=.18．(1)03r <<(2)存在满足条件的圆C，其方程为22(1)x y -+=【分析】（1）根据22||TC r >，即可根据点点距离公式求解，（2）根据点斜式得直线PM ，PN 方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线MN 的方程为()()22231510x r y r +-+-=，利用MN 与圆相切，即可列方程求解.【详解】（1）设()00,T x y 为椭圆E 上任意一点，则220014x y +=，022x -≤≤，则()222200003||1224TC x y x x =-+=-+.则222003348222244333r x x ⎛⎫⎛⎫<-+=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故0r <<（2）由题意可知()0,1P ，设()()1122,,M x y N x y ､，因为1r <，故切线,PM PN 的斜率都存在.又直线PM 的方程为1111y y x x -=+，即为()11110y x x y x --+=，同理直线PN 的方程为()22210y x x y x --+=.r =，故()()()2222221111112111x x y y r x r y +-+-=+-.而()221141x y =-，故()()()()()22222111114112111r y x y y r y --+-+-=-，又因为11y ≠.故()()2211233510x r y r +-+-=，同理：()()2222233510x r y r +-+-=.故直线MN 的方程为()()22231510x r y r +-+-=.若直线MN 与圆Cr =，令220,3t r ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.故329434390t t t -+-=，即()()2193490t t t --+=.故1t =或179t +=或179t -=，因为220,3t r ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，所以171,9t t +==不满足，故存在满足条件的圆C ，其方程为2217(1)9x y --+=【点睛】关键点点睛：根据直线PM ，PN 方程，利用相切以及点到直线距离公式可得12,x x 满足()()22231510x r y r +-+-=，可得直线MN 的方程为()()22231510x r y r +-+-=，即可利用相切以及距离公式列方程求解.19．(1)P 的轨迹方程为(2213x y x +=≠，即点P的轨迹是除去()),两点的椭圆(2)证明见解析【分析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，把点P 满足的条件用坐标表示，列出方程，再化简即可得轨迹方程，再结合轨迹方程说明点P 的轨迹.（2）设()()1122,,,E x y F x y ，对直线EF 有无斜率分情况讨论.当直线EF 有斜率时，设直线EF ：y kx b =+，与椭圆方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得12x x +与12x x ⋅，结合13AE AF k k ⋅=-，确定,k b 的关系，可确定直线EF 所过的定点.【详解】（1）设点P 的坐标为(),xy ，因为点A 的坐标是()，所以直线AP的斜率AP k x =≠，同理，直线BP的斜率BP k x =≠，(13x-≠，化简，得点P的轨迹方程为(2213x y x+=≠，即点P的轨迹是除去()),两点的椭圆.（2）设()()1122,,,E x yF x y如图：①当直线l斜率不存在时，可知1221,x x y y==-，且有22111313AE AFx yk k⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得10x=或1x=当1x=则直线l经过A点，与题意不符，舍去，故110,1x y==±，此时直线l为0x=，②当直线l斜率存在时，设直线:l y kx b=+，则2213AE AFk k+++++⋅=-.联立直线方程与椭圆方程2213y kx bx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y可得：()222316330k x kbx b+++-=，根据韦达定理可得：2121222633,3131kb bx x x xk k--+==++，所以2222222233613131336333131b kbk kb bk kb kbk k--⋅+⋅+++=---+++，222222336311,3k b k b b k --++=-221=-，所以20b =，则0b =或b =，当b =时，则直线(:l y k x =+恒过A 点，与题意不符，舍去，故0b =，直线l 恒过原点()0,0，结合①②可知，直线l 恒过原点()0,0，原命题得证.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题.。
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河南省洛阳市第一高级中学2016-2017学年高二数学9月月考试题 理（无
答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合A ＝{x |x 2-x-6<0}，B ＝{x |24-+x x >0}，则A ∩B 等于( ) A ．(-2,3) B ．(2,3) C ．(-4,-2)
D ．(-4,3) 2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )
A.32
B.332
C.3＋62
D.3＋394
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( )
A ．27
B ．36
C ．45
D ．54
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425
5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2
C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )
A ．(0，π6]
B ．[π6，π)
C ．(0，π3]
D ．[π3
，π) 6．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4
的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 7．已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若平面上的三点A ，B ，C 共线，且OA →＝a 4OB →＋
a 97OC →，
则S 100＝( )
A ．100
B ．101
C ．50
D ．51
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
(3n －13)，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值是( )
A ．S 3
B ．S 4
C ．S 5
D ．S 6
9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＋3－S m ＋2＝8(S m －S m －1)(m >1，m ∈N)，且a 6＋4a 1＝S 22，则a 1＝( )
A.16
B.14
C ．4
D ．2 10．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝51－3n ，设T n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋14|(n ∈N *)，则当T n 取得最小值时，n 的值是( )
A ．10
B ．12
C ．15
D ．17
11．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项和为910
，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
12．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－
1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设S n 是数列{b n }的前n 项和，b n ＝lg a n ，则S 99的值是( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．4
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.数列{a n }中，a 1=0,a 1 n =1
33+-n n a a ,则a 2016=_______ 14．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.
15.若.A ＝{x |y ＝
5x ＋1－1}，B ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x ＋m )}，A ∩B ＝(－1,4]，则m 的取值范围是________．
16.已知函数f (x )＝sin x －a (0≤x ≤5π2
)的三个零点成等比数列，则log 2a ＝________.
三．解答题（17题10分，18~22每题12分）
17.解关于x 的不等式 ax 2－2x-2-a<0(a>-1)
18．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．
19.在等比数列{a n }中，a 1+a 6=33,a 3a 4=32,且a 1 n <a n (n ∈N *)
(1)求数列{a n }的通项公式 (2)若b n =|log 2a n |,求数列
n b 的前n 项和
20．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23
a n . (1)求a 2，a 3；
(2)求{a n }的通项公式．
21．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3
n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
22．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．
(1)证明：数列{1a n
}是等差数列； (2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋12·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。