离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间序列的傅里叶变换
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e
z
j
200 150
100
p
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0
j
F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
《信号与系统》
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
2.1离散时间序列的傅里叶变换DTFT
jω
n = −∞ π
−
∑ x ( n )e
∫ π X (e
jω
∞
− jωn
)e
jωn
dω
2、时移与频移性 4、时域卷积定理 6、帕斯维尔定理 8、周期性
DTFT的周期性
由序列的傅里叶变换公式：
X ( e jω ) =
n取整数，可以把频率分成两部分 ω → ω + 2πM
n = −∞
∑ x(n)e − jωn
-28-
序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分 x(n) = xe (n) + xo (n)
傅里叶变换
= X ( e jω ) DTFT = [ x ( n )] DTFT [ xe ( n ) + xo ( n )] = DTFT [ xe ( n )] + DTFT [ xo ( n )] =
n = −∞
∞ *
( )
( )
( ) ( )
DTFT性质应用举例
例2.1.7
P38
-19-
时域卷积定理
设 则
y (n ) = x(n ) * h(n )
Y (e jω )=X (e jω )H (e jω )
该定理说明，两序列卷积的DTFT，服从相乘的 关系。对于线性时不变系统输出的DTFT等于输 。 入信号的 DTFT乘以单位脉冲响应DTFT。因此 求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算， 也可以在频域求出输出的DTFT，再作逆DTFT 求出输出信号。
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶 函数,虚部是奇函数。
-25-
一般序列 分解为 其中
= x ( n ) xe ( n ) + xo (n )
离散时间傅里叶变换对
离散时间傅里叶变换对介绍离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是信号处理中常用的一种变换方法，它将时域中的离散信号转换到频域中，通过分析信号在频域上的特性，可以揭示信号中隐藏的信息。
离散时间傅里叶变换对作为傅里叶变换对的一种形式，在数字图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。
一级标题DFT的定义离散时间傅里叶变换对将离散时间域序列x[n]（n为整数）转换为离散频率域序列X[k]（k为整数）。
其数学定义如下：其中，N为序列的长度，k为频率序列的索引。
DFT的计算复杂度较高，通常采用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速计算。
DFT的性质DFT具有一些重要的性质，它们对于理解和应用DFT至关重要。
1.线性性质：DFT是线性的，即对信号的线性组合的DFT等于DFT的线性组合。
2.循环移位性质：对于输入信号x[n]，将其向右循环移位m个单位，得到新的信号x_m[n]=x[(n-m) mod N]，则x_m[n]的DFT等于x[n]的DFT乘以旋转因子的m次幂。
3.对称性质：当输入信号x[n]是实数序列时，其DFT具有共轭对称性，即X[k]=X^*[N-k]。
4.周期性质：对于周期为N的信号，其DFT为离散频率域上的周期函数，频率分辨率为1/N。
DFT的应用DFT在信号处理中有着广泛的应用，如下所示：1.频谱分析：通过计算信号的DFT，可以将信号转换到频域中，从而分析信号中各个频率成分的强度和相位，揭示信号的频域特性。
2.信号压缩：DFT可以将时域信号转换为频域信号，在频域中进行处理，然后再通过逆变换将频域信号转换为时域信号，实现信号的压缩。
3.滤波器设计：DFT可以用来设计滤波器，通过将滤波器的频率响应转换为时域响应，从而得到滤波器的系数。
4.信号恢复：通过对信号的部分采样数据进行DFT，可以恢复出信号的完整信息，实现信号的恢复。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法
傅里叶系数标号k ：0～N
数字频率ω：0～2π 模拟频率 f ：0～fs
0
N /2
0
0
fs /2
0
s /2
北京邮电大学信息与通信工程学院
N k (变换系数标号) 2 （弧度，数字频率） fs f （Hz，模拟频率） s （弧度/秒，模拟角频率）
24
DFS 定义：几点说明
频率成份
直流分量：
N 1
北京邮电大学信息与通信工程学院
11
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N
e W 1W k0
N 1 k(rm)
离散傅里叶级数包含了 0 到 (N-1)fs/N 的频率，因而 N 个傅里叶级数的系 数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。
N 1
当 k=0 时， X (0) x(n)WN 0n x(n) ，此时得到的傅里叶级数的系数
称为信号的直流分量（DnC0 Componenn0t）X，(0)/ N 是信号的平均值；
交流分量：
其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为 信号的交流分量。
k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs/N，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数
第6章 离散时间信号的傅里叶变换
响应
考虑：
如果任一离散时间信号 f [n] 可以表示为:
f [ n]
k
n ak zk
(LTI的特性)
y[n]
k n a H ( z ) z k k k
信号
？
系统
响应
6.2
离散时间周期信号的傅立叶级数
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
对于离散时间信号 f [n] ,若存在非零的正整数 N，对 任意 n值有: f [n N ] f [n] 则称 f [n] 是以 N为周期的周期信号. 令 0 2 / N 则离散时间复指数信号 以 N为周期的 .
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
推导系数 ak 的计算公式 :
N 1 k 0
f [n] ak e jk 0n
两端乘以
e
jm0 n
并在一个周期 N内关于n求和
j ( k m ) 0 n
f [n]e
n 0
N 1
jm0 n
ak e
n 0 k 0
4
2
0
2
4
信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
1.周期性
F ( 2 ) F ()
离散时间信号的傅立叶变换 F () 是以 2 为周期的：
2.线性
F f [ n ] F1 () , 如果 1 F f2[n] F2 () ,则
0
2
信号
？
系统
响应
相位谱
a sin() () tan { } 1 a cos()
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
离散时间傅里叶变换
实验二 离散时间傅里叶变换一． 实验原理经由正，逆离散时间傅里叶变换表达的信号傅里叶表示式是信号分析的一个关键部分。
下面方程分别是分析方程和综合方程。
X(e jw )=∑x[n]e -jwn x[n]=1/2πωππωωd e e X n j j ⎰-)(类似地，当L TI 系统用于滤波的时候，作为冲击响应离散时间傅里叶变换的频率响应，提供了L TI 系统简洁的描述。
离散时间傅里叶变换X(e jw )是w 得周期复值函数,周期总是2π,并且基周期通常选在区间[],ππ-上。
在应用MA TLAB 时，可计算性是个问题。
对离散时间傅里叶变换DTFT 来说有两个问题: ① DTFT 的定义对无限长信号时有效的； ② DTFT 是连续变量ω的函数；在MA TLAB 中，任何信号向量必须是有限长度的，仅此就使第1点成为问题。
因此不可能使用MA TLAB 计算无限长信号的DTFT 。
有一个值得注意的例外情形，当能从变换定义是推导出解析式并只是计算它时，可以使用MA TLAB 计算无限长信号的DTFT 。
例如在x[n]=a n u[n]，x[n]具有有理的DTFT 的情形下。
第二个问题是频率抽样问题。
MA TLAB 擅长有限网络点上计算DTFT 。
通常选取足够多的频率以使绘出的图平滑，逼近真实的DTFT ，对计算有利的最好选择是在（-π,π）区间上一组均匀隔开的频率，或者对共轭对称变换选择[0,π]区间。
采用上述抽样方法，DTFT 式变成X(e j k w)=X(e N k j/2π)=∑-=-1 0)/2(][L nnNkjenxπ,k=0,1,…,N-1DTFT的周期性意味着在-π≤ω＜0区间上的数值是那些对k＞N/2的数值。
因为上式是在有限数量的频率点ωk=2πk/N处计算，并在有限范围内求和，因此它是可计算的。
由于信号长度必须是有限的，这个求和式不适用于x【n】=a n u【n】的情形。
若是不考虑DFT的物理性质，而只注重于DTFT用样本，可计算的上式恰是N点离散傅里叶变换。
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X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
表明 X (e j ) 是虚奇函数.
❖若 x [n ] x e[n ] x o [n ]， 则
x e[n ] RX ( e ej)
x o [n ] jIm X (ej)
说明:这些结论与连续时间情况下完全一致.
34
6. 时域差分与累加
x[n]X(ej)
x [n ] x [n 1 ] ( 1 e j )X (e j )
X(ej) x[n]ejn
非
n
周
期
序 列
x[n]2 1 2X(ej)ejnd
离 散 周
xn
akejk0n,
kN
2 0N
期 序 列
X(ej)2k ak(2N k)
46
常用信号的离散时间傅里叶变换
1 2 、 、 x x [ n [] n ]a |n |, a |a n u | [ 1 n ],|1 a a |1 e 1 j 1 1 a a e e j a 1 j e j 1 2 a 1 c o s a 2 a 2
复习知识点：
x(t) akejk0t k
ak
1 T
x(t)ejk0td
T
t
x n
jk2 n
ake N
k N
ak
1 Nn
jk2n
xne N
N
1
h（t）
h [n]
其中： H jk 0 h t e jk0t dt
t
H e jk0
h n e jk0 n
n
n
r
x[r]ejrkX(ejk)
r
x(k)[n]X(ejk)
信号的反转：
x[n]X(ej)
36
x(
k
)[n]
x[n
k
],
0
n是k的整倍数。 其它n
返回
37
38
例5.9 作为时域扩展性质在确定傅里叶变换应用中的一个例子
39
8. 频域微分特性 x[n]X(ej)
dX(ej)
nx[n]j d
离散时间傅里叶变换
4
§5.1 非周期信号的表示： 离散时间傅里叶变换
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研 究离散时间非周期信号的频域分解问题。
5
即 ~ x[n] N x[n]
从DFS的分析中得出DTFT。
周期信号 ~x[n]
非周期信号 x[n] 6
此时 X(ej) x[n]ejn n
这是一个无限项的求和，存在着一个收敛条件：
条件1：
| x[n] |
n
条件2：
| x[n] |2
n
21
§5.2 周期信号的DTFT DTFT for periodic signals
对连续时间信号,有 2（ 0） F 1ej0t, 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT
m n x [m ] 1 X (e e j j )X (ej0)k ( 2k)
n
例:累加器：u[n] [m] m
[n]1
u[n]
11ej
(2k)
k
35
7. 时域与频域的尺度变换
x(k
)[n]
x[n
k
],
0
n是k的整倍数。
图5.13
其它n
X (k)(ej) x(k)[n ]ej n x (k)[r]e kj rk
1. 傅里叶变换
~x[n]
jk2n
ake N
kN
ak
1
~x[n]ejk2Nn
NnN
ak＝ N 1n x[n]ejk2N （ n 当 N ）
7
当N 时， ~ x[n] x[n]
2
N
0
d,
k 2
N
ak
1
jk2n
x[n]e N
Nn
Nkax[n]ejn令X(ej)
n
X(ej) x[n]ejn n
40
9. 帕斯瓦尔定理
若 x[n]X(ej)
则
|x[n]|21 |X(ej)|2d
n
2 2
——非周期信号
能量
对比：
N 1n N |x[n]|2k N |ak
|2
——周期信号 功率
说明：一个周期信号中的平均功率等于它各次谐波
分量的平均功率之和。
41
42
43
复习上节课内容：
第四章第五节
h（t）
h [n]
其中： H jk 0
h t e jk 0t dt
t
H e jk0
h n e jk 0 n
n
N
k
M
akjYj bkjkXj M
k0
k0
Y (j)X (j)H (j)
bk j k
H j
k 0 N
ak j k 45
k 0
第五章：
离 散
离散时间傅里叶变换 信号的频谱
X (ej)Nk,aa kN 1X (ej)| k2 N
8
X(ej) x[n]ejnX(ej(2)) n
重要结论：
X (e j ) 为周期信号，周期为2。
9
~ x[n]kN akejk 2 N nkNN 1X (ejk 2 N )ejk 2 N n
1 0 N 2
3 、矩形脉冲: xn 1
0
n N1 n N1
X(ej)
N1
ejn
sinN ( 1
1)
2
nN1
sin
2
4. x[n][n]
X(ej) 1
5 、 x n c o s0 n X ( e j ) ( 0 2 k ) ( 0 2 k )
6 、 x n [ n k N ] k X ( e j ) 2( 2k )
x[n]X(ej)
x[n n 0] X (ej)ej n 0
ej0nx[n] X(ej( 0))
29
例：求 x[n] (1)n[n2k] 的X (e j )
k0 2
解： [n] 1 [n2k] ej2k
x[n] (1)2k[n2k]
k0 2
X(ej)(1)2kej2k
1
k0 2
1(1ej)2
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：
显然有
ak
1 N
sin
k
N sin
(2
N1 k
1)
,
N
1 N
sin
N1
1 2
k0
sin k0 2
ak N1 X(ej)2Nk
2. 与对应的连续时间矩形脉冲比较
x (t )
1,
0
,
t T1 t T1
离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：
k
N k N
47
§5.4 时域卷积性质
•若
x[n]X(ej)
h[n]H(ej)
•则
x [n ]* h [n ] X (ej)H (ej)
卷积特性是频域分析LTI系统的理论基础。
48
例:累加性质的证明
证明：
n
x[k]x[n]*u[n]
k n
x[k]X(ej)U(ej)
k
X(ej) 11 ejk (2k)
26
例： xn [nkN]
均匀脉冲串
k
a kN 1nN x[n]ej k0nN 1N n 0 1[n]ej k0nN 1
X(ej)2 (2k)
Nk
N
比较:与连续时间情况下对应的一致.
•
•
x[n] •1 •
•
X (e j )
2 N
2N N 0 N 2N n
4 2
N
N
0 2 N
4