江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考数学试题(word版有答案)
南京市六校联合体2020届高三上学期期初测试 数学(含答案)
1272Pr int i S Whilei S S ii i EndWhileS ←←<←⨯←+南京市六校联合体2019-2020学年度第一学期期初测试 高三数学 2019．08．09Ⅰ试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是________． 2．已知复数z 满足1i 1z z-=-+，则z =________． 3．某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生________人．4．已知函数)0)(4cos()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为4，则ω=________． 5．若“存在R x ∈，使042<-+a ax x ”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 6．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． 7．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．8．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线离心率为________．9．已知实数,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则函数3z x y =+的取值范围为________．10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为________．11．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 12．已知0a >，0b >，且113a b b a+=-，则b 的最大值为________． 13．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为________．14．已知函数330()ln 0x mx m x f x x m x ，，，⎧--≤=⎨->⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，2sin 3A =，A π(,π)2∈． （1）求sin2A 的值；（2）若1sin 3B =，求cos C 的值．。
2020高考一模联考数学试卷原卷及解析卷完整版
南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．9．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．ED B 1A 1C 1CBAB xy OPA M NlCB AD东北如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a 的取值范围[；故答案为：[．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==， 联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)mm ≠±（， 则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， B xy O PAM NlCB AD东北故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=，则点T λ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）xe x x x xf y )23()()(2+-=⋅=ϕ， 所以xe x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根， 故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-， 解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+， 由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-， 将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<， 又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0， 因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134，解得a 1＝12，d ＝12，于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3kT k＝3，舍去；当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q ，所以T 3kT k ＝1＋q k ＋q 2k ，因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2， 因此T 3kT k ≥1＋2＋4＝7，于是T k ＝32，T 3k ＝212，因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去）， 从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q 得b 1＝32所以b n ＝3×2n－2（3）因为S n ＝n 2＋n4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN *当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)； 当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }， 且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]， 所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，c n ＝n2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n2，n 为偶数．。
2020届江苏省南京市六校联合体高三上学期一模联考数学试题(word版)
南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学I试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A = {1 , 2, 3, 4}, B = {x|x2—4x v 0}，则A A B= _____________ .答案为：{1 , 2, 3}.22•已知复数z —— 2i ,则复数z的共轭复数为1 i答案为：1 i3. 某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_____________ .答案为：80.4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 .WhileS—2S+1End WhilePrint S（弟4瞇）答案：模拟演示：答案为：15.5•甲、乙两人依次从标有数字1, 2, 3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为____________ .答案为：1.32 26 •若抛物线y310x的焦点到双曲线笃L 1的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为a 16答案为：537.已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且当 寸f (x) =>/x + a , a 为实数，则f (— 4)的值是 ____________ .答案为：2 .&已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,等比数列｛b n ｝前n 项和为T n ,若S 918 , S 13 52，且b s a s ,b 7 a 7，则-的值为 ________________ .T2答案为：39•已知 f(x) sin(2x -)，若 y f (x )(0-)是偶函数，则 _________________ .32答案为：乞.1210. 已知矩形 ABCD 中AB = 4, BC = 3，若沿对角线 AC 折叠，使得平面 DAC 丄平面BAC ,则三棱锥 D —ABC 的体积是 ___________ . 答案为24 .511. ___________________________________________________________________________ 已知实数 x , y 满足条件xy + 1 = 4x + y 且x > 1，则(x + 1)(y + 2)的最小值是 __________________________________ . 答案为：27.12. 若直线丨：ax y 4a 0上存在相距为2的两个动点A, B,圆O : x 2 y 2 1上存在点C ,使得 ABC为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数a 的取值范围为2 213.如图，在平面直角坐标系 xOy 中,已知点A( 1,0)，点P 是圆O ： x y4上的任意一点，过点B(1,0)作直线BT 垂直于AP ,垂足为T ,贝U 2PA+3PT 的最小值是h V*p1 f2 2 222解：由中线长公式可得 PO . 2( PA PB ) AB ,贝y PA PB =102答案为:33T ，T ]cosP —PB~~，则cosP2 PA PB PA PB在Rt PBT 中，PT PBcosP，即PTPA所以2 PA 3PT2PA 9 2 .18 6. 2 (当且仅当PAPA3 2时取等)214.已知函数g(x) 2 x2bx, h(x) mx x 4，若不等式g(x) b 1 0(x R)恒成立，h(x) 4为奇函数，函数f(x)g(x),x t恰有两个零点，则实数h(x),x tt的取值范围为解：若不等式g(x) b1, 0(x R)恒成立,即x2 bx b1…0恒成立，则厶b24(b1),0, 解得：b 2,故g(x) 2 x2x,若h(x) 4为奇•函数，2 2则mx x 4 4 mx x 4 4，解得：m 0, 故h(x) x 4 ,结合图象：t [ 2 , 0)U【4 , ),故答案为：[2 , 0)U【4 , ) •、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写画出函数g(x) , h(x)的图象，如图所示：在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分 14分）2 已知a , b , c 分别为 ABC 三个内角A , B , C 的对边，且tan A -. 4（1）若 a 6 , b 5（2）若 sin A B解得c2，求边c 的长;1010 ，解:(1)在 ABC 中， , 3由 tan A - 可知A (0,-4 2sin A 33sin A由 cos A 4 解得 5 sin A cos 2 A 1 cos A45o46 c 16i52c14 - 5c222c22(2)由 （0三）且B (0,),,2)，又 sin A B(0,—)，则 cos所以cos A B1 sin 2(A B) 3 .10 10由余弦定理得a 2 b 2 c 2 2bccosA ,求tan B 的值.103 1tan A tan(A B) 43 11 tan A tan(A B) 13 134 316. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，AC 丄BC , A 1B 与AB 1交于点D , AQ 与AC 1交于点E .求证: (1) DE //平面 B 1BCC 1； (2) 平面A 1BC 丄平面A 1ACC 1.所以tan A Bsin(A B) 1 cos(A B) 3所以 tan B tan A A Bx直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值.证明：(1)直三棱柱 ABC — A I B I C I 中，A^ / / BB 1, 所以四边形 ABB 1A 1是平行四边形，且 ABI AB i DE , 所以D 为A ,B 中点， 同理E 为AC 中点， 所以 DE//BC ，又因为DE 平面B 1BCC 1，BC 平面B 1BCC 1， 所以 DE// B 1BCC 1 .(2)直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，C 1C 平面ABC , 因为BC 平面ABC ，所以C 1C BC ,因为 AC BC , AC I C 1C C , AC 、C 1C 平面 A 1ACC 1, 所以BC 平面AACG , 又因为BC 平面ABC , 所以平面A BC 平面A ACG . 17. (本小题满分14分)2 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : — +1( a b 0)的左、右顶点分别为 A , B .已a b3 \_知AB 4，且点(e,.5)在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率. 4(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上异于A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP , BP 于点M , N ,求证:5第解：(1)因为AB 4，所以2a 4，即a 2 ,又 b 2 c 2 a 2 4 , 联立方程组，解得b 2=3 ,2 2故椭圆方程为―+^ 1.4 3(2)设P 点坐标为(s,t ), M ,N 的横坐标均为 m( m 2),则直线AP 的方程为y1 (x 2), s 2故 M (m,—(m 2)),s 2故直线BM 的斜率k 1t(m 2) (s 2)(m 2)t(m 2) t(m-2) = t 2又点(e,3・,5)在椭圆上，故4e 2 + 45 a 2 + T6b 2同理可得直线AN 的斜率k 2t(m-2)(s 2)(m+2)故 k 1k 2(s 2)(m 2)(s 2)(m+2) = s24又因为P点在椭圆上，故有2 .2s t+4 31，即t2 3 23(s4),因此有故直线AN与直线BM的斜率之积是定值.18.(本小题满分16分)如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l (一条南北方向的直线)上的点A、B处，两观察哨所相距32 n mile ,在海岸线东侧有一半径为 6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东53的方向上，与甲观察哨所相距2・.193 n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2.193 n mile;(1)求暗礁中心点C到海岸线I的距离;(2 )某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向y私艇进行追C一丿(1)倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行•问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围.解：（1）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC3 4 AB2 BC2 2AB BC cos ABC，即（2 197）2 322 BC2 2 32 BC 5 6，整理得5BC2 192BC 1260 0,542解得BC 30或BC 42（舍去），5过点C作CD垂直于I，垂足为D，在直角三角形CDB中，CD=BCsin ABC 30 - 24，5故暗礁中心点C到海岸线I的距离为24n mile •（2）由（1）可知AD 14, BD 18 ,以点C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24 , 14 ）, D （24 , 0）,暗礁区域边界所在的圆的方程为x2y236,假设缉私艇在点T （x,y）处拦截成功，则丛 ,DT则点T满足方程•（x=24）（y 14）,J（x 24）2 y2化简得（x 24）2（y壬；）2（占）21 1要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，只需要圆（x 24）2（y -4^）2（TT）2与圆x2y236外离，1 1故（0 24）2（0 2141）2（单^）6,4 46整理得135 42 184 0,解得-或一（舍去）.5 45答：（1）暗礁中心点C到海岸线I的距离是24n mile ;6（2）当-时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的3海域内拦截成功.21 2，19. (本小题满分16分)x 已知函数 f(x) x 3 3x 2 2x , g(x) tx , t R ,(x)—.x(1)求函数y f(x) (x)的单调增区间；(2)令h(x) f (x) g (x)，且函数h(x)有三个彼此不相等的零点 0, m , n ,其中1① 若m n ，求函数h(x)在x m 处的切线方程；2② 若对 x [m , n]，h(x) 16 t 恒成立，求实数t 的取值范围.解：(1) y f (x)(x) (x 2 3x 2)e x ,所以 y ' (x 2 x 1)e x , 1 15令y 0得到x 或x2所以y f(x) (x)的单调增区间是( 丄 5),(!5,).2 2 (2)由方程h(x) 0得m,n 是方程x 2 3x (2 t) 0的两实根,1 故m n 3,mn2 t ,且由判别式得t -, 41 ①若 m n ，得 m 1,n 2，故 mn2 t 2，得 t 0 , 2因此 h '(1)1 , 故函数h(x)在x 1处的切线方程为y x 1. ②若对任意的x [m, n]，都有h(x) 16 t 成立，所以h(x)max 16 t ,3因为m n 3,m n ，所以0 mn 或m 0 n 2 ， t 3当 0 m n 时，对 x [m, n]有 h(x) max 0 , 2所以016 t , 解得t 16 ,1又因为mn 2 t 0 ,得t 2，则有一t 2 ；4当 m 0 n 时，h'(x) 3x 2 6x (2 t),一 _ 2则存在h(x)的极大值点x1(m,0)，且t 3x i 6x1 2 ,由题意得h(为)为3 3为7 (2 t)x, 16 t ,2 3 2将t 3为6为2代入得X i 3x i 3x i 7 0 ,进而得到(X i 1)38，得1 x1 0,2又因为t 3x16x1 2，得2 t 11 ,1综上可知t的取值范围是—t 2或2 t 11 .420. (本小题满分16分)5 13等差数列｛a n｝公差大于零，且a2+ a3=勺a?2+ a32=才，记｛a.｝的前n项和为S n,等比数列｛b n｝各项均为正数，公比为q，记｛b n｝的前n项和为T n.(1 )求S n；(2)若q为正整数，且存在正整数k,使得T k, T3k€ ｛S2, S5, S6｝，求数列｛b n｝的通项公式;(3 )若将S n中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列｛c n｝,求｛c n｝的一个通项公式.解：(1)设｛a n｝公差为d, d> 0,因为a2+ a3= 8, a22+ a32=乎,7{S2, S5, S6} = {|,字,21}T3k当q = 1 时，T k= kb1, T3k= 3kb1,云=3,舍去;8所以a1 + d + a1 + 2d= 5,212，13⑻ + d)2+ ⑻ + 2d)2盲，因为q € N *且q M l ,所以q 》2因此1 + q k + q 2k = 7,解得q k = 2或一3 (舍去)，于是n(n — 1) 1 2为 n 2+ n 4T k = b 1(1 - q k ) 1 — q ,T 3k = b 1(1-q 3k ) 1 — q ,所以 T 3k T k 1 + q k + q 2k ,因此 T 3k T k >1 2+ 4 = 7, 于是 T k = 3,T 3k =k从而 q = 2, k = J 代入 T k =得 b 1 =- 所以 b n = 3 X2n —2 (3)因为S n = 为整数项，所以n = 4k 或者4k — 1，k € N * 当 n = 4k — 1, k € N *时，S n = k(4k — 1)；当 n = 4k , k € N *时，S n = k(4k + 1);因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列 { c n }, 且 k(4k — 1)v k(4k + 1)v (k + 1)[4(k + 1)— 1]v (k + 1)[4(k + 1)+ 1],n + 1 所以当n 为奇数时，C n = (4疋■厂—1)_2n 2n 2+ n当 n 为偶数时，C n = 2*2n +1) = —2 ■；2所以 C n = c2+n-^2—, n 为偶数.1 1解得 a 1 = 2, d = 2,n + 1 2n 2 + 3n + 1- ；2n 2+ 3n + 1门为奇数,。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级第一学期期中检测试卷数学
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级第一学期期中检测试卷数学Ⅰ试题命题： 审核：一、填空题：本部分共14题，每题5分，满分70分。
1．设全集={25}U x Z x ∈-≤≤，若集合{}24A x Z x =∈≤，则=U C A __________．2．已知命题:4p x >，命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的__________条件（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）．3．命题“若20x x -≥，则2x >”的否命题是__________．4．函数y =log 7(x 2−4x +3)的定义域为__________．5．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，()25f x x x =-，则()()1f x f x ->的解集为__________．6．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =__________．7．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=__________．8．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为__________． 9．已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为__________． 10．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为__________．11．在△ABC 中，cos 2A+cos 2B+cos 2C<1，C ＝4π，则tan A +tan B 的最小值为__________． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF△BF ，当△ABF ＝12π时，椭圆的离心率为__________．13．已知圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是__________．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是__________．二、解答题：本部分共6题，满分70分。
江苏省南京市2020高三数学上学期期初联考试题(含解析)
江苏省南京市2020届高三数学上学期期初联考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤ 【解析】 【分析】根据交集定义直接求得结果.【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200. 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯=∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．【答案】13. 【解析】 【分析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.5.函数21log y x =+______．【答案】1[,)2+∞ 【解析】 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由21log 0x +≥，得12x ≥， ∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.6.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 考点：循环结构流程图7.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为53，则双曲线C 的方程为_______． 【答案】2212016x y -=.【解析】 【分析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程.【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+，解得：220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】 分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ== 本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9.函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3. 【解析】 【分析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果.【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10.在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______．【答案】14. 【解析】 【分析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q -=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果.【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=Q ，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q = 114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11.已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】(0，1). 【解析】 【分析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】()f x Q 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x Q 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=o Q ，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==o，即220016x y += 又PC =PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y +=Q 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式.13.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】 【分析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD uuu v ，AB u u u v表示出CD uuu v ，FA u u u v ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD =u u u v u u u v ，从而得到结果.【详解】作//FG AD ，交BD 于点GAED FEG ∆∆Q : GF EG AD DE ∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+== 又23BC AD =，可得：2DE EG = 3344DF DG EG DC DB EG ∴=== 2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB =++=++=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v Q()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22133********2FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 223122AB AD ∴=u u u v u u u v ，即223122AB AD =u u uv u u u v33AB AB AD AD ∴==u u u v u u u v 本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________.【答案】[32ln 2,)-+∞ 【解析】 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x <<，根据()()122f x f x +=即可得出122212ln x x x x +=-+，最后通过构造函数()()12ln 1g x x x x =-+>以及对函数()()12ln 1g x x x x =-+>的性质进行分析即可得出结果。
2020江苏南京高三一模数学试卷详解
一、填空题
（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合
，全集
，则
．
【答案】
【解析】 集合 集合 故答案为
，
，
．
．
2. 设复数
，其中 为虚数单位，则
．
【答案】
【解析】
，
，
∴
． 故答案为： ．
3. 学校准备从甲，乙，丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为
平面
，
与四棱锥
的
/
∴无论 位于何处， 到底面 的面积设为 ，
∴
，
而
．
∴
故答案为 ．
的距离都一样，不妨设为 ，将底面
10. 设函数 个最低点的横坐标为 ，则 的值为
的图象与 轴交点的纵坐标为 ．
， 轴右侧第一
【答案】
【解析】 由函数
函数过
，
的图象与 轴交点的纵坐标为 ，
，
，
．
由 轴右侧第一个最底点的横坐标为 ，
中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙ 与⊙ 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形
做圆柱的侧面
（接缝忽略不计）， 为圆柱的一条母线，点 ， 在⊙ 上，点 、 在⊙ 的一条直径
上，
，⊙ 、⊙ 分别与直线 、 相切，都与⊙ 内切．
（ 1 ） 求圆形铁皮⊙ 半径的取值范围． （ 2 ） 请确定圆形铁皮⊙ 与⊙ 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）
小值为四分之一图的切线与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一图的半径 ．
第一象限：
切线方程为：
．
/
第二象限： 第四象限：
2020年江苏省南京市新城中学高三数学理联考试题含解析
2020年江苏省南京市新城中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果执行右边的程序框图，输入=，那么输出的结果是（）A．9 B．3 C． D．参考答案：C略2. 已知函数是上的偶函数，且，当，则函数的零点个数（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D3. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．1 B． C ．D．参考答案：D略4. 函数的反函数是(A) (B)(C) (D)参考答案：答案：D5. 在△ABC中，若，则△ABC是………………………………（）A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形参考答案：B6. 已知为等差数列,若,则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合 , 则M∪N= （）A．{ x | x-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x<-1} D．{ x | x -2}参考答案：A【知识点】集合及其运算A1∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|-2＜x＜-1}，集合N={x|()x≤4}={x|2-x≤22}={x|-x≤2}={x|x≥-2}，∴M∪N={x|x≥-2}，【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．8. 设直线x=k 与函数的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为A．1 B． C．D．参考答案：D9. 已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P﹣ABC=V A﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．10. 如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A、 B、 C、 D、参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则f[f（﹣2）]=．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据解析式从内到外逐次求解．【解答】解：根据题意：f（﹣2）=22﹣1=3，所以，故答案为．【点评】本题考察函数求值，属基础题．关键是根据自变量选择对应的解析式．12. 设，定义P ※Q＝，则P※Q中元素的个数为 .参考答案：1213. 14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________．参考答案：（-7,3）14. 复数在复平面内对应的点位于第象限.参考答案：四15. （5分）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b=km（k∈Z，k≠0），我们称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示；在6=b（Modm）中，当，且m＞1时，b的所有可取值为．参考答案：2或3或4由两个数同余的定义，可得6=b（Modm）中，则称6﹣b=km（k是非零整数），即6=b+km，又∵，且m＞1，∴m是6的正约数，可得m=2、3或6①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；⑥当m=6时，根据定义不符合题意，舍去故答案为：2或3或416. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是参考答案：[－1，1]17. 圆C：的圆心到直线的距离是．参考答案：3圆C化成标准方程为，圆心为，到直线的距离，故答案为：3.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
南京市2020届高三数学上学期期初联考试卷附答案详析
f x1
1 f x2
1 2
x1
3 2
ln x2
11
f x1 f x2 2
1 2
x1
ln x2
1 2
x1 1 2 ln x2
x1 x2 1 2 ln x2 x2
g x 1 2 ln x x x 1
gx
1
2 x
gx 0
1
2 x
0
x2
gx 0
1
2 x
0
x2
gx 0
1
2 x
0
1 x 2
g x 1, 2
f
2
2 sin
2
2
2k k Z
f
x
2 sinቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
x
2k
2 sin
4
x
f x 2
4
x
4
2k1
4
x
5 4
2k1
k1 Z
x 8k1 1 x 8k1 5 k1 Z
q 1
S5 S2 7
5a1 2a1 7
a1
7 3
a1 1
q 1
S5 S2 a3 a4 a5 a3 1 q q2 7
a3 a1q2 1
q2 q 6 0 q 0
q2
a1
1 4
1 4
a3 a1q2 1
5
1 2
AOB 120 OA OB 2
2020届江苏省南京市高三年级第一学期期中模拟试卷 数学试题含答案全解全析
绝密★启用前2020届江苏省南京市高三年级第一学期期中模拟试卷数学 答案全解全析数学Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. (本小题满分5分) 【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =． 2. (本小题满分5分) 【答案】 5【解析】z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5． 3. (本小题满分5分) 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N ，即为(]2,3．4. (本小题满分5分) 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于0.9的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5. (本小题满分5分) 【答案】4860【解析】由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860． 6. (本小题满分5分) 【答案】6 3【解析】由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63． 7. (本小题满分5分)【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=．8. (本小题满分5分) 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =．所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=． 9. (本小题满分5分) 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-． 10. (本小题满分5分) 【答案】{}1,3【解析】由2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪>⎩≤≤由(23)()f a f a -=，得23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -⎧⎨--⎩≤≤≤≤解得1a =或3a =．11. (本小题满分5分) 【答案】72+． 【解析】如图所示AF 的斜率为3，所以60BAF ∠=︒且AF ＝AB ，所以ABF ∆是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以1234BF c BF c ==，， 所以c AF 721=，由双曲线的定义可知c c a 4722-=，所以双曲线的离心率为327+．12. (本小题满分5分) 【答案】15．【解析】令AB BC CA ===，，c a b ，则11tan tan 32A C ==，， 所以tan tan(π)tan()1B AC A C =--=-+=-，所以3π4B =，由正弦定理可得22||,||510==c a ，所以15⋅=a c ．y xO ABF 第11题13. (本小题满分5分)．【解析】由2PB PA ≥得224PB PA ≥，所以2244(1)PC PO --≥，所以224PC PO ≥，设()P x y ，，所以22816033x y x ++-≤，即22464()39x y ++≤，点P 在圆964)34(22=++y x 上及圆内，所以EF 为直线截圆所得的弦，所以EF =3392．14. (本小题满分5分)【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a --+≤10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]--． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α．所以原式＝4．（2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2．所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-．所以原式＝10-． 16．(本小题满分14分) 【答案与解析】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC . 又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ， 而DE ∩PO ＝O ，,DE PO ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE . 又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG . 则FG 为△P AD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ， 又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形， 因此BF ∥EG .又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ,所以BF ∥平面PDE . 由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ， 而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE .A BCDPM（第16题）O于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PDE ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等，所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ， 因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.17．(本小题满分14分) 【答案与解析】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin sin()sin 33OC CD x x ===ππ-（注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得sin 3OC x =km，sin()33CD x π=- km ． 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=⨯+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，． （2）记()2cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-， 令()0f x '=，得6x π=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值． 即()2)66f a ππ=⨯．答：（1）y 关于x 的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为 (0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元． 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点， 所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上．（2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=， 当10y =时，直线AT 的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．BCAl 3l 2l 1 图1D E所以直线AB 过定点()10-，． ②设33()C x y ，,44()D x y ，，则O 到AB的距离d =AB =由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-，于是AB CD =，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD ．19．(本小题满分16分) 【答案与解析】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增， 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤．（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减；（ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减． 综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减； 当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增； 在(上单调递减．②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a<-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤， 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； （ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增； 在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x=-，． 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-， 32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．下面证明10<，也即证：3427b a ->．因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在． 综上所述，A =∅． （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增， 所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤，则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥，也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． 20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0． 所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)．(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bp n ＝q n ．令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． 当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解． 综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}． 由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个．数学Ⅱ卷（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。
江苏南通市2020届高三学校第一次大联考数学试题含附加题及参考答案
2020届高三基地学校第一次大联考数学 I参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 球体的体积公式34π3V R =球体，其中R 为球体的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}101B =-，，，则AB = ▲ ．2． 已知复数z 满足10i z z =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4． 若样本数据3，4，5，x ，y 的平均数为4，且12xy =， 则此样本的方差为 ▲ ．5． 从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10 的概率为 ▲ ．6． 现有一个半径为3 cm 的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为3 cm 的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为 ▲ cm ．7． 已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=+>的图象关于点π(0)2，对称，则ω的最小值为▲ ．8． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ≠，323a a =，则105S S 的值为 ▲ ． 9． 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线C ：22(0)x py p =>在点1x =处的切线为（第3题）l ．若l 与该抛物线的准线的交点横坐标为732，则p 的值为 ▲ ． 10． 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()log 2(1)f x x =+．则满足不等式2(2)40f a a -+>的实数a 的取值范围是 ▲ ． 11． 已知x ，y 为正实数，则292y x x x y++的最小值为 ▲ ． 12． 在ABC ∆中，已知π3A =，3AB =．若D 为BC 中点，且72AD =，则AC AD ⋅=▲ ．13． 在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：224x y +=的直径．若与圆O 外离的圆1O ：222(6)(8)(0)x y r r -+-=>上存在点M ，连接AM 与圆O 交于 点N ，满足BMON ，则半径r 的取值范围是 ▲ ．14． 已知函数2()(1)1f x x m x =-+-与()ln 22g x x x m =--的零点分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，BC BD ⊥．E 为CD 的中点，O 为BD 上 一点，且AO ⊥平面BCD ． 求证：（1）BC平面AOE ；（2）平面ABD ⊥平面AOE ．（第15题）16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，所对边分别为a b c ，，．已知sin sin 2B Ca Bb +=． （1）求角A 的值； （2）若π1cos()64B +=，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(0)F，点1()2A ，在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆O ：222x y a +=，连接FA 并延长交圆O 于点B ，H 为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆C 和圆O 于点P ，Q （P ，Q 均在x 轴上方）．连接PA ，QB ，记PA 的斜率为1k ，QB 的斜率为2k ．①求21k k 的值； ②求证：直线PA ，QB 的交点在定直线上．（第17题）18．（本小题满分16分）某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中4AB =百米，2AD =百米，半圆形池塘的半径为 1 百米，圆心O 与线段AB 的中点重合，半圆与AB 的左侧交点为E ．该农场计划分别在AE 和CD 上各选一点P ，Q ，修建道路A P Q C →→→，要求 PQ 与半圆相切．（1）若 60QPE ∠=︒，求该道路的总长；（2）若AP ，PQ 为观光道路，修建费用是4万元/百米，CQ 为便道，修建费用是 1 万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值．19．（本小题满分16分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2n n n S Aa Ba C =++（A B C ，，为常数）对任意n *∈N 恒成立．（1）若2nn a =，求A B C ，，的值；（2）若16A =，12B =，13C =，且1n a >． ①求数列{}n a 的通项公式；②若数列{}n b 满足212n an n b b +=，且238b b =，求证：数列{}n b 为等比数列．（第18题）20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x a x x =-，（a ∈R ，0a ≠），1()()gx x x=-+（0x >）． （1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求a 的值； （2）记()()()F x f x g x =-．①若在区间(]0e ，（e 为自然对数底数）上至少存在一点0x ，使得0()0F x <成立，求a 的取值范围；②若函数()F x 图象存在两条经过原点的切线，求a 的取值范围．2020届高三基地学校第一次大联考数 学 II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4–2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为4，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为2,2x s y s ⎧=⎨=⎩（s 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，求弦AB 的长．C ．[选修4–5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式x a b -<的解集为{}24x x <<，【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在某次数学测验中，学号为(1234)i i =，，，的四位同学的考试成绩{}()90929698f i ∈，，，，且满足(1)f ≤(2)f ≤(3)f ≤(4)f ．（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；（2）设四位同学中恰有X 位同学的考试成绩为96分，求随机变量X 的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）已知2012(1)()n n n x a a x a x a x n *+=+++⋅⋅⋅+∈N ．（1）若215a =，求n 的值； （2）求01(1)nkn k kS a ==-∑的值．。
江苏省南京市2020届高三上学期期初联考试卷数学试题 (含解析答案)
江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算 解析：(﹣1，0] 2．已知复数z ＝3i1i-+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 答案：﹣2 考点：虚数解析：z ＝223i (3i)(1i)i 4i 34i 22i 11i (1i)(1i)1i 2----+-+====-+++--，所以则z 的虚部是﹣2． 3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．答案：200考点：统计，抽样调查 解析：2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 答案：13考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是1263÷=． 5．函数21log y x =+的定义域为 ． 答案：[12，+∞) 考点：函数的定义域解析：由21log 00x x +≥⎧⎨>⎩，解得12x ≥，所以原函数定义域为[12，+∞)．6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S ＝1＋1＋3＋5＋7的值，所以S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为 ． 答案：2212016x y -= 考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a ，0)，渐近线方程为4y x a=±，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：216a +，即可得方程216a +＝45，解得a 2＝20，所以双曲线C 的方程为2212016x y -=． 8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．答案：32考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2．所以22S 63S 42R R ππ==圆柱球． 9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是 ．答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A ＝2．由12•2πω＝4，可得4πω=．由五点法作图可得4π×2＋ϕ＝2π，∴ϕ＝0，函数()2sin()4f x x π=．由于函数在[2，5]上是减函数，x ＝2时，()f x ＝2，x ＝5时，()f x ＝2-，故n ﹣m 的最小值是5﹣2＝3． 10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q=，且527S S =+，则首项1a 的值为 ． 答案：14考点：等比数列解析：因为527S S =+，所以3457a a a ++=，则2341()7a q q q ++=，将121a q =代入可得：260q q +-=，因为q ＞0，所以q ＝2，从而首项1a 的值为14． 11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x ＜0时，()(1)f x x x =-，可得()f x 在(﹣1，0)单调递减；由()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，可得()f x 也是区间(﹣1，1)上的减函数．因为2(1)(1)0f m f m -+-<，所以2(1)(1)f m f m -<-，可得如下不等式组：2211111111m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，得02022021m m m m <<⎧⎪<<-<<⎨⎪-<<⎩或，解得：01m <<．所以实数m的取值范围为(0，1)．12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是 ． 答案：113λ≤≤ 考点：圆的方程解析：首先求得PO ＝4，设P(x ，y )，则2216x y +=①，由PO ＝λPC ，得PO 2＝λPC 2，则x 2＋y 2＝λ2[(x ﹣8)2＋y 2]，化简得222220(1)()1664x y x λλλ=-+-+②，由①②得：2251x λλ-=，根据﹣4≤2251λλ-≤4，求得113λ≤≤． 13．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，BC 2AD 3=，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB AD＝ ．3 考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得CF 1FD 3=，21CD CB BA AD AD AB AD AD AB 33=++=--+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，2331132FA CD 2(CD AD)CD 2[(AD AB)AD](AD AB)AB 44332⋅=-⋅=--⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21AD AB AD 2-+⋅u u ur u u u r u u u r ，所以由AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2231AB AD AB AD 22⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD ⋅u u u r u u u r ，所以22AD 3AB =u u u r u u u r ，所以ABAD314．已知函数1ln 1()11122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是 ．答案：[32ln 2-，+∞) 考点：函数与方程 解析：设121x x <<，则12111ln 222x x +++=，得：1212ln x x =-，所以12x x +＝1﹣22ln x ＋2x ．令222()12ln g x x x =-+，2222()x g x x -'=，当1＜2x ＜2，2()g x '＜0，2()g x 在(1，2)上单调递减，当2x ＞2，2()g x '＞0，2()g x 在(2，+∞)上单调递增，∴当x ＝2时，2()g x 有最小值为32ln 2-，所以12x x +≥32ln 2-，即12x x +的取值范围是[32ln 2-，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥PC ．解：16．（本小题满分14分）在△ABC 中，A ＝34π，AB ＝6，AC ＝32（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．解：（1）∵A＝34π，AB＝6，AC＝32∴由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB·AC·cosA＝90∴BC＝310由正弦定理可得：232AC sin A102sin BBC10310⨯⋅===．（2）∵A＝34π，B为锐角∴cosB＝310由余弦定理：AD2＝AB2＋BD2﹣2AB·BD·cosB因为AD＝BD，所以BD＝AB102cos B3102==⨯所以S△ABD＝12AB·BD·sinB＝1106102⨯⨯⨯＝3所以△ABD的面积为3．17．（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得：224xy x-=，则242xyx+=，∵y x>，∴0＜x＜2∴y 关于x 的函数解析式242x y x+=，定义域为(0，2)．（2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知22222222454()2224x x d x y x x x+=+=+=++≥，当且仅当2x =时，正十字形的外接圆直径d 最小，则半径最小值为2d =，∴正十字形的外接圆面积最小值为2142ππ⨯=答：当x ． 18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 是AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 解：（1）∵左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0) ∴c ＝1， ∵椭圆离心率为12∴a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设B(0x ，0y )，根据B 是AP 的中点，得A(024x -，02y ) 由于A 、B 两点都在椭圆上，可得方程组：22002200143(24)4143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以B(74，8)或(74，8-)设直线l 的斜率为k ，则k＝8744-或8744--，即k所以直线l的方程为：4)6y x =±-，60y --=60y +-=． （3）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，则E(2x ，2y -) 设D 为直线AE 与x 轴的焦点，且D(d ，0) 根据A 、D 、E 三点共线得：1212y y x d x d -=--，解得122112x y x y d y y +=+ 设直线l 为：(4)y k x =-，其中k ≠0 则11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，代入122112x y x y d y y +=+得12121224()8x x x x d x x -+=+-22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(34)3264120k x k x k +-+-= 所以21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+则2222121221226412322424()34341328834k k x x x x k k d k x x k ---+++===+--+所以直线AE 与x 轴相交于定点(1，0)．19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+． （1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围． 解：（1）k 的值为﹣1； （2）①②20．（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值； （3）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，2x (1x ＜2x )是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 解：（1）∵()ln 2f x x x =-- ∴1()1f x x'=-则(1)0k f '== 又∵(1)1f =-∴曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程y ＝﹣1． （2）k ＝3． （3）所以实数k的最大值为152ln28．11。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级一模联考数学试卷解析版
1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a的取值范围[；故答案为：[．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy OPAM Nl9CA D联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大以最大航速航行．问：航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值10范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ；11（2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或，12当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．13（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212} 当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN * 当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。
江苏省南京市六校联合体2020届高三上学期期初测试数学试题(二卷)及参考答案
南京市六校联合体2019-2020学年度第一学期期初测试 高三数学 2019．08．09Ⅱ试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦． （1）求MN ；（2）若曲线1C ：122=-y x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=．（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X 的概率分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线)0(22>=ppxy上一点),43(mP到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．（1）求抛物线的标准方程；（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E．试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．参考答案21．A(1)1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)22 3.y x -=21．B(1)C :220x y x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+= 22．(1)110 (2)见解析23．(1)x y 62= (2)菱形。
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江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试
数学试题
2019．9
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ．
2. 已知复数i
i z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，
[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．
4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．
5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ．
6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116
2
22>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3
54 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ．
10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a =
，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ．
11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0<x 时，)1()(-=x x x f ．已知m 满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f ，则实数m 的取值范围为 ．
12. 已知圆O ：422=+y x 和圆O 外一点),(00y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO ＝λPC ，则 的范围是 ．
13. 如图，已知梯形ABCD ，AB// BC ，
32=AD BC ，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若⋅=⋅2，则=AD
AB ．
14. 已知函数11,212
1,ln 1)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧++=x x x x x f ，若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝AD ， 点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．
（1）证明：EF ∥平面 PAC ；
（2）（2）证明：AF ⊥PC ．
16．（本小题满分 14 分）
在ABC ∆中，4
3π=A ，6=AB ，23=AC . （1）求 sinB 的值；
（2）若点 D 在 BC 边上，AD ＝BD ，求△ABD 的面积．
17．（本小题满分 14 分）
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形 的宽和长都分别为 x ，y （单位：dm ）且 x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为 4dm 2．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求其定义域；
（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当 x 取何值时，所用到的圆形纸 片面积最小，并求出其最小值．
18．（本小题满分 16 分）
已知椭圆 C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为 F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为2
1，过点 P(4，0)的直线l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 B 是 AP 的中点，求直线l 的方程；
（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点．
19．（本小题满分 16 分）
在数列{}n a 中，已知 21=a ，)(31n f a a n n +=+ ．
（1）若 k n f =)(（k 为常数）， 143=a ，求 k ；
（2）若12)(-=n n f ．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记n a b n n )1(λ-+=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 2ln )(--=x x x f ．
（1）求曲线)(x f y = 在 x ＝1 处的切线方程；
（2）函数)(x f 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；
（3）记函数 )(221)(2x f bx x x g ---=，设 )(2121x x x x <⋅是函数)(x g 的两个极值点，若 23≥b ，且k x g x g ≥-)()(21恒成立，求实数 k 的最大值．
参考答案
一、填空题
1.]0,1(-
2.2-
3.200
4.31
5.)21[∞+，
6.17
7.1162022=-y x
8.23
9.3 10.41 11.)1,0( 12.131≤≤λ 13. 33 14.),2ln 23[+∞-
二、解答题
15. 略
16. （1）10
10sin =B ；（2）3=∆ABD S . 17. （1）)2,0(；（2）当x 取
554，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为π215+. 18. （1）13
42
2=+y x ；（2）05465=--y x 或05465=-+y x ；（3）略. 19. （1）1-=k ；（2）①略；②4
819≤≤λ. 20. （1）切线方程为1-=y ；（2）3=k ；（3）k 的最大值为
2ln 2815-.。