数列通项公式与求和的常见解法
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数列通项公式的十种求法
｛a n ｝的通项公式。
二、累加法
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3
(n 1)(n 2
n
、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n
， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開
a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是
1(n
丐，
3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
a n
1)3，进而求出数列
-，说明数列
2
解：由a n 1
a n 2n 1 得 a n 1
a n
2n 1则
a n (a
n
[2(n 2[(n 2^
a
n 1
) (a
n
1) 1) 1)n 2 1 a
n 2
)
1] [2(n 2) (n 2)
1] I 2 1] @3 a 2)
L (2 2 1) 1 (a 2 a 1
)
4
1) (2 1 1) 1
(n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式
为
a n
评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1
a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3
a 2) (a ?印)
a 1，即得数列｛a n ｝的通项公
式。
求数列｛a n ｝的通项公式。
1) 1
进而求出 a n
(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L
(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1，即得数列｛a n ｝的通
项公式。
已知数列｛a n ｝满足a n 1 3a n 2 3n 1，a 1
解：a n 1 3a n 2 3 1两边除以3 1，得—— 孑
3
3 3 3
则a n
例3已知数列｛a n
｝
满足a n 1 a n 2 3n
1, a “ 3，求数列｛為｝的通项公式。
n
a n 2 3
1 得 a n 1 a n 23
1
a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L
(a 3 a ?) (a 2 a 1) a 1 (2 3n 1 1) (2 3n 2 1) L (2 32 1) (2 31 1) 3
2(3n 1 3n 2 L 32 31
) (n 1) 3
23(1 3n1
) (n 1) 3
解 由 a n 1 3n 3 n 1 3 n 3 n 1 所以 a n 3n n 1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式
n
n
a n 1
a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 3
1，
3n a n 2 3n
3 1 1 n 1 ， a n 3n a
n 2)
1 (— (a n 2
(尹
I) L
a 1 3
尹）
六） 2(n 1) 3n 3n 1 3n
2
L
2(n 1)
3
3n 1) 2n 3
3n
Q n
3，求数列｛a n ｝的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
ni 3a n 2 31
转化为罷3
的通项公式，最后再求数列 ｛a n ｝的通项公式。 三、累乘法
解: 因为a n 1
2(n 1)5n a n , 31 3，所以a n
，则也 2(n 1)5n ，故
a n
a
n
a
n 1
1 a
3
a
2
a n
L
a 1
a n 1 a n 2
a 2 a
[2(n 1
1)511 ][2(n 2 1)5n
2
] L [2(2
1) 52][2(1 1) 51] 3
2n1[ n(n 1)L
3 2]
(n 1) (n
5
2) L 2 1
3
n(n 1)
3 2n1 5 2
n!
n(n 1)
所以数列｛a n ｝的通项公式为a n
3 2n 1 n!.
r a n a “ 1
a 3 a 2
出 亠 4 L 3
2
a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。
a n 1 a n 2
a 2 a 1
例6
( 2004年全国I 第15题，原题是填空题)已知数列 ｛a n ｝满足 a 1 1，a n a 1
2a ? 3a 3 L (n 1总 dn 2)，求｛a n ｝的通项公式。
解：因为 a n a-i 2a 2 3a 3 L (n 1)a n "n 2)
①
所以 a n 1 a 1 2a 2 3a 3 L (n 1)a n 1 na *
②
用②式—①式得a n 1 a n na n .
则 a n 1 (n 1)a n (n 2)
a n 1、 ,a n 1
a n 2、
,a n 2
an 3 .,
进而求出(-
3
3n1)
(3n1
(
3n2
尹)L
译3i )
彳，即得数列
a n 3n
例5已知数列
｛令｝满足a n 1
2(n 1)5n
a n ,印3，求数列｛a n
｝的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系
a n 1 2(n 1)5n
a n 转化为
a n 1
a n
2(n 1)5n ，进而求