最新椭圆与双曲线常见题型归纳教学文案
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例5．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ．…………………4分
（2）假若存在这样的k值，由 得 ．
∴ ． ①
设 ， 、 ， ，则 ②
…………………………………………8分
而 ．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则 ，即 ．…………………………………………10分
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线C交于M、N两点，当|MN|= 时，求直线l的方程.
例10解：（I）由已知，
…………………………………4分
……………………………………5分
即所求曲线的方程是： ……………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0,x2= 分别为M，N的横坐标）.………………9分
由
例11.解：（1）设
∵
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，化简得： ，
经检验，点 不合题意，∴点Q的轨迹方程为
（2）由（1）得 的方程为 ，
，
∵ ，∴ ，∴ 。
例12．P为椭圆 上一点， 、 为左右焦点，若
（1）求△ 的面积；
（2）求P点的坐标．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为 ，求直线l倾斜角的取值范围。
例8．解：（I）设椭圆方程为
解得a=3，所以b=1，故所求方程为 …………………………4分
（II）设直线l的方程为 代入椭圆方程整理得
…………………………5分
由题意得 …………………………7分
（Ⅲ）因为|P |＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴ 周长≤4＋|BF2|＋|B |≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时， 周长最大，最大值为8．
例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 (其中O为原点)，求k的取值范围。
……………………………………………………11分
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.…………………………12分
二．“基本性质型”
例11．设双曲线 的方程为 ，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线 上的任一点，引 ，AQ与BQ相交于点Q。
（1）求Q点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为 ， 、 的离心率分别为 、 ，当 时，求 的取值范围。
例2．解：（Ⅰ）解法一：易知
所以 ，设 ，则
因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值
当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值
解法二：易知 ，所以 ，设 ，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，
联立 ，消去 ，整理得：
∴
由 得： 或
又
∴
又
∵ ，即 ∴
故由①、②得 或
例3．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点， ．
∴ ． ③
将②式代入③整理解得 ．经验证， ，使①成立．
综上可知，存在 ，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分
2．“中点弦型”
例6.已知椭圆 ，试确定 的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线 对称。
例6.解：设 ， 的中点 ，
而 相减得
即 ，
而 在椭圆内部，则 即
例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，焦距为
解得 又直线l与坐标轴不平行………………………
故直线l倾斜角的取值范围是 …………………………12分
3．“弦长型”
例9．直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
例9(I)解：设点A的坐标为( ，点B的坐标为 ，
由 ，解得
所以
当且仅当 时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由 得
①来自百度文库
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离 所以 ③
③代入②并整理，得
解得， ，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
或 或 或 ．
例10．已知向量 =（0，x）， =（1，1）， =（x，0）， =（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量 = + ， = － ，且 // ，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
故曲线C的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ，
故 ．
若 ，即 ．
而 ，
于是 ，
化简得 ，所以 ．
例2．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且∠ 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围
（I）求该双曲线方程.
（II）是否定存在过点 ， ）的直线 与该双曲线交于 ， 两点，且点 是线段 的中点？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，说明理由.
例7.（1）
（2）设 ，直线： ，代入方程 得
（ ）
则 ，解得 ，此时方程为 ，
方程没有实数根。所以直线 不存在。
例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1 ，F2（0， ），且离心率 。
例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由已知得 故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ①设 ，则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为
例5．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 ．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
（Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且 ，求 的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求 的周长的最大值.
例3．解：（Ⅰ）易知 ，所以 ,设 ,则
因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值
当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值
（Ⅱ）设C（ ）， 由 得 ，又 所以有 解得
椭圆与双曲线常见题型归纳
一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解
1.向量综合型
例1.在直角坐标系 中，点 到两点 的距离之和为4，设点 的轨迹为 ,直线 与 交于 两点。
（Ⅰ）写出 的方程;（Ⅱ）若 ，求 的值。
例1.解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ，
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ．…………………4分
（2）假若存在这样的k值，由 得 ．
∴ ． ①
设 ， 、 ， ，则 ②
…………………………………………8分
而 ．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则 ，即 ．…………………………………………10分
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线C交于M、N两点，当|MN|= 时，求直线l的方程.
例10解：（I）由已知，
…………………………………4分
……………………………………5分
即所求曲线的方程是： ……………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0,x2= 分别为M，N的横坐标）.………………9分
由
例11.解：（1）设
∵
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，化简得： ，
经检验，点 不合题意，∴点Q的轨迹方程为
（2）由（1）得 的方程为 ，
，
∵ ，∴ ，∴ 。
例12．P为椭圆 上一点， 、 为左右焦点，若
（1）求△ 的面积；
（2）求P点的坐标．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为 ，求直线l倾斜角的取值范围。
例8．解：（I）设椭圆方程为
解得a=3，所以b=1，故所求方程为 …………………………4分
（II）设直线l的方程为 代入椭圆方程整理得
…………………………5分
由题意得 …………………………7分
（Ⅲ）因为|P |＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴ 周长≤4＋|BF2|＋|B |≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时， 周长最大，最大值为8．
例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 (其中O为原点)，求k的取值范围。
……………………………………………………11分
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.…………………………12分
二．“基本性质型”
例11．设双曲线 的方程为 ，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线 上的任一点，引 ，AQ与BQ相交于点Q。
（1）求Q点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为 ， 、 的离心率分别为 、 ，当 时，求 的取值范围。
例2．解：（Ⅰ）解法一：易知
所以 ，设 ，则
因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值
当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值
解法二：易知 ，所以 ，设 ，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，
联立 ，消去 ，整理得：
∴
由 得： 或
又
∴
又
∵ ，即 ∴
故由①、②得 或
例3．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点， ．
∴ ． ③
将②式代入③整理解得 ．经验证， ，使①成立．
综上可知，存在 ，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分
2．“中点弦型”
例6.已知椭圆 ，试确定 的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线 对称。
例6.解：设 ， 的中点 ，
而 相减得
即 ，
而 在椭圆内部，则 即
例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，焦距为
解得 又直线l与坐标轴不平行………………………
故直线l倾斜角的取值范围是 …………………………12分
3．“弦长型”
例9．直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
例9(I)解：设点A的坐标为( ，点B的坐标为 ，
由 ，解得
所以
当且仅当 时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由 得
①来自百度文库
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离 所以 ③
③代入②并整理，得
解得， ，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
或 或 或 ．
例10．已知向量 =（0，x）， =（1，1）， =（x，0）， =（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量 = + ， = － ，且 // ，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
故曲线C的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ，
故 ．
若 ，即 ．
而 ，
于是 ，
化简得 ，所以 ．
例2．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且∠ 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围
（I）求该双曲线方程.
（II）是否定存在过点 ， ）的直线 与该双曲线交于 ， 两点，且点 是线段 的中点？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，说明理由.
例7.（1）
（2）设 ，直线： ，代入方程 得
（ ）
则 ，解得 ，此时方程为 ，
方程没有实数根。所以直线 不存在。
例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1 ，F2（0， ），且离心率 。
例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由已知得 故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ①设 ，则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为
例5．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 ．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
（Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且 ，求 的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求 的周长的最大值.
例3．解：（Ⅰ）易知 ，所以 ,设 ,则
因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值
当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值
（Ⅱ）设C（ ）， 由 得 ，又 所以有 解得
椭圆与双曲线常见题型归纳
一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解
1.向量综合型
例1.在直角坐标系 中，点 到两点 的距离之和为4，设点 的轨迹为 ,直线 与 交于 两点。
（Ⅰ）写出 的方程;（Ⅱ）若 ，求 的值。
例1.解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ，