解分式方程的特殊方法与技巧
分式方程(组)的特殊解法
分式方程（组）的特殊解法同学们已经知道，把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程，是解分式方程的基本思路。
而对于一些特殊的分式方程（组），我们还可以根据它的特征，采取灵活多变的方法求解。
下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式方程（组）的若干特殊方法与技巧。
一、观察法例1、解关于x的方程：精讲与解：由限制条件和方程两边a，b及x的“对称”关系不难看出，当x=ab时等式成立。
而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方程的解是x=ab。
二、拆项法例2、解方程：。
精讲与解：先注意，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避开“去分母”而另辟新路。
原方程可化为，即1=8，这是不可能的，故原方程无解。
试一试：解方程：。
提示：将拆成。
三、添项法例3、解方程：。
精讲与解：原方程可化为。
即。
∴。
解之，得x=7。
经检验，x=7是原方程的解。
试一试：用拆项法来解此题。
四、消去常数法例4、解方程组：精讲与解：两个方程左边的分母都是x+y和，右边的常数都是3，因此，消去常数就能得到x、y之间更为明显的数量关系。
，得。
去分母、整理，得x=6y。
代入②，解之得。
故x=18。
经检验，是原方程组的解。
五、整体消元法例5、解方程组：精讲与解：常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。
如果把“”看成一个整体，代入消元，则更加简捷。
将①代入②，得，解之，得x=18。
把x=18代入①，得y=9。
经检验，是原方程组的解。
六、倒数法例6、解方程组：精讲与解：对每一个方程进行取倒数处理，原方程组可化为④+⑤+⑥，整理，得⑦⑦分别减去④、⑤、⑥，可得经检验，它们是原方程组的解。
该题应用两个数相等（0除外），这两个数的倒数也相等这一关系，对原方程组进行简化，从而找到了解题的简捷方法。
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法：例1.分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。
解：方程两边分别通分并化简，得：解之得：x＝6经检验：x＝6是原分式方程的根。
点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。
但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。
2. 换元法：例2.分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，解：解此方程此方程无解。
点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。
3. 拆项裂项法：例3.分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。
解：原方程拆项，变形为：裂项为：经检验：x＝1是原分式方程的解。
4. 凑合法：例4.分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。
解：部分移项得：∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根。
5. 构造法：例5.分析：来求解，而不用常规解法。
解：原方程可化为：6. 比例法：例6.分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等运算。
解：应用上述性质，可将方程变形为：【模拟试题】（答题时间：20分钟）解下列分式方程：1.2.3.4.5.【试题答案】1. 解：原方程变形为：即方程两边分别通分为：去分母得：化简得：解法2：原方程变变形得：两边分别通分得：去分母得：化简得：2. 由比例的性质可得：或解之得：经检验：是原分式方程的解。
3. 解：原方程可化为：化简得：∴原分式方程无解4. 原方程可变形为：设，则有∴原方程可化为：即解之得：当时，即，解得当时，即，解得经检验：，均是原方程的解。
分式方程的解法与应用技巧
分式方程的解法与应用技巧分式方程是含有分数的方程，其求解过程相对复杂。
本文将介绍分式方程的解法与应用技巧，帮助读者更好地掌握这一内容。
一、简单分式方程的解法对于形如$\frac{a}{x}=b$的简单分式方程，其中$a$和$b$为已知数，$x$为未知数。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将方程两边乘以$x$，消去分式：$a=bx$。
2. 将方程两边除以$b$，解出未知数：$x=\frac{a}{b}$。
例如，对于分式方程$\frac{2}{x}=3$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{2}{3}$。
二、复杂分式方程的解法对于形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的复杂分式方程，其中$a$、$b$、$c$、$d$和$e$为已知数，$x$为未知数。
我们可以通过以下步骤求解：1. 消去分母，得到线性方程：$ax+b=ecx+ed$。
2. 整理方程，将未知数放在一侧，已知数放在另一侧：$ax-ecx=ed-b$。
3. 合并同类项，得到线性方程：$x(a-ec)=ed-b$。
4. 解出未知数：$x=\frac{ed-b}{a-ec}$。
例如，对于分式方程$\frac{2x+1}{3x+2}=4$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{7}{10}$。
三、分式方程的应用技巧1. 化简分式：在处理分式方程时，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
例如，对于分式方程$\frac{3x^2+6x}{2x}=5$，我们可以化简分式为$\frac{3(x+2)}{2}=5$，然后继续求解。
2. 注意特殊解：有些分式方程存在特殊解。
例如，对于分式方程$\frac{x-1}{x}=0$，我们可以通过化简分式得到$x=1$，但这并不是方程的解，因为分母为0时方程无解。
3. 检验解的合法性：在求解分式方程时，我们应该检验解的合法性。
即将解代入原方程，检验等式是否成立。
如果不成立，则解是无效的。
4. 借助整体思维：在处理分式方程的过程中，我们可以借助整体思维，将分数表示为整体，并通过整体与部分的关系，简化方程求解。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是含有一个或多个分式的方程，求解分式方程需要借助一些特定的方法和规则。
本文将介绍分式方程的常见解法，帮助你更好地理解和解决这类问题。
一、消去分母法对于分式方程而言，最常用的解法就是消去分母。
具体步骤如下：1. 将分式方程两边的分母去掉，得到一个关于未知数的多项式方程。
2. 整理方程，将同类项合并，得到一个简化的多项式方程。
3. 使用常规的代数方法解决这个多项式方程。
4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
二、通分法在某些情况下，分式方程可以通过通分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 对于含有多个分式的方程，将所有分式的分母找到其最小公倍数，并将方程两边的分子进行相应的操作。
2. 使用通分后的方程，将分母相同的项合并，并将方程化简为一个关于未知数的多项式方程。
3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。
4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
三、代入法有时候，分式方程的解可以通过代入法求得。
具体步骤如下：1. 从分式方程中选取一个变量，用一个合适的值代入该变量。
2. 计算代入后得到的方程，并求解这个新的方程。
3. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
四、等价方程法等价方程法是另一种常用的求解分式方程的方法。
具体步骤如下：1. 对于给定的分式方程，将方程两边同时乘以分母的乘法逆元，以消去分母。
2. 处理等式两边得到的新方程，将其化简为一个关于未知数的多项式方程。
3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。
4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
综上所述，分式方程的解法主要包括消去分母法、通分法、代入法和等价方程法。
根据具体情况选择合适的方法，可以更高效地求解分式方程。
在解题过程中，要注意化简方程，查验解的有效性，以确保得到正确的结果。
解分式方程的特殊方法与技巧
解分式方程的特殊方法与技巧分式方程意义及解法一、内容综述:1(解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程2(解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程(但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解(检验根的方法:(1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
(2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。
必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0(用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母，将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程;(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程(用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值;(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值;(iv)检验做答(注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。
它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。
解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。
本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。
一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。
通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。
2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。
然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。
3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。
将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。
在计算比例时，常常需要解决分式方程。
例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。
2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。
例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。
3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。
例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。
总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。
掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。
通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。
分式方程的解法
分式方程的解法在代数学中，分式方程是由含有分式的等式组成的方程。
求解分式方程的过程需要运用一些特定的解法和技巧，以便得出方程的解。
本文将介绍几种常见的分式方程解法，帮助读者更好地理解和应用。
一、通分法对于含有分式的方程，通分是一个常见的解法。
通过将方程两边的分式通分，就可以将方程转化为一个等价的方程，从而更容易求解。
例如，考虑以下分式方程：(3/x) + (2/y) = 5为了通分，我们可以将两个分式的分母相乘，得到：(3y + 2x) / (xy) = 5然后，我们可以将方程转化为一个简单的线性方程：3y + 2x = 5xy通过这种方法，我们可以将原始的分式方程转化为一个更易于求解的线性方程，从而求出方程的解。
二、消元法消元法是解决分式方程的另一种常用方法。
该方法通过消除方程中的分式，将其转化为一个只含有整数的方程，从而使求解变得更加简便。
考虑以下分式方程：(1/x) + (1/y) = 2为了消去分式，我们可以将等式两边乘以xy，得到：y + x = 2xy然后，我们可以进一步转化为一个二次方程：2xy - y - x = 0通过求解这个二次方程，我们可以得到方程的解。
三、代入法代入法是解决分式方程的一种简单直接的方法。
该方法通过将已知的解代入到方程中，验证是否满足等式的要求。
例如，考虑以下分式方程：(4/x) - (2/y) = 1假设 x = 2 是方程的一个解，我们可以将其代入方程中：(4/2) - (2/y) = 1简化后得到：2 - (2/y) = 1再进一步简化得到：(2/y) = 1通过验证我们可以发现，x = 2 确实是方程的一个解。
因此，我们可以得出该方程的解为 x = 2。
通过代入法，我们可以将已知的解代入方程中，逐步验证是否满足等式的要求，从而得到方程的解。
综上所述，分式方程的解法主要包括通分法、消元法和代入法。
通过灵活运用这些解法，我们可以求解各种类型的分式方程。
对于复杂的分式方程，可能需要结合多种解法同时使用。
分式方程的几种特殊解法
分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：781222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：13242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。
分式方程解题技巧
分式方程解题技巧以下是 7 条关于分式方程解题技巧的内容：1. 哎呀呀，分式方程解题技巧之一就是要会找最简公分母呢！比如说对于方程$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=3$，找到最简公分母可重要了，不然怎么解方程呀！最简公分母就像是一把钥匙，能打开分式方程的大门，让你顺利解题呢！你说是不是呀？2. 嘿，咱得注意把分式方程转化成整式方程哦！就像一个变形魔法一样，比如方程$\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x}$，两边同时乘以最简公分母，它就乖乖地变成整式方程啦！这多奇妙呀，能让难题瞬间变简单，你还不赶紧试试？3. 哇塞，验根这个步骤可不能忘啊！比如说解完方程$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$，一定要代入原方程看看是不是真的成立呢。
这就好比给解出来的答案做个检查，马虎不得呀，不然可就前功尽弃啦，你可别不当回事儿啊！4. 嘿呀，遇到复杂的分式方程别慌乱呀！要像勇士一样勇敢面对，比如$\frac{3}{x}-\frac{4}{x+1}=\frac{2}{x(x+1)}$。
把它一点点拆解，各个击破，就一定能解出来的呀！难道还能被它难住不成？别害怕，大胆去解！5. 哇哦，有时候要灵活运用乘法法则呢！瞧这个方程$\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}=c$，你就得巧妙地根据法则来呀。
这就像拥有了一项独特的技能，能让你在分式方程的世界里如鱼得水呢，还不赶紧掌握起来？6. 哎呀，做完一道分式方程题也要多想想呢！想想过程中有没有其他方法呀，就像解完$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}$后再回味一下。
这能让我们不断进步呢，说不定下次就能更快地解出来啦，你平时会这样做吗？7. 嘿，分式方程解题技巧可是很重要的哦！掌握了这些，就能在分式方程的海洋中畅游啦！不管遇到什么样的题目，咱都能轻松应对，让分式方程不再是难题！这就是我的观点，你觉得呢？。
解分式方程的特殊方法与技巧
解分式方程的特殊方法与技巧1.将分式化简为整式：在解分式方程之前，我们通常会将其化简为整式方程。
化简的方法包括：合并同类项、消去括号、约分等。
通过化简，我们可以将分式方程转化为更简单的整式方程，更易于解答。
2.通分：如果分式方程中含有多个分母，并且不能直接消去分母，可以考虑通分。
通分可以将分式方程转化为整式方程，更容易解答。
通分的方法是找到分母的最小公倍数，然后对方程两边乘以最小公倍数的倒数。
3.交叉相乘法：在一些情况下，可以使用交叉相乘法来解分式方程。
交叉相乘法是将方程两边的分式相乘，然后进行约分。
这样可以得到一个新的整式方程，再进行求解。
4.增减交换法：在一些情况下，我们可以通过增加或减少方程的一些项，来简化分式方程。
通过增减交换法，我们可以得到一个更简单的方程，进而解答。
5.变量代换：有时候，我们可以通过引入新的变量或代换来简化分式方程。
比如，我们可以将一个复杂的分式方程转化为一个关于新变量的整式方程，进而解答。
变量代换可以帮助我们更好地理解问题，简化方程，并找到求解的途径。
6.等式的性质：在解分式方程时，一些等式的性质也是很有用的。
比如，等值代换定理、等价无穷大定理等。
这些性质可以在解分式方程中发挥重要作用，简化方程，找到解的方法。
7.化简符号：有时候，我们可以通过化简符号来简化分式方程。
比如，我们可以通过代入一些特定的数值，去掉绝对值符号、根号符号等。
化简符号可以帮助我们更好地理解问题，并将分式方程转化为整式方程。
8.分数相关的性质：在解分式方程时，我们可以利用一些分数相关的性质来简化问题。
比如，利用两分数的和差的性质，相除的性质等等。
分数的性质可以帮助我们更好地理解问题，并找到解的途径。
9.齐次方程：齐次方程指的是方程两边的分母相等。
解齐次方程时，我们可以让方程中的两个分式相减，从而得到一个整式方程。
解齐次方程可以帮助我们简化问题，并更好地理解问题的本质。
以上是解分式方程的一些特殊方法和技巧。
如何解决分式方程
如何解决分式方程分式方程是数学中常见的一类方程，通常形式为分子和分母都含有未知数的方程。
解决分式方程需要进行一系列的变形和化简，下面将介绍解决分式方程的一般步骤。
一、整理分式方程首先，对于分式方程，我们需要先整理方程，使得方程的分式部分形式简化，通常的整理方法有以下几种：1. 消去分母：如果方程中含有多个分母，可以通过乘以公约数的方法来消去分母。
2. 合并分数：如果方程中有多个分数项，可以通过通分的方法合并成一个分数项。
3. 化简分数：如果方程中的分数可以化简，可以先化简分数再进行其他操作。
二、求解分式方程对于经过整理之后的分式方程，我们可以采取以下几种方法来求解：1. 代入法：将分式方程中的未知数用其他已知数表示，然后代入方程中求解。
2. 分离未知数：将方程中的分式部分与非分式部分进行分离，将方程转化为一个未知数的方程，然后求解。
3. 通分法：通过通分将方程中的分式部分消去，转化为一个含有未知数的整式方程，然后求解。
4. 特殊方法：针对某些特殊的分式方程，可以采用特殊的方法进行求解，例如配方法、因式分解等。
三、检验解在求解分式方程之后，为了验证所得解是否满足原方程，需要将解代入原方程进行检验。
如果所得解满足原方程，则认为解是正确的；如果不满足，则需要重新检查求解过程。
总结：解决分式方程的一般步骤包括整理方程、求解方程以及检验解。
在整理方程过程中，需要采取消去分母、合并分数、化简分数等方法；在求解方程过程中，可以使用代入法、分离未知数、通分法等方法；最后，为了验证解的正确性，需要将解代入原方程进行检验。
通过这些步骤，我们能够有效地解决各种分式方程。
总结分式方程的解题技巧
总结分式方程的解题技巧分式方程是指方程中含有分式的等式，解决分式方程需要一些特定的技巧和步骤。
在本文中，我们将总结分式方程的解题技巧，以帮助读者更好地解决相关问题。
1. 寻找方程中的分式形式在解决分式方程之前，首先需要确认方程中是否存在分式形式。
分式形式通常包括有理分式和带根式的分式。
2. 清除分母分式方程的一个常见步骤是清除分母。
为了清除分母，我们可以通过乘以最小公倍数的方式将方程两边的分母消除。
这样可以转化为多项式方程，更易于求解。
3. 注意约束条件在解决分式方程时，需要注意约束条件。
由于分式方程中存在分母，我们需要排除分母为零的情况，因为除以零是没有意义的。
因此，应该找出使分母为零的潜在值，并将其排除在解的范围之外。
4. 分式方程的因式分解在某些情况下，分式方程可以通过因式分解的方法进行求解。
通过将方程中的分子和分母进行因式分解，然后约简得到简洁的形式，可以使问题更易于解决。
5. 使用代换法当分式方程中存在复杂的分式时，使用代换法可能是一个有效的解题策略。
通过引入新的变量或代换，可以将复杂的分式转化为简单的代数表达式，从而更方便进行计算和求解。
6. 检验解的合法性在解决分式方程后，需要将求得的解代入原方程进行检验。
通过检验解的合法性，可以确保所得解是方程的真实解。
如果代入后方程两边相等，即表明所得解是正确的；如果不相等，则需要重新审查解题过程。
总结：分式方程在数学中具有重要的应用价值，解决分式方程需要掌握一些特定的技巧和步骤。
通过寻找方程中的分式形式，清除分母，注意约束条件，进行因式分解，使用代换法，以及检验解的合法性，可以更好地解决分式方程相关的问题。
希望这些总结的技巧能够帮助读者提高解决分式方程的能力，并取得更好的学习成果。
解分式方程的特殊方法与技巧
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例 ５ 解 方程
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《 数理化解题研究） 年第２ ） Ｊ ２ 期
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竺
安徽 省灵璧 县黄 湾 中学 （３ ２ ３ 华兴恒 ● ２４ １ ） 安 徽 省 灵 璧 第 三 中 学 （３ ２ ３ 赵 ２４ １ ） 芳 ●
对 于 一些 特 殊 结构 的分 式方 程 ， 若用 一 般 的 去
分母方 法求 解 ， 解题 过 程 常 常 比较繁 琐 ； 则 若采 用 特
：
Ｙ
＝ 一
０ 去分母 化 为 ｙ ｙ一 ：０ 解 之得 ） １ｙ ． ＋ ２ ， ， ｌ： ，２
２ 当Ｙ ． ，＝ １时 ， ＋ 一１ ＝０ 解 之 得 ， ｌ＝
分析 如 果直 接去分母 求解 ， 比较 繁琐 ． 倘如 把 含 ａｂ的项分 别移在 一起通分 、 简后 ， 去 分母 ， ， 化 再 解 法则 会很简捷 ．
殊 的解题 方法 和 技 巧 ， 可 以达 到 简 化 勰 题 过 程 的 则
目的 ．
一
解 把方程 移项 、 分 通 化简 ， 得
：
０ 分 式 值 为 ０， 分 子 为 ０ 而 分 母 不 能 为 ０ 即 有 ． 则 ， ，
ｆ ＋
２
～
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、
换元 法
９≠ ０ ．
分式方程应用题解题技巧和方法
分式方程应用题解题技巧和方法一、概述分式方程是数学中重要的概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
解决分式方程应用题需要掌握一定的解题技巧和方法，下面我们将介绍一些解题技巧和方法，帮助大家更好地解决分式方程应用题。
二、分式方程应用题解题技巧和方法1.明确问题：在解题之前，首先要明确题目中所给的分式方程代表的是什么实际问题，了解问题背景和要求，这样有利于我们更好地理解题目并找出解题思路。
2.建立方程：根据问题的描述，建立相应的分式方程。
通常情况下，我们可以通过设定变量，列出方程来表示问题中的条件和要求。
3.化简方程：对建立的分式方程进行化简，通常可以通过消去分母等方法来简化分式方程，使得方程更加直观和便于求解。
4.求解方程：利用解方程的方法，通常是通过移项、通分等方法来求解分式方程。
有时候，我们需要对方程进行整体化简或者变形，以便更好地进行求解。
5.验证解：在得到方程的解之后，需要将解代入原方程进行验证，确保所得的解符合实际问题的要求，这是解题过程中必不可少的一步。
6.注意事项：在解题过程中，还需要留意一些常见的易错点和特殊情况，比如分母为零的情况、方程无解或者有多解等情况，对这些情况要有相应的处理方法。
三、分式方程应用题解题实例接下来，我们通过几个实际问题来演示分式方程应用题的解题过程。
实例1：有一条长600米的跑道，甲乙两人分别在跑道的两端以等速度开始跑步，甲乙两人相向而跑，当甲乙相遇时，甲跑了4分钟，乙跑了6分钟。
求甲、乙两人的速度。
解：我们设甲、乙两人的速度分别为v1、v2，根据题意，可以列出分式方程：600/(v1 + v2) = 4/60 v1+4/60 v2 = 6 （1）根据方程（1），我们可以逐步化简，并求解得到甲、乙两人的速度。
实例2：一条小船下游顺流以每小时10千米的速度行驶，返航逆流以每小时8千米的速度行驶，如果小船返航的时间比下游多2小时，求河水的流速。
解：设河水的流速为v，根据题意，可以列出分式方程：10 - v = 8 + v10/(10 - v) = 8/(8 + v) + 2 (2)接下来，我们可以根据方程（2）逐步化简，并求解得到河水的流速。
分式方程的解法与技巧知识精讲
分式方程的解法与技巧知识精讲
一、分式方程定义
分式方程就是把一个式子分解为两部分，分别是分母和分子，然后在
分母和分子上共享一些变量，最后用特定的方法求解出来。
二、求解方法
1、归约法
首先将分式方程中的分子和分母都归约成最简形式，以减少其中的因子。
随后，将归约好的分式方程化简为最简形式，再从最简形式中提取出解。
2、对式子求倒数法
当分式方程的分子和分母都是一元二次方程的时候，就可以将分子和
分母分别求其倒数，然后将其相乘，即可得出原分式方程的解。
3、先分析分式方程构成的结构
在分析分式方程之前，首先要分析分式方程构成的结构，将其分为分母、分子和共同项三部分，通过分析其构成结构，以有效地求解分式方程。
4、使用代数法
代数法是指将分式方程的分子和分母分别乘以同一个数，使得分子和
分母均变为有理数，然后求解原分式方程。
三、技巧
1、把共同项提出来
在解决分式方程的过程中，可以将原来的分式方程中的共同项提出来，以便于更好地求解。
2、多次化简
在处理分式方程的过程中，会有很多步骤，而每一步都有可能出现一
些错误，所以可以多次化简，以确保求解结果的正确性。
3、分析分母和分子
在解决分式方程的过程中。
解分式方程的技巧
分式方程的解法和技巧1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。
然后解这个整式方程。
解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。
当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。
特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
例4解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。
下面以合比定理为例来说明。
∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，即x（x2－1）=0，∴x=0或x=±1。
检验知，x=1是原方程的增根。
所以，原方程的根是x1=0，x2=－1。
解分式方程的方法
解分式方程的方法分式方程是一个含有分式的方程，其中未知量出现在分母或分子中。
解分式方程需要使用特定的方法和技巧，下面将介绍几种常用的解分式方程的方法。
一、通分法当分式方程中含有多个分母不相同的分式时，可以通过通分的方式将分子的分母统一，从而简化方程并求解。
具体步骤如下：1. 找出所有分母，并确定它们的最小公倍数，记作 LCM。
2. 对于每个分式，将其分子分母同乘以LCM 分母除以原来的分母，从而使得所有分式的分母相同。
3. 将所有分式相加或相减得到一个新的分式，将该分式化简。
4. 解得方程的解。
例如，考虑以下分式方程：1/(x+1) + 1/(x-1) = 4/(x^2-1)首先确定最小公倍数 LCM(x+1, x-1, x^2-1)，可以得到 x^2-1。
然后对每个分式进行通分，得到 (x-1)/(x^2-1) + (x+1)/(x^2-1) =4/(x^2-1)。
将分式相加并化简，得到 (2x)/((x+1)(x-1)) = 4/(x^2-1)。
消去分母并求解，得到 x = 2。
二、消去法当分式方程中含有分母中含有未知量的二次项时，可以使用消去法将方程转化为一元二次方程，并求解。
具体步骤如下：1. 根据方程中的分母，设法令方程中的分式的分母为相同的二次因式。
2. 使用适当的代换，将分母中含有未知量的二次项转化为一个新的变量，从而得到一个二次方程。
3. 解得变量并代回原方程，求得未知量的解。
例如，考虑以下分式方程：1/(x^2-1) - 1/x = 1/(x+1)可以设 x+1 = t，将方程转化为 1/(t^2-2t) - 1/(t-1) = 1/t。
将分式进行通分并整理，得到 (t-2)/(t^2-2t) = 1/(t-1)。
消去分母并求解，得到 t = 3。
代回原方程，得到 x+1 = 3，解得 x = 2。
三、变量替换法当分式方程中的分母或分子中含有多个未知量时，可以通过变量替换的方法，将方程转化为只含有一个未知量的方程，并解得。
解分式方程的方法
解分式方程的方法分式方程是数学中常见的一类方程，它的特点是方程中含有分式形式的未知数。
解分式方程需要运用一些特定的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种常见的解分式方程的方法。
一、通分法通分法是解分式方程的常用方法之一。
当方程中含有多个分式时，我们可以通过通分的方式将分母统一，从而简化方程的形式。
例如，对于方程$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=3$，我们可以通过通分得到$\frac{x-1}{x+1}+\frac{2(x+1)}{x+1}=3$，进一步化简为$\frac{x-1+2(x+1)}{x+1}=3$，最终得到$3x+1=3(x+1)$。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为含有整式的方程，从而更容易求解。
二、消去法消去法是解分式方程的另一种常用方法。
当方程中含有分式形式的未知数时，我们可以通过消去分式的方式将方程转化为含有整式的方程。
例如，对于方程$\frac{2}{x}+\frac{3}{x-1}=1$，我们可以通过消去分式的方式得到$2(x-1)+3x=x(x-1)$，进一步化简为$2x-2+3x=x^2-x$，最终得到$x^2-6x+2=0$。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为二次方程，进而求解出未知数的值。
三、分离变量法分离变量法是解分式方程的一种特殊方法，适用于含有分式形式的未知数和其他整式的方程。
例如，对于方程$\frac{x}{x+1}+2=3$，我们可以通过分离变量的方式将方程分解为$\frac{x}{x+1}=1$和$2=3$两个方程。
进一步化简后可得$x=x+1$和$2=3$，显然第二个方程无解，而第一个方程则表示$x$可以取任意实数。
通过这种方法，我们可以得到方程的解集。
四、换元法换元法是解分式方程的一种常见方法，通过引入新的变量来简化方程的形式。
例如，对于方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$，我们可以引入新的变量$t=x+y$，从而将方程转化为$\frac{1}{t}=1$。
分式方程解法技巧
分式方程解法技巧要解决分式方程，需要掌握一些解法技巧。
以下是解决分式方程的常见技巧：1.清除分母：如果方程中存在分母，我们可以通过乘以一个适当的数来清除分母。
例如，如果方程中含有：a/b+c/d=e/f我们可以通分，使得方程变为：(a*d+b*c)/(b*d)=e/f或者直接消去分母，得到：a*d+b*c=e*(b*d)/f2.合并同类项：当方程中存在相同的分式项，我们可以将它们合并成一个分式。
例如，如果方程中含有：a/b+c/b=d/b我们可以合并分式项，得到：(a+c)/b=d/b3.变量代换：有时候，我们可以引入一个新的变量来替代原来的分式，从而简化方程。
例如，如果方程中含有：a/b=c/d+e/f我们可以假设y=c/d+e/f，并将方程变为：a/b=y接下来，我们只需要解决新的方程a/b=y，而不需要处理原方程中的复杂分式。
4.乘法法则：如果方程中存在两个分式相乘，我们可以将它们变为一个分式。
例如，如果方程中含有：(a/b)*(c/d)=e/f我们可以将两个分式相乘，得到：(a*c)/(b*d)=e/f5.分式与整数运算：当方程中存在分式与整数的运算，我们可以通过通分来简化方程。
例如，如果方程中含有：a/b=c+d/e我们可以通过通分，得到：(a*e)/b=c*e+d6.分式与分式运算：当方程中存在两个分式相加或相减，我们可以通分来简化方程。
例如，如果方程中含有：a/b+c/d=e/f我们可以通分，得到：(a*d+b*c)/(b*d)=e/f7.求倒数：有时候，我们可以通过求分式的倒数来简化方程。
例如，如果方程中含有：a/b=c/d我们可以将等式两边求倒数，得到：b/a=d/c8.分式的两侧取平方根：当方程中含有平方根时，我们可以通过两侧取平方根来简化方程。
例如，如果方程中含有：√(a/b)=c/d我们可以两侧同时平方，得到：a/b=(c/d)^2然后继续求解得到结果。
这些技巧可以应用于各种类型的分式方程，但是在解题过程中还需要根据具体情况进行判断和使用。
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分式方程意义及解法一、内容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。
必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答．注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。
它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。
（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
二、例题精析：例1．解分式方程：。
分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。
解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得x2+4x=0解这个方程，得x1=0, x2=-4,代入公分母检验：当x1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴x=0是增根；当x2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴x=-4是原方程的根。
故原方程的根是x=-4。
例2．解方程：。
分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。
解：即，移项，整理，得，即，亦即去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7. 经检验，x=7是原方程的根。
∴原方程的根是x=7。
例3．解方程。
解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)即4x+14=0, ∴，经检验知是原方程的解。
解法2：方程两边分别通分，得，即，∴(x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得。
解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。
原方程可化为即：，两边分别通分，得，解之，得。
例4．解方程。
解：设，则原方程变形为y2-5y+6=0, 解得y1=2, y2=3,由=2，解得x1=4;由，解得x2=3.经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根。
例5．用换元法解方程.解：设2x2+3x=y，于是原方程变为, 整理，得y2-4y-5=0解得y1=5, y2=-1.当y=5时，即2x2+3x=5,解得x1=1, ,当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, ,经检验，都是原方程的根。
∴原方程的根为。
例6．解方程。
分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。
解：设，所以原方程变形为：y+=7,整理得：y2-7y+10=0解得y1=2, y2=5，当y1=2时，即，∴x1=0, x2=2;当y2=5时，，即x2-5x+9=0 （Δ<0，此方程无实根）经检验，x1=0, x2=2是原方程的解。
例7．解方程.分析：此方程初看起来容易把，，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程。
解：原方程可化为即,设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0解得y1=-1, y2=,当y=-1时，,去分母整理，得x2+x+1=0解这个方程，∵Δ<0, ∴方程无解。
当y= 时，, 去分母整理，得2x2-5x+2=0解得x1=2, ,经检验，x1=2, 都是原方程的根。
∴原方程的根是x1=2, 。
注意：切勿把。
例8．若分式方程有增根x=2，求a的值。
分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。
解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-,∴当a=-时, x=2是原分式方程的增根。
测试选择题1．方程x- =2-的根的情况是（）A、只有一解x=2B、任意实数都是解C、无解D、解为x≠22．用换元法解方程+ =，下列变形正确的是（）A、设=y，原方程变形为y+ = ，去分母得2y2+5y+2=0B、设=y，原方程变形为y+ -1=，去分母得2y2-7y+2=0C、设=y，原方程变形为+ = ，去分母得y2-5y+3=0D、设=y，原方程变形为+ =，去分母得y2-5y+6=03．如果设y= -5，则对于方程( -5)2+-13=0，下面变形正确的是（）A、y2-2y-8=0 B、y2+2y-3=0C、y2+2y-13=0D、y2-2y-23=04．若x=1是方程的增根，则m的值为（c ）A、1B、-1C、-3D、35．方程会产生增根,则a的值为（c ）A、1B、-2C、1或-2D、以上都不对。
6．方程=0的根是（）A、-1B、2C、-1或2D、1或-27．使分式方程产生增根的k的值是（）A、0B、0或2C、1D、28．用换元法解方程, 设，则方程变形为（）。
A、6y2+5y-38=0B、6y2+5y-40=0C、6y2+5y-26=0D、6y2+5y-50=09．方程的根为（）A、x=2B、x=C、x=3D、x=-5,或x=310．某项工程，甲独做需a天，乙独做需b天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。
A、B、C、a+b D、答案与解析答案：1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D解析：1、答案：选C。
移项，整理得x=2，但当x=2时，分母x-2=0，则x=2为增根，原方程无解。
2、答案：2．选D。
3、答案：选B。
原方程整理得：，设原方程变为：y2+2y-3=0。
4．答案：选C。
原方程两边乘以(x-1)(x-2)得：x2-4+x2+2x-3=m即：2x2+2x-7-m=0则x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得：∴2+2-7-m=0, m=-3.5.答案：选C。
两边乘以x(x-1) 得x2+2x-2-a=0,若原方程有增根，则有增根x=1或x=0，而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的两根，将x=1或x=0代入整式方程得a=1或a=-2，选C。
6．答案：选B。
由，去分母得(x+1)(x-2)=0 得x=-1或x=2，经检验，x=-1是增根，则原方程的根为x=2。
7．答案：选A。
分式方程的增根为x=2或x=-2，而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。
原方程两边乘以(x-2)(x+2)得x2-2x-x2+4=k2x+2k2整理得：(k2+2)x=4-2k2,∴,则：，解得：k=0.8．答案：选D。
分析：原方程变形为，则原方程变形为6(y2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5y-50=0.9．答案：选D。
方程两边乘以x2-4 得15=2x+4+x2-4 即：x2+2x-15=0,解得：x1=-5或x2=3，经检验，x=-5或x=3都是原方程的根。
10．答案：选D。
整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。
中考解析分式方程考点讲解1．解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。
2．去分母法解分式方程的步骤：（1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。
3．用换元法解分式方程的步骤：（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母；（2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；（5）验根。
4．分式方程验根的方法：（1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根；（2）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根，反之则为增根。
考题评析1．（甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是（）（A）8 （B）10 （C）12 （D）30考点：分式方程的应用评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后，每人少分摊3元。
根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生的人数x人，所以列方程为：，解得x=8,经检验x=8是原方程的根。
答案：A说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。
2．(杭州市)（本题8分）解方程：考点：分式方程的解法评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。
答案：x=23．（重庆市）方程的解是__________。
考点：分式方程的解法评析：思路：本题运用等式的性质两边乘以x(x－1)化分式方程为整式方程，然后求解。