广义相对论论文

Schwarzschild 解与致密星

摘要：本文推导了TOV 方程，求解出Schwarzschild 内部解及外部解，并介绍了致密星（白

矮星和中子星）的存在，同时利用相对论讨论了白矮星和中子星的物理状态和结构性质。为了简化工作，我们大量借助Mathematica 来辅助运算。

关键词：爱因斯坦引力方程Schwarzschild 内部解

TOV 方程白矮星中子星

1引言

20世纪30年代从理论上预言存在中子星和黑洞，但一直没有观测到这些天体。然而在60年代发现类星体、脉冲星、双星X 射线源等奇异天体后，相对论天体便发展起来。恒星演化理论预言恒星演化到晚期应存在三类天体，即白矮星、中子星和黑洞。一颗晚期演化的恒星变为哪类天体取决于它的质量。质量为M 星而核燃料耗尽的恒星，由于引力收缩将释放能量，从而温度升高。对于M 太阳

2理想流体的Schwarzschild 解

2.1Tolman-Oppenheimer-Volkoff 方程的推导

考虑爱因斯坦引力方程

G T νν

μμ

κ=-（1）

在静态球对称星体内部的解。由静态球对称度规的最普遍形式

2222222

()(sin )()ds a r dr r d d b r dt θθϕ=--++（2）

可得度规张量分别为

()rr g a r =-2

g r θθ=-22sin g r ϕϕθ

=-()

tt g b r =0,g μνμν

=≠对于（3）

设星体物质为理想流体，则有

2

()P T U U Pg c ν

νν

μμμρ=+

+（4）

其中P 是固有压强，ρ是固有总能密度，U μ

是速度四矢，定义为

1

g U U μνμν=（5）

因为流体是静止的，故可取

0r U U U θϕ===1/2()tt t U g -==（6）

由静态和球对称假设可知，P 和ρ仅仅是径向半径r 的函数。由式（3）可得g μν的逆为

1()

rr g a r -=-2g r θθ-=-22(sin )g r ϕϕθ--=-1()

tt g b r -=（7）

代入公式（8）

1(2g g g g x x x

ρμρνμν

λλρμννμρ∂∂∂Γ=

+-∂∂∂（8）

计算可得仿射联络不为零的分量为

12r rr

da

a dr

Γ=

r

r a θθ

Γ=-

2sin r

r a

ϕϕ

θΓ=-

12r tt db

a dr

Γ=

1r r r θθ

θθΓ=Γ=

sin cos θϕϕθθ

Γ=-1r r r

ϕϕ

ϕϕΓ=Γ=

cot ϕϕ

θϕϕθθ

Γ=Γ=12t t rt tr db

b dr

Γ=Γ=

（9）

代入公式（10）

R x

x

λλμλμνηληλ

μνμλνημνλη

ν

λ

∂Γ∂Γ=

-

+ΓΓ-ΓΓ∂∂（10）

计算可得Ricci 张量为

''1'''1'

()24rr b b a b a R b b a b r a

=

-+-''1

1()2r a b R a a b a

θθ=-+

-++2sin R R ϕϕθθ

θ=''1'''1'(24tt b b a b b R a a a b r a

=-++-

0,R μνμν

=≠对于（11）

式中撇表示对r 求微商，即d/d r 。由此可以得到爱因斯坦方程为

''1'''1'

()4()24rr b b a b a R G P a b b a b r a

πρ=-+-=--2

''1

1()4()2r a b R G P r a a b a θθπρ=-+-++=--''1'''1'(4(3)24tt b b a b b R G P b a a a b r a

πρ=-

++-=-+（12）

又由流体静力学平衡方程（4）、（5）、（6）以及

;0

T μνν=（13）

可以得到

'2'b P b P ρ

=-+（14）

首先推导a （r ）的方程

2222'11

822tt rr R R R a G a r b ra r ar

θθπρ++=--+=-（15）

此方程也可以写作

2()'18r

G r a

πρ=-（16）

若取a （0）为有限值，则a （r ）解为

1

2()()[1]G r a r r

-M =-

（17）

其中

20

()4'(')'

r

r r r dr πρM =⎰（18）

利用式（14）、（17）消去引力场中的a （r ）、b （r ）有

222'1[1][144()G rP G G r G P r r P r

πρπρρM M

-+-

-+-=--+（19）

由此可以得到

31()42()(1)(1()dP G r P r P G r dr r r r

πρρ-M M =-++-M （20）

此即为广义相对论中，在引力场作用下，球对称静态理想流体恒星内部的平衡方程，即TOV

方程。式中

20

()4''

r

r r dr πρM ≡⎰（21）

2

()

4d r r dr

πρM =（22）

若给定物态方程

()

P P ρ=（23）

则TOV 方程（20）、质量方程（21）和状态方程（23）组成星体结构的完备方程组。在一定的边界条件下

()0P R =(0)0

M =（24）

以中心密度ρ0为参量，可以计算出P（r）、ρ（r）、M（r）。并且M（R）=M 星，即星体的质