随机变量方差的概念及性质

2
+∞
=∫ E( X 4 ) = ∫
π 2 0
π2 2 x cos x d x = 2, 4 x 4 f ( x ) d x = ∫ x 4 cos x d x
π 2 0
+∞
∞
π4 2 = 3π + 24, 16
因为 D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 , 所以 D( X 2 ) = E ( X 4 ) [ E ( X 2 )]2
+∞
( x μ )2 2σ 2
d x.
x μ 令 = t x = μ + σ t, σ
所以
1 E( X ) = ∫ x e ∞ 2πσ
+∞
( x μ )2 2σ 2
dx
1 +∞ = ∫∞ ( μ + σt)e 2π 1 =μ ∫ e 2π
= μ.
t2 +∞ 2 ∞
t2 2
dt
t2 2
σ +∞ dt + ∫∞ te 2π
dt
D( X ) = ∫ ( x μ ) 2 f ( x ) d x
∞
+∞
1 = ∫ ( x μ) e ∞ 2 πσ x μ 令 = t,得 σ t2 2 +∞ σ 2 D( X ) = t e 2 dt 2 π ∫ ∞
+∞ 2 t2 2 σ = te 2 2π +∞
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1 a + b =∫ x dx a ba 2
b
2
2
(b a )2 = . 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布 , 其概率密度为
1 x θ e , f ( x ) = θ 0, x > 0, x ≤ 0.
+∞
其中 θ > 0.
k =0
n
n
n k = ∑ k p (1 p )n k k =0 k
kn! k n k =∑ p (1 p ) k = 0 k !( n k )! np( n 1)! k 1 ( n 1 ) ( k 1 ) =∑ p (1 p ) k =1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
3
= 4[ E ( X 6 ) ( E ( X 3 ))2 ] 1 493 1 6 1 1 6 6 E ( X ) = ( 2) × + 0 × + 1 × + 3 × = , 12 6 12 2 3
6 6
1 1 3 1 3 1 3 2 3 3 [ E ( X )] = ( 2) × + 0 × + 1 × + 3 × 2 12 12 3
气缸的直径 Y ~ N ( 22.50, 0.042 ), X , Y 相互独立 . 任取一只活塞 , 任取一只气缸 , 求活塞能装入气缸 的概率 .
解 因为 X ~ N ( 22.40,0.032 ), Y ~ N ( 22.50, 0.042 ),
所以 X Y ~ N ( 0.10,0.0025), 故有 P{ X < Y } = P { X Y < 0}
4. 均匀分布
设 X ~ U (a , b ) , 其概率密度为
1 , f ( x) = b a 0,
∞
a < x < b,
其他 .
b
1 xd x 则有 E ( X ) = ∫ ∞ xf ( x ) d x = ∫a ba 1 = (a + b ). 2
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
n
k ( k 1)n! k =∑ p (1 p )n k + np k = 0 k !( n k )!
n
( n 2)! p k 2 (1 p)( n 2 )( k 2 ) = n( n 1) p ∑ k = 2 ( n k )!( k 2)!
2 n
+ np
= n( n 1) p 2 [ p + (1 p )]n2 + np
则有
E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x = ∫
∞ +∞
0
1 x θ x e dx θ
= xe
x θ +∞
0
+∫ e
0
+∞
x θ
d x = θ.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
=∫
+∞ 0
1 x θ x e d x θ2 θ
2
= 2θ 2 θ 2
= 12 p + 02 (1 p ) p 2 = pq .
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P { X = k } = p (1 p )n k , ( k = 0,1,2, , n), k 则有 0 < p < 1.
E ( X ) = ∑ k P{ X = k }
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
3. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好.
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
∞
, λ > 0.
则有
E( X ) = ∑ k
k =0 ∞
λk
k!
eλ = eλ ∑
k =1
λ k 1
( k 1)!
λ
= λe λ eλ = λ .
E ( X 2 ) = E[ X ( X 1) + X ] = E[ X ( X 1)] + E ( X ) = ∑ k ( k 1)
(4) D( X ) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即 P { X = C } = 1.
二、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X
1
0
p
则有
p
1 p
E( X ) = 1 p + 0 q = p,
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
5. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) = 0.
证明 D(C ) = E (C 2 ) [ E (C )]2 = C 2 C 2 = 0.
(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D(CX ) = C 2 D( X ).
证明 D(CX ) = E {[CX E (CX )]2 }
k =0 +∞
λk
k!
eλ + λ + λ = λ 2e λ e λ + λ = λ 2 + λ .
= λ 2e λ ∑
k =2
+∞
λk 2
( k 2)!
所以 D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2= λ2 + λ λ2 = λ .
泊松分布的期望和方差 都等于参数 λ .
p np
0< p<1 λ>0 a<b
np(1 p )
λ
θ
μ
λ
θ
2
(a + b ) 2 (b a )2 12 σ2
θ>0
μ, σ > 0
三、例题讲解
例1 设随机变量 X 具有概率密度
1 + x , 1 ≤ x < 0, f ( x ) = 1 x , 0 ≤ x < 1, 0, 其他 . 求 D( X ). E ( X ) = ∫ x (1 + x ) d x + ∫ x (1 x ) d x
D( X ) = ∑ [ xk E ( X )]2 pk ,
k =1 +∞
其中 P { X = xk } = pk , k = 1,2, 是 X 的分布律 .
连续型随机变量的方差
D( X ) = ∫ [ x E ( X )]2 f ( x ) d x ,
∞ +∞
其中 f ( x ) 为X的概率密度 .
( X Y ) ( 0.10) 0 (0.10) = P < = Φ ( 2) = 0.9772. 0.0025 0.0025
例3 设连续型随机变量 X 的概率密度为
π cos x , 0 ≤ x ≤ f ( x) = 2, 0, 其他 . 求随机变量 Y = X 2 的方差 D(Y ). E( X ) = ∫ x2 f ( x)d x 解 ∞
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
1
0 0 1
解
= 0,
E ( X ) = ∫ x (1 + x ) d x + ∫ x 2 (1 x ) d x
2 2
0
1
1
0
1 = , 6
于是
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
1 1 2 = 0 = . 6 6
例2 设活塞的直径 (以 cm 计 ) X ~ N ( 22.40,0.032 ),
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
n
n
( n 1)! k 1 ( n 1 ) ( k 1 ) = np ∑ p (1 p ) k =1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
= np[ p + (1 p )]n1
= np.
E ( X 2 ) = E[ X ( X 1) + X ]
= E[ X ( X 1)] + E ( X ) k k = ∑ k ( k 1) p (1 p )n k + np n k =0
(2) 利用公式计算
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 .
证明
D( X ) = E {[ X E ( X )]2 }
= E { X 2 2 XE ( X ) + [ E ( X )]2 } = E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) + [ E ( X )]2 = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 = E ( X 2 ) E 2 ( X ).
第二节 方
差
一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结
一、随机变量方差的概念及性质
1. 概念的引入
方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.
O
O
1000 1000
x x
2. 方差的定义
设 X 是一个随机变量 , 若E {[ X E ( X )]2 }存在, 则称 E {[ X E ( X ) ] } 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或 Var( X ) , 即
2
D( X ) = Var( X ) = E {[ X E ( X )] }.
2
称 D( X ) 为标准差或均方差 , 记为 σ ( X ).
= θ2 .
指数分布的期望和方差 分别为 θ 和 θ 2 .
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) = e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
, σ > 0, ∞ < x < +∞ .
则有
E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x
∞
+∞
1 = ∫ x e ∞ 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
d x.
+∫ e
∞
t2 +∞ 2 ∞
dt
σ2 = 0+ 2π = σ 2 . 2π
正态分布的期望和方差 分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
分
布
参数
0< p<1 n ≥ 1,
数学期望
方差
p(1 p )
两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布