利用简单的变量代换求解微分方程
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。
在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
几种常见的微分方程简介,解法
第十二章：微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .§12. 2 可分离变量的微分方程观察与分析:1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数).2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xy y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解.例1 求微分方程xy dxdy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1,从而 2112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得 ⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+ln C ,从而 2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dt dM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM)(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m -=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-m dt kv mg dv , 1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即 t m k Ce k mg v -+=(keC kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e kmg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy +++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故 gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh .通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h g dt )200(262.02321--=π. 两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π, 其中C 是任意常数.由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ. 因此 )310107(262.0252335h h g t +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.§12. 3 齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程),(y x f dxdy =中的函数f (x , y )可写成 x y 的函数, 即)(),(xy y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=⇒-+=⇒x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=⇒. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. xy y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.142-+-+-=⇒y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x yx 是齐次方程. x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2齐次方程的解法:在齐次方程)(xy dx dy ϕ=中, 令x y u =, 即y =ux , 有 )(u dx du x u ϕ=+, 分离变量, 得xdx u u du =-)(ϕ.两端积分, 得⎰⎰=-xdx u u du )(ϕ. 求出积分后, 再用xy 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成1)(222-=-=x y x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令u x y =, 则 y =ux ,dxdu x u dx dy +=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得xdx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,或写成ln|xu |=u +C . 以xy 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C xy y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-', 整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=y x y x dy dx . 令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dydv y , 分离变量, 得y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-Cyv C y , 以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程. .例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =. 另一方面, ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即yx y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u ba dy du y , 分离变量, 得dy by a u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y abu +-=, 将y x u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy Cx +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a hy h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y ab u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y ab y x +-= a b Cy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba b Cy Cy y x -=⇒- ])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒.§12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程:方程)()(x Q y x P dxdy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.(4)y x dxdy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P ydy )(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(32[)1(232C x x y +++=. 解: 这里12)(+-=x x P , 25)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di LE , 即 LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L Rm dt L R +⎰⎰=⎰-ω )sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R m Ce t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 LR LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dxdy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y x y , 是伯努利方程.(4)x xy dxdy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x aC x z -=.以y -1代z , 得所求方程的通解为1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即uu dx du 1+=.分离变量, 得dx du u u =+1, 两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |.以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.§12. 5 全微分方程全微分方程:一个一阶微分方程写成P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u =u (x , y )的全微分:du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,那么方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0就叫做全微分方程. 这里),(y x P xu =∂∂, ),(y x Q y u =∂∂, 而方程可写为du (x , y )=0.全微分方程的判定:若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数, 且xQ y P ∂∂=∂∂, 则方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程,全微分方程的通解:若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程, 且du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy则 u (x , y )=C ,即 )),(( ),(),(00000G y x C dx y x Q dx y x P yy x x ∈=+⎰⎰.是方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的通解例1 求解(5x 4+3xy 2-y 3)dx +(3x 2y -3xy 2+y 2 )dy =0.解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236, 所以这是全微分方程. 取(x 0, y 0)=(0, 0), 有 ⎰⎰+-+=y x dy y dx y xy x y x u 020324)35(),( 332253123y xy y x x +-+=.于是, 方程的通解为C y xy y x x =+-+332253123.积分因子:若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0不是全微分方程, 但存在一函数μ=μ(x , y ) (μ(x , y )≠0), 使方程μ(x , y )P (x , y )dx +μ(x , y )Q (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数μ(x , y )叫做方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的积分因子.例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1)ydx -xdy =0;(2)(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0.解 (1)方程ydx -xdy =0不是全微分方程.因为2)(y xdy ydx y xd -=, 所以21y 是方程ydx -xdy =0的积分因子, 于是 02=-y xdy ydx 是全微分方程, 所给方程的通解为C y x =. (2)方程(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0不是全微分方程.将方程的各项重新合并, 得(ydx +xdy )+xy (ydx -xdy )=0,再把它改写成0)()(22=-+y dy x dx y x xy d , 这时容易看出2)(1xy 为积分因子, 乘以该积分因子后, 方程就变为 0)()(2=-+ydy x dx xy xy d , 积分得通解C y x xy ln ||ln 1=+-, 即xy Ce yx 1=. 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x ).可以验证⎰=dx x P e x )()(μ是一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x )的一个积分因子. 在一阶线性方程的两边乘以⎰=dx x P e x )()(μ得 ⎰=⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e x yP e y )()()()()(, 即 ⎰='⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e y e y )()()()(][, 亦即 ⎰='⎰dx x P dx x P e x Q ye )()()(][. 两边积分, 便得通解C dx e x Q ye dx x P dx x P +⎰=⎰⎰)()()(,或 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-. 例3用积分因子求x xy dxdy 42=+的通解. 解 方程的积分因子为22)(x xdx e e x =⎰=μ.方程两边乘以2x e 得22242x x x xe y xe e y =+', 即224)(x x xe y e =',于是 C e dx xe y e x x x +==⎰22224. 因此原方程的通解为2224x x Ce dx xe y -+==⎰. §12. 6 可降阶的高阶微分方程一、y (n )=f (x )型的微分方程解法: 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, ⋅ ⋅ ⋅.例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解.解 对所给方程接连积分三次, 得12sin 21C x e y x +-='',212cos 41C x C x e y x +++=',3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.或 122sin 21C x e y x +-='',2122cos 41C x C x e y x +++=',32212sin 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而)1()(0Tt F t F -=.于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=. 由初始条件x |t =0=0, 0|0==t dt dx , 得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置,根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为mx ''=F (t ).由题设, F (t )是线性函数, 且过点(0, F 0)和(T , 0),故 1)(0=+T t F t F , 即)1()(0Tt F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为)1(0Tt m F x -=''. 其初始条件为x |t =0=0, x '|t =0=0.把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F x +-=', 再积分一次, 得2320)621(C Tt t m F x +-=, 由初始条件x |t =0=0, x '|t =0=0,得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 二、y ''= f (x , y ')型的微分方程解法:设y '=p 则方程化为p '=f (x , p ).设p '=f (x , p )的通解为p =ϕ(x ,C 1), 则),(1C x dxdy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ.例3 求微分方程()2xy''y'x 12=+满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解.解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有dx x x p dp 212+=. 两边积分, 得ln|p |=ln(1+x 2)+C ,即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ).由条件y '|x =0=3, 得C 1=3,所以 y '=3(1+x 2).两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2.又由条件y |x =0=1, 得C 2=1,于是所求的特解为y =x 3+3x +1.例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y ''=f (y , y ')型的微分方程解法: 设y '=p ,有dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p=. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为 21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分yy ''-y '2=0的通解.解 设y '=p , 则dy dp py ='', 代入方程, 得02=-p dydp yp . 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得ydy p dp =. 两边积分得ln|p |=ln|y |+ln c ,即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ).再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为ln|y |=Cx +ln c 1,或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1).例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.§12. 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ).设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比, 比例系数为μ, 则dtdx R μ-, 由牛顿第二定律得dt dx cx dtx d m μ--=22. 移项, 并记m n μ=2, mc k =2, 则上式化为 02222=++x k dt dx n dt x d , 这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程.如果振动物体还受到铅直扰力F =H sin pt的作用, 则有pt h x k dt dx n dt x d sin 2222=++, 其中mH h =. 这就是强迫振动的微分方程. 例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin ωt , 这里E m 及ω也是常数.设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道dt dq i =, C q u c =, dtdi L E L -=, 根据回路电压定律, 得0=---Ri Cq dt di LE , 即 t E u dt du RC dt u d LC m c c c ωsin 22=++, 或写成t LC E u dt du dt u d m c c c ωωβsin 22022=++,其中L R 2=β, LC10=ω. 这就是串联电路的振荡方程. 如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ. 二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x ),若方程右端f (x )≡0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的.二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 即0)()(22=++y x Q dx dy x P dxy d . 定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0.的两个解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.证明 [C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2',[C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''.因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 所以有y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0,从而 [C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0.这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解函数的线性相关与线性无关:设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅ , k n , 使得当x ∈I 时有恒等式k 1y 1(x )+k 2y 2(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n (x )≡0成立, 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关; 否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为y1''+y1=-cos x+cos x=0,y2''+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin x≡0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为(x-1)y1''-xy1'+y1=0-x+x=0,(x-1)y2''-xy2'+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0,所以y1=x与y2=e x都是方程的解,因为比值e x/x不恒为常数,所以y1=x与y2=e x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2e x.推论如果y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,y n(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+⋅⋅⋅+a n-1(x)y'+ a n(x)y=0的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+ C n y n(x),其中C1,C2,⋅⋅⋅,C n为任意常数.二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: [Y(x)+y*(x)]''+P(x)[ Y(x)+y*(x)]'+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]=[Y ''+P(x)Y '+Q(x)Y ]+[ y* ''+P(x)y* '+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y''+y=0的通解,y*=x2-2是y''+y=x2的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y''+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和,如y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示:[y1+y2*]''+P(x)[ y1*+y2*]'+Q(x)[ y1*+y2*]=[ y1*''+P(x) y1*'+Q(x) y1*]+[ y2*''+P(x) y2*'+Q(x) y2*]=f 1(x )+f 2(x ).§12. 8 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程 y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2422,1q p p r -±+-=求出. 特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时,函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.。
在高等数学中如何巧用变量代换法求解
龙源期刊网 在高等数学中如何巧用变量代换法求解作者：谢凤艳来源：《硅谷》2011年第03期摘要：在高等数学解题中，变量代换法是一种简单而重要的解题方法，对变量代换法在高等数学中各部分的应用做简单的总结，以方便学生在学习高等数学时会灵活运用“变量代换法”求解，提高学生的解题能力。
关键词：高等数学；变量代换中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2011）0210179－02在高等数学的学习过程中，有时我们常常会觉得一些公式、等式的变化很难理解，一些习题的数学表达式也比较怪异、形式繁杂，在解题时往往感到很难下手，这时我们除了要掌握必要的数学思维方法和解题方法外，往往可以考虑试着使用变量代换法去求解，变量代换法是众多数学方法中比较易于掌握而又行之有效的一种解题方法。
所谓变量代换法是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量(或变量表达式)来代换，从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的一种方法。
变量代换法是数学变换方法的一种，其主要目的就是通过代换能使问题化繁为简，化难为易，将不能解决的问题转化为能解决的问题。
变量代换法在求极限，求导，求积分，解微分方程，级数中应用的很多，也就是说在高等数学中的各章节中几乎都用到了变量代换法，而且在各章节中的应用方法也不尽相同，下面我们就通过在各类问题求解中的例子加以阐述变量代换法在高等数学中的应用。
1 在函数部分中运用变量代换法利用变量代换法可以求解函数解析式，函数值以及证明不等式等问题。
通过以上众多例子的求解我们可以看出，变量代换法在高等数学的解题中应用的非常广泛，几乎贯穿了高等数学的各个章节，它作为一种基本的解题技巧，对于解决问题有着很重要的意义。
在高等数学中很多看似非常复杂的问题，通过变量代换法进行求解，就使问题变得简洁而易求，所以在高等数学的教学过程中要重点强调变量代换法的运用，要让学生理解掌握，会灵活运用着去解题，以提高学生的解题能力。
应用变量代换思想解一阶微分方程论文
应用变量代换的思想解一阶微分方程摘要通过举例的方式，介绍了在一阶微分方程的求解中，如何寻找合适的变量代换，将方程转化为可以通过积分求解的方程。
探讨了在寻找合适的变量代换时，结合具体方程进行具体分析的思考方法。
关键词变量代换；微分方程；积分法【中图分类号】 o175.1变量代换是在高等数学的计算中普遍使用的方法，诸如求函数的极限、积分的计算等。
而在一阶微分方程的求解中，变量代换并非一种计算方法，而是一种思想，是问题转化的思想。
一阶微分方程的形式很多，不可能去针对每一种方程研究一种解法，也没有这个必要。
在文献[1]中仅介绍了三种一阶方程的解法，却已经给出了求解一阶方程的基本思路。
一阶方程的基本解法是积分法，对于不能直接通过积分来求解的方程，可以考虑先通过适当的变量代换，将其转化为可以用积分求解的方程，然后再求解。
这样，如何找到适当的变量代换便成为求解这类方程的关键，也是难点。
在函数极限的计算中，变量代换的理论来源是复合函数的极限运算法则；在积分的计算中，第一类换元法和第二类换元法都有相应的结论作为理论指导，基本上形成了固定的方法与步骤；而在微分方程的求解中，变量代换没有什么理论基础，也没有固定的方法与步骤，它需要有较强的观察分析能力和经验的积累。
下面通过几个例子给出一些确定合适的变量代换的思路，希望能抛砖引玉。
为节省篇幅，在求解下面的方程时，主要进行方程的转化。
方法一：使用熟悉的变量代换例1 解方程。
解：这是个一阶线性非齐次方程，它的常规解法是常数变易法。
但通过适当的变量代换来求解，其计算过程更简单，方法也显得更灵活。
令（这是在文献[1]中将齐次方程转化为可分离变量的方程所使用的变量代换），代入方程整理得：，此方程与原方程“同型”。
再令代入此方程整理得：v′=2x。
于是积分得：v=x2+c，即u=x3+cx，亦即y=x4+cx2为原方程的通解。
一般地，形如的方程，作变量代换：y=u（x）·xa，方程便转化为可以直接积分求解的方程：。
变量代换方法在求解微分方程中的应用
变量代换方法在求解微分方程中的应用在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。
通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。
然而，值得注意的是，不同的类型的方程，其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。
2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1如果一阶微分方程具有形式d y=f(x)g(y)，则该方程称为可分离变量微分方程.若设g(y) H0，则可将方程化为"gd^j = f(x)dx.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y的函数与dy，另一端只含有x的函数与dx.对于该类程, 我们通常采用分离变量的方法来处理。
例1求微分方程/ = 2xy的通解.解因为一=2xy，分离变量，一=2xdx，两端积分，In |y|=x2+C，| y e x^1dx dx所以y = ±eX七.令c =±e C1，于是y =Ce X为所求.注：以后为了方便，可将ln|y|就写成In y，注意结果中C可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。
对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。
如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。
下面介绍几类这样的方程。
2.1 一阶齐次方程1.形如dy = f(ax+by)的齐次方程(其中a,b(bHO))为常数) dx作变量代换，U = ax +by可将方程化为分离变量方程，将u = ax + by和詈a+b2代入方程，整理后可得：齐…⑴)例 2 解方程(2y +x +1dx -(4y +2x +3dy =0 解将方程整理后可得dy (2y +x)+1 dx " 2(2y + x) +3 故令U =2y+x ，带入后可得也=一q分离变量后，两边积分可得 dx 2u+3ln|4u + q +4u =8x+C 再代回原变量，得方程的通解为ln|4u + rn +4u =8x +C f y y=f -的齐次方程l x 丿作变量代换u ＜，则齐u+燈，代回原方程，整理后可得 程转化为分离变量方程，故可求出其通解。
高等数学课程内容及基本要求
高等数学课程内容及基本要求高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。
通过本课程的学习，使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。
在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。
高等数学是全校公共基础课，对于我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。
该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。
课程内容及基本要求(一)函数、极限与连续(20学时)内容：函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
基本要求1．深刻理解函数的定义，回球函数的定义域，会用函数对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系，了解隐函数与反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。
2．理解数列极限的定义和几何意义，知道收敛数列有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则及复合运算法则，会用极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则。
3．理解函数极限、左右极限定义，掌握两个重要极限，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
4．理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
5．理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，会辨别函数间断点的类型，了解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。
重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限,函数的连续性。
变量代换的应用
1 变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用．变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换.1.1 算式代换算式代换是指积分表达式中含有()ax b +的代换.例1 求定积分1321(115)dx x -+⎰. 解 令115x t +=,则115t x -=. 当1=x 时,16=t ;当2-=x 时,1=t .所以有1321(115)dx x -+⎰1631115t t d --=⎰ 2161110t -=- 51512=.1.2 根式代换 根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2 求定积分⎰-++0341dx x x . 解 令t x =+4,则当3-=x 时,1=t ;当0=x 时,2=t .则⎰-++0341dx x x ⎰-+-=2122)4(14t d t t ⎰-=212)3(2dt t 34-=.1.3 倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换. 例3 求不定积分⎰+dt t t )2(17. 解 令x t=1,则 ⎰+dt t t )2(17dx x x ⎰+-=7621 c x ++-=721ln 141 711ln 2ln 142t t c =-+++. 1.4 三角代换 三角代换是指积分表达式中含有22x a -,22a x -等形式的代换.例4 求)0(022>-⎰a dx x a a.解 令t a x sin =,则当0=x 时,0=t ;当a x =时,2π=t .所以22200cos a tdt π=⎰⎰24a π=. 1.5 指数代换 指数代换是指积分表达式中含有x x a e ,的代换.例5 求不定积分⎰+dx ee x x21. 解 令t e x =,则有⎰+dx e e x x 21211dt t =+⎰arctan t c =+arctan x e c =+.1.6 公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形式．例如 sin 22sin cos ααα=设2αθ=,则2θα=,于是有 sin 2sin cos 22θθα=． 同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如 0sin lim 1x x x→=. 设()x at a R =∈,当0x →时,0t →,于是有0sin lim 1x at at →=, 即 0sin lim x at a t→=. 如果设sin x t =,则arcsin x t =. 同理10lim(1)xx x e →+=,则10lim(1)at t at e →+=, 即10lim(1)a tt at e →+=. 通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子．例如 sin 2()2sin ()cos ()F x F x F x =.1.7 函数解析式中的变量代换例6 已知()ln n f x x =,求()f e .解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设n x e =,则1n x e =.从而有11()()ln n n f x f e e n===. 例7 已知22(,)f x y x y x y +-=-,求(,)f x y 表达式.解 令 u x y v x y =+⎧⎨=-⎩, 则有22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因此有22(,)()()22u v u v f u v uv +-=-=, 得(,)f x y 的表达式(,)f x y xy =.2 变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定 ()y f u =为实函数, 12(,,,)m m u u u u D E =⋅⋅⋅∈⊆,m S E ⊆且S ≠∅, 12{(,,,)(),1,2,,;}m i i D u u u u x i m x S ϕ=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∈. ［文献3］引论1 对于设定,若函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅均在S 上连续,则由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 在S 上也连续．引论2 设X ,Y 是度量空间,映射:f X Y →,那么f 在X 上连续的充要条件是像空间Y 中的任一开集U 的原像1()f U -是X 中的开集．引论3 设X 是度量空间,A B X ⊆⊆,B 为开集,则A 为X 的开集的充要条件是A 是相对于B 的开集．结论1 设S,D 均为开集,函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅在S 上均连续,010((),u x ϕ=200(),,())m x x ϕϕ⋅⋅⋅,若0u 是()f u 的极大(小)值点,则0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点．证 设由函数组()i x ϕ确定的S →D 的映射为 F,因为()i x ϕ均在S 上连续,所以F 也在S 上连续(引论1)．因为0u 为D 中极大值点,所以总存在0u 点的某一邻域0()N u D ⊆,使0()u N u ∀∈时,0()()f u f u ≤．因为D 为开集,所以0()N u 是相对于D 的开集(引论3),又因为F 连续,所以10(())F N u -是相对于S 的开集(引论2),而S 为开集,所以10(())F N u -也为n E 的开集(引论3)．又因为100(())x F N u -∈,则10(())F N u -为点0x 的一个邻域．对于10(())x F N u -∀∈,则有120((),(),())()m x x x N u ϕϕϕ⋅⋅⋅≤∈,所以有12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.同理可证极小值的情况.结论2 在结论1中,若由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ=-⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 为一一对应,且F 的逆映射1F -连续(即 F 是S →D 的同胚映射),则0u 是()f u 的极大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点.证 必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大值点,则存在0x 的一个邻域0()N x S ⊆,使0()x N x ∀∈,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.由F 是S →D 的同胚映射及引论3可知,0(())F N x 的0u 一个邻域．设0(())u F N x ∀∈,存在x S ∈,使得12((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,对给定的u ,x 是唯一存在的,则当0()x N ∈时,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅,因此有0()()f u f u ≤.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立． 结论3 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 是()f u 的最大(小)值点的充要条件是0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的最大(小)值点.(证明略)结论4 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 为()f u 在约束条件()(1,2,;)j j L u R j k u D =⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅在约束条件12((),(),,())(1,2,;)j m j L x x x R j k x s ϕϕϕ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点(),1,2,j R R j k ∈=⋅⋅⋅.(证明略)例1 讨论函数222y x z x y=+在 D 上的极值与最值,{}(,)0,0D x y x y =>> 约束条件为221x y +<.解 设cos (21)sin (22)x r y r θθ=-⎧⎨=-⎩ (,)0,02S r r πθθ⎧⎫=<<>⎨⎬⎩⎭． 由(2-1),(2-2)确定的映射F ：S →D 是同胚映射,所以原问题可化为函数212tan tan z θθ=+在S 上满足约束条件1r <下的极值与最值问题,即化为函数212tan tan z θθ=+在区间(0,)2π内的无条件极值与最值问题. 设1(0,)2s π=,令 1tan ,(0,)t t D θ=∈=+∞. (2-3)显然由(2-3)确定的映射111:F S D →是同胚映射．这时212z t t=+在(0,)+∞内有唯一驻点1t =,且1t =是极小值点,从而也是最小值点．又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值．当t = 1时,得4πθ=；再由4πθ=及0 < r <1得x y a ==(02a <<. (2-4)由以上结论可知(2-4)为函数的极小值点与最小值点,函数无极大值与最大值．例 2 设(,)x y 为圆223x y +=上的任意一点,求函数()f x =的极大值.这是一个在约束条件223x y +=下求()f x 的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.解 由(,)x y 是223x y +=上的点,得y =将()f x以y 替代得到()f x =.可以看做圆223x y +=上任一点与(3)--连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点(3)--到圆223x y +=所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:3y +=,斜率K=因此()f x的极大值为 例3 设223x xy y ++=,求22(,)f x y x y =+的最值.解 设cos ,sin x r y r θθ==,则221sin 232r r θ+=, 所以2311sin 22r θ=+. 因此当4πθ=时,2r 取最小值32112=+;当34πθ=时,2r 的最大值36112=-. 即满足223x xy y ++=的22(,)f x y x y =+的最大值、最小值分别为6和2. 很显然,例3可以改写为例3' 设223x xy y ++=,求证: 2226x y ≤+≤.此时问题就变成不等式的证明问题,因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.2.2 变量代换在不等式中的应用变量代换法是一种非常有效的解题方法,尤其是处理一些复杂的不等式问题,效果明显．合理代换往往能简化题目的信息,凸显隐含条件,沟通量与量之间的关系,对发现解题思想,优化解题过程有着重要的作用．例1[6] 设a 、b 、c 均为正数,求348223a c b c w a b c a b c a b c+=+-++++++的最小值．解 本题涉及的三个变量a 、b 、c 不具有对称性,且三个分式的分母都是多项式,如果通分,则运算量较大．因此,我们可考虑把各分母用其他变量代换,看看结果如何．令2,2,3(,,0)x a b c y a b c z a b c x y z =++=++=++>,则有32,4484,888a c y x b x y z c z y +=-=-+=-,所以有248488y x x y z z y w x y z--+-+-= 244817y x z y x y y z =+++-17≥=17.当且仅当24y x x y=且48z y y z =,即y =时,上式取等号．所以当(1,(4b a c a =+=+时,min 17w =-.例2 设a 、b 、c 是三个互不相等的正数．证明:1a b b c c a a b b c c a +++++>---. 解 设,,a b b c c a x y z a b b c c a+++===---, 则有1xy yz zx ++=-. 因为2()3()3x y z xy yz zx ++≥++=,所以1x y z ++≥>,即1a b b c c a a b b c c a+++++>---. 说明: 本题通过局部代换,发现了隐含条件1xy yz zx ++=-,从而应用重要不等式2()3()x y z xy yz zx ++≥++使问题得到解决．例3 设1x y ≥≥,求证:13112x y y x x y ++≥+++． 解 令 ,(2,1)x y a xy b a b +==≥≥,则有13112x y y x x y ++≥+++ 221312a ab a b a +-⇔+≥++ 3222(72)a a a b a ⇔--+≥-. (2-5)因为22720,()44a a x y xy b ->=+≥=,所以3224(22)(72)a a a a a --+≥-322480a a a ⇔--+≥2(2)(2)0a a ⇔-+≥. 上面最后一个不等式显然成立,从而不等式(2-5)成立,故原不等式成立．2.3 变量代换在极限运算中的应用(1) 利用变量代换得到第一个重要极限0sin lim 1x xx→=的其它变形例如 令()x f t =,且0lim ()0t t t f t →→∞=,则有0sin ()lim1()t t t f t f t →→∞=．(2) 利用变量代换得到第二重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的变形1()lim(1())f x f x e +=,其中0lim ()0x x x f x →→∞=．(3) 无理根式形式的极限问题 例如求43lim4x x →--.3t =(也可利用有理化法求得极限)． (4) 幂指函数求极限 例如 0lim ln ln 000lim lim 1x x xxx xx x x e ee +→++→→====．(5) 二元及多元函数求极限可作变量代换,转化为一元函数求出极限 例如 求22221lim()sinx y x y x y →→++. 可令22u x y =+,则原式= 01lim sin0u u u→= (利用无穷小量的运算法则). (6) 其他类型有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则,可依题意作适当变换,转化为熟悉的形式求出极限．例4 求11110limxx x xxe e e e-→-+-.解 作变量代换,令1xe t =,则有11110limxx x xxe e e e-→-+-=221lim 11t t t →+∞+=-. 2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导例1 设22(,sin )z f x y x y =+,且具有连续偏导,求z x∂∂. 解 令 22,sin u x y v x y =+=, 则有(,)z f u v =.由复合函数的链式求导法则得2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ∂∂∂∂∂''''=+=+=+∂∂∂∂∂. (2) 隐函数求导例2 设由方程1z e xyz -=确定了一个(,)z f x y =函数,求zx∂∂. 解 将z 看作关于,x y 的函数. 方程两边同时对x 求导得()0zz ze yz xy x x∂∂-+=∂∂, 整理得z z yz x e xy∂=∂-. (3) 变限函数求导 例3 设()()()u x ax f t dt φ=⎰,求d dxφ. 解 令 ()u u x =,则函数变量之间的关系为u x φ→→,由一元函数的求导法则可得[()]()d d du f u x u x dx du dxφφ'==． (4) 利用函数导数求单调性、极值．例4 已知函数22()xxf x e -=,求函数单调区间．解 函数看作由()u f x e =,22u x x =-两个函数复合而成的．而函数()u f x e =是一个单调上升函数,将问题转化为求函数22u x x =-单调区间．2.5 变量代换在解微分方程中的应用在常微分方程中,许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的,下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解,问题就解决了,很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程.(1) 齐次方程()dy ydx x ϕ=.通过变量代换yu x =化为以u 为未知函数的可分离变量方程.(2) 准齐次方程111()dy ax by c f dx a x b y c ++=++. 其中111,,,,,a b c a b c 为常数. (i) 11ab a b ≠1110,0ax by c a x b y c ++=++=构成的方程组的解为,x y αβ==,则同时作函数y 与自变量x 的代换,y x ηβξα=+=+,将其化为以η为函数,以ξ为自变量的齐次方程,然后再将齐次方程化为可分离变量方程,达到求解齐次方程的目的. (ii) 11ab a b = 不妨设11a ba b λ==, 此时方程的形状为11111()()a x b y c dyf dx a x b y c λ++=++. 作变换11u a x b y =+,则可得分离变量方程111()dy u ca b f dx u c λ+=++.从而可以求其通解.(3) 形如 1()a a dy yf x dx x -= 的方程(其中a 是已知实数).作变量代换ayu x =, 将方程化为分离变量方程,将a yu x =代入方程,整理后可得 ()1()a a du x f u au x dx-=-. 这已是分离变量方程.(4) 一阶线性方程()()dyp x y q x dx +=,其中(),()p x q x 为已知函数.该方程所对应的齐次方程的通解为()p x dxy ce -⎰=. 作代换()()p x dxy c x e -⎰=,以此作为原方程的解,代人原方程中得()()()p x dx dc x q x e dx -⎰=. 从而解出()c x ,进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程()()()n dc x q x y q x y dx=+,其中0,1n ≠. 作代换 1n z y -=,将方程化为以z 为未知函数的线性微分方程(1)()(1)()dzn p x z n q x dx =-+-. 然后再按线性微分方程作代换求解.(6) 黎卡提方程2()()()dzp x y q x y f x dx +=+.若已知它的一个解为1()y y x =.则作代换1y u y =+,代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程.对黎卡提方程2m dyay bx x +=,其中a ,b 都是常数,且0a ≠,则当440,2,,(1,2,)2121k km k k k --=-=⋅⋅⋅+-时,可经过适当的变量代换化为可分离变量方程.(7) 其它形式的一阶方程对其它形式的某些一阶微分方程,可以根据方程自身的特点,选取灵活的代换方法,将其化为可分离变量方程.例如对方程()dyf ax by c dx =++,令 z ax by c =++; 对方程21()dy f xy dx x=,令 z xy =; 对方程2()dy yxf dx x =,令 2y z x =. 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶微分方程时,可以通过变量代换化为较低阶微分方程,进而达到求解的目的.(1) 形如(1)()(,)0n n F y y -=的高阶方程 能从中解出()(1)()n n y f y -=.令 (1)n y z -=, 则有()z f z '=.分离变量积分,可解出1(,)z x c φ=,则有(1)1(,)n y x c φ-=,再积分1n -次可求得方程通解.如不能解出n y ,可通过代换引进参数 t ,将)1(,-n n y y 都写成 t 的函数,即将原方程写成参数方程(1)()()()n n yg t y t φ-⎧=⎪⎨=⎪⎩, 然后由关系式(1)()()()n n dy g t dtdx y t φ-'==, 求出方程的参数形式通解.(2) 形如0),,,()()1()(=⋅⋅⋅+n k k y y y x F 的高阶方程 作代换)()(x p y k =,方程化为新未知函数)(x p 的k n -阶方程()(,,,,)0n k F x p p p -'⋅⋅⋅=.如能求得该方程的通解),()(21k n c c c x Q x p -=,再积分k 次便可得到原方程的通解. (3) 形如()(,,,)0n F x y y y '⋅⋅⋅=的高阶方程作代换()y p y '=,视y 为自变量,则可将方程化为关于新未知函数)(x p 的k n -阶方程,从而可能求出原方程的解,特别是二阶方程(,,)0F y y y '''=,通过上述代换可化为一阶方程,再利用某些一阶方程求解的方法来求解. 2.5.3 变量代换在解某些变系数齐次方程中的应用我们知道线性方程有完整的解的构造理论,对于常系数线性程有有效的求解方法.而对于变系数线性方程没有普遍的求解方法.一般可以根据线性齐次方程0)()(11)(=+⋅⋅⋅++-x t a x t a x n n a ,在自变量变换)(z t ϕ=和未知函数的线性齐次变换y t p x )(=下,方程的线性和齐次性保持不变的特性,对某些系数齐次方程作适当的变量代换,化为常系数线性齐次方程,从而通过常系数线性齐次方程求解. (1) 对尤拉方程01)1(1)(=++⋅⋅⋅++--y a a x a y x n n n n n ,其中n a a a ,,,21⋅⋅⋅为常数.我们通过自变量代换t e x =或x t ln =(这里x >0,当x <0时,取t e x -=),可将方程化为常系数线性齐次方程()(1)110n n n n y b y b y b y --'++⋅⋅⋅++=,其中n b b b ,,,21⋅⋅⋅都是已知常数,求出该方程的通解,再代回原变量就可得到尤拉方程的通解.(2) 对二阶变系数线性齐次方程12()()0y p x y p x y '''++=. 当该方程的不变式221111()()()()42I x p x p x p x '=-- 为常数时,我们可以经过未知函数的线性齐次变换11()2p x dx y e -⎰=,化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程,从而达到求解的目的.通过对以上几类常微分方程的分析,不难看出,分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,就能够适当的选取变量代换来求其通解.下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子. 例1[9] 解方程0)324()12(=++-++dy x y dx x y . 解 将方程整理后可得3)2(21)2(++++=x y x y dx dy . 故令x y u +=2,代入后可得3254++=u u dx du . 分离变量后,两边积分可得C x u u +=++8454ln .再代回原变量,得原方程通解为C y x x y +-=++84548ln ．例2 解方程yx y x dx dy 2332++=.解 令xyu =可得ux y =, 代入方程得32)1(22+-=u u dx du x , 分离变量,再积分,化简整理可得)1()1(4+=-u c x u ,再代回原变量,得原方程的通解)()(5x y c x y +=-.例3 解方程823732-+-+=y x y x dx dy . 解 作平移变换⎩⎨⎧+=+=τY y kX x , 从而有 dY dy dX dx ==,, 原方程化为)823(23)732(32-+++-+++=ττk Y X k Y X dx dy . 为了消去方程右边分子、分母的常数项,令⎩⎨⎧=-+=-+08230732ττk k , 从而求得1,2==τk .故令 ⎩⎨⎧+=+=12Y y X x ,原方程化为YX YX dX dY 2332++=. 由此可知通解为)()(5X Y C X Y +=-.带回原变量得原方程的通解())3(15-+=+-x y C x y .例4 解方程564432++++=y x y x dx dy . 解 令y x u 32+=,则方程可变形为52432+++=u u dx du , 整理后可得分离变量方程52227++=u u dx du . 分量变量,再积分,整理后得)27(14)722ln(9C x u u +-=+, 再代回y x u 3+=,可得原方程的通解)233(14)72232ln(9C x y y x +-=++. 通过对以上几类常微分方程的分析,我们不难看出,将分离变量和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,我们就能够适当地选取变量代换来求其通解．3 变量代换中常见的问题变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法,在数学中扮演着非常重要的角色,它是通过变换未知量来解题的一种方法,在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题,生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化,易解,起到事半功倍的作用.但是,如果所用的变量代换不恰当甚至不正确,就可能导致问题变得更复杂、难解,甚至得到错误的结果．还有些题目从形式上看似可以用变量代换法,但在实际操作的时候可能会出现一些问题,从而使转化以后的问题与原问题相背离,导致最终得到错误的答案．所以,在用变量代换法解题时一定要谨慎．本节将分别从极限运算、导数运算、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方． 3.1 极限运算方面的问题例1[11] 求极限11lim(1)sin1x x x→--. 解 令11t x=-,则 原式=11sin1lim 11x x x→--1sin lim x tt→=1=.上述解法的错误在于:作变量代换后,新的变量的趋势应为t →∞,与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符,所以不能直接利用第一个重要极限来作．该题的正确做法为:由于1x -是当1x →时的无穷小量,1sin 1x -是有界函数,利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0．通过上例我们可以看出:对于形如0sin ()lim()x x f x f x →的极限,能否用变量代换()u f x =把原式转化成第一个重要极限的形式来做,要看当0x x →时,是否有()0u f x =→,若是,才可按上步骤来做．例2 求极限1lim sin([])x x x π→+∞+.解 令1[]t x x=+, 则当x →+∞时, t →+∞,故1lim sin([])x x xπ→+∞+lim sin t t π→+∞=. 因为lim sin t t π→+∞不存在,所以原式的极限也不存在．上述解法的错误在于:在求复合函数的极限0lim [()]x x f x ϕ→时,若00lim ()x x x u ϕ→=,且当0x x ≠时,0()x u ϕ≠,作变量代换()u x ϕ=,则当0lim ()u u f u →不存在且不是无穷大量时lim [()]x x f x ϕ→可能存在．该题的正确做法为:当1n x n ≤<+时[]x n =,故1sin([])sin()(1)sin 0n x n x x xππππ+=+=-→. (x →+∞)3.2 导数运算方面的问题 例 1 设0()f x '存在,求000()()limh f x ah f x bh h→+--,其中,a b 为不等于零的常数．解 令10x x bh =-,则原式=110(())()lim()()h f x a b h f x a b a b h→++-++1()()a b f x '=+.上述解法的错误在于:在导数的定义0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=中,0x 是定点．而在上面的解法中,作代换10x x bh =-以后,1x 是随变量h 的变化而变化的,不再是定点,与导数的定义不符．该题的正确做法为原式00000()()()()lim[]h f x ah f x f x bh f x a b ah bh→+---=+-00()()af x bf x ''=+.例2 求函数 y =.解 令 u x v x =+=则原函数可以看作是由y u x v x ==+=复合而成的,由复合函数求导的链式法则得y x ''=+=.上述解法的错误在于:把复合关系搞错了．上面的做法实际上求的是由y u x v x ==+=+复合而成的函数的导数．该题的正确做法为]y x ''=++=++.3.3 积分运算方面的问题例1求4⎰.解t =,则2x t =,故原式4021tdtt =+⎰4012(1)1dt t=-+⎰42(ln(1)t t =-+83ln5=-上述解法的错误在于:作过变量代换以后,积分的上下限没有作相应的改变．该题的正确做法为:t =,则2x t = ,当x 从0变到4,相应的t 从0变到2,故原式2021tdtt =+⎰2012(1)1dt t=-+⎰22(ln(1)t t =-+=42ln3-.例2 求2204cos sin dxx xπ+⎰.解 先求不定积分,令tan t t =,故2222sec 4cos sin 4tan dx xdxx x x =++⎰⎰2tan 4tan d xx =+ 2t 4t d =+⎰211221()2td t =+⎰=1arctan 22tC +1tan arctan 22x C =+. 所以,由牛顿—莱布尼茨公式可得2204cos sin dxx xπ+⎰=1tan arctan22x π0=.上述解法的错误在于:由于所作的变量代换tan t x =在[0,]π上不连续,所以函数1tan ()arctan 22x F x =不是函数2214cos sin x x+在[0,]π上的原函数．故不能利用牛顿—莱布尼茨公式.该题的正确做法为:首先,令2u x =,则2204cos sin dx x x π+⎰2022124cos sin 22duu uπ=+⎰ 0224cos sin22duu u π=+⎰2222224cos sin 4cos sin2222du du u u u u πππ=+++⎰⎰对第二个积分作代换 v u π=-, 则上式220022224cos sin 4sin cos 2222du duu u u uππ=+++⎰⎰ 再作代换 tan 2ut =, 则2arctan u t =,故上式11220022441dt dtt t =+++⎰⎰10(arctanarctan 2)2tt =+2π=.即此题的解为224cos sin 2dx x x ππ=+⎰.4 结束语本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用,充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法．它不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法．正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解,起到事半功倍的作用．当然,尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法,但并不是所有的问题都可以用该方法来解决,在做题的时候一定要谨慎．总之,我们应当不断总结经验,提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力,不能盲目地、草率地使用该方法,避免出现错误．本文仅就变量代换在数学领域的应用作了探讨.在今后的研究中,我们还可以进一步探讨变量代换在物理、化学和经济等方面的应用,使变量代换法能够更好地为我们的学习和生活服务.。
变微分方程
变微分方程
变微分方程是指对已知的微分方程进行变换，以便将其转化为更简单或更易于解析的形式。
这种变换可以通过代换、变量替换、参数化等方式进行。
下面是一些常见的变微分方程的方法：
1. 代换法：通过引入一个新的变量或函数，将原微分方程转化为一个新的微分方程。
这个新的微分方程可能更容易求解或转化为已知的标准形式。
常见的代换包括指数代换、三角函数代换等。
2. 变量替换法：通过引入新的变量，将原微分方程转化为关于新变量的微分方程。
这样可以改变微分方程的形式，使其更容易求解或分离变量。
常见的变量替换包括极坐标替换、球坐标替换等。
3. 参数化方法：将原微分方程的解表示为一个参数方程，通过引入参数，将微分方程转化为一个关于参数的方程。
这样可以将原微分方程的求解问题转化为参数方程的求解问题。
4. 齐次化方法：对于非齐次微分方程，可以通过适当的变量替换将其转化为齐次微分方程。
这样可以简化求解过程，因为齐次微分方程的解结构更简单。
5. 线性化方法：对于非线性微分方程，可以通过适当的变换将其转化为线性微分方程。
线性微分方程的求解通常更为直接和简单。
需要注意的是，变微分方程的方法取决于具体的微分方程形
式和求解目标。
不同的微分方程可能需要使用不同的方法进行变换。
因此，在变微分方程之前，需要对原微分方程的形式和性质进行分析，并选择合适的变换方法。
10.2-4变量代换法求微分方程
第十章 微分方程与差分方程第2节 一阶微分方程变量代换法求微分方程变量代换求解微分方程一、特殊方法求解微分方程利用变量代换求微分方程的通解解,u y x =+令d d 1d d y u x x =-代入原方程2d 1d u u x=+,arctan C x u +=解得得代回,y x u +=,)arctan(C x y x +=+原方程的通解为.)tan(x C x y -+=.)(52的通解求例y x d x d y +=d 16d y x x y=+例求微分方程解,u y x =+令代入原式d 11,d u x u-=分离变量法得,)1ln(C x u u +=+-,代回将y x u +=所求通解为,)1ln(C y x y =++-11--=y e C x y或另解（一阶线性微分方程）,1-=d xd u d x d y 则.y x d yd x +=方程变形为2d 17.d sin ()y y x x xy x=-例求微分方程的通解解,xy z =令22d 11(),d sin ()sin z y y x x x xy x z=+-=,42sin 2C x z z +=-分离变量法得,代回将xy z =所求通解为.4)2sin(2C x xy xy +=-,d xd y x y d x d z +=则变量代换求解微分方程二、伯努利方程22822.x yy xy xe-'+=例求微分方程的通解解,2112--=+'y xe xy y x ,2)1(1y y z ==--令2d 2,d x z xz xe x-∴+=22d 2d [d ]x x x x x z e xe e x C --⎰⎰=+⎰所求通解为).2(222C x e y x +=-此为伯努利方程.,2d xd y y d x d z =则例9 求方程2d (ln )d y y a x y x x +=的通解.解 令,1-=y z 则方程变形为x a xz x z ln d d -=-其通解为e z =将1-=y z []2(ln ) 1.2a y x C x -=x xd 1⎰[⎰-e x a )ln (x x d 1⎰-]C x +d []2)ln (2x a C x -=代入, 得原方程通解:THANK YOU( 雅各布第一 · 伯努利 )书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利( Bernoulli )(1654 – 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .伯努利方程的标准形式:)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n n y 以)()(d d 1x Q y x P x y y n n =+--令,1n y z -=x y y n x z n d d )1(d d --=则)()1()()1(d d x Q n z x P n xz -=-+求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)。
高数第4章第3节——可用变量代换法求解的一阶微分方程
代入原方程得 u u ln u , 即 x
u
du ln u
dx , x
du uln u , dx x
解得 ln | ln u | ln | x | ln | C | , 即: ln u Cx ,
所求通解为 ln x ln y C ln x .
*四、可化为齐次型的方程
形如
dy dx
a1 x a2 x
xx 代入原方程得 u xu ulnu, 分离变量, 两边积分,得
ln | ln u 1 | ln | x | ln | C | , 即 Cx ln u 1 , 故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
2) a1 a2 0的情形 b1 b2
设 a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2
y,则方程化为
du dx
a2
b2
为 1)的情形, 可化为变量分离方程求解.
解题步骤:
1)
由
aa21
x x
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
解得
x y
,
2)
令
X Y
x , 方程化为 y
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g( Y ), X
3) 再令 u Y ,将以上方程化为变量分离方程 , X
变量代换在求解一阶微分方程中的应用_李丽
变量代换在求解一阶微分方程中的应用李丽(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)摘要:变量代换是一种重要数学变换,其主要目的是通过代换能使问题化繁为简，化难为易；将不能解决的问题转化为能解决的问题。
本文通过实例，探讨了变量代换法在求解一阶微分方程中的应用。
关键词:变量代换;一阶微分方程;齐次方程中图分类号:O175.1文献标识码:A收稿日期:2012-05-25作者简介:李丽(1975-)，女，山西左云人，助教，研究方向:计算机算法。
所谓变量代换法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量代替它，从而使问题得到简化，这也叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去解决。
变量代换法是高等数学理论和方法的重要工具之一，在高等数学领域中有着广泛的应用。
如在代数中求极限、求导、求积分等，在微分方程中求齐次方程、欧拉方程、微分方程组等[1—5]。
本文对变量代换在求解隐式微分方程与微分方程组中的应用作了初步研究。
1在解齐次方程中的应用齐次方程d y d x =φy x，通过变量代换u =yx，化为以u 为未知函数的可分离变量方程，然后带回原来的变量，可得原方程的解。
例1求解方程d y d x =y x +tan yx。
解这是齐次微分方程，以u =y x 及d y d x =xd ud x+u 代入，则原方程变为x d u d x +u =u +tan u ，即d u d x =tan u x。
(1)将上式分离变量，即有cot u d u =d xx，两边积分，得到ln sin u=ln x+c ，这里c 是任意常数。
整理后得到sin u =±ec·x 。
令±ec=c ，得到sin u =cx ，⑵此外，方程(1)还有解tan u =0，即sin u =0。
如果在(2)中允许c =0，则sin u =0也就包括在(2)中，这就是说，方程(1)的通解为(2)。
微分方程特解设法大全
微分方程特解设法大全
微分方程特解是指对于给定的微分方程，找到满足特定条件的解。
一般来说，微分方程的特解可以通过多种方法来求解，以下是一些常见的方法：
1. 分离变量法，对于一些可以通过变量分离的微分方程，可以使用分离变量法将变量分离后再进行积分求解。
2. 齐次方程的特解，对于齐次微分方程，可以尝试使用变量代换或者特定的方法来求解特解。
3. 一阶线性微分方程的特解，对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接利用线性微分方程的通解形式来求解特解。
4. 变量代换法，对于一些复杂的微分方程，可以尝试使用适当的变量代换将微分方程化简为更容易求解的形式。
5. 特殊类型微分方程的特解，对于一些特殊类型的微分方程，比如常系数线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等，可以使用特定的方法来求解特解。
除了上述方法外，还有一些其他特殊的方法和技巧可以用来求
解微分方程的特解。
在实际应用中，根据具体的微分方程形式和条件，可能需要结合多种方法来求解特解。
同时，对于一些复杂的微
分方程，可能需要借助数值方法或者计算机软件来求解特解。
总之，求解微分方程的特解需要根据具体情况选择合适的方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧来进行推导和计算。
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答能够全面地解答你的问题。
第五届全国大学生数学竞赛(非数学类大纲)完整总结
一、1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型8．连续函数的性质和初等函数的连续性9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘8. 函数最大值和最小值及其简单应用9. 弧微分、曲率、曲率半径三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念2.不定积分的基本性质、基本积分公式3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分6.广义积分7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全\微分方程3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：4.线性微分方程解的性质及解的结构定理5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4.多元复合函数、隐函数的求导法5.二阶偏导数、方向导数和梯度6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线7.二元函数的二阶泰勒公式8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz) 判别法3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛4.函数项级数的收敛域与和函数的概念5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法7.初等函数的幂级数展开式8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,1]上的正弦级数和余弦级数。
如何求解微分方程的特解？
如何求解微分方程的特解？如何求解微分方程的特解？在数学领域中，微分方程是研究变量之间的关系的重要工具。
它们被广泛应用于物理学、工程学和其他科学领域中，用于描述自然界中的各种现象和过程。
微分方程的求解是解析数学和应用数学中一个核心的研究方向。
在本文中，我们将探讨如何求解微分方程的特解，并深入了解一些重要的方法和原理。
首先，让我们回顾一下微分方程的基本定义。
微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
它的一般形式可以表示为：dy/dx = f(x)其中，y是未知函数，f(x)是已知函数。
求解微分方程的特解就是要找到满足该方程的特定函数。
为了求解微分方程，我们通常需要掌握以下几种常用的方法和技巧：1. 分离变量法：对于可以表示为dy/dx = g(x)h(y)的微分方程，可以通过分离变量的方法将其转化为两个独立变量的分离方程，并进行进一步的求解。
2. 常系数线性微分方程：常系数线性微分方程具有形式ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
这类微分方程的特解可以通过假设一个形如e^(rt)的解，并代入方程中得到特征方程。
通过求解特征方程的根来得到特解的表达式。
3. 变量可分离的一阶线性微分方程：这种类型的微分方程具有形式dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知函数。
通过乘以一个适当的积分因子，将方程转化为一个可直接积分得到特解的形式。
4. 齐次微分方程：齐次微分方程具有形式dy/dx = F(y/x)，其中F为已知函数。
通过进行变量代换和分离变量，可以将齐次微分方程转化为一阶线性微分方程，并采用相应的解法求解特解。
5. 变化常数法：对于线性非齐次微分方程，可以通过引入变量变化后的常数的方法，将原方程转化为一个齐次微分方程。
通过求解齐次微分方程的特解，再加上引入的变量变化后的常数值，可以得到原方程的特解。
通过掌握以上求解微分方程的方法，我们可以有效地解决各种复杂的微分方程，并得到特解。
一阶微分方程解法与应用
一阶微分方程解法与应用在数学领域中，微分方程是一种描述变量之间关系的数学方程。
一阶微分方程是其中一种常见的形式，它可用来描述一个未知函数的导数与该函数自身之间的关系。
解一阶微分方程是一项重要的数学技巧，它在多个学科领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一阶微分方程的解法以及其在实际应用中的例子。
1. 分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将方程中的变量分开，使得等式两边可以分别关于各自的变量进行积分。
以下是分离变量法的步骤：步骤1：将方程中的未知函数和其导数项分离。
步骤2：将两边的表达式分别关于各自的变量进行积分。
步骤3：解出方程中的未知函数。
步骤4：确定解的范围和常数。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = x^2。
按照分离变量法，我们可以进行如下操作：dy = x^2 dx （将未知函数和导数项分离）∫dy = ∫x^2 dx （两边分别积分）y = (1/3)x^3 + C （解出未知函数，C为常数）2. 齐次微分方程对于形如dy/dx = f(x)/g(y)的齐次微分方程，可通过变量代换来化简求解。
一般而言，令v = y/x，则dy/dx = dv/dx - v/x。
将此代入齐次微分方程中可以得到一个只包含v和x的方程。
解出v之后，再通过v =y/x求得y的表达式。
例如，考虑一阶齐次微分方程dy/dx = (3x^2 + 2xy)/(2x^2 + y^2)。
按照变量代换的方法，我们进行如下步骤：令v = y/x，则dy/dx = dv/dx - v/x。
代入齐次微分方程中可得：dv/dx - v/x = (3x^2 + 2xy)/(2x^2 + y^2)整理方程，得到：x dv/dx = (3x^2 + 2xy)/(2 + v^2) - v将分子中的2xy转化为v^2x^2，整理可得：x dv/dx = (3v^2 - 1)/(2 + v^2)对方程进行分离变量和积分后，可得到v的表达式。
中国科学院大学-2019年-硕士研究生入学考试大纲-602高等数学(乙)
中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（乙）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（乙）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方式和考试时间高等数学（乙）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
常微分方程2.4 变量替换法
dy 2 m ay bx , dx
其中 a, b, m 都是常数，且设 a 0. 又设 x 0, y 0. 则当
4k 4k m 0,2, , , (k 1,2,) 2k 1 2k 1
时，方程可通过适当变换化为变量可分离的方程。
16
证. 不妨设 a 1.
将 u xy 回代,
通解： 2 xy sin( 2 xy ) 4 x C
9
dy 1 ( 2) dx x y
dy du 解 令 x yu 1, dx dx du 1 1 , 方程变为 dx u
分离变量法
u ln( u 1) x C ,
将 u x y 代回,
就将方程变换为线性方程:
dz xz sin x. dx
下面介绍几种常见类型的变量替换法。
2
二、 形如 yf ( xy)dx xg( xy)dy 0 方程
引进变量 z xy ，则
z xdz zdx y , dy , 2 x x
原方程可化为
z [ f ( z ) g ( z )]dx g ( z )dz 0 x
dz 2 x az (l 1) z b. dx
14
dy p( x) y 2 q( x) y f ( x). dx 5、当Riccati方程有一个特解 y (x)
可利用变量替换 y z (x), 代入原方程得
dz d ( x) p( x)[ z 2 2 z ( x) 2 ( x)] dx dx q( x)[ z ( x)] f ( x).
dy ay 2 bx m , dx
否则可通过变量代换 x ax 化为 a 1.
合肥工业大学-高等数学-上-7-2一阶微分方程的常见类型及解法
(7.2.12)
把式（7.2.11） 、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11） ，得方程
dx x x ( )2 1 ． dy y y
x dx dv 这是齐次方程．令 v ，则 x yv ，有 v y ，代入上式，得 y dy dy v y dv dv dy v v 2 1 ，得 ． 2 dy v 1 y
积分得 以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
27-6
7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
y ( )2 dy y dy x ． 2 ，进而 dx xy 2 x dx y 2 x
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的 隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3） ，且式（7.2.5）含有一个任意常 数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的 通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．
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利用简单的变量代换求解微分方程
通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐
次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.
2(41.1)dy x y dx
=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得
24.du u dx
-=21+4
du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx
=++=++形如的方程，都可以尝试令注
2
1tan .222dy y y dx x y x
=+求微分方程的通解例2y u x
=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x
=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x
=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，
c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程
x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t
=⋅=⋅-解 ，2
(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.
y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程2
22231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-
210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为2
20(*)d y y dt
+=，r i =±解得特征根，2
12cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程
总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用
.。