利用简单的变量代换求解微分方程

利用简单的变量代换求解微分方程

通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐

次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.

2(41.1)dy x y dx

=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得

24.du u dx

-=21+4

du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx

=++=++形如的方程，都可以尝试令注

2

1tan .222dy y y dx x y x

=+求微分方程的通解例2y u x

=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x

=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x

=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，

c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程

x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t

=⋅=⋅-解 ，2

(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.

y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程2

22231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-

210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为2

20(*)d y y dt

+=，r i =±解得特征根，2

12cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程

总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用

.