选修4-4极坐标PPT课件
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人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-3第一讲-坐标系
2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化 与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样， 以平面直角坐标系 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也 可以进行互相转化，设曲线上任意一点 M 的直角坐标与极坐标分 别为(x，y)和(ρ，θ)，则极坐标方程与直角坐标方程的互相转化公 式为：y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2.
【例 3】
π 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝6(ρ
∈R)的距离是________．
【解析】
圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其
π 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 6 |0－2 3| 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝ ＝ 3. 2
【例 1】
求圆心在
并把它化为直角坐标方程． 【分析】 数形结合，先描绘圆的大致位置，找出圆上任一点 满足的几何条件．
【解】
如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连
3 接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－ π，∠BMO＝ 2 π 2.
从而△BOM 为直角三角形， 所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB. 即
与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
【解】
x＝ρcosθ， (1)因为 y＝ρsinθ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件-北师大版高中数学选修4-4
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用 (1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐 标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐 标方程也可以进行互相转化． (2)较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标 方程可以先求直角坐标方程，然后再转化． (3)极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化 为直角坐标方程，然后再分析形状.
【答案】 3
课后巩固
1．把方程 x＋ 3y＝0 化为极坐标方程为( )
π A．ρsin(θ＋ 6 )＝0
π B．ρcos( 6 ＋θ)＝0
π C．ρsin( 6 －θ)＝0
答案 A
π D．ρcos( 6 －θ)＝0
π 解析 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入并化简得 ρsin(θ＋ 6 )＝0，故
4．已知直线的极坐标方程为
π ρsin(θ＋ 4 )＝
22，则极点到该
直线的距离是________．
答案
2 2
5．求下列各圆的圆心坐标和半径． (1)ρ＝cosθ＋ 3sinθ； (2)ρ2＋4ρsinθ＋1＝0； (3)ρ2－2ρ(cosθ＋ 3sinθ)＝5.
π 解析 (1)圆心为(1， 3 )，半径为 1.
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cosin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？
提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)， 所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0， π 2 即 ρcos (θ－4)＝ 2 .
[悟一法]
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐
[研一题] [例 3] 已知⊙C：ρ＝2cos θ，直线 l：ρcos θ－ρsin θ＝4，求
过点 C 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐
标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一 般方程为极坐标方程即可． ⊙C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0，
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
2023最新整理收集 do
something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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选修4-4 1.2 极坐标系
y 5 sin
2 3 5 2
2 3
5 3 2
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A ( 3,
6
)
B ( 2,
2
)
C (1, 3 4
2
)
3 D ( , ) 2 4
E ( 2,
)
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 极 坐 标 下 ， 任 意 两 点 P1 ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 在
之间的距离可总结如下： P1 P2
o
x
1 2 2 1 2 cos( 1 2 )
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
tan
1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为( 2,
7 6 )
7 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 ) B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
5
2
( , ) 关于极轴的对称点为
( , 2 )
关于极点的对称点为
关于过极点且垂直与极 为( , )
( , )
轴的直线的对称点
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
2 3 5 2
2 3
5 3 2
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A ( 3,
6
)
B ( 2,
2
)
C (1, 3 4
2
)
3 D ( , ) 2 4
E ( 2,
)
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 极 坐 标 下 ， 任 意 两 点 P1 ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 在
之间的距离可总结如下： P1 P2
o
x
1 2 2 1 2 cos( 1 2 )
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
tan
1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为( 2,
7 6 )
7 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 ) B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
5
2
( , ) 关于极轴的对称点为
( , 2 )
关于极点的对称点为
关于过极点且垂直与极 为( , )
( , )
轴的直线的对称点
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)
思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
人教B版高二数学选修4-4_4.(2)极坐标与直角坐标互化课件
y
cos sin
2、 ( , ) (x,y)2tanx2xyy2
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
课外作业
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处，发现一古代文物遗址W， 经过初步勘测，文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。 已知B地位于A村的正西方向1千米处，试问：修建高速公路 的计划需要改变吗？如图示：
C
W
B
A
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
练一练
练习:已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A (3, 3) C (5,0) E (3,3)
B (1, 3) D (0,2)
F (3, 0)
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
化成直角坐标.
解:由5， 2
则有 x5co2s35 y5sin2 5 3
32
32
所以, 点M的直角坐标为（ 5 , 5 3 ）
22
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极 坐标与 直角坐 标互化 课件
特此声明
由于一个点达 可式 有， 多 对 0种 时于 表 ，上
公式仍适用！
例如：上述点也的可极写坐 -成 5， 标 5（ ）
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
M ( , )
探 究
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1) 2
＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
探 究
O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1) 2
＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
解：该方程可以化为＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
选修4-4 1.2 极坐标系
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 3 2 （ ）
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
选修4-4同步课件：1.2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 随堂验收(共15张PPT)
2.极点到直线ρ(cosθ-sinθ)=2的距离为________. 答案: 2
解析:∵直线ρ(cosθ-sinθ)=2的直角坐标方程为x-y-2=0,极点 的直角坐标为(0,0), ∴极点到直线的距离为
d
| 2 | 1 (1)
2 2
2.
3.ρ2sin2θ=4的直角坐标方程是________. 答案:xy=2 解析:ρ2sin2θ=4变形为2ρ2sinθ\5cosθ=4.即xy=2.
4.曲线ρ=4cosθ化为直角坐标方程为________. 答案:x2+y2=4x 解析:ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x.
5.将直线x+y-2=0化为极坐标方程为________. 答案:ρcosθ+ρsinθ-2=0
x cos , 解析 :由 得 cos sin 2 0. y sin ,
2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 随堂验收
1.将曲线ρ2(1+sin2θ)=2化为直角坐标方程为____2
解析:∵ρ2(1+sin2θ)=2,∴ρ2(cos2θ+2sin2θ)=2, x2 ∴ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2,即x2+2y2=2,∴ y 2 1. 2
(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2+2ax=0, 得ρ2cos2θ+ρ2sinθ+2aρcosθ=0, 即ρ(ρ+2acosθ)=0,ρ=-2acosθ, 从而圆x2+y2+2ax=0(a≠0)的极坐标方程为 ρ=-2acosθ,圆心为(-a,0),半径为r=|a|.
解析 : 1当 0时,cos sin 0, k 曲线经过极点, 方程可以变形为 2 cos sin . x cos , 由 得x 2 y 2 x y, y sin , 即x 2 y 2 x y 0.
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标和直角坐标的互化课件
第一讲坐标系 二极坐标系
2.极坐标和直角 坐标的互化
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基础知识：
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人民教育出版社 高中 |选修4-4
思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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2.极坐标和直角 坐标的互化
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基础知识：
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思考：
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老师点拨：
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老师点拨：
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人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
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分析：
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人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
学生思考，老师总结 ：
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典型例题2 ：
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分析：
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1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 上任意 C 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 ( , ) 0 f 并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都在曲线 上， f C 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
ห้องสมุดไป่ตู้
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 上任意 C 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 ( , ) 0 f 并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都在曲线 上， f C 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
3、极坐标方程 cos( )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆
ห้องสมุดไป่ตู้
解：该方程可以化为 ＝cos( ) 4 1 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解：＝cos cos
2
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C (a, 0)(a 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 CM ON , 所以，动点M 的轨迹方程是＝4 cos
练习 4 把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－cos
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
4
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0)
4 2、求过极点，倾角为 的直线的极 4 5 坐标方程。 或
4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0)
4 2、求过极点，倾角为 的直线的极 4 5 坐标方程。 或
4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
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CHENLI
9
（一）直线的极坐标方程
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。
4
易得 5 ( 0)
4Hale Waihona Puke 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
4
的直线的极
或 5
4
4
CHENLI
10
结论：直线的极坐标方程
(0)表示极角 的为一条射线 ＝(R)表示极角 的为一条直线
CHENLI
11
（一）直线的极坐标方程
15
练习习：：3 4、已知直线的程 极为 坐 si标 n(方 ) 2
42
求点 A(2,7)到这条直线的距离。
解：将直线
4
sin(
)
2 化为直角坐标方
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4
（ 2，－ 2）
点到直线的距离为
2－
2－1 ＝
2
CHENLI
2
2 16
练习：4 6、确定极坐标方程 4sin( )与
CHENLI
18
（3）M（，）也可以表示为
(, 2 k )或 ( , (2 k 1 ))
CHENLI
6
三.极坐标与直角坐标的互化
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
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三.极坐标与直角坐标
点M 互化 公式
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如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐 标 就可以一一对应了.
我们约定,极点的极坐标是极径=0,极 角是任意角.
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负极径的规定
（1）在极坐标系中,极径允许取负值, 极角也可以是任意的正角或负角；
（2）当 ＜0时,点M（，）位于极角终边的
反向延长线上,且OM= 。
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3cos sin 80所表示的曲线
及位置关系。
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高考
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1,M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程．
3.求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的
直线L的极坐标方程。
M
cos a
﹚ o Ax
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（二）圆的极坐标方程
4(１:求)圆下心列在圆极的点极,坐半标径方为程r；＝r
(２)圆心在Ｃ(a,0),半径为a；＝2acos (３)圆心在(a,/2),半径为a；＝2asin
CHENLI
极坐标
CHENLI
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极坐标系：
极点：如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点； 极轴：自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴； 单位：再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)
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一.点的极坐标
对于平面上任意一点M,
M
用表示线段OM的长度, 叫
做点M的极径,
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下列极坐标方程表示的曲线
（1）极坐标方 ＝1程 表示
(2)极坐 标 s方 inc程 o表 s 示
(3)极坐标 ＝ c方 os程 ()表示
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练习：
1.在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( B )
A.1，π2
B.1，－π2
C．(1,0)
D．(1，π)
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用表示从OX到OM 的角度, O
X
叫做点M的极角,
有序数对（,）就叫做M的 极坐标。
CHENLI
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二.极坐标系下点与极坐标的对应情况
1.给定(,),就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M。
P
M (ρ,θ)…
2.给定平面上一点M,但却有 O
X
无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
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直角坐标(x，y) x＝ρcosθ y＝ρsinθ
极坐标(ρ，θ) ρ2＝x2＋y2
tanθ＝xy(x≠0)
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四.极坐标方程
一般地，在极坐， 标如 系果 中平面C曲 上线 任意
一点的极坐标中一 至个 少满 有足方 f (程 ,)0 并且坐标适合f (方 ,程 )0的点都在曲 C上线， 那么方f程 (,) 0叫做曲C线 的极坐标方程