最新高一下学期月考数学试卷
2023-2024学年陕西省西安高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年陕西省西安高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知点()1,2A ，()1,0B -，则AB =uu u r（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()2,2--D ．()0,2【正确答案】C根据平面向量的坐标表示，求出AB即可.【详解】点()1,2A ，()1,0B -，则()()11,022,2AB =---=-- .故选：C .本题考查向量的坐标运算，属于基础题.2．若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．2【正确答案】D【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.3．已知向量a 、b 的夹角为3π4，a = ，1b = ，则3a b -=r r （）A ．4B ．5C ．D ．【正确答案】B【分析】根据平面向量的数量积公式可得1a b ⋅=-，再根据|3|a b -= .【详解】因为3π||||cos 1()142a b a b ⋅=⨯⨯-=-，所以|3|a b -= =5==.故选：B4．已知向量()1,2a b += ，()3,4c =-- ，且b c ⊥ ，则a 在c方向上的投影是（）A ．115B ．-11C ．115-D ．11【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出a c ⋅，再利用投影的意义求解作答.【详解】因为b c ⊥，则()a b c a c b c a c +⋅=⋅+⋅=⋅ ，而向量()1,2a b += ，()3,4c =-- ，于是1(3)2(4)11a c ⋅=⨯-+⨯-=-，所以a 在c方向上的投影是115||a c c ⋅==-.故选：C5．正四面体A BCD -的棱长为）A ．34B ．14C ．18D ．19【正确答案】D【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答.【详解】依题意，正四面体A BCD -的内切球与外接球球心重合，记为O ，令正BCD △的中心为G ，连接,,AG BG OB，显然点O 在AG 上，令正四面体A BCD -的内切球与外接球半径分别为,r R ，即,OG r OA OB R ===，而22sin 603323BG BC ==⨯⨯=，则3AG ==，在Rt BOG △中，222)R R =+，解得Rr AG R =-=所以它的内切球与外接球的表面积之比为2224π1()4π9r r R R ==.故选：D6．设当0x x =时，函数()3sin 4cos f x x x =-取最大值，则0cos x =（）A ．5-B ．45-C ．35-D ．35【正确答案】B【分析】利用辅助角公式变形函数()f x ，并确定辅助角的正余弦值，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】函数34()5()5sin()55f x x x x ϕ=-=-，其中锐角ϕ由43sin ,cos 55ϕϕ==确定，依题意，0sin()1x ϕ-=，即0π2π,Z 2x k k ϕ-=+∈，即0π2π,Z 2x k k ϕ=++∈，所以0π4cos cos()sin 25x ϕϕ=+=-=-.故选：B7．在OAB 中，C ，D 分别为AB ，OB 的中点，E 为OA 边上离点O 最近的四等分点，F 为AD ，CE 的交点若OA a = ，OB b = ，则OF =（）A ．23510a b+ B ．2355a b+C ．13510a b+ D ．33510a b+ 【正确答案】A【分析】根据给定的条件，利用平面向量基本定理确定出点F 的位置，再利用向量的线性运算求解作答.【详解】在OAB 中，依题意，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+，点F 在AD 上，即//AF AD ，于是1,R 2AF t AD ta tb t ==-+∈ ，而14OE a =，则1331()()2442EF AF AE ta tb a t a tb =-=-+--=-+ ，13111()24242CE AE AC AE AB a b a a b =-=-=---=--，由于点F 在CE 上，即//EF CE ，而,a b不共线，因此31421142t t -=--，即43t t -=-，解得35t =，则33510AF a b =-+ ，所以3323()510510OF OA AF a a b a b =+=+-+=+ .故选：A8．已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．[23，34]C ．[13，23] {34}D ．[13，23） {34}【正确答案】C【详解】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C.函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、多选题9．已知向量a，b 满足||1a = ，||2b = ，||a b +=）A ．2a b ⋅=-B ．()a ab ⊥+ C ．||a b -=D ．a与b的夹角为3π【正确答案】BC【分析】先利用平面向量的数量积运算得到1a b ⋅=-，即可得到()a a b ⋅+ 的值，再利用平面向量的数量积运算得到|a b - ∣，最后求解cos ,a b <>，即可判断选项.【详解】222||21243a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=，∴1a b ⋅=-，∴2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，∴()a a b ⊥+ ，|a b -= ∣，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，∴a 与b的夹角为23π，故BC 正确.故选：BC.10．设向量a 、b是不共线的两个平面向量，已知sin PQ a b α=+⋅ ，其中()0,2απ∈，2QR a b =-，若P 、Q 、R 三点共线，则角α的值可以是（）A ．6πB ．56πC ．76πD ．116π【正确答案】CD【分析】三点共线转化为向量共线，再由向量共线的列式求出α值判断作答.【详解】因为,,P Q R 三点共线，即,PQ QR 共线，则存在实数k 使得PQ kQR =，因此sin (2)2a b k a b ka kb α+⋅=-=- ，又,a b不共线，于是12sin k kα=⎧⎨=-⎩，解得1sin 2α=-，又(0,2π)α∈，所以7π6α=或11π6.故选：CD11．已知函数()cos 2sin 2f x x x =，则下列说法正确的是A ．()f x 的周期为πB ．3x π=是()f x 的一条对称轴C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间【正确答案】ABD【分析】化简()cos 22f x x x =可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质即可判断A,B 正确，再利用复合函数的单调性规律即可判断C 错误，D 正确；问题得解.【详解】由()cos 2sin 2f x x x =可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的周期为22T ππ==，所以A 正确；将3x π=代入()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：2cos 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()f x 取得最小值2-，所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以B 正确；令23t x π=+，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2cos y t =，23t x π=+复合而成；当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，23t x π=+在,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦递增，2cos y t =在2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦不单调，由复合函数的单调性规律可得：,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个递增区间；所以C 错误.当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]0,t π∈，23t x π=+在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦递增，2cos y t =在[]0,t π∈单调递减，由复合函数的单调性规律可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递减，所以D 正确；故选ABD本题主要考查了三角函数的性质及两角和的余弦公式逆用，还考查了复合函数单调性规律，考查转化能力，属于中档题．12．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）A ．圆锥的体积为3B ．圆锥的表面积为C的扇形D ．圆锥的内切球表面积为(24π-【正确答案】ACD【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A 、B 、C ；根据球的表面积公式可判断D.【详解】由题意圆锥的底面半径r =h ==，所以圆锥的体积2133V r h π=⋅⋅=，故A 正确；圆锥的表面积22S rl r πππ=+=+，故B 错误；圆锥的侧面展开图是圆心角2α==，故C 正确；，作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为a ，四边形ABCD 为正方形，所以()22a -⨯=2a =，圆锥的内切球表面积((2244224S a πππ==-=，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．已知A O B '''V 表示水平放置的AOB 的直观图，且A O B '''V 的面积是2，则AOB 的面积是__________.【正确答案】6【分析】根据给定条件，利用斜二测画法水平放置的三角形直观图与原三角形的面积关系直接求解作答.所以AOB的面积6224AOB S ==⨯= .故614．在ABC 中，点F 为线段BC上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>> ，则12x y+的最小值为________【正确答案】8根据C ，F ，B 三点共线可得,x y 的关系，再利用基本不等式解出.【详解】因为()20,0AF xAB y AC x y =+>>，且点F 在线段BC 上，则21x y +=，且0,0x y >>，则()1212424448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立.故8关键点睛：本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，注意当,,A B C 三点共线时，若OA OB OC λμ=+，则必有1λμ+=.15．已知在ABC 中，4AB =，6AC =，其外接圆的圆心为O ，则AO BC ⋅=__________.【正确答案】10【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.【详解】取AB ，AC 的中点D ，E ，连接,OD OE，如图，当圆心O 与点E 不重合时，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，2,3AD AE ==，则()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅＝()2()2AE EO AE AD DO AD +⋅-+⋅ 222222AE EO AE AD DO AD =+⋅--⋅ 22232210=⨯-⨯=，当圆心O 与点E 重合时，AB BC ⊥，2222111()()(64)10222AO BC AC AC AB AC AB ⋅=⋅-=-=-= ，所以10AO BC ⋅=.故1016．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为______.【正确答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD 长，根据正弦定理，可得BD 长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，所以150ADC ∠=︒，15DAC DCA ∠=∠=︒，所以80AD CD ==，又因为120ACB ∠=︒，所以135,30BCD CBD ∠=︒∠=︒，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠8012=，解得BD =在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，所以222802802AB ⎛=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得AB =m .故四、解答题17．已知向量,,a b c 满足(1,3)a =-，||b = ||c = （1）若a c∥，求c 的坐标；（2）若()2a a b ^- ，求a 与b的夹角.【正确答案】(1)c =- 或(c = .(2)4π.【分析】(1)本题可以设出向量c 的坐标，然后根据||c = a c∥分别列出等式，通过计算即可得出结果；(2)首先可以通过()2a a b ^-以及(1,3)a =- 计算出20a b ×= ，再根据|a |= 、||b = 及向量的数量积公式即可得出结果．【详解】（1）设(,)c x y =因为||c =2220x y +=，①因为a c∥，所以30y x --=，②联立①②，解得x y ì=ïíï=-îx y ì=ïíï=î故c =- 或(c =.（2）因为()2a a b ^- ，所以()20a a b ×-= ，即22a b a ×= ，又因为(1,3)a =- ，所以|a |= 20a b ×=.因为||b =cos ,2a b =因为,[0,]a b狁 p ，所以a 与b 的夹角为4π.本题考查了向量的相关性质，主要考查向量的模长公式、向量的数量积、向量平行的相关性质，向量的数量积公式为cos ,a b a b a b �鬃 ，考查化归与转化思想，是中档题．18．函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图象如图所示，其中0A >，0ω>，2πϕ<.（Ⅰ）求函数()y f x =解析式；（Ⅱ）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域.【正确答案】（Ⅰ）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）[]1,4.（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由46f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，可得函数的解析式；（Ⅱ）由已知可求范围72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图象和性质可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可求解.【详解】（Ⅰ）根据函数()()sin ωφf x A x B =++的一部分图象，其中0A >，0ω>，2πϕ<，可得422A =-=，2B =，12544126T πππω=⋅=-，∴2ω=.又46f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2sin 2246πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，即26k πϕπ=+，∵2πϕ<，∴6πϕ=，∴()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴[]2sin 221,46y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.本题主要考查由函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在半径为30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）.若要求圆柱体罐子侧面积最大，应如何截取？并求侧面积最大值.【正确答案】在半圆直径上取距离圆心O 为cm 的两点A ，B ，以线段AB 为矩形的一边截取铁皮，最大面积为9002cm .【分析】设COB θ∠=，可得ABCD 的面积为()900sin2S θθ=，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】依题意，圆柱体罐子的侧面积即为矩形ABCD 的面积，圆心为O ，连结OC ，如图，设COB θ∠=，π(0,)2θ∈，有30sin BC θ=，30cos OB θ=，因此矩形ABCD 的面积为()230cos 30sin 900sin2S AB BC θθθθ=⋅=⨯⨯=，显然2(0,π)θ∈，当sin21θ=，即π4θ=时，max ()900S θ=2cm ，此时OB =cm ，所以在半圆直径上取距离圆心O 为cm 的两点A ，B ，以线段AB 为矩形的一边截取铁皮，圆柱体罐子的侧面积最大，最大面积为9002cm .20．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，Q 是1CC 的中点．求证：(1)//PO 平面1D BQ ；(2)平面1//D BQ 平面PAO ．【正确答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）先根据中位线的性质证明出1//PO D B ，进而根据线面平行的判定定理证明出线面平行；（2）连接PQ ，易证//PA BQ ，从而//PA 平面1D BQ ，由（1）知//PO 平面1D BQ ，从而证明出平面1//D BQ 平面PAO ．【详解】（1）在1D DB 中，P ，O 分别是1DD 与DB 的中点，所以1//PO D B ．又PO ⊄平面1D BQ ，1D B ⊂平面1D BQ ,所以//PO 平面1D BQ ；（2）连接PQ ，因为P 是1DD 的中点，Q 是1CC 的中点，所以PQ AB =且//PQ AB ，故四边形APQB 是平行四边形，所以//PA BQ ．又PA ⊄平面1D BQ ，BQ ⊂平面1D BQ ，所以//PA 平面1D BQ ．又由（1）得//PO 平面1D BQ ，因为PA PO P =I ，所以平面1//D BQ 平面PAO ．21．在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =+.（1）求B ；（2）若AD 为BAC ∠的平分线，且24BD DC ==，求c .【正确答案】（1）3B π=；（2）1c =.【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，即可求出tan B 和B 的值.（2）利用正弦定理和余弦定理，列方程求出AB 的值.【详解】解：（1）ABC 中，因为cos sin a b C B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin A B C C B =+；又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin sin B C C B =.因为(0,)C π∈sin 0C ∴≠，所以cos B B =，得tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（2）如图所示，BAD 中，由正弦定理得：sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，CAD 中，由正弦定理得：sin sin CD ACCAD CDA=∠∠；因为sin sin BDA CDA ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠，所以12BD AB CD AC ==；在ABC 中，令AB x =，则2AC x =，由余弦定理可得：223641cos 262x x B x +-==⨯，解得：1x =，或1x =-（不合题意，舍去）；所以1c =.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22．已知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域；（3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++20x > ，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x < ，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <；∴函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。
数学高一月考试题及答案
数学高一月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x-5，则f(-2)的值为：A. 3B. -3C. -1D. 12. 在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 5D. 64. 若sinθ=1/3，且θ为第一象限角，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 2√6/35. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的导数为：B. 1C. 2D. 36. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，那么a_5的值为：A. 162B. 486C. 729D. 9728. 若直线y=2x+1与圆x^2+y^2=25相切，则该直线与x轴的交点坐标为：A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)9. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -110. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，则向量a与向量b的夹角A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x_0，则f'(x_0)的值为________。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_4的值为________。
3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为________。
4. 若sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为________。
5. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值为________。
2023-2024学年吉林省白山市抚松一中高一(下)月考数学试卷(4月份)+答案解析
2023-2024学年吉林省白山市抚松一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则()A. B. C. D.2.“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数的共轭复数为()A. B. C. D.4.若集合，则()A. B. C. D.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则()A. B. C. D.6.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为()A. B. C. D.7.在复数范围内，，是方程的两个不同的复数根，则的值为()A.1B.C.2D.或28.已知函数的部分图象如图所示，，，，则()A.4B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则()A. B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.为奇函数10.已知函数，，则()A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，只有1个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点11.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得米，，，则()A.米B.米C.米D.米三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______.13.已知复数，若z为纯虚数，则z的虚部为______；若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a的取值范围是______.14.已知P是正六边形ABCDEF边上任意一点，且，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学(含解析)
高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页。
考试结束后，请将答题卡交回。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，则的实部与虚部之和是（ ）AB ．1C ．－1D ．02．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（）A ．1B C ．2D ．3．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则C ．若，则D ．若与不相交，则4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设名全是男生名全是女生恰有一名男生至少有一名男生，则下列关系不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若，则（ ）21ii i z +=+z A B C D '''',,a b c ,,αβγ,αββγ⊥⊥αγ∥α,,A B C βαβ∥,a b a c ⊥⊥b c∥,,,,a b c c αβαγβγγ=⊃=⊂∥ ,αβc a b∥∥{2A =},{2B =},{C =},{D =}A D⊆B D =∅A C D= A B B D= ()1sin1,lg tan1,2a b c ===A ．B ．C ．D ．6．已知向量满足，且，则（ ）A ．3BCD ．57．设，则“”是“”的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要8．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ）ABC ．D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
2023-2024学年河南省信阳高一下册第三次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳高一下册第三次月考数学试题一、单选题1．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x=D ．3y x =【正确答案】D【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ=<=，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误.对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数，而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.2．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【正确答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．3．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.4．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC等于（）A ．BCB ．12ADC ．ADD ．12BC 【正确答案】C【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】如图，EB ＋FC ＝EB ＋BC ＋FC ＋CB ＝EC ＋FB＝12AC ＋12AB ＝()12AC AB + 122AD AD =⨯=.故选：C.5．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若2cos sin sin C B A =，则该三角形的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形【正确答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.【详解】因为2cos sin sin C B A =，由正弦定理可得2cos b C a =，因为222cos 2a b c C ab +-=，所以222a b c a a+-=，整理可得b c =.故选：B.6．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（）A ．153πB ．169πC ．40πD ．90π【正确答案】B【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】方法一：由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，所以半径132R =，由球的表面积公式得2134π()169π2S ==，故选：B ．方法二：如图，取11,BC BC 的中点分别为12,O O ，根据题意，它们分别是111,A B C ABC 的外心，因为112112,B O BO B O BO = ，所以四边形211BO O B 是平行四边形，所以112112,B B O O B B O O = ，而1B B ⊥底面ABC ，所以12O O ⊥底面ABC ，取11O O 的中点O ，于是点O 为该直三棱柱外接球的球心．连接OB ，容易求得22156,22OO BO AC ====，则外接球半径R 132=，于是外接球的表面积为2134π(169π2⨯=，故选：B ．7．下面给出的几个关于向量问题的结论中，错误的个数是（）①a b a b ⋅≤⋅；②()222a ba b ⋅=⋅ ；③若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角θ的取值范围是,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④已知(),2a λ= ，()3,5b =- ，若a 与b 夹角是锐角，则103λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，；A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据向量数量积的计算公式分别计算判断各结论.【详解】结论①：cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，当,,2a b ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0a b ⋅<，cos ,0a b a b a b ⋅=⋅⋅≥，故①错误；结论②：()2222cos ,a ba b a b ⋅=⋅⋅，()22222222cos ,a b a b a b a b a b⋅=⋅≥⋅⋅=⋅ ，故②错误；结论③：当cos ,0a b a b a b ⋅=⋅⋅< 时，cos 0θ<，即,2πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故③错误；结论④：若a 与b 夹角是锐角，则0a b ⋅>，且a ，b 不共线，即()3520523λλ-+⨯>⎧⎨≠⨯-⎩，解得103λ<-，且65λ≠-，即6610,,553λ∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错误；故选：D.8．已知方程2(4i)4i 0(R)x x a a ++++=∈有实根b ，且i z a b =+，则复数z 等于（）A ．22i -B ．22i+C ．22i-+D ．22i--【正确答案】B【分析】根据复数相等可得20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，然后根据共轭复数的概念即得.【详解】由题可得2(4i)4i 0(R)b b a a ++++=∈，整理可得：()()2i 440b a b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，22i z =+.故选：B.9．下面给出的几个命题，正确命题的个数是（）①侧面是全等的长方形的直四棱柱是正四棱柱；②若直线//a 平面α，平面//α平面β，则//a 平面β；③在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为π6；A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】对于①②，举反例即可判断，对于③，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解，由此判断即可.【详解】对于①，底面是菱形的直四棱柱，其侧面也是全等的长方形，但它不是正四棱柱，故①错误；对于②，当直线a ⊂平面β时，若平面//α平面β，则直线//a 平面α，但显然不满足//a 平面β，故②错误；对于③，根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，.不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()()()()112,0,0,0,0,2,2,2,0,2,2,2A D B B ，故()1,1,2P ，所以()()11,1,2,2,0,2PB AD =-=- ，不妨设直线PB 与1AD 所成的角θ，则π02θ<<，所以11cos 2PB AD PB AD θ⋅== ，故π6θ=，即直线PB 与1AD 所成的角为π6，故③正确；综上：①②错误，③正确，所以正确命题的个数是1.故选：B.10．锐角ABC 的外接圆半径为1，边AC =BC BA >，且满足cos cos A C =，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．5π12【正确答案】C【分析】由正弦定理得B ，由cos cos A C =角公式可得πsin 262⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ，最后由BC AB >可得答案.【详解】由正弦定理得ππsin ,0,,2223⎛⎫==∈∴= ⎪⎝⎭B B B r ，因为1cos cos 4A C =，所以22π111cos cos cos sin cos 34224⎛⎫-=∴-+= ⎪⎝⎭C C C C C ，即1πcos 2sin 2,sin 246⎛⎫-- ⎪⎝⎭C C C ，因此ππ2=63-C 或π2π2=63-C ，π=4C 或5π=12C ，因为BC AB >，所以π3C <，即π=4C .故选：C.11．如图，A B 、分别是射线OM ON 、上的点，给出下列以O 为起点的向量：①2OA OB +；②1123OA OB + ；③3143OA OB + ；④3145OA OB +；⑤3243OA BA OB ++ 其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（）A ．①③B ．①②④C ．②③D ．①③⑤【正确答案】A【分析】利用向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时,存在唯一的一对有序实数,u v ,使得OP uOA vOB =+成立,且1u v +=.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是:满足OP uOA vOB =+,且0,0,1u v u v >>+>.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的充要条件可得:当点P 在直线AB 上时,存在唯一的一对有序实数,u v 使得OP uOA vOB =+成立,且1u v +=.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是:满足OP uOA vOB =+,且0u >,0,1v u v >+>.证明如下:如图所示,点P 是阴影区域内的任意一点,过点P 作,PE ON PF OM ,分别交,OM ON 于点E ,F ;PE 交AB 于点P ',过点P '作P F OM '' 交ON 于点F ',则存在唯一一对实数()(,),,x y u v '',使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+,且1,,u v u v ''''+=唯一;同理存在唯一一对实数,x y ''使得OP x OE y OF x OE y OF uOA vOB ''''''=+=+=+,而,,,1x x y y u u v v u v u v =>∴=>''''>'∴+'+='，即可判断出①,因为121+>，所以点P 位于阴影区域内,故①正确;同理③正确;而②④不正确;⑤原式3271()4343OA OA OB OB OA OB =+-+=-,而103-<,故不符合条件.⑤不正确;综上可知：只有①③正确.故选：A.本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键.属于较难题.12．在ABC 中，若2,AB AC ==，则ABC 的面积S 的最大值为（）AB ．2C D ．【正确答案】A【分析】根据题意，利用余弦定理得到sin B 关于a 的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.【详解】依题意，不妨设BC a =，AC b =，AB c =，则2c =，b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22)44cos a a B =+-，则224cos 40a a B +-=，故2421cos 42a a B a a -==-，则2221cos 14a B a =+-，所以22221sin 1cos 24a B B a=-=--，又因为11sin 2sin sin 22S ac B a B a B ==⨯=，故()242222222211sin 22143444a a S a B a a a a ⎛⎫==⨯--=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当24a =，即2a =时，2S 取得最大值3，此时2a =，b =2c =能组成三角形．所以2max 3S =，即max S =故选：A.二、填空题13．已知点()2,3A ，若把向量OA 绕原点O 按逆时针方向旋转90 得到向量OB，则点B 的坐标为________.【正确答案】()3,2-【分析】设点B 的坐标为(),x y ，可知点B 位于第二象限，由题意得出00OA OB OA OB x ⎧⋅=⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，由此列方程组解出x 、y 的值，即可得出点B 的坐标.【详解】设点B 的坐标为(),x y ，由题意可知，点B 位于第二象限，则0x <.由题意可得00OA OB OA OB x ⎧⋅=⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则有230x y +=⎧=<⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=⎩，因此，点B 的坐标为()3,2-，故答案为.()3,2-本题考查平面向量的坐标运算，要结合条件得出两向量之间的关系，同时要注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆.若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则1221//0a b x y x y ⇔-=r r ，12120a b x x y y ⊥⇔+=.14．下面给出的几个关于复数的命题，①若()()22432i x x x -+++是纯虚数，则实数2x =±②复数()21i()a a +∈R 是纯虚数③复数sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点Z 位于第三象限④如果复数z 满足|i ||i |2z z ++-=，则|2i 1|z --的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【正确答案】②③【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【详解】对于①，因为22(4)(32)i x x x -+++为纯虚数，所以224=0320x x x ⎧-⎨++≠⎩，解得2x =，故①错误；对于②，因为R a ∈，所以2+10a ≠，所以2(+1)i a 是纯虚数，故②正确；对于③，因为sin1000︒-<，cos1000︒<，所以sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，i i 2z z ++-=表示复数z 对应的点Z 到点(0,1)A -和到点(0,1)B 的距离之和，又因为2AB =，所以复数z 对应的点Z 在线段AB 上，而2i 1z --表示点Z 到点(1,2)P 的距离，所以其最小值为PB =故②③．15．已知定圆C 的半径为4，A 为圆C 上的一个定点，B 为圆C 上的动点，若点,,A B C 不共线，且AB t AC BC -≥ 对任意的(0,)t ∈+∞恒成立，则⋅=AB AC ______.【正确答案】16【分析】由题干条件得到B A A A B t C BC AC -≥=-，两边平方后得到关于t 的一元二次不等式在(0,)t ∈+∞恒成立，讨论判别式和根的范围，求出正确答案.【详解】B A A A B tC BC AC -≥=- 两边平方得：2222222AB t AB AC t AC AB AB AC AC -⋅+≥-⋅+ ，所以2880t t AB AC AB AC -⋅+⋅-≥在(0,)t ∈+∞上恒成立，由()()()22328160AB AC AB AC AB AC ∆=⋅-⋅-=⋅-≥ ，若Δ0=，16AB AC ⋅= ，()228168810t t t -+=-≥在(0,)t ∈+∞上恒成立，满足要求，若0∆>，16AB AC ⋅≠ ，则2880t t AB AC AB AC -⋅+⋅-= 的较大解为1616AB AC AB AC t ⋅+⋅-= ，当16AB AC ⋅> 时，216116AB AC t ⋅-=> ，故不能对任意的(0,)t ∈+∞恒成立，舍去；当16AB AC ⋅< 时，1t =，不能对任意的(0,)t ∈+∞恒成立，舍去；综上.16AB AC ⋅= 故16思路点睛：平面向量解决几何最值问题，①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E .F ，且12EF =，则下列结论中正确的序号是_________.①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④AEF △的面积与BEF △的面积相等.【正确答案】①②③①由AC ⊥平面11DD B B 垂直可判断，②由线面平行的定义可判断，③棱锥底面面积不变，顶点到底面距离不变可判断结论，④分析,A B 到直线EF 的距离即可判断.【详解】对于①，由题意及图形知，AC ⊥平面11DD B B ，故可得出AC BE ⊥，故①正确，对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，故②正确，对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 的距离等于BD 的一半，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确，对于④，由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故AEF △的面积与BEF △的面积相等不正确，故④错误，∴正确命题的序号是①②③.故①②③三、解答题17．ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c .向量()m a = 与(cos ,sin )n A B = 平行.(1)求A ；(2)若2a b ==，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3(2)2【分析】（1）根据向量共线可得sin cos 0a B A =，再利用正弦定理进行边化角运算求解；（2）先根据余弦定理求得3c =，再利用面积公式运算求解.【详解】（1）∵m n ，则sin cos 0a B A =，由正弦定理可得：sin sin cos 0A B B A =，又∵()0,πB ∈，则sin 0B ≠，∴sin 0A A =，即tan A =且()0,πA ∈，故π3A =.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2742c c =+-，解得3c =或1c =-（舍去），故ABC 的面积113sin 232222S bc A ==⨯⨯.18．在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，,,E F M 分别为111,,A C AB BC 的中点.(1)求证：//EF 平面11BB C C ；(2)求证：1BC ⊥平面1AB M .【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；（2）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理及线面垂直的性定理，结合线面垂直的判定定理即可求解.【详解】（1）连接11,A B BC ，如图所示因为F 是1AB 的中点，所以F 为1A B 的中点，又因为E 为11AC 的中点，所以1//EF BC .因为1BC ⊂平面11,BB C C EF ⊄平面11BB C C ，所以//EF 平面11BB C C .（2）在矩形111,BCC B BC =，所以11tan tan 2CBC B MB ∠=∠=.所以11tan tan 1CBC B MB ∠⋅∠=.所以11π2CBCC B MB ∠+∠=.所以11BC B M ⊥.在正三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11BB C C .因为M 为BC 的中点，AB AC =，所以AM BC ⊥.因为平面ABC ⋂平面11BB C C BC =，所以AM ⊥平面11BB C C .因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以1AM BC ⊥.又因为1,AM B M M AM =⊂ 平面11,AB M B M ⊂平面1AB M ，所以1BC ⊥平面1AB M .19．已知两个不共线的向量,a b 满足(()R ,cos ,sin ,a b θθθ==∈ .(1)若2a b - 与7a b - 垂直，求||a b + 的值；(2)当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ，使得||||a ma = 成立，求正数m 的取值范围.【正确答案】(2)222⎢⎣⎦【分析】（1）根据(2)(7)0a b a b -⋅-= 求出1a b ⋅= ，再展开2||a b + 求解.(2)根据||||a ma =，平方后化简，整理成2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，数形结合求解.【详解】（1）由条件知||2,||1a b == ，又2a b - 与7a b - 垂直，所以(2)(7)81570a b a b a b -⋅-=-⋅+= ，所以.1a b ⋅= .所以22224217a b a a b b +=+⋅+=++= ，故a b +=（2）由||||a ma = ，得22||||a ma = ，即2222||3||||a b b m a +⋅+= ，所以2434b m +⋅+= ，即27)4m θθ+=，所以2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，得ππ2π,663θ⎡⎤+∈⎢⎣⎦.因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知2647m ≤-<即213744m +≤<，又0m >，m ≤<.即实数m 的取值范围为⎣⎦.20．如图所示，EB 垂直于菱形ABCD 所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G 、H 分别为边CD 、DA 的中点，点M 是线段BE 上的动点．（I ）求证：GH ⊥DM ；（II ）当三棱锥D-MGH 的体积最大时，求点A 到面MGH 的距离．【正确答案】（Ⅰ）见解析；（II ）25【分析】（Ⅰ）先证明GH ⊥平面BDE ．再证明GH ⊥DM ；（II ）先证明BM ⊥平面ABCD ，再计算得到D MGH V -=．所以当点M 与点E 重合时，BM 取得最大值2，此时（V D-MGH ）max =再求A 到平面MGH 的距离为25.【详解】（Ⅰ）证明：连接AC 、BD 相交于点O ．∵BE ⊥平面ABCD ．而AC⊂平面ABCD ，∴BE ⊥AC ．又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ．∵BD ∩BE=B ，∴AC ⊥平面BDE ．∵G 、H 分别为DC 、AD 的中点，∴GH ∥AC ，则GH ⊥平面BDE ．而DM⊂平面BDE ，∴GH ⊥DM ；（II ）菱形ABCD 中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．∵DG=DH=1，∴S △DGH =01DG DHsin1202⋅=111224⨯⨯⨯=，∵BE ⊥平面ABCD ，即BM ⊥平面ABCD ，∴D MGH M DGH DGH 1V V S BM 3--==⋅ =BM 12．显然，当点M 与点E 重合时，BM 取得最大值2，此时（V D-MGH ）max 2=．且，MGH 15S 22== ，∵H 是AD 中点，所以A 到平面MGH 的距离d 1等于到平面MGH 的距离d 2，又V D-MGH =V M-DGH 213=，得d 2=25．∴A 到平面MGH 的距离为25．本题主要考查空间线线垂直关系的证明，考查体积的最值问题和点到平面的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．如图，已知AB 是一幢6层的写字楼，每层高均为3m ，在AB 正前方36m 处有一建筑物CD ，从楼顶A 处测得建筑物CD 的张角为45 ．()1求建筑物CD 的高度；()2一摄影爱好者欲在写字楼AB 的某层拍摄建筑物.CD 已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)？【正确答案】(1)30米;(2)当6n =时，张角CMD ∠最大，拍摄效果最佳.【详解】试题分析：（1）先作AE CD ⊥于E ，构造直角三角形DAE ，然后运用两角差的正切公式求出tan CAE ∠，再求出36tan CE CAE =∠；（2）先依据题设求出tan CMN ∠，tan DMN ∠，然后建立目标函数2120tan 12155CMD n n ∠=-+，通过求函数的最值使得问题获解：解：（1）如图，作AE CD ⊥于E ，则//AE BD .所以18DE AB ==，36AE BD ==.因为181tan 362DAE ∠==，所以()1tan 1tan tan 451tan 3DAE CAE DAE DAE -∠∠=-∠==+∠ .所以36tan 12CE CAE =∠=.答：建筑物的高度为30米.（2）设在第n 层M 处拍摄效果最佳，则摄影高度为()31n -米（如图）（16,n n N ≤≤∈）.作MN CD ⊥于N ，则()31DN n =-，()3031333CN n n =--=-.11tan 12CN n CMN MN -∠==，1tan 12DN n DMN MN -∠==，()111tan tan 1212tan tan 1111tan tan 11212n n CMN DMN CMD CMN DMN n n CMN DMN --+∠+∠∠=∠+∠==---∠⋅∠-⋅()22120120120121551196119n n n ==≤-+-+（当6n =时取等号）.因为函数tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调增函数，所以当6n =时，张角CMD ∠最大，拍摄效果最佳.答：该人在6层拍摄时效果最好.22．已知二次函数()f x 对R x ∀∈，()()123f x f x x +-=+，且不等式()2f x >的解集为{}1x x ≠-．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()f x g x x =，且关于x 的方程()2133031x x t g t ---++=-有三个不同的实数解，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)()223f x x x =++(2)3625t -<≤-【分析】（1）设二次函数的解析式，根据()()123f x f x x +-=+得到相应的方程组，解得答案；（2）采用换元法，将()2133031x x t g t ---++=-化为，()230t g m t m++=整理为()232230m t m t ++++=，因此将问题变为一元二次方程在给定范围内有两根的问题，从而列出相应的不等式组解得答案.【详解】（1）设()2f x ax bx c =++，因为对R x ∀∈，()()123f x f x x +-=+，又()()12f x f x ax a b +-=++，所以223a a b =⎧⎨+=⎩,故1a =，2b =，又等式()2f x >的解集为{}1x x ≠，即2220x x c ++->的解集为{}1x x ≠-，所以()4420c ∆=--=，得3c =，所以()223f x x x =++；（2）因为()223f x x x =++，所以()()320g x x x x=++≠，令31x m -=-，因为0x ≠，所以0m >，由()2133031x x tg t ---++=-，得()230t g m t m ++=，所以23230t m t m++++=，即()232230m t m t ++++=（*）因为关于x 的方程()2133031x x t g t ---++=-有三个不同的实数解，由31x m -=-的图象可知，问题等价于方程（*）有两个不同的实根1m ，2m ，且101m <<，21m ≥，令()()23223h m m t m t =++++，则()()0010h h ⎧>⎪⎨<⎪⎩或(1)0(0)032012h h t ⎧⎪=⎪>⎨⎪+⎪<-<⎩，即230550t t +>⎧⎨+<⎩或2305604233t t t ⎧⎪+>⎪+=⎨⎪⎪-<<-⎩，解得3625t -<<-或65t =-，所以实数t 的取值范围为3625t -<≤-．。
2023-2024学年河南省郑州七中高一(下)月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足，则()A. B.C.D.2.已知所在平面内一点P ，满足，则()A. B.C.D.3.已知、为单位向量，且，则、的夹角为()A.B. C.D.4.已知向量，，，若，反向共线，则实数x 的值为()A.B.3C.3或D.或75.下列命题正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台6.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，D 为边BC 上一点，，，则的面积为()A.B.C.D.7.如图，在等腰梯形ABCD 中，，，，，E 是线段AB 上一点，且，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为()A. B.C.D.8.已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为V ，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.9.已知等边的边长为6，D 在AC 上且，E 为线段AB 上的动点，则的取值范围为()A. B. C. D.10.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M 为线段CE 上的动点，则的最大值为()A. B.C.6D.10二、多选题：本题共4小题，共24分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
11.已知复数，，下列结论正确的有()A.若，B.若，则C.若复数，满足，则D.若，则的最大值为312.下列命题中正确的是()A.两个非零向量，，若，则与共线且反向B.已知，且，则C.若，，，为锐角，则实数m 的取值范围是D.若，则为钝角三角形13.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是()A.是钝角三角形B.的面积是的面积的2倍C.是等腰直角三角形D.的周长是14.如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，，则下列结论正确的是()A. B.C. D.与的夹角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年河北省石家庄市高一下册第一次月考数学试题1(含解析)
2023-2024学年河北省石家庄市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．200︒的弧度数为（）A ．7π10B ．10π9C ．9πD ．10π【正确答案】B【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可.【详解】由102001809ππ︒⨯=︒.故选：B2．sin14cos16sin 76cos 74+ 的值是（）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【正确答案】B【分析】根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.【详解】由诱导公式可知sin 76cos14,cos 74sin16== 所以由正弦和角公式可得sin14cos16sin 76cos 74+sin14cos16cos14sin16=+ ()1sin 1416sin 302=+==，故选：B.本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则3a b += （）A ．()1,2--B ．()1,6--C ．()1,2D ．()1,10【正确答案】C【分析】根据向量平行求得4m =-，应用向量线性关系的坐标运算求目标式的坐标.【详解】由题设12(2)m ⨯=⨯-，则4m =-，所以33(1,2)(2,4)(1,2)a b +=⨯+--=.故选：C4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；④若cos 0θ<，θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若sin sin αβ=，则α与β的终边相同，或关于y 轴对称，③错误；对于④，若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角，或终边在x 负半轴上，④错误；综上，其中正确命题是②，只有1个.故选：A本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.5．下列关于向量的命题正确的是（）A ．若||||a b = ，则a b=B ．若||||a b = ，则//a bC ．若a b = ，b c =，则a c= D ．若//a b ，//b c，则//a c【正确答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A ，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出a b =，即该选项错误；选项B ，长度相等,向量可能不平行，∴该选项错误；选项C ，,a b b c ==显然可得出a c = ，∴该选项正确；选项D ，//,//a b b c得不出//a c ，比如,a c 不共线，且0b = ，∴该选项错误.故选：C .6．设1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =- ，若三点A ，B ，D 共线，则k 的值为（）A ．－8B ．8C ．6D ．－6【正确答案】A【分析】先求出DB，然后利用存在实数λ使AB DB λ= ，列方程求k 的值.【详解】由已知得()121212324D CB CD e e e e e B e =+-=-+-=-，三点A ，B ，D 共线∴存在实数λ使AB DBλ=()121212244e ke e e e e λλλ∴=++-=-+ ，24k λλ=-⎧∴⎨=⎩，解得28k λ=-⎧⎨=-⎩.故选：A.7．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，,E F 分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则=AG （）A ．2133+AB ADB ．1233+AB ADC ．3344+AB ADD ．2233+AB AD【正确答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.【详解】根据题意：()12AG AE AF =+又12=+=+ AE AB BE AB AD12AF AD DF AD AB=+=+ 所以3344AG AB AD =+故选：C本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.8．在△ABC 中，若tan tan tan A B A B +⋅=tan 2C =（）A ．BC ．-D ．【正确答案】D【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得tan C ，由此求得tan 2C .【详解】()()tan tan tan tan tan πtan tan tan 1tan tan 1A BA BC A B A B A B A B +⋅=-+=-+===⎡⎤⎣⎦⋅-⋅-所以22tan tan 21tan 12C C C -===--.故选：D二、多选题9．下列说法中，正确的是（）A ．向量AB与向量BA 的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量与任意向量平行D ．两个相等向量的起点相同，则终点也相同【正确答案】ACD【分析】利用平面向量的定义判断AB ；利用零向量、相等向量的意义判断CD.【详解】对于A ，向量AB的起点、终点分别为向量BA 的终点、起点，它们的长度相等，故A 正确；对于B ，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B 不正确；对于C ，零向量与任意向量平行是正确的，故C 正确；对于D ，由相等向量的定义知D 正确.故选：ACD10．下列不等式成立的是（）A ．ππcos cos 108⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin 400cos 40< C ．8π7πsin cos 78<D ．sin 2cos 2<【正确答案】BC【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭区间内,再根据sin y x =,cos y x =两个函数的单调性进行判断大小即可.【详解】解:由于函数cos y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,且πππ02810-<-<-<,所以cos cos 81ππ0⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 错误;因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,sin 400sin 40sin 50cos 40=<= ,故选项B 正确;因为ππ810sin sin sin 776π2>=->-=-,71coscos cos 88πππ32=-<-=-,所以87sin cos 78ππ>,故选项C 正确;因为π2π2<<,所以sin 20cos 2>>,故选项D 错误.故选:BC11．下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15︒-︒=B ．1sin 40cos 40sin 702︒︒=︒C ．sincos884ππ=D ．tan152︒=【正确答案】ACD由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC 选项，由二倍角的正切公式可求出tan15︒的值，进而判断D 选项，由两角和与差的正弦可判断B 选项.【详解】解：A 选项：由二倍角的余弦公式可知：22cos 15sin 15cos 30︒-︒==o ，故A 正确；B 选项：1sin 4040sin(4060)sin 802︒+︒=︒+=︒o ，故B 不正确；C 选项：1sincossin 88244πππ==，故C 正确；D 选项：22tan15tan 301tan 153==-o oo ，解得：tan152︒=±tan150︒>，所以tan152︒=，故D 正确；故选：ACD.12．已知函数()()1sin cos cos sin 2f x x x x x =-++，下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．函数图象关于直线4x π=对称C ．函数在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()10f x +=有无数个解【正确答案】BCA 选项，计算()f x π+，判定()()f x f x π+≠，可得A 错；B 选项，计算4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭与4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得B 正确；C 选项，由3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，化简()cos f x x =，可得C 正确；D 选项，讨论x 的范围，去绝对值，求出()f x 的值域，可判断D 错.【详解】A 选项，()()()()()1sin cos cos sin 2f x x x x x πππππ⎡⎤+=+-+++++⎣⎦()()()11sin cos cos sin sin cos cos sin 22x x x x x x x x f x =-+--=---≠，所以π不是()f x 的周期，故A 错；B 选项，1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin cos sin sin cos 22222222x x x x x x x x ⎫=+-++-++⎪⎪⎭)12x x =；1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin cos cos sin 22222222x x x x x x x x ⎫=---+++-⎪⎪⎭)12x x =，所以44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；即B 正确；C 选项，cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,244x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 04x x x π⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，此时()()()11sin cos cos sin cos sin cos sin cos 22f x x x x x x x x x x =-++=-++=，根据余弦函数的单调性，可得，其在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上显然单调递增，即C 正确；D 选项，由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭可得()224Z k x k k ππππ≤-≤+∈，则()52244k x k k Z ππππ+≤≤+∈；此时()()1sin cos cos sin sin ,122f x x x x x x ⎡⎤=-++=∈-⎢⎥⎣⎦；由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭可得()224k x k k Z ππππ-+<-<∈，则()32244k x k k Z ππππ-+<<+∈；此时()()1sin cos cos sin cos ,122f x x x x x x ⎛⎤=-++=∈- ⎥ ⎝⎦；综上，()2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()1122f x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因此方程()10f x +=无解，即D 错；故选：BC.思路点睛：判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解.三、填空题13．化简：AB CA BC ++=______．【正确答案】0【分析】利用向量的加法运算即可求解.【详解】解：0AB CA BC AB BC CA AC CA ++=++=+=故答案为.014．函数y =________.【正确答案】72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】根据使函数有意义必须满足12sin 0x -≥，再由正弦函数的性质得到x 的范围．【详解】由题意得：12sin 0x -≥1sin 2x ∴≤722,66k x k k ππππ∴-≤≤+∈Z即72,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 故答案为722,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题．15．若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.【正确答案】6π/16π【分析】由余弦型函数的奇偶性得πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，即可求参数.【详解】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，故ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π2ϕ<，故0k =有π6ϕ=.故π6四、双空题16．函数()cos f x x x =+的最大值为_______，记函数取到最大值时的x θ=，，则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______.【正确答案】根据辅助角公式可化为())f x x ϕ=+求最值，并求出此时对应x ，利用两角差的余弦公式求cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】()cos ),cos ,sin 33f x x x x ϕϕϕ=+=+==，max ()f x ∴=此时，2,2x k k Z πϕπ+=+∈，即2,2x k k Z ππϕ=+-∈，2,2k k Z πθπϕ∴=+-∈，cos sin 3θϕ∴==，sin cos 3θϕ==，1cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭关键点点睛：辅助角公式sin cos )a x b x x j +=+，其中cos ϕ=sin ϕ=的应用是解决本题的关键.五、解答题17．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为.r (1)若60α=︒，3r =，求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大?并求出最大面积．【正确答案】(1)π(2)当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是16．【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；（2）设扇形的弧长为l ，则162l r =-，扇形的面积为()1116222S lr r r ==-，由二次函数性质即可得到面积S 的最大值．【详解】（1）设扇形的弧长为l ．60α︒= ，即3πα=，3r =33l r παπ∴==⨯=.（2）由题设条件知，()216,16208l r l r r +==-<<,因此扇形的面积()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+∴当4r =时，S 有最大值16，此时1628,2ll r rα=-===,∴当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是16．18．计算.(1)求()sin 501︒︒的值；(2)化简1sin 2cos 21sin 2cos 2θθθθ+-++.【正确答案】(1)1(2)tan θ【分析】（1）应用商数关系、和角正弦公式及二倍角正弦公式、诱导公式化简求值；（2）由平方关系、二倍角正余弦公式化简即可.【详解】（1）()2(sin 30cos10cos30sin10)sin 501sin 50sin 50sin10︒︒+︒︒︒︒==︒⋅︒2sin 40cos 40sin 80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒.（2）22222222221sin 2cos 2cos sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin cos 1sin 2cos 2cos sin 2sin cos cos sin 2cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-++-++==+++++-+222sin 2sin cos tan 2cos 2sin cos θθθθθθθ+==+.19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，设,AB a AD b ==.(1)用,a b 表示,,AC CE DE ；(2)若26AB AD ==,，且120BAD ∠=︒，求AC DE ⋅.【正确答案】(1)AC a b =+ ，12CE =- ，12DE a b=-(2)17-【分析】（1）由向量对应线段的数量、位置关系用,AB AD 表示出,,AC CE DE即可；（2）由（1）及向量数量积的运算律可得221122AB AC D AB A D E D A =⋅+⋅- ，结合已知即可求值.【详解】（1）由AC AB BC AB AD a b =+=+=+ ，11112222CE CB DA AD b ===-=-，1122DE DC CE AB AD a b =+=-=- ，所以AC a b =+ ，12CE b =- ，12DE a b =-.（2）由（1）知：22111))22((2AB AD AB AD AB AB AD A A C DE D +-=+⋅-=⋅⋅ ，又26AB AD ==,，且120BAD ∠=︒，则11412(181722AC DE +⨯⨯--==⋅- .20．在①()tan 3πα+=；②()()sin 2sin cos 2ππααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭；③33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知02πβα<<<，______，()cos αβ+=-(1)求sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)求β．【正确答案】(1)条件选择见解析，sin 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)4πβ=【分析】（1）若选①，可得tan 3α=，再由同角三角函数的关系可求出sin ,cos αα的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选②，则可得sin 3cos αα=，再由同角三角函数的关系可求出sin ,cos αα的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选③，则可得sin 3cos αα=，同样由同角三角函数的关系可求出sin ,cos αα的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，（2）先求出sin()αβ+，再由于()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦化简计算可求出sin β的值，从而可求出β【详解】（1）若选①，()sin tan tan 3cos απααα+===，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<解得sin α=，cos α=所以sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．若选②，因为()()sin 2sin cos 2ππααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，解得sin 10α=，cos α=，所以sin sin cos cos sin 44422πππααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭若选③，因为33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得3cos sin αα=又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，解得sin 10α=，cos 10α=，所以sin sin cos cos sin 4441021025πππααα⎛⎫-=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭（2）因为02πβα<<<，且()cos 5αβ+=-，所以0αβ<+<π，()sin 5αβ+==所以()sin sin 5105102βαβα⎛⎫=+-=⨯--⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭又因为02βπ<<，所以4πβ=21．已知函数π()sin(2)cos(2)2sin cos 36f x x x x x π=---+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,得到函数()y g x =的图象,求()y g x =在[]0,π上的值域.【正确答案】（1）π，()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【分析】（1）利用三角恒等变换中的两角差正余弦公式、倍角公式，将()f x 化成2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用周期公式和整体代入，分别求得最小正周期及单调增区间；（2）利用平移变换和伸缩变换求得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用整体思想求得函数的值域.【详解】（1）()11sin 222sin 2sin 222f x x x x x x =--+，()sin 22f x x x =-2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π，当222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,得函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2sin 22sin 21623y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以()12sin 22sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭，50,666x x ππππ≤≤∴-≤-≤ ,所以当66x ππ-=-时，()min 2sin 16g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当62x ππ-=时，()max 2sin 22g x π==.所以()y g x =的值域为[]1,2-.本题考查两角差正、余弦公式、倍角公式、平移变换和伸缩变换、三角函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用整体思想求函数的值域和单调区间的过程是不一样，要注意区别.22．某港口水深y （米）是时间024t ≤≤（单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时）03691215182124y （米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数()sin 0,0y A t b A ωω=+>>的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出()sin 0,0y A t b A ωω=+>>的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【正确答案】(1)π3sin10(024)6ty t =+≤≤(2)该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时【分析】（1）根据图像的最高点和最低点可以求出,A b ，由两个最高点的位置可以求出ω；（2）在当024t ≤≤的前提下，解不等式11.5y ≥即可.【详解】（1）根据图表数据可得：713137,22b A +-==，∴3A =，10b =，函数周期15312T =-=，∴2ππ6T ω==，∴函数的表达式为π3sin10(024)6ty t =+≤≤；（2）由题意知：若船舶航行时船是安全的，则 4.57y ≥+，即π3sin1011.56t+≥，∴π1sin 62t ≥，∴ππ5π2π,2π,666t k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得[]121,125,t k k k ∈++∈Z ，又024t ≤≤，∴[1,5]t ∈或[13,17]t ∈.故该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．23．日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x 米，x ∈[10，20]．（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）若在矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN 健身场地每平方米k 为正常数）．设总造价T 关于S 的函数为T=f （S ），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T 最低．【正确答案】（1）S=x （30﹣x ），S ≤≤；（2）12米或18米【详解】（1）在Rt △PMC 中，显然|MC|=30﹣x ，∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan ∠PCM=（30﹣x ），矩形AMPN 的面积S=|PM||MC|=x （30﹣x ），x ∈[10，20]于是200≤S≤225为所求．（2）矩形AMPN 健身场地造价T 1=37k 又△ABC 的面积为450，即草坪造价T 2=S ）由总造价T=T 1+T 2，∴T=25k （+），200≤S≤225．∴T=25k （+），200≤S≤225∵+≥12，当且仅当=即S=216时等号成立，此时x （30﹣x ）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T 最低．根据实际问题选择函数类型．24．若,,R a b c +∈，且满足2a b c ++=．（1）求abc 的最大值；（2）求111a b c++的最小值．【正确答案】（1）827；（2）92．【分析】（1）由基本不等式33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解；（2）由11112a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解．【详解】解：（1）∵,,R a b c +∈，且满足2a b c ++=，∴38327a b c abc ++⎛⎫⎪⎭=≤ ⎝，当且仅当a b c ==时取等号，故abc 的最大值为827；（2）∵11112a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭132b a c a b c a b a c c b ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭()19322222≥+++=，当且仅当a b c ==时取等号，∴111a b c ++的最小值为92．本题主要考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．25．若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.(1)求ab bc ca ++的最大值；(2)求证.22212a b c b c c a a b ++≥+++【正确答案】(1)13(2)证明见解析【分析】（1）由22221()(222)2()2a b c a b c ab bc ca ++=+++++，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；（2）利用基本不等式求24a b ca b c ++≥+、24b c a b c a ++≥+、24c a b c a b ++≥+，即可证结论，注意等号成立条件.【详解】（1）由22222221()2()(222)2()2a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=+++++=+++++，所以2()a b c ++3()ab bc ca ≥++，即13ab bc ca ++≤，仅当13a b c ===时等号成立，综上，ab bc ca ++的最大值为13.（2）由24a b c a b c ++≥=+，仅当24a b c b c +=+，即223a b c =+=时等号成立，由24b c a b c a ++≥+，仅当24b c a c a +++，即223b c a =+=时等号成立，由24c a b c a b ++≥=+，仅当24c a b a b +++，即223c a b =+=时等号成立，综上，2221()44422a b c b c c a a b a b c a b c b c c a a b +++++++≥++-++==+++，仅当13a b c ===时等号成立.。
2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一(下)月考数学试卷(6月份)(含答案)
2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知e 1,e 2是单位向量，且e 1,e 2的夹角为π3，则|e 1+te 2|(t ∈R)的最小值为( )A. 12B.32C. 1D.522.已知点P ，A ，B ，C 在同一个球的球表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PB = 5，BC =3，PC =2，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π3.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )．A. 2πB. 32πC. 233πD. 12π4.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC +3asinC−b−c =0，则A 为( )A. π6B. π3C. 2π3D. π45.若z ∈C ，且|z|=1，则|z−3i|的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 56.已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 9πB. 12πC. 27π4D. 27π27.已知在一个表面积为24的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点E 在B 1D 上运动，则当BE +A 1E 取得最小值时，AE =( )A. 2B. 322C.3D. 3248.已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP =λ(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)(λ∈R)，则直线AP 必经过△ABC的( )A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且OA ⋅OB =0，若OC =xOA +yOB(x,y ∈R)，则x +y 的取值可能为( )A. −2B. 1C. 2D. 3210.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是( )A. MQ⊥平面AEMHB. 异面直线BC和EA所成角为60°D. 该二十四等边体外接球的表面积为16πC. 该二十四等边体的体积为402311.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足B1F//平面A1BE.则下列命题中正确的有( )A. 侧面CDD1C1上存在点F，使得B1F⊥CDB. 直线B1F与直线CD1所成角可能为60°C. 三棱锥A1−BEF的体积为定值D. 设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大值为52三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案
高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。
2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年湖南高一下册第一次月考数学试卷一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若210x +=，则i x =B.实部为零的复数是纯虚数C.()21i z x =+可能是实数D.复数2i z =+的虚部是i2.设集合(){}1lg 1,24xA xy x B x ⎧⎫==-=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则()A B ⋂=R ð（）A.()1,∞+B.(]2,1-C.()2,1-D.[)1,∞+3.若命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],4∞- B.(),4∞- C.(),4∞-- D.[)4,∞-+4.下列说法正确的是（）A.“ac bc =”是“a b =”的充分条件B.“1x ”是“21x ”的必要条件C.“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2,2k k πϕπ=-∈Z ”的充分不必要条件D.“0a b ⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”5.设1535212log 2,log 2,23a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a<< D.a c b<<6.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（）A.(,∞-B.(,∞-C.[)13,∞+ D.(),13∞-7.若向量()()(),2,2,3,2,4a x b c ===- ，且a c ∥，则a 在b上的投影向量为（）A.812,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.812,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ C.()8,12 D.413138.已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为（）A.5B.6C.7D.8二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中错误的是（）A.向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点必在一条直线上B.零向量与零向量共线C.若,a b b c == ，则a c= D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量10.下列说法正确的是（）A.若α为第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的一个可能值为34πC.3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴D.若扇形的圆心角为60 ，半径为1cm ，则该扇形的弧长为60cm 11.已知0,0a b c >>>，则下列结论一定正确的是（）A.b b ca a c+<+ B.3322a b a b ab ->-C.22b a a b a b+<+ D.2()a b a ba b ab +>12.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-，则下列结论正确的是（）A.()f x 为周期函数且最小正周期为8B.7324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在()6,8上为增函数D.方程()lg 0f x x +=有且仅有7个实数解三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点P ，若点P 也在函数()32log 1y x b =++的图象上，则b =__________.14.化简：()2tan1234cos 122sin12-=-__________.15.已知函数()2log ,02,sin ,210,4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩若存在1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围为__________.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=2233sin ,cos cos cos 52A AB A A B =-=-，则ABC 的面积是__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22232b c bc a +-=.（1）求cos A 的值；（2）若2,3B A b ==，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P .（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||6,||8,,3AB AC BAC AP xAB y AC π∠====+，求y x -的值.19.（本小题满分12分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数501log lg 210xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差（参考数据：1.4lg20.30,59.52≈≈）.（1）当05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.75km /min ，同类雌鸟的飞行速度为1.5km /min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？20.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x y ､恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时()0f x <，且()12f -=.（1）求()f x 在区间[]2,4-上的最小值；（2）若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()[]sin (0,0,0,),4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图象，图象的最高点为()1,2B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥.游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧 DE.（1）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 的距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（2）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且POE ∠θ=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ee ,ln xx f x a g x x =-=.（1）求函数()26g x x --的单调递减区间；（2）若对任意21,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()()()112,0,x f x g x ∞∈-≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 零点的个数.数学答案一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBADBBAB1.C A.i x =±，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当i x =时，()21i z x =+是实数，说法正确；D.复数2i z =+的虚部是1，说法不正确.故选C .2.B 由题知()()1,,2,A B ∞∞=+=-+，从而得到()(]R 2,1A B ⋂=-ð.故选B .3.A 命题“2,40x x x a ∀∈-+≠R ”为假命题，2“,40x x x a ∴∃∈-+=R ”是真命题，∴方程240x x a -+=有实数根，则2Δ(4)40a =--，解得4a ，故选A.4.D对于A ，当0c =时，满足ac bc =，此时可能有,A a b ≠错误；对于2B,1x 等价于1x 或1x -，故“1x ”是“21x ”的充分不必要条件，B 错误；对于C ，“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”等价于()2k k πϕπ=+∈Z ，故“()cos y x ϕ=+的一个对称中心是原点”是“2k ϕπ=,2k π-∈Z 的必要不充分条件，C 错误；对于D ，0a b ⋅< 等价于a 与b的夹角,2πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故“0a b⋅< ”的充分不必要条件是“a 与b的夹角为钝角”，D 正确.故选D.5.B 因为33322213log 2log log 122a ==<=且153355221131122log 2log ,log 2log ,12222233a b c -⎛⎫⎛⎫=>==<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故b a c <<.故选B.6.B 由不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，可知2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故0a <且()231,236b ca a-=-+==-⨯=-，即,6b a c a =-=-，则不等式220bx amx c ++>变为2120ax amx a -+->，由于[]0,1,5a x <∈，则上式可转化为12m x x <+在[]1,5恒成立，又12x x +=，当且仅当x =m <.故选B.7.A 因为a c∥，所以44x -=，得1x =-，所以()1,2a =- ，又()2,3b =，所以,cos ,b a b a b b a b⋅===所以a 在b上的投影向量为：812cos ,,1313b a a b b ⎛⎫⋅==⎪⎝⎭，故选A.8.B 因为()sin f x x =对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()max min ()()2i j f x f x f x f x --=，要使m 取得最小值，应尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最值点，考虑1204m x x x π<<< ，且()()()()()()()*1223182,m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=∈N ，则m 的最小值为6，故选B.二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ADACABDABD9.AD向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c == ，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选A D.10.AC 对于A :若α为第一象限角，则22,2k k k ππαπ<<+∈Z ，则：,24k k k απππ<<+∈Z ，所以2α为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，若ϕ的一个可能值为34π，当34πϕ=时，()()sin sin f x x x π=+=-，函数为奇函数，故B 错误；对于C ：2cos 23f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以3x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，故C 正确；对于D :扇形圆心角为3π，半径为1cm ，则该扇形的弧长为cm 3π，故D 错误.故选AC.11.ABD 对于()()A,c b a b b c a a c a a c -+-=++，由a b >，得0b a -<，所以()()0c b a a a c -<+，所以b b ca a c+<+，故A 正确；对于B ，()()()()()332222220a b a b ab a b a ab b ab a b a b ---=-++-=-+>，故B 正确；对于()()()()22222222222()11C,0b a b a b a b a b a b a a b a b b a a b a b a b ab ab --+---⎛⎫+--=+=--==> ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，2()a b a ba b ab +>等价于()ln ln ln ln 2a ba ab b a b ++>+，等价于ln ln ln ln 0a a b b b a a b +-->，即()()ln ln 0a b a b -->，故D 正确.故选ABD.12.ABD 因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()f x 关于点()1,0-对称；因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()f x 关于直线1x =对称；则()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--，所以()()8f x f x =-，故()f x 的最小正周期为8,A 正确；275531111311111,B 222222224f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦正确；由于()f x 在()1,0-上单调递减，且()f x 关于点()1,0-对称，故()f x 在()2,0-上单调递减，又()f x 的周期为8，则()f x 在()6,8上也为减函数，C 错误；作出函数()f x 的图象可知，函数()y f x =的图象与函数lg y x =-的图象恰有7个交点，D 正确，故选ABD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2由题意可知，函数23(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象恒过定点()2,4，则有()32log 214b ++=，解得2b =.14.-4原式()()()222sin123tan123sin123cos12cos124cos 122sin1222cos 121sin1222cos 121sin12co s12-===---()()2132sin122sin 48222sin4841cos24sin242cos 121sin24sin482⎛⎫ ⎪--⎝⎭====--.15.(20,32)作出函数()2log ,02,sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图所示，因为()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<，所以，由图象可知，212234log log ,2612x x x x -=+=⨯=，且()32,4x ∈，则()2123433331,1212x x x x x x x x ==-=-+，由于23312y x x =-+在()2,4上单调递增，故2032y <<，所以1234x x x x 的取值范围为()20,32.16.369350+由题意得1cos21cos233sin22222A B A B ++-=-，即3131sin2cos2cos22222A AB B -=-，所以sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由a b ≠得A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=.由3,5sin sin a c c A A C ===，得65a =.由a c <，得A C <，从而4cos 5A =，故()343sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C +=+=+=，所以ABC的面积为1163433693sin 2251050S ac B ++==⨯⨯=.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）在ABC 中，2223,2b c a bc +-=.由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，332cos 24bcA bc ∴==.（2）由（1）知，70,sin 24A A π<<∴==.32,sin sin22sin cos 2448B A B A A A =∴===⨯⨯=，又73sin 43,,2sin sin sin 378a b b A b a A B B ⨯==∴== ..18.（1） 在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，()22208AP AC AP AO AP AP PO AP AP ∴⋅=⋅=⋅+=⋅+=，22||4AP AP ∴== ，解得2AP = ，故AP 长为2.（2）2AP x AB y AC x AB y AO =+=+ ，且,,B P O 三点共线，21x y ∴+=①，又6,8,3AB AC BAC π∠=== ，则1cos 122AB AO AB AC BAC ∠⋅=⋅= ，由AP BD ⊥可知()()20AP BO x AB y AO AO AB ⋅=+⋅-= ，展开()22220y AO x AB x y AB AO -+-⋅= ，化简得到3y x =②联立①②解得13,77x y ==，故27y x -=.19.（1）由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，将05x =和0v =代入题目所给的公式，可得510log lg5210x =-，.即()5log 2lg521lg2 1.410x ==-≈，从而 1.410595.2x ≈⨯≈，故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为95.2个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，由题意得：15025011.75log lg ,21011.5log lg ,210x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得15211log 42x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：12x x =，倍.20.（1）取0x y ==，则()()()0020,00f f f +=∴=，取y x =-，则()()()()00f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴为奇函数；任取()12,,x x ∞∞∈-+且12x x <，则()()()2121210,0x x f x f x f x x ->+-=-<，()()21f x f x ∴<--，又()f x 为奇函数，()()12f x f x ∴>.故()f x 为R 上的减函数.[]()()2,4,4x f x f ∈-∴ ，()()()()()42241418f f f f ===⨯--=- ，故()f x 在[]2,4-上的最小值为-8.（2）()f x 在[]1,1-上是减函数，()()12f x f ∴-=，()222f x m am <-+ 对所有][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立.2222m am ∴-+>对[]1,1a ∀∈-恒成立；即220m am ->对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()22g a am m =-+，则()()10,10,g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即2220,20,m m m m ⎧+>⎨-+>⎩解得：2m >或2m <-.∴实数m 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.21.（1）由已知条件，得2A =，又23,12,46T T ππωω===∴= ，又当1x =-时，有2sin 26y πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()20,,3πϕπϕ∈∴=，∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin ,4,063y x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭.由22sin 163y x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据图象得到()22636x k k ππππ+=+∈Z ，解得()312x k k =-+∈Z ，又[]()4,0,0, 3.3,1x k x G ∈-∴==-∴-.OG ∴=.∴千米.（2）如图，1OC CD ==，2,6OD COD π∠∴==，作1PP x ⊥轴于1P 点，在Rt 1OPP 中，1sin 2sin PP OP θθ==，在OMP 中，2sin sin 33OP OM ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2332cos sin 23sin 3OP OM πθθθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，12cos 2sin 3QMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭.24323234sin cos 2sin2333θθθθθ=-=+-sin 2,0,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当262ππθ+=，即6πθ=时，平行四边形面积有最大值为233平方千米.22.（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{2x x <-∣或3}x >，令26,ln m x x y m =--=在()0,m ∞∈+内单调递增，而(),2x ∞∈--时，26m x x =--为减函数，()3,x ∞∈+时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递减区间是(),2∞--（2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∞∈-可知()[]()121,1,e 0,1x g x ∈-∈，所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-，分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解，令11ex n =，则21,n a n n >>+或2a n n <-有解，得2a >或0a <.（3）依题意()()()222e e e e e e e e 2x x x x x xx x F x a a a a ----=-+-=+-+-，令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()()020,2220h a h a =->=-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点；·综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a 或1a >时，()F x 没有零点.。
2023-2024学年宁夏银川市高一下册月考一数学试题(含解析)
2023-2024学年宁夏银川市高一下册月考一数学试题一、单选题1．已知复数z 满足10i 3iz=+（i 为虚数单位），则复平面内z 的共轭复数对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】求出复数z 的代数形式，进而可得z ，则可得其在复平面内对应的点的位置.【详解】10i 3iz=+,()10i 3i 1030i z ∴=+=-+,1030i z ∴=--，其在复平面内对应的点为()10,30--，在第三象限.故选：C.2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【正确答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．已知向量a 与b的夹角为60°，2a = ，1b = ，则2a b +=r r （）A ．12B ．16C．D ．4【正确答案】C 【分析】利用2a b +.【详解】a 与b的夹角为60°，2a = ，1b =，22a b ∴+=r r故选：C.4．在△ABC 中，若60A =︒，1b =，△ABC 的面积S =sin aA=（）A ．B ．23C ．3D ．3【正确答案】D 【分析】先利用1sin 2S bc A =求出c ，再利用余弦定理求a ，进而可得sin a A.【详解】由已知11sin 122S bc A c ==⨯⨯可得4c =，22212cos 1168132a b c bc A ∴=+-=+-⨯=，a ∴=，sin 2a A ∴故选：D.5．已知向量a 、b不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d 共线，则实数x 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-【正确答案】C【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数x 的等式，解之即可.【详解】因为c 与d 共线，则存在k R ∈，使得d kc =，即()21a x b kxa kb +-=+ ，因为向量a 、b 不共线，则121kx k x =⎧⎨=-⎩，整理可得()211x x -=，即2210x x --=，解得12x =-或1.故选：C.6．鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼的项点C 的仰角为30︒，沿直线前进51.9米到达E 点，此时看点A 的仰角为60︒，若点B ，E ，D 在一条直线上，2BC AC =，则楼高AB 1.73≈）（）A ．30米B ．60米C ．90米D ．103米【正确答案】C【分析】设AC x =，以BD 的长列方程，化简求得x ，由此求得AB .【详解】AC x =，则2,3,4,BC x AB x CD x BE ====，BD ==，BD BE ED =+，即51.930x =+⇒≈，所以30390AB ≈⨯=米.故选：C7．在△ABC 中，已知222sin sin sin A B C =+，且sin 2sin cos A B C =，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】先由222sin sin sin A B C =+可得△ABC 为直角三角形，再由sin 2sin cos A B C =可得sin()0B C -=，可得△ABC 为等腰三角形，进而可得答案.【详解】在△ABC 中,222sin sin sin A B C =+ ,222a b c ∴=+，故△ABC 为直角三角形，sin 2sin cos A B C= ()sin 2sin cos B C B C ∴+=，即sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C ，sin()0B C ∴-=B C ∴=，故△ABC 为等腰三角形，综上：△ABC 的形状是等腰直角三角形.故选：D.8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是()A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【正确答案】C【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ,0)，0≤x ≤1.又11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，C (1,1)，所以()11,,1,12EM x EC x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()()2111,1,1122EC EM x x x ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭ ，因为0≤x ≤1，所以()21131222x ≤-+≤，即EC EM ⋅ 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选C .点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．二、多选题9．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A ．若a b →→=，则a b→→=B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b→→=C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c→→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b→→⊥【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b = ，故A 正确；对于B ，当a c ⊥ 且b c ⊥ 时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误；对应C ，若//a b ，//b c，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，故,a c 的方向相同或相反，故//a c，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=- ，则22222·2·a a b b a a b b ++=-+，∴0a b = ，∴a b ⊥ ，故D 正确．故选：ACD本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．10．若复数z 满足()12i 10z -=，则（）A ．24i z =-B ．2z -是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α【正确答案】AB【分析】对于A ：计算出复数z 的代数形式即可判断；对于B ：求出2z -的代数形式即可判断；对于C ：求出复数z 在复平面内对应的点即可判断其位置；对于D ：通过复数z 在复平面内对应的点求出sin α即可判断.【详解】对于A ：()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+，24i z ∴=-，A 正确；对于B ：224i 24i z -=+-=，为纯虚数，B 正确；对于C ：24z i =+，其在复平面内对应的点为()2,4，在第一象限，C 错误；对于D ：复数z 在复平面内对应的点为()2,4，则sin α=，D 错误.故选：AB.11．在△ABC 中，下列命题正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若△ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D ．若30A =︒，4b =，3a =，则△ABC 有两解【正确答案】AD【分析】对于A ：利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；对于B ：将条件转化为角的直接关系来判断；对于C ：利用余弦定理来计算判断；对于D ：利用正弦定理来计算判断.【详解】对于A ：若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin A B >，A 正确；对于B ：若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错误；对于C ：若△ABC 为钝角三角形，如果C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，2220a b c ∴+-<，即222a b c +<，C 错误；对于D ：若30A =︒，4b =，3a =，由正弦定理得sin sin a b A B =，14sin 22sin 33b A B a ⨯===，sin sin ,B A b a >> ，故B 即可能是锐角也可能是钝角，故△ABC 有两解，D 正确.故选：AD.12．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2AB AC ⋅=，2a =，则（）A ．228b c +=B ．向量BA ，AC 夹角的最小值为3πC ．内角A 的最大值为3πD ．ABC 【正确答案】AC【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到228b c +=，根据均值不等式得到4bc ≤，计算1cos2A ≥，得到AC 正确，B 错误，利用面积公式得到ABC S=△案.【详解】224cos 22b c AB AC bc A +-⋅=== ，228b c +=，故A 对；2282b c bc +=≥，4bc ≤，当且仅当b c =时取等，cos 2bc A =，21cos 2A bc =≥，即max 3A π=，故B 错，C 对；111sin 222ABCS bc A bc bc ==△，故D 错.故选：AC三、填空题13．i 是虚数单位，则51ii+-的值为_____________．【分析】首先化简复数51ii+-，然后求复数的模.【详解】()()()()51546231112i i i iz i i i i ++++====+--+23z i ∴=+==本题考查复数的化简和计算，意在考查基本的计算能力，属于基础题型.14．已知()2,3a =r ，()2,4b =-r ，向量a 在b上的投影向量的坐标是_____________．【正确答案】48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.【详解】()2,3a =r Q ，()2,4b =-r，4128,a b b ∴⋅=-+==∴向量a 在b上的投影向量的坐标为48,55a b b b b ⋅⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭.故答案为.48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭15．若1,,,R 3AB AP OP OB OA λμλμ==+∈，则λμ+=__．【正确答案】1【分析】由13AB AP = ，得到1()3OB OA OP OA -=- ，又OP OB OA λμ=+，代入后即可求解.【详解】 13AB AP =，∴1()3OB OA OP OA -=- ，又OP OB OA λμ=+ ，111()(1)333OB OA OB OA OA OB OA λμλμ∴-=+-=+- ，1131(1)13λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，解得3λ=，2μ=-，1λμ∴+=，故1．16．在ABC 中，内角、、A B C 的对边长分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且sin cosC 3cos sin A A C =，则b =_________．【正确答案】4【详解】∵sin cos 3cos sin A C A C=∴根据正弦定理与余弦定理可得：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⨯=⨯⨯，即22222c a b =-∵222a c b -=∴24b b=∵0b ≠∴4b =故答案为4四、解答题17．已知(1,0),(2,1)a b ==.(1)若2,AB a b BC a mb =-=+,且A 、B 、C 三点共线,求m 的值.(2)当实数k 为何值时,ka b - 与2a b +垂直?【正确答案】(1)12-(2)125【分析】（1）根据题意，由A 、B 、C 三点共线，可得AB与BC 共线，列出方程即可得到m的值；（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，()()0,1,12,AB BC m m =-=+ ，且A 、B 、C 三点共线，则可得AB BC λ= ，即()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩，解得12m =-（2）由题意可得，()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=，因为ka b - 与2a b +垂直，则可得()()52210k -+⨯-=解得125k =18．已知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中a=(1,1)-．(1)若|c |＝//c a，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a (2)a b ⊥- ，求a 与b的夹角θ.【正确答案】(1)(3,3)c =-或(3,3)c =-(2)4πθ=【分析】（1）设(,)c x y =，由c = c a∥的坐标表达形式，求出,x y 即可；（2）根据(2)a a b ⊥- 找到a b ⋅ 与a b ⋅ 之间的关系，结合cos a b a b θ⋅=⋅r rr r 即可求出具体角度值.【详解】（1）设(,)c x y =，由c = c a ∥得(222x y x y⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩所以(3,3)c =-或(3,3)c =- ;（2）因为a = (2)a a b ⊥-，所以(2)=0a a b ⋅- ，即22=0a a b -⋅，所以=1a b ⋅ ，故cos =2a b a b θ⋅=⋅ ，所以4πθ=.19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4sin cos sin 5c A B a C =，且△ABC 的面积为9．(1)求BA BC ⋅ ；(2)若65c a =，求b ．【正确答案】(1)24【分析】（1）已知4sin cos sin 5c A B a C =，正弦定理角化边求得求cos B ，得到sin B ，再由ABC 的面积求得ac ，可计算BA BC ⋅；（2）由（1）中ac 和65c a =，可解出,a c ，再由余弦定理求b ．【详解】（1）因为4sin cos sin 5c A B a C =，由正弦定理角化边得4cos 5ac B ac =，解得4cos 5B =，由()0,πB ∈，∴3sin 5B =.因为ABC 的面积为9.所以113sin 9225ac B ac =⨯=,即30ac =，所以4cos 30245BA BC ca B ⋅==⨯= .（2）由(1)知30ac =，又65c a =，所以26305a =解得5a =，6c =，由余弦定理2222242cos 56256135b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =.20．在ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形？若存在，求a ；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)4(2)存在，2a =【分析】(1)根据已知条件，以及正弦定理，可得4,5,6a b c ===，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解；(2)由c b a >>,可推得ABC 为钝角三角形时，角C 必为钝角，运用余弦定理可推得2230a a --<，再结合a >0，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解.【详解】（1）2sin 3sin C A = ，∴由正弦定理可得23c a =，1b a =+ ，2c a =+，4,5,6a b c ∴===，在△ABC 中，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-==⨯⨯，22sin cos 1C C += ，()0,πC ∈，sin 8C ∴=，11sin 4522ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯ ；（2）c b a >> ，ABC ∴ 为钝角三角形时，角C 必为钝角，222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+∴==<+2230a a ∴--<03a ∴<<，三角形两边之和大于第三边，a b c ∴+>，即12a a a ++>+，得1a >，13a ∴<<，又a 为整数，2a ∴=，∴存在正整数2a =，使得ABC 为钝角三角形.21．在ABC 中，b =(1)若2a =，求ABC 的面积;(2)求a c +的取值范围．cos sin B b C =；条件②22cos a c b C -=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)ABC S = (2)a c <+≤【分析】（1）若选条件①，则用“边化角”求解出角B ，若选条件②，则用“角化边”求解出角B .再利用余弦定理解得c ，然后代入ABC 的面积公式即可得ABC 的面积；（2）由正弦定理用sin B 与b 表示出a 、c ，借助辅助角公式结合ABC 的内角和化简即可.【详解】（1）选条件①，cos sin B b C =，cos sin sin C B B C =，又sin 0C ≠，tan B ∴=，而()0,πB ∈，故3B π=；选条件②，22cos a c bC -= ，22222222cos 22a b c a b c a c b C b ab a+-+-∴-==⨯=，即222a cb ac +-=，2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===，又()0,πB ∈，故3B π=.在ABC 中，当b =，2a =，π3B =时，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2112442c c =+-⨯，即2280c c --=，4c ∴=，所以11πsin 24sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= （2）由题设及小问1可知：π3B =，b =()()()sin sin sin sin 4sin sin πsin sin 3b ac A C A C A C B +=+=+=+ππ4sin sin 36C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3B π= ，2π0,3C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故π6C ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭当且仅当π3A C ==时等号成立)，即a c <+≤22．如图，已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，222sin sin sin sin sin A C B A B C +-=⋅．(1)求B ；(2)若2223a c c b ++=，152BA BC ⋅=- ，点D 在边AC 上，且BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，求线段BD 的长．【正确答案】(1)2π3B =(2)158【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；（2）由（1）及已知可求得5c =，7b =，又由BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，知BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线定理得358AD =，再在ABC 和ABD △中应用正弦定理求解即可．【详解】（1）∵222sin sin sin sin sin sin 3A B C A C B -+-=，∴由正弦定理可222sin a c b B =+-，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac+-=，∴2cos s 3ac B ac inB =-即tan B =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =．（2）由（1）知2π3ABC ∠=，∴2222cos ac ABC ac a c b ∠=-=+-又2223a c c b ++=，∴2222(3)ac a c a c c -=+-++，解得3a =．∵152BA BC ⋅=- ，∴15cos 22ac ac ABC ∠=-=-，可得5c =，由2223a c c b ++=可得292515b ++=212559b ++=，解得7b =．∵BD 在BC 和BA 上的投影向量的模相等，∴BD 为ABC ∠的平分线，由角平分线的性质知AD c b AD a =-，即573AD AD =-，解得358AD =，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a b A ABC ==∠，∴sin A =在ABD △中，π3ABD ∠=，由正弦定理可得sin sin BD AD A ABD =∠358142=158BD =．。
2023-2024学年湖南省郴州一中等校联考高一(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析
2023-2024学年湖南省郴州一中等校联考高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则()A. B. C.D.2.若，则()A.B.C.D.3.已知奇函数在R 上单调递增，且，则不等式的解集为()A.B.C. D.4.某班同学利用课外实践课，测量A ，B 两地之间的距离，在C 处测得A ，C 两地之间的距离是4千米，B ，C 两地之间的距离是6千米，且，则A ，B 两地之间的距离是()A.千米B.千米C.千米D.千米5.已知命题p ：函数在内有零点，则命题p 成立的一个必要不充分条件是()A. B. C.D.6.()A.B.C.D.7.如图，在正方体中，，E 在线段上，则的最小值是()A. B. C. D.8.已知长方体的底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱，在矩形内有一动点P 满足，且，则的最小值为()A.B.C.D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论不正确的是()A.若，，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则10.已知函数，则下列结论正确的是()A.的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递减D.的图象关于点对称11.已知三棱锥的所有棱长都是6，D ，E 分别是三棱锥外接球和内切球上的点，则()A.三棱锥的体积是B.三棱锥内切球的半径是C.DE 长度的取值范围是D.三棱锥外接球的体积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某连锁超市在A ，B ，C 三地的数量之比为2：m ：4，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A 地被抽取了4家，则B 地被抽取的数量是______.13.若实数，则的最小值为______，此时______.14.在长方形ABCD 中，，，点E 在线段AB 上，，沿DE 将折起，使得，此时四棱锥的体积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
高一数学月考试题及答案
高一数学月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(x))等于A. x^2 + 2x + 1B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 + 1D. x^2 - 3x + 33. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_4=10，则公差d等于A. 2B. 3C. 4D. 54. 函数y=x^2-2x+3的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 55. 圆x^2 + y^2 = 25的圆心坐标是B. (5, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是A. 11B. 13C. 14D. 157. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}8. 若sin(α) = 3/5，且α为第一象限角，则cos(α)等于A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/59. 函数y=ln(x)的定义域是A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是A. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=2x-3与x轴的交点坐标为______。
2. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=75，则a_3=______。
3. 已知一个圆的半径为5，圆心到直线x-y+5=0的距离为3，则该圆与直线的位置关系是______。
4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。
5. 集合{a, b, c}与集合{a, d, e}的并集为______。
广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。
2023-2024学年河南省高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．若3a = ，4b = ，,a b 的夹角为120⁰，则a b ⋅等于（）.A ．6-B ．6C ．-D ．-【正确答案】A【分析】由数量积公式求解.【详解】1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a C b c =-，则A =（）A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π【正确答案】B【分析】对2cos 2a C b c =-利用正弦定理可得2sin cos 2sin sin A C B C =-，整理得到sin 2sin cos C C A =，再结合角的范围，解得角A 即可.【详解】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2a C b c =-，所以由正弦定理得：2sin cos 2sin sin A C B C =-，所以()sin 2sin 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin cos C B A C A C A C C A =-=+-=，因为0C π<<，所以1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=.故选：B.3．如图，在矩形ABCD 中，M 是CD 的中点，若AC AM AB λμ=+，则λμ+=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【正确答案】C【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出12AC AM AB =+，进而得出λμ+.【详解】12AC AD AB AM MD AB AM AB =+=++=+ ，∴1λ=，12μ=，∴32λμ+=，故选：C ．4．已知正六边形ABCDEF 的边长为2，P 是正六边形ABCDEF 边上任意一点，则PA PB ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．8D ．【正确答案】B【分析】以正六边形ABCDEF 中心O 为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值.【详解】以正六边形ABCDEF 中心O 为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB 、DE 交y 轴于G 、H ，则()()((((((2,0,2,0,1,,1,,0,1,1,0,C F A B G E D H ----，设(),P x y ，()()221,,1,,22PA x y PB x y PA PB x y =--=--⋅=++，由正六边形对称性，不妨只研究y 轴左半部分，（1）当P 在EH 上时，则[]1,0x ∈-，y =21112PA PB x⋅=+≤；（2）当P 在AG 上时，则[]1,0x ∈-，y =，则210PA PB x⋅=-≤；（3）当P 在EF 上时，则EF l ：)2y x =+，[]2,1x ∈--，则229234182641244PA PB x x x ⎛⎫⋅=++=++≤ ⎪⎝⎭；（4）当P 在AF 上时，则AF l ：)2y x =+，[]2,1x ∈--，则22314624644PA PB x x x ⎛⎫⋅=++=+-≤ ⎪⎝⎭.综上，所求最大值为12.故选：B.5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为)151-m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．m D ．m【正确答案】D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】()1sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30222︒=︒-︒=︒︒-︒︒=⨯⨯=，由题意知：∠CAM ＝45°，∠AMC ＝105°，所以∠ACM ＝30°，在Rt △ABM 中，AM ＝sin ABAMB∠151=在△ACM 中，由正弦定理得sin AM ACM ∠＝sin CMCAM ∠，所以CM ＝·sin sin AMCAMACM∠∠＝26012=，在Rt△DCM 中，CD ＝CM ·sin ∠AMD＝60故选：D.6．如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，则2x y +的最小值为（）A ．3223+B ．423C ．32+D ．42【正确答案】A【分析】由平面向量的线性运算可得111()3AG AM AN x y=+，由M ，G ，N 三点共线，知113x y+=，再根据基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【详解】因为点G 是ABC 的重心，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，所以21111()()323AG AB AC AM AN x y=⨯+=+ ，因为M ，G ，N 三点共线，所以111(13x y +=，即113x y+=，所以1111212(2)()(21)(322)333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+，当且仅当2x yy x=，即2y x =时，等号成立，所以2x y +的最小值为3223+．故选：A ．7．在ABC 中，60B O ︒=，是ABC 的外心，若2OB =，则AO AC ∙=（）A ．32B ．3C ．6D ．3【正确答案】C【分析】取AC 中点H ，连接OH ，由已知及正弦定理可求OAH ∠，AC ，再根据平面向量的数量积运算求解即可．【详解】如图，取AC 中点H ，连接OH ，则OH AC ⊥，60AOH B ︒∠==，所以30OAH ︒∠=，在ABC 中，60B ︒=，2r OB ==，由正弦定理得2sin ACr B=，所以32sin 22232AC r B ==⨯=所以3cos 22362AO AC AO AC OAH =∠=⨯= ，故选：C ．8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC 的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（）A ．6-B ．4-C ．3-D ．2-【正确答案】C【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得3B π=，6ac =，再根据ABC 等面积法即可求得6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ，从而求得答案.【详解】31cos 2sin cos ,cos 2sin cos cos 622A C B A C C B π⎛⎫⎛⎫=-∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ,即cos 3cos cos cos A C B C B =-,又A B C π++=cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C ∴=-+=-+,cos cos sin sin 3sin cos cos cos B C B C C B C B ∴-+=-,即sin sin 3sin cos B C C B =,sin sin 0,tan 3cos B C B B≠∴==Q 又(0,),3B B ππ∈∴=.由三角形内角和性质知：△ABC 内角均小于120°，结合题设易知：P 点一定在三角形的内部，再由余弦定理知,2221cos 22a cb B ac +-==,22()6,6b a c ac =-+∴=Q,12121211sin sin sin sin 6sin 232323223ABC S PA PB PB PC PA PC ac B ππππ∴=⋅+⋅+⋅==⨯⨯V ,6PA PB PB PC PA PC ∴⋅+⋅+⋅=.由6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=等号左右两边同时乘以2cos3π可得：2222coscos cos 6cos 3333PA PB PB PC PA PC ππππ⋅+⋅+⋅=⨯，∴26cos 33PA PB PB PC PA PC π⋅+⋅+⋅=⨯=-uu r uu r uu r uu u r uu r uu u r .故选：C.本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.二、多选题9．已知平面向量()1,0a =，(b = ，则下列说法正确的是（）A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量+a b 与a 的夹角为30°D ．向量+a b 在a 上的投影向量为2a【正确答案】BD【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,0a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b aa b⋅+<+>==+，(),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．故选：BD10．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A ．若13BM BC =，则1233AM AC AB =+ B ．若23AM AC AB =-，则点M 、B 、C 三点共线C ．若点M 是ABC 的重心，则0MA MB MC ++=D ．若AM x AB y AC =+ 且13x y +=，则MBC 的面积是ABC 面积的23【正确答案】ACD【分析】A 选项，由平面向量基本定理，变形得到1233AM AC AB =+，A 正确；假设点M 、B 、C 三点共线，推导出2AM AC AB =-，故B 错误；C 选项，画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案；D 选项，可以先得到MBC 的面积与ABC 面积底相同，高线之比为2:3，从而得到答案.【详解】A 选项，()11123333AM AB BM AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+ ，A 正确；B 选项，假设点M 、B 、C 三点共线，则MB BC λ=，即()AB AM AC AB λ-=- ，整理得：()1AM AC AB λλ=-++ ，故当2λ=-时，即2AM AC AB =- ，与条件中的23AM AC AB=- 不一致，所以点M 、B 、C 三点不共线，B 错误；如图，取BC 中点H ，连接AH ，若点M 是ABC 的重心，则点M 在AH 上，且MA =2MH ，则2MA MB MH +=，则0MA MB MC ++= ，C 正确；D 选项，由于AM x AB y AC =+ ，而13x y +=，所以333AM xAB y AC =+ ，其中331x y +=，不妨设3AQ AM =，则Q 点在直线BC 上，由于MBC 与ABC 同底，而高线之比等于MQ与AQ 的比，即比值为2:3，所以MBC 的面积是ABC 面积的23，D 正确.故选：ACD11．设向量()()2,3,6,a b t == 若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的值可能是（）A ．5-B ．3C ．6D ．9【正确答案】BC【分析】由数量积公式求解.【详解】cos ,0a b a b a b ⋅== ，则1230,4t t +>>-.当a 与b 同向时，9t =，由于a 与b的夹角为锐角，则4t >-且9t ≠故选：BC12．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成π2θθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ斜坐标系，若12OM xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OM 的斜坐标，记为(),OM x y = .在π4θ=的斜坐标系中，122a ⎛= ⎝⎭，)1b =-.则下列结论中，错误．．的是（）A．112a b ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭B ．1a =C ．a b⊥ D ．b 在a上的投影向量为⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对于A项，根据题意写出12122a e e =+，12b e =- 然后根据向量的减法运算即可；对于B项，根据a == C项，验证)1212122a b e e e ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭是否为零；对于D 项，b 在a上的投影向量为2a b a a ⋅⋅求解.【详解】由题意得：12122a e e =+，12b e =- ，对于A项，)12121211122a b e e e e ⎫⎛-=--=+⎪ ⎪⎝⎝⎭，由题意得：1122a b ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，故A 正确；对于B项，12122a e e =+，1a ∴=====≠ ，故B 不正确；对于C项，)2212121122131πcos 02222222422a b e e e e e ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=+-⋅-=+-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 项不正确；对于D 项，b 在a上的投影向量为：2a b a a b a aa a⋅⋅⋅=⋅，又214a a ==+，2a b ⋅=，2124a b a a a ⎛⋅∴⋅=== ⎝⎭⎝⎭，故D 不正确.故选：BCD三、填空题13．已知向量(4,),(3,1)a m m b =+= ，且//a b r r，则m =______.【正确答案】2【分析】根据向量平行的坐标公式，代值计算即可.【详解】因为(4,),(3,1)a m m b =+= ，//a b r r，由()4130m m +⨯-=，得2m =.故2.14．如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD BC ==；2AB =，π3ABC ∠=，E 是BC 的中点，则DB AE ⋅=_________．【正确答案】94【分析】根据给定条件，用平面向量基底,BA BC表示,DB AE ，再利用数量积运算律求解作答.【详解】在梯形ABCD 中，依题意，12CD BA =，而E 是BC 的中点，则12DB DC CB BA BC =+=--，12AE BE BA BA BC =-=-+ ，又22AB BC ==，π3ABC ∠=，所以2211113)()2224(2D BA BC BA BC BA B B AE C BA BC⋅=--⋅-+=-+⋅2113π9221cos 22434=⨯-+⨯⨯⨯=.故9415．O 是平面上一定点，△ABC 中AB=AC ，一动点P 满足：(),(0)OP OA AB AC λλ=++>则直线AP 通过△ABC 的___________(请在横线上填入正确的编号）①外心②内心③重心④垂心【正确答案】①②③④【详解】设BC 中点为D ，则AD 为△ABC 中BC 边上的中线，由向量的运算法则可得2AB AC AD +=,由题意有：()2OP OA AB AC ADλλ-=+=，即2AP AD λ=，∴A 、P 、D 三点共线，点P 一定过△ABC 的重心，结合AB=AC 可得：直线AP 通过△ABC 的外心、内心、垂线和重心.①②③④16．如图所示，已知在四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，且点A 、B 、C 、D 共圆，点M ，N 分别是AD 和BC 的中点，则MN BC ⋅的值为______．【正确答案】367##157【分析】应用余弦定理及圆的性质可得1cos 2C =、1cos 7ABC ∠=，再由1122MN AB CD =- ，应用向量数量积的运算律求值即可.【详解】由题设180A C ∠+∠=︒，则cos cos A C =-，在△ABD 中222220cos 216AB AD BD BD A AB AD +--==⋅，在△BCD 中222252cos 248BC CD BD BD C BC CD +--==⋅，所以2220521648BD BD --=，可得228BD =，故1cos 2C =，同理得1cos 7ABC ∠=，又MN AB BN AM =+-，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，所以1111()2222MN AB BC AB BC CD AB CD =+-++=- ，所以1111236()()(12)22277AB DC AB D MN BC BC BC B C C +⋅=⋅=⋅⋅+=⨯-+= .故367关键点点睛：应用余弦定理及圆的性质求四边形相关内角的余弦值，再转化1()2AB MN BC B D C C ⋅=⋅+求值.四、解答题17．设向量,a b满足1a b ==r r，且32a b -= （1）求a 与b的夹角；（2）求23a b +的大小.【正确答案】（1）3π；（2【分析】（1）由已知得2327a b -= ，展开求得12a b ⋅= ，结合夹角公式即可求解；（2）由23a b +=化简即可求解．【详解】（1）设a 与b 的夹角为θ由已知得2327a b -= ，即2291247a a b b -⋅+= ，因此91247a b -⋅+= ，得12a b ⋅= ，于是1cos 2a b a b θ⋅==⋅，故θ=3π，即a 与b 的夹角为3π；（2）由23a b +=18．已知平面内的三个向量(3,2)a = ，(1,2)b =- ，(4,1)c =.（1）若(,)a b c λμλμ=+∈R，求λμ+的值；（2）若向量k +a b 与向量2b c - 共线，求实数k 的值.【正确答案】（1）139λμ+=（2）73k =-【分析】(1)利用向量的线性运算以及平面向量基本定理列方程组可解得;(2)根据共线向量定理列式可解得.【详解】解析（1）∵(,2)b λλλ=- ，(4,)c μμμ=，∴(4,2)b c λμλμλμ+=-++ ，又a b c λμ=+，所以4322λμλμ-+=⎧⎨+=⎩，解得5989λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴139λμ+=.（2）(3,22)a kb k k +=-+ ，2(6,3)b c -=- ，∵k +a b 与2b c - 共线，∴3(3)6(22)k k -=-+，解得73k =-.本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,属于基础题.19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且向量()2,m b a c =-与向量()cos ,cos n A C =共线.(1)求C ；(2)若c ABC =a b +的值.【正确答案】(1)π3C =(2)3a b +=【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角C ；（2）由面积公式解出ab 的值，再由余弦定理解得a b +的值.【详解】（1）向量()2,m b a c =- 与向量()cos ,cos n A C = 共线，有()2cos cos b a C c A -=，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B C A C C A -=，∴()()2sin cos sin cos cos sin sin sin πsin B C A C A C A C B B =+=+=-=，由0πB <<，，∴2cos 1C =，1cos 2C =，又0πC <<，∴π3C =.（2）由（1）知π3C =，∴sin C =，1cos 2C =，11sin 2222ABC S ab C ab ==⨯ ，得2ab =，由余弦定理：()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴()236a b =+-，解得3a b +=.20．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，222AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．(1)若12DE DC = ，求AC EF ⋅的值；(2)求EA EF ⋅的取值范围．【正确答案】(1)12；(2)11[,162-.【分析】（1）根据给定条件，利用,AB AD 结合向量的线性运算表示,AC EF，再借助数量积及运算律求解作答.（2）令EC DC λ=，01λ≤≤，利用,AB AD 结合向量的线性运算表示,AC EF ，再借助数量积及运算律求解作答.【详解】（1）依题意，12DC AB = ，12AC AD DC AD AB =+=+ ，12CB AB AC AB AD =-=-，而F 是BC 边的中点，12DE DC = ，则111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=-，因此2211)111(((2)22)22AD AB AB AD AB A AC EF D AB AD +-=-=⋅+⋅⋅，又222AB AD CD ===，90DAB ∠=︒，所以22111(210)222AC EF ⋅=⨯⨯-+= .（2）由（1）知：令=2EC DC AB λλ=，01λ≤≤，则12EA DA DE AD AB λ-=-=--，111121()22242EF EC CF EC CB EC AB AD AB AD λ+=+=+=+-=-，则有2112112+1111()()4()()()242242416EA EF AD AB AD λλλλλ-+-⋅=--⋅-=+=-- ，当14λ=时，min 1()16EA EF ⋅=- ，当1λ=时，max 1()2EA EF ⋅= ，所以EA EF ⋅ 的取值范围是11[,]162-.21．如图，在ABC 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．(1)若34ADC π∠=，求AD 的长；(2)若2BD DC =，ACD 的面积为423，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．【正确答案】(1)83AD =；(2)42.【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos B ，利用同角三角函数的平方关系可求得sin B 的值，然后在ABD △中，利用正弦定理可求得AD 边的长；（2）设CD t =，则2BD t =，利用三角形的面积公式可求得t 的值，然后在ABD △、ACD 中利用正弦定理，再结合sin sin ADB ADC ∠=∠，可求得结果.【详解】（1）解：因为3cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得()()3sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故1cos 3B =，则B 为锐角，所以，22sin 1cos 3B B =-，34ADC π∠= ，则4ADB π∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，∴22232=，解得83AD =．（2）解：设CD t =，则2BD t =，423ACD S =△，则342ABC ACD S S ==△△，即12223422t ⨯⨯=2t =，故36BC t ==，由余弦定理可得2212cos 436226423AC AB BC AB BC B +-⋅=+-⨯⨯⨯=在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故2sin 4CAD ADC ∠∠，因为()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，所以，sinsinBADCAD∠=∠22．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AO C．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC=且2COA AOM∠=∠的三角形观赏台AOC，记ππ64AOM x x⎛⎫∠=≤≤⎪⎝⎭.（1）当π6AOM∠=时，求矩形观赏台MNPQ的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.【正确答案】（1）)501平方米；（2）212.5平方米.【分析】（1）过M作OA的垂线，交AO于点E,过N作OA的垂线，交AO于点F，分别计算出MN、NP，即可求出矩形MNPQ的面积（2）由题意可知，AOM x∠=，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x的函数，()100cos sin200sin2S x x x=-+，利用三角函数求最值.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，过M 作OA 的垂线，交AO 于点E .则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=.π3cos20362OE OM =⋅=⨯.过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10310MN OE OF =-=.5NP =.矩形MNPQ 的面积()()5103105031S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)5031平方米.（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OMMON MNO=∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-.矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x =+=-+.设πcos sin 2cos 4t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π64E x ≤≤，∴6204t -≤≤()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-.∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当14t ⎡=∈⎢⎣⎦时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方米.∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米.数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．。
2023-2024学年全国高中高一下数学人教A版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，是两个不共线的非零向量，若，则实数( )A.B.C.D.2. 若，则（ ）A.B.C.D.3. 下列命题中正确的是( )A.B.C.D.a →b →(2+3)//(3+λ)a →b →a →b →λ=92−22−92sin(α+)=π213cos 2α=−7979−1919−=OA −→−OB −→−AB −→−+=0AB −→−BA −→−0⋅=0AB −→−++=AB −→−BC −→−CD −→−AD −→−4. 已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是( )A.B.C.D. 5. 如图，在中， ，，若，则的值为( )A.B.C.D.6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度7. 已知函数＝，设＝，＝，＝，则，，的大小关系是（ ）A.B.f(x)=a sinx +bcosx g(x)=2sin(ωx +)+1π3f(x)g(x)g(x)>2(kπ−,kπ+)(k ∈Z)π6π2(2kπ−,2kπ+)(k ∈Z)π6π2(2kπ,2kπ+)(k ∈Z)π6(kπ,kπ+)(k ∈Z)π6△ABC =AD −→−23AC −→−=BP −→−13BD −→−=λ+μAP −→−AB −→−AC −→−λμ−3−223y =cos(4x +)2π3y =sin4x 7π67π67π247π24f(x)sinx −x a f()π0.1b f()0.1πc f(π)log 0.1a b c a >b >cb >c >ac >b >aC.D.8. 已知＝同时满足以下条件：①当＝时，最小值为；②（＝（；③（）．若＝在有个不同实根，，且，则实数的取值范围为（ ）A.[-，]B.C.，]D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( )A.设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线B.方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C.双曲线与椭圆有相同的焦点D.以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切10. 在中，已知，给出以下四个论断，其中正确的是( )A.B.为直角三角形C.D.11. 设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为．记，，则下列命题正确的是( )c >b >ab >a >cf(x)2sin(ωx +φ)(ω>0)|f()−f()|x 1x 24|−|x 1x 2f +x)f −x)f(0)>f f(x)a [0,π]2m n |m −n |≥a [0,1)(1[−1,1)A B k |P A|−|P B|=k P 2−5x +2=0x 2−=1x 225y 29+=1x 235y 2P Q △ABC tan=sinC A +B 2=1tanA tanB △ABC 1<sinA +sinB ≤2–√A +B =A +Bsin 2sin 2cos 2cos 2αO x P (a,b)a =f (α)b =g(α)α=aA.B.为偶函数，为奇函数C.与的最大值均为D.与在区间均为单调递增函数12. 已知函数，，)的部分图象如图示，且，则下列说法正确的为( )A.函数为奇函数B.要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）14. 已知，且，则________．15. 在中，，，，则在方向上的投影是________.16. 已知函数的图象过点,且在上单调，同时tanα=aba =f (α)b =g(α)f (α)−g(α)f (α)+g(α)2–√f (α)−g(α)f (α)+g(α)[−,]π4π4f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0ω>0|φ|<πf (0)=f ()5π6y =f (x −)2π3g(x)=2sin2x f (x)π3f (x)x =−π12f (x)[,]5π1211π12sinθ=12<θ<ππ2sin2θ=△ABC |+|=|−|AB −→−AC −→−AB −→−AC −→−AB =4AC =3BC −→−CA −→−f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<)π2B(0,−)3–√(,)π18π3∈(−,−)4π2π的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，当,且时，,则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知向量，，其中，向量．若，求角的值；求的取值范围． 18. 已知向量．（1）求；（2）求向量与的夹角；（3）当时，求的取值范围． 19. 设，是两个不共线向量，已知，，．证明：、、三点共线；若，且、、三点共线，求的值． 20. 函数为常数，且的部分图象如图所示.求函数的解析式；若,求的值. 21. 已知的两个对称中心之间的最小距离为．求的解析式及函数在的值域；在上恰有两个零点，求实数的取值范围．22. 在中，．求的大小；求的最大值．f(x)π,∈(−,−)x 1x 24π32π3≠x 1x 2f()=f()x 1x 2f(+)=x 1x 2=(sinθ,1)a →=(1,cosθ)b →θ∈(−,)π2π2=(0,3)c →(1)(4−)//a →c →b →θ(2)|+|a →b →=(1,)，=(−2,0)a →3–√b →|−|a →b →−a →b →a →t ∈[−1,1]|−t |a →b →e 1→e 2→=2−8AB →e 1→e 2→=+3CB →e 1→e 2→=2−CD →e 1→e 2→(1)A B D (2)=3−k BF →e 1→e 2→B D F k f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φA >0,ω>0,0<φ<π)(1)f(x)(2)f()=,α∈(,)α243–√5π62π3sinαf (x)=sinωxcosωx −ωx 3–√cos 2π2(1)f (x)x ∈[0,]π2(2)g(x)=a +1−f ()2–√x 2x ∈[0,π]a △ABC +=+ac a 2c 2b 22–√(1)∠B (2)cosA +cosC 2–√参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】利用共线向量的性质，即可得出答案.【解答】解：∵，是两个不共线的非零向量，且，∴，解得.故选.2.【答案】A【考点】二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】Da →b →(2+3)//(3+λ)a →b →a →b →=32λ3λ=92A向量数乘的运算及其几何意义向量的加法及其几何意义向量的减法及其几何意义【解析】对于，利用向量的减法，可得；对于，结果应该是；对于，结果是；对于，利用向量的加法法则，可得结论．【解答】解：对于，利用向量的减法，可得，故不正确；对于，结果应该是，故不正确；对于，结果是，故不正确；对于，利用向量的加法法则，可得，故正确.故选．4.【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性和对称性三角函数的周期性及其求法【解析】若函数和有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即＝．通过解不等式求得的取值范围．【解答】解：由题意知，函数和的周期是一样的，故，不等式，即，即，解得：.故选.5.【答案】DA −=OA −→−OB −→−BA −→−B 0→C 0→D A −=OA −→−OB −→−BA −→−A B 0→B C 0→C D ++=+=AB −→−BC −→−CD −→−AC −→−CD −→−AD−→−D D f(x)g(x)ω1g(x)>2x f(x)g(x)ω=1g(x)>2sin(x +)>π3122kπ+<x +<2kπ+(k ∈Z)π6π35π6x ∈(2kπ−,2kπ+)(k ∈Z)π6π2B向量的三角形法则【解析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．【解答】解：∵，，∴.又，∴，，∴．故选.6.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换诱导公式【解析】根据诱导公式，根据平移法则即可得解．【解答】解：∵=+AP −→−AB −→−BP −→−=BP −→−13BD −→−=(−)13AD −→−AB −→−=−13AD −→−13AB−→−=×−1323AC −→−13AB−→−=−29AC −→−13AB −→−=+(−)AP −→−AB −→−29AC −→−13AB −→−=+23AB −→−29AC −→−=λ+μAP −→−AB −→−AC −→−λ=23μ=29=×=3λμ2392D y =cos(4x +)=sin(4x ++)2π32π3π2y =cos(4x +)2π3sin(4x ++)，∴为了得到的图像，可以将函数的图象向左平移个单位．故选.7.【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】=sin(4x ++)2π3π2=sin(4x +)=sin4(x +)7π67π24y =cos(4x +)2π3y =sin4x 7π24D双曲线的特性圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程椭圆的定义和性质命题的真假判断与应用【解析】不正确．若动点的轨迹为双曲线，则要小于、为两个定点间的距离；正确．方程的两根和可分别作为椭圆和双曲线的离心率；正确，焦点在轴上，焦点坐标为．通过抛物线的性质即可说明正误．【解答】解：，若动点的轨迹为双曲线，则要小于，为两个定点间的距离．当大于，为两个定点间的距离时，动点的轨迹不是双曲线，故为假命题；，方程的两根分别为和，则和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故为真命题；，双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点在轴上，焦点坐标为，故为真命题；．不妨设抛物线的标准方程为，即抛物线位于轴的右侧，以轴为对称轴．设过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离为．到准线的距离，到准线的距离，又到准线的距离是梯形的中位线，则有，由抛物线的定义，得(为半径)，所以圆心到准线的距离等于半径，即圆与抛物线的准线相切，故为真命题．故选．10.【答案】B,C,D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式诱导公式A P |k|A B B 2−5x +2=0x 2122C x (±,0)34−−√D A P |k|A B |k|A B P A B 2−5x +2=0x 2122122B C −=1x 225y 29+=1x 235y 2x (±,0)34−−√C D =2px(p >0)y 2y x P Q P Q M M d P =|P F|d 1Q =|QF|d 2M d d =|P F|+|QF|2==r |P F|+|QF|2|P Q|2r M D BCD三角形的形状判断【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：因为，所以，整理得，所以，所以三角形为直角三角形.所以不一定为.又易得.因为 ，又，所以，即.综上可知正确的选项有.故选.11.【答案】B,C【考点】任意角的三角函数正弦函数的奇偶性余弦函数的奇偶性两角和与差的正弦公式【解析】无【解答】解：．由任意角三角函数的定义可知，，，，故选项错误；．由于为偶函数，为奇函数，故选项正确；．由于，，tan=sinC A +B 2=2sin cos sin A +B 2cos A +B 2A +B 2A +B 2cos(A +B)=0A +B =π2ABC =A tanA tanB tan 21A +B =A +B sin 2sin 2cos 2cos 2sinA +sinB =sinA +cosA =sin(A +)2–√45∘<A +<45∘45∘135∘<sin(A +)≤12–√245∘1<sinA +sinB ≤2–√BCD BCD A a =cosαb =sinαtanα=b a A B a =f (α)=cosαb =g(α)=sinαB C f (α)−g(α)=cosα−sinα=sin(−α)2–√π4f (α)+g(α)=cosα+sinα=⋅sin(+α)2–√π4–√因此两个函数的最大值均为，故选项正确；．由于在上单调递减，故选项错误，故选．12.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象正弦函数的单调性【解析】根据图象得到 ，再由 ，得到函数图象的一条对称轴，然后再由和求得函数的解析式，再逐项判断．【解答】解：由图象可知，因为，所以函数图象的一条对称轴为直线，设的最小正周期为，则，即，所以，又，所以，即，所以，，即，．因为，所以，所以．2–√C D f (α)−g(α)=cosα−sinα=sin(−α)2–√π4=−sin(α−)2–√π4[−,]π4π4D BC A =2f (0)=f ()5π6f (x)x =5π12=−=T 45π12π6π4f ()=−25π12A =2f (0)=f ()5π6f (x)x ==0+5π625π12f (x)T =−=T 45π12π6π4T =πω==22πT f ()=−25π122sin(+φ)=−25π6sin(+φ)=−15π6+φ=2kπ−5π6π2k ∈Z φ=2kπ−4π3k ∈Z |φ|<πφ=2π3f (x)=2sin(2x +)2π3=f (x −)=2sin(2x −)对于，，为非奇非偶函数，故错误；对于，的图象向右平移个单位长度得到的图象，即的图象，故正确；对于，当时，，所以的图象关于直线对称，故正确；对于，由，，得，，所以函数在区间上单调递增，故正确．综上可知，正确的说法为．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】平面向量数量积向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：，..A y =f (x −)=2sin(2x −)2π32π3AB f (x)π3y =2sin[2(x −)+]=2sin2x π32π3g(x)BC x =−π122x +=2π3π2y =f (x)x =−π12CD 2kπ−≤2x +≤2kπ+π22π3π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ−7π12π12k ∈Z f (x)[,]5π1211π12D BCD BCD 6–√|−|=a →b →(−a →b →)2−−−−−−−−√=|+|−2||||cos <,>a →|2b →|2a →b →a →b →−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==21+4−4cos <,>a →b →−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√∴cos <,>=a →b →14|+|=a →b →(+a →b →)2−−−−−−−−√=|+|+2||||cos <,>a →|2b →|2a →b →a →b →−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==1+4+4cos <,>a →b →−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√–√故答案为：.14.【答案】【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数基本关系的运用【解析】利用同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角的正弦公式可得结果．【解答】解：∵，且，∴，∴．故答案为：．15.【答案】【考点】向量的投影向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，6–√−3–√2cosθsinθ=12<θ<ππ2cosθ=−=−=−1−θsin 2−−−−−−−−√1−()122−−−−−−−−√3–√2sin2θ=2sinθcosθ=2××(−)=−123–√23–√2−3–√2−3因为，所以，所以，所以在Rt 中，，则，设向量与的夹角为，则在方向上的投影为.故答案为：.16.【答案】【考点】正弦函数的周期性函数y=Asin （ωx+φ）的性质函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的图象过点,则解得结合，可知.则.∵函数的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，|+|=|−|AB −→−AC −→−AB −→−AC −→−⋅=0AB −→−AC −→−⊥AB −→−AC −→−△ABC BC ===5A +A B 2C 2−−−−−−−−−−√+4232−−−−−−√cos ∠ACB ==AC BC 35BC −→−CA −→−θBC −→−CA −→−||cosθ=||cos(π−∠ACB)BC −→−BC −→−=−||cos ∠ACB =−5×=−3BC −→−35−3−3–√f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<)π2B(0,−)3–√2sinφ=−3–√sinφ=−3–√2|φ|<π2φ=−π3f(x)=2sin(ωx −)π3f(x)πsin(ωx −)=2sin[ω(x +π)−]ππ∴,即，∴.函数在上单调，则,解得,∴，即.故函数的对称轴方程为,即.根据，且时，,可知当时，.∵,∴,则.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，，∴，．∵，∴．∴或，即或．∵，∴，∵，∴，∴，∴，2sin(ωx −)=2sin[ω(x +π)−]π3π3ωπ=2kπ(k ∈Z)ω=2k(k ∈Z)f(x)x ∈(,)π18π3−≤=π3π18T 2πω0<ω≤185ω=2f(x)=2sin(2x −)π32x −=kπ+(k ∈Z)π3π2x =+(k ∈Z)kπ25π12,∈(−π,−π)x 1x 24323≠x 1x 2f()=f()x 1x 2k =−3x =−13π12f()=f()x 1x 2−π=1312+x 1x 22f(+)=f(−π)=2sin(−π)=−x 1x 21361433–√−3–√(1)4−=4(sinθ,1)−(0,3)=(4sinθ,1)a →c →(4−)//a →c →b→4sinθcosθ−1=0sin2θ=12−<θ<π2π2−π<2θ<π2θ=π65π6θ=π125π12(2)+=(sinθ+1,cosθ+1)a →b →|+|=a →b →(sinθ+1+(cosθ+1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==3+2(sinθ+cosθ)−−−−−−−−−−−−−−−√3+2sin(θ+)2–√π4−−−−−−−−−−−−−−−√−<θ<π2π2−<θ+<π4π43π4−<sin(θ+)≤12–√2π41<3+2sin(θ+)≤3+22–√π42–√<≤+1−−−−−−−−−−−−−−−∴，即．【考点】两角和与差的正弦公式平面向量的坐标运算平行向量的性质向量的模正弦函数的定义域和值域【解析】（1）利用向量的线性运算和正弦函数的单调性即可求出；（2）根据向量的模的计算公式及三角函数的运算和正弦函数的单调性即可求出．【解答】解：∵，，∴，．∵，∴．∴或，即或．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．18.【答案】解：（1） 因为向量，，1<≤+13+2sin(θ+)2–√π4−−−−−−−−−−−−−−−√2–√|+|∈(1,+1]a →b →2–√(1)4−=4(sinθ,1)−(0,3)=(4sinθ,1)a →c →(4−)//a →c →b →4sinθcosθ−1=0sin2θ=12−<θ<π2π2−π<2θ<π2θ=π65π6θ=π125π12(2)+=(sinθ+1,cosθ+1)a →b →|+|=a →b →(sinθ+1+(cosθ+1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==3+2(sinθ+cosθ)−−−−−−−−−−−−−−−√3+2sin(θ+)2–√π4−−−−−−−−−−−−−−−√−<θ<π2π2−<θ+<π4π43π4−<sin(θ+)≤12–√2π41<3+2sin(θ+)≤3+22–√π42–√1<≤+13+2sin(θ+)2–√π4−−−−−−−−−−−−−−−√2–√|+|∈(1,+1]a →b →2–√=(1,)a →3–√=(−2,0)b →=(1,)−(−2,0)=(3,)→所以；…；…（2）因为，…所以，…所以向量与的夹角为；…（3）因为，…所以当时，最小值是，最大值是；…所以的取值范围是． …【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模平面向量数量积的运算【解析】（1）利用平面向量的坐标运算求模长即可；（2）利用平面向量的数量积求夹角即可；（3）利用二次函数在闭区间上的最值求的取值范围．【解答】解：（1） 因为向量，，所以；…；…（2）因为，…所以，…所以向量与的夹角为；…（3）因为，…所以当时，最小值是，最大值是；…所以的取值范围是． …19.【答案】证明：，−=(1,)−(−2,0)=(3,)a →b →3–√3–√|−|=2a →b →3–√(−)⋅=6a →b →a →cos −，>===a →b →a →(−)⋅a →b →a →|−|⋅||a →b →a →643–√3–√2−a →b →a →π6|−t =−2t ⋅+=4+4t +4=4(t ++3a →b →|2a →2a →b →t 2b →2t 212)2t ∈[−1,1]312|−t |a →b →[3,12]|−t |a →b →=(1,)a →3–√=(−2,0)b →−=(1,)−(−2,0)=(3,)a →b →3–√3–√|−|=2a →b →3–√(−)⋅=6a →b →a →cos −，>===a →b →a →(−)⋅a →b →a →|−|⋅||a →b →a →643–√3–√2−a →b →a →π6|−t =−2t ⋅+=4+4t +4=4(t ++3a →b →|2a →2a →b →t 2b →2t 212)2t ∈[−1,1]312|−t |a →b →[3,12](1)=−=−4BD →CD →CB →e 1→e 2→=2(−4)=2⇒//→→→→，∵与有公共点，∴、、三点共线.解：∵、、三点共线，∴存在实数，使，∴，∴.又∵不共线，∴解得，．【考点】三点共线平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量的基本定理【解析】（1）先求出，只要证明存在实数使得即可；（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】证明：，，∵与有公共点，∴、、三点共线.解：∵、、三点共线，∴存在实数，使，∴，∴.又∵不共线，∴解得，．20.【答案】解：由图象得，因为最小正周期，所以，⇒=2(−4)=2⇒//AB →e 1→e 2→BD →AB →BD →AB →BD →A B D (2)B D F λ=λBF →BD →3−k =λ−4λe 1→e 2→e 1→e 2→(3−λ)=(k −4λ)e 1→e 2→,e 1→e 2→{ 3−λ=0,k −4λ=0,λ=3k=12BD →λ=λAB →BD →(1)=−=−4BD →CD →CB →e 1→e 2→⇒=2(−4)=2⇒//AB →e 1→e 2→BD →AB →BD →AB →BD →A B D (2)B D F λ=λBF →BD →3−k =λ−4λe 1→e 2→e 1→e 2→(3−λ)=(k −4λ)e 1→e 2→,e 1→e 2→{ 3−λ=0,k −4λ=0,λ=3k=12(1)A =3–√T =×（+）=π437π12π6ω==22πT()=−7π所以,由，得，所以，因为,所以.故.由，可得，因为,所以,所以.因此，所以.【考点】两角和与差的正弦公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式余弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由图象得，因为最小正周期，所以，所以,由，得，所以，因为,所以.f(x)=sin(2x +φ)3–√f()=−7π123–√2×()+φ=−+2kπ,k ∈Z 7π12π2φ=−+2kπ,k ∈Z 5π30<φ<πφ=π3f(x)=sin(2x +)3–√π3(2)f （）=sin(α+)=α23–√π343–√5sin(α+)=π345α∈(,)π62π3α+∈(,π)π3π2cos(α+)<0π3cos(α+)=−=−π31−(α+)sin 2π3−−−−−−−−−−−−−√35sinα=sin[(α+)−]π3π3=sin(α+)cos −cos(α+)sin =π3π3π3π34+33–√10(1)A =3–√T =×（+）=π437π12π6ω==22πT f(x)=sin(2x +φ)3–√f()=−7π123–√2×()+φ=−+2kπ,k ∈Z 7π12π2φ=−+2kπ,k ∈Z 5π30<φ<πφ=π3(x)=sin(2x +)π故.由，可得，因为,所以,所以.因此，所以.21.【答案】解：，∵函数的图像的两个对称中心的最小距离为，∴，得，又∵，∴ ，∴，∵时， ，∴，∴时的值域为．令，∴，令，则函数在上有两个零点，可转化为直线与函数的图像在上有两个交点．当时，，当且时，且，f(x)=sin(2x +)3–√π3(2)f （）=sin(α+)=α23–√π343–√5sin(α+)=π345α∈(,)π62π3α+∈(,π)π3π2cos(α+)<0π3cos(α+)=−=−π31−(α+)sin 2π3−−−−−−−−−−−−−√35sinα=sin[(α+)−]π3π3=sin(α+)cos −cos(α+)sin =π3π3π3π34+33–√10(1)f (x)=sinωxcosωx −ωx3–√cos 2=sin2ωx −(1+cos2ωx)3–√212=sin2ωx −cos2ωx −3–√21212=sin(2ωx −)−π612f (x)π2=T 2π2T =πT =2π2ωω=1f (x)=sin(2x −)−π612x ∈[0,]π22x −∈[−,]π6π65π6sin(2x −)∈[−,1]π612x ∈[0,]π2f(x)[−1,]12(2)g(x)=a +1−f ()2–√x 2=a +1−[sin(x −)−]=02–√π612a =sin(x −)−−12–√π62–√2h(x)=sin(x −)−−12–√π62–√2g(x)x ∈[0,π]y =a h(x)x ∈[0,π]0≤x ≤π−≤x −≤π6π65π6≤x −≤π6π65π6x −≠π6π2≤x ≤ππ3x ≠2π3()≤a <h()∴当时，直线与函数的图象在上有两个交点，又∵，，∴，即实数的取值范围是．【考点】二倍角的余弦公式正弦函数的定义域和值域二倍角的正弦公式三角函数的周期性及其求法两角和与差的正弦公式由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：，∵函数的图像的两个对称中心的最小距离为，∴，得，又∵，∴ ，∴，∵时， ，∴，∴时的值域为．令，h()≤a <h()π32π3y =a h(x)x ∈[0,π]h()=−1π3h()=−12π32–√2−1≤a <−12–√2a [−1,−1)2–√2(1)f (x)=sinωxcosωx −ωx3–√cos 2=sin2ωx −(1+cos2ωx)3–√212=sin2ωx −cos2ωx −3–√21212=sin(2ωx −)−π612f (x)π2=T 2π2T =πT =2π2ωω=1f (x)=sin(2x −)−π612x ∈[0,]π22x −∈[−,]π6π65π6sin(2x −)∈[−,1]π612x ∈[0,]π2f(x)[−1,]12(2)g(x)=a +1−f ()2–√x 2=a +1−[sin(x −)−]=02–√π612=sin(x −)−−1–√∴，令，则函数在上有两个零点，可转化为直线与函数的图像在上有两个交点．当时，，当且时，且，∴当时，直线与函数的图象在上有两个交点，又∵，，∴，即实数的取值范围是．22.【答案】解：∵在中，＝，∴，∴，∴.由得：，∴＝．∵，∴，故当时，取最大值，即的最大值为．【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式三角函数的最值余弦定理a =sin(x −)−−12–√π62–√2h(x)=sin(x −)−−12–√π62–√2g(x)x ∈[0,π]y =a h(x)x ∈[0,π]0≤x ≤π−≤x −≤π6π65π6≤x −≤π6π65π6x −≠π6π2≤x ≤ππ3x ≠2π3h()≤a <h()π32π3y =a h(x)x ∈[0,π]h()=−1π3h()=−12π32–√2−1≤a <−12–√2a [−1,−1)2–√2(1)△ABC +a 2c 2+ac b 22–√+−=ac a 2c 2b 22–√cosB ===−a 2+c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B =π4(2)(1)C =−A 3π4cosA +cosC =cosA +cos(−A)2–√2–√3π4=cosA −cosA +sinA 2–√2–√22–√2=cosA +sinA 2–√22–√2sin(A +)π4A ∈(0,)3π4A +∈(,π)π4π4A +=π4π2sin(A +)π41cosA +cosC 2–√1求两角和与差的正弦【解析】Ⅰ根据已知和余弦定理，可得，进而得到答案；Ⅱ由得：，结合正弦型函数的图象和性质，可得的最大值．【解答】解：∵在中，＝，∴，∴，∴.由得：，∴＝．∵，∴，故当时，取最大值，即的最大值为．()cosB =2–√2()(I)C =−A 3π4cosA +cosC 2–√(1)△ABC +a 2c 2+ac b 22–√+−=ac a 2c 2b 22–√cosB ===−a 2+c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B =π4(2)(1)C =−A 3π4cosA +cosC =cosA +cos(−A)2–√2–√3π4=cosA −cosA +sinA 2–√2–√22–√2=cosA +sinA 2–√22–√2sin(A +)π4A ∈(0,)3π4A +∈(,π)π4π4A +=π4π2sin(A +)π41cosA +cosC 2–√1。
2023-2024学年全国高中高一下数学苏教版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一下数学月考试卷考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若复数，则（ ）A.B.C.D.2. 已知向量，满足 ，则( )A.B.C.D.3. 设、、是三个不同平面，是一条直线，下列各组条件中可以推出的有（ ）①，；②，；③，；④，．A.①③B.①④C.②③D.②④4. 的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则向量在向z =(1+i)23+4i|z|=4535252–√5a →b →||=1,⋅=−1a →a →b →⋅(2−)=a →a →b →432αβγl α//βl ⊥αl ⊥βl //αl //βα//γβ//γα⊥γβ⊥γ△ABC O 1+=2AB −→−AC −→−AO −→−=|OA |−→−−−|AC |−→−−−BA −→−−→−量方向上的投影为（ ）A.B.C.D.5. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.6. 一艘海盗船从处以的速度沿着北偏东的方向前进，在点南偏东距离为的处有一海警船，沿着北偏西的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（ ）A.B.C.D.7. 在中， ，，，则的面积为（ ）A.B.C.D.8. 已知平行四边形的对角线与交于点，设 ，则( BC −→−323–√23−3–√2ABC −A 1B 1C 1∠ABC =120∘AB =2BC =C =1C 1AB 1BC 13–√215−−√510−−√53–√3C 20km/h 20∘C 40∘20km B 10∘20km/h40km/h20km/h3–√50km/h△ABC AB =5sin A =2sin C cos B =45△ABC 10152030ABCD AC BD O =，=AB −→−a →BC −→−b →(−)=12a →b →)A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且，则下列结论正确的是( )A. B.C.的共轭复数为D.的虚部为10. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )A.的周长为B.面积的最大值为C.当时， 的面积为D.存在点使得11. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是( )A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是直角三角形D.若，则是锐角三角形12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ）OA−→−OB−→−OC−→−OD−→−z =a +i 3–√|z|=2=8z 3=4z 2z 1+i3–√z 3–√F 1F 2C :+=1x 29y 25P C △PF 1F 210△PF 1F 225–√∠P =F 1F 260∘△PF 1F 253–√2P ⋅=0PF 1−→−PF 2−→−△ABC A B C a b c a >b sin A >sin Bsin 2A =sin 2B △ABC a cos B −b cos A =c △ABC +−>0a 2b 2c 2△ABC ABCD −A 1B 1C 1D 1P C B 1A.直线平面B.二面角的大小为C.三棱锥的体积为定值D.异面直线与所成角的取值范围是卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知复数满足是虚数单位)，则________；________.14. 如图，在平面四边形中，，，，，，则的长度为________.15. 已知非零向量，满足，则________.16. 已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为________ . B ⊥D 1DA 1C 1−CD −B B 1π2P −D A 1C 1AP D A 1[,]π4π2z z =(i 1−i i=z 2|z|=ABCD AD ⊥AB AD =4AC =2∠ACB =105∘∠ABC =45∘BC +CD a →b →||=|−|a →a →b →(−)⋅a →12b →b →=ABCD −A ′B ′C ′D ′=A ′B ′3–√=1B ′C ′B A ′ACC ′A ′3–√4四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 已知两个不共线的向量，的夹角为，且，，为正实数．若与垂直，求；若，求的最小值及对应的的值，并指出此时向量与的位置关系．18. 中，角，，的对边分别为，，，，，为边中点， .求的值；求的面积．19. 如图，三棱柱为正三棱柱，且，其中点，分别为，的中点．（）求证：平面；（2）求证：平面．（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.a →b →θ||=3a →||=1b →x (1)+2a →b →−4a →b →tan θ(2)θ=π6|x −|a →b →x a →x −a →b →△ABC A B C a bc A =3π4sin B =10−−√10D BC AD =1(1)b c(2)△ABC ABC −A 1B 1C 1AC =C C 1F D AC 1B B 11DF //ABC DF ⊥ACC 13D A C 1ABC参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】1【解答】12.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，故选.3.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系⋅(2−)=a →a →b →2−⋅=2×−(−1)=3a →2a →b →12B空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】向量的投影【解析】利用向量加法的几何意义 得出是以为直角的直角三角形．由题意画出图形，借助图形求出向量在向量方向上的投影．【解答】解：由于由向量加法的几何意义，为边中点，因为的外接圆的圆心为，半径为，所以，三角形应该是以边为斜边的直角三角形，斜边，直角边，所以则向量在向量方向上的投影为，故选．5.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】△ABC A BA −→−BC −→−+=2AB −→−AC −→−AO −→−O BC △ABC O 1====1|OA |−→−−−|OC |−→−−−|OB |−→−−−|AC |−→−−−BC BC =2AO =2AB =3–√∠ABC =30∘BA −→−BC −→−|BA |cos 30=×=3–√3–√232A此题暂无解析【解答】解：补成四棱柱，如图所示，由图可知，的大小即为异面直线与所成的角的大小，由题知：，，.∵由上述知：，∴，∴，则异面直线与所成的角的余弦值为.故选.6.【答案】C【考点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】无【解答】解：如图，设在处两船相遇，ABCD −A 1B 1C 1D 1∠B D C 1AB 1BC 1B ==C 1B +C C 2C 21−−−−−−−−−−√2–√BD ==+−2×1×2×cos 122260∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√D ==C 1C +C D 2C 21−−−−−−−−−−√5–√+B =BC 12D 2D C 12∠DB =C 190∘cos ∠B D ===C 1B C 1D C 12–√5–√10−−√5AB 1BC 110−−√5C A ∠ACB =120∘∠B =30∘则由题意得，，则是等腰三角形，则，，所以海盗船需小时到处，则海警船小时至少航行．故选．7.【答案】B【考点】正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】先求出 ，再求出 ，最后求’的面积即可．【解答】解：在中，，由正弦定理：，因为 ，所以.因为，，所以，所以.故选．8.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】∠ACB =120∘∠B =30∘△ABC |AC|=20AB =203–√1A 120km 3–√C a =10sin B =35△ABC △ABC sin A =2sin C a =2c AB =c =5a =10cos B =450<B <πsin B ==1−B cos 2−−−−−−−−√35S =ac sin B =×5×10×=15121235B解：如图，∵，∴.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】复数的模复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念【解析】由题意可得，由，可得的方程，解出即得．【解答】解：∵在复平面内对应的点位于第二象限，∴.由，得，解得或（舍去），∴．∴的虚部为，故正确；的共轭复数为，故错误；，故错误；，故正确.故选．10.【答案】−a →b →=−AB −→−BC −→−=−AB −→−AD −→−=DB −→−(−)12a →b →=12DB −→−=OB −→−B a <0|z |=2a z =a +i 3–√a <0|z |=2=2+3a 2−−−−−√a =−11z =−1+i 3–√z 3–√D z −1−i 3–√C =(−1+i =−2−2i z 23–√)23–√B =⋅zz 3z 2=(−2−2i)(−1+i)3–√3–√=8A ADA,B【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的定义余弦定理正弦定理向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】直接利用椭圆的定义和方程，余弦定理和三角形的面积，平面向量的数量积的应用判断、、、的结论．【解答】解：已知，分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，如图所示：．根据椭圆的性质，，，，故的周长为，故正确；．当点在椭圆的短轴上时，，故正确；．设，，所以，利用余弦定理，整理得，故，所以，故错误；．设，则，由可得，从而可得解得， ，不成立，故错误．故选．11.【答案】A,CA B C D F 1F 2C +=1x 29y 25P C A 2a =62b =25–√2c =4△PF 1F 22a +2c =10A B P (=⋅2c ⋅b =2S P )P 1F 2)max 125–√B C P =x F 1P =y F 2x +y =6F 1F 22=P +P F 21F 22−2⋅P ⋅P ⋅cos F 1F 260∘16=+−xy =−3xy x 2y 2(x +y)2xy =203=××=S △PF 1F 2122033–√253–√3C D P (,)x 0y 0+=1x 209y 205⋅=0PF 1−→−PF 2−→−+=4x 20y 20=−x 2094=y 20254D AB【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正余弦定理和三角形内角和判断各选项即可.【解答】解：对于，由正弦定理及大边对大角，所以正确；对于，可得或，是直角三角形或等腰三角形，所以错误；对于，由已知及余弦定理可得，化简得，所以正确；对于，由余弦定理可知，，可得角是锐角，但不能得出是锐角三角形，所以错误．故选．12.【答案】A,C【考点】直线与平面所成的角棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】无【解答】解：在中，如图，∵，，，∴平面，∴，同理，．∵，∴直线平面，故正确；在中，由正方体可知平面不垂直平面，故错误；在中，∵，平面，平面，∴平面．A AB A =B A +B =π2△ABC B C a −b =c +−a 2c 2b 22ac +−b 2c 2a 22bc =+a 2b 2c 2C D cos C =>0+−a 2b 2c 22ab C △ABC D AC A ⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1∩B =B 1D 1B 1B 1⊥A 1C 1BB 1D 1⊥B A 1C 1D 1D ⊥B C 1D 1∩D =A 1C 1C 1C 1B ⊥D 1D A 1C 1A B CD B 1ABCD B C D//C A 1B 1D ⊂A 1D A 1C 1C ⊂B 1D A 1C 1C//B 1D A 1C 1CB∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故正确；在中，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，故异面直线与所成角的取值范用是，故错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】,【考点】复数代数形式的乘除运算复数的模【解析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：因为复数满足是虚数单位)，所以，所以，.故答案为：；.14.【答案】【考点】余弦定理【解析】【解答】解：过点作于点，P C B 1P D A 1C 1△D A 1C 1P −D A 1C 1C D P C B 1AP D A 1π3AP D A 1[,]π3π2D AC 2i 2–√z z =(i 1−i i z =−1−i =(−1−i =2i z 2)2|z|=2–√2i 2–√2+3–√2–√C CF ⊥AB F∵，，∴.∵，∴.∵，，由余弦定理，得，即，∴.∵，，∴，∵，∴，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】平面向量数量积向量的模【解析】【解答】解：∵，∴，，∴.故答案为：16.【答案】∠ACB =105∘∠ABC =45∘∠CAB =30∘AD ⊥AB ∠CAD =60∘AD =4AC =2D =A +A −2AD ⋅AC cos ∠CAD C 2D 2C 2D =+−2×4×2×C 2422212DC =23–√∠CAB =30∘CF ⊥AB CF =1∠ABC =45∘BC =2–√BC +CD =2+3–√2–√2+3–√2–√0||=|−|a →a →b →=+−2⋅a →2a →2b →2a →b →∴⋅=a →b →12b →(−)⋅=⋅−=−=0a →12b →b →a →b →12b →212b →212b →20.【考点】球的表面积和体积棱柱的结构特征直线与平面所成的角【解析】【解答】解： 作，垂足为，连接，．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴是与平面所成的平面角．又， . ∴，解得 . 故该长方体的体对角线为．设长方体的外接球的半径为，则，解得，∴该长方体的外接球的表面积为 . 故答案为：.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：∵与垂直，5πBE ⊥AC E E A ′BE ABC ⊥ACC ′A ′ABC∩AC =AC C ′A ′BE ⊂ABC BE ⊥ACC ′A ′∠B E A ′B A ′ACC ′A ′BE ==×13–√+()3–√212−−−−−−−−−√3–√2B ==A ′+A ()3–√2A ′−−−−−−−−−−−√3+AA ′2−−−−−−−√sin ∠B E ===A ′BE B A ′3√23+AA ′2−−−−−−−√3–√4A =1A ′=++12()3–√212−−−−−−−−−−−−−√5–√R 2R =5–√R =5–√2S =4π=4π×=5πR 2()5–√225π(1)+2a →b →−4a →b →+2)→(−4)=0→∴，∴.∵，，∴，∴.又，∴，∴．，故当时，取得最小值，此时，，故向量与垂直．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】（1）由，可得•．展开可得，又，利用，即可得出．（2）利用数量积运算性质可得，故当时，取得最小值，计算•即可得出．【解答】解：∵与垂直，∴，∴.∵，，∴，(+2)a →b →⋅(−4)=0a →b →−2⋅−8=0a →2a →b →b →2||=3a →||=1b →−2×3×1×cos θ−8×=03212cos θ=16θ∈[0,π]sin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√35−−√6tan θ==sin θcos θ35−−√(2)|x −|=a →b →−2x ⋅+a →2x 2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9−3x +1x 23–√−−−−−−−−−−−−−√=9(x −+3–√6)214−−−−−−−−−−−−−√x =3–√6|x −|a →b →12a →⋅(x −)=x −⋅a →b →a →2a →b→=×9−3×1×cos =03–√6π6a →x −a →b →(+2)⊥(−4)a →b →a →b →(+2)a →b →(−4)=0a →b →cos θ=16θ∈(0,π)sin θ=1−θcos 2−−−−−−−−√tan θ=sin θcos θ|x −|=a →b →9(x −+3–√6)214−−−−−−−−−−−−−√x =3–√6|x −|a →b →12a →(x −)a →b →(1)+2a →b →−4a →b →(+2)a →b →⋅(−4)=0a →b →−2⋅−8=0a →2a →b →b →2||=3a →||=1b →−2×3×1×cos θ−8×=03212θ=1∴.又，∴，∴．，故当时，取得最小值，此时，，故向量与垂直．18.【答案】解：在中，，，∴， ，，，∴.∵为中点，∴，∴，即，化简得①，由知②，联立①②解得 ，，.【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理cos θ=16θ∈[0,π]sin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√35−−√6tan θ==sin θcos θ35−−√(2)|x −|=a →b →−2x ⋅+a →2x 2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9−3x +1x 23–√−−−−−−−−−−−−−√=9(x −+3–√6)214−−−−−−−−−−−−−√x =3–√6|x −|a →b →12a →⋅(x −)=x −⋅a →b →a →2a →b→=×9−3×1×cos =03–√6π6a →x −a →b →(1)△ABC sin B =10−−√10A =3π4cos B =310−−√10sin A =2–√2cos A =−2–√2sin C =sin(A +B)=×−×2–√2310−−√102–√210−−√10==220−−√205–√5==×=b c sin B sin C 10−−√1055–√2–√2(2)D BC 2=+AD −→−AB −→−AC −→−4=+2⋅+∣∣∣AD −→−∣∣∣2∣∣∣AB −→−∣∣∣2AB −→−AC −→−∣∣∣AC −→−∣∣∣24=++2bc ⋅(−)c 2b 22–√24=+−bc b 2c 22–√(1)=b c 2–√2b =2c =22–√∴=bc sin A =2S △ABC 12【解析】首先利用正弦的和角公式求出，再利用正弦定理关系，得出答案；直接利用余弦定理及面积公式作答即可.【解答】解：在中，，，∴， ，，，∴.∵为中点，∴，∴，即，化简得①，由知②，联立①②解得 ，，.19.【答案】（）证明：取的中点，连结，．在中，，，又据题意知，，，∴，，∴四边形为平行四边形．∴．又∵平面，平面，∴平面．(1)sin C (2)(1)△ABC sin B =10−−√10A =3π4cos B =310−−√10sin A =2–√2cos A =−2–√2sin C =sin(A +B)=×−×2–√2310−−√102–√210−−√10==220−−√205–√5==×=b c sin B sin C 10−−√1055–√2–√2(2)D BC 2=+AD −→−AB −→−AC −→−4=+2⋅+∣∣∣AD −→−∣∣∣2∣∣∣AB −→−∣∣∣2AB −→−AC −→−∣∣∣AC −→−∣∣∣24=++2bc ⋅(−)c 2b 22–√24=+−bc b 2c 22–√(1)=b c 2–√2b =2c =22–√∴=bc sin A =2S △ABC 121AC O FO BO △ACC 1FO =C 12C 1FO //C C 1BD =C 12C 1BD //C C 1FO =BD FO//BD FOBD DF //OB DF ⊂ABC OB ⊂ABC DF //ABC ABC −A B C（）证明：∵三棱柱为正三棱柱，∴平面．又∵平面，∴．∵是正三角形且，∴.∵，，，，平面，∴平面 ．又∵，∴平面 ．（）解：设.∵，∴.在中，∵，∴，，三线两两垂直.以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，.∴，.设平面的一个法向量为，则即令，则，.∴平面的一个法向量为.又∵平面的一个法向量为，∴.∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【考点】直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定2ABC −A 1B 1C 1C ⊥C 1ABC BO ⊂ABC BO ⊥C C 1△ABC AO =OC BO ⊥AC BO ⊥C C 1BO ⊥AC AC ∩C =C C 1AC C ⊂C 1ACC 1BO ⊥ACC 1DF//BO DF ⊥ACC 13AC =C =2C 1FO//C C 1FO ⊥平面ABC △ABC BO ⊥AC OA OB OF O OA OB OF x y z O −xyz A(1,0,0)(−1,0,2)C 1D(0,,1)3–√=(−2,0,2)AC 1−→−=(−1,,1)AD −→−3–√ADC 1=(x,y,z)n →1 ⋅=0,n →1AC 1−→−⋅=0,n →1AD −→−{−2x +2z =0,−x +y +z =0.3–√x =1z =1y =0ADC 1=(1,0,1)n →1ABC =(1,0,1)n →2cos <,>===n →1n →2⋅n →1n →2||||n →1n →212–√2–√2D A C 1ABC 2–√2【解析】此题暂无解析【解答】（）证明：取的中点，连结，．在中，，，又据题意知，，，∴，，∴四边形为平行四边形．∴．又∵平面，平面，∴平面．（）证明：∵三棱柱为正三棱柱，∴平面．又∵平面，∴．∵是正三角形且，∴.∵，，，，平面，∴平面 ．又∵，∴平面 ．（）解：设.∵，∴.在中，∵，∴，，三线两两垂直.以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，1AC O FO BO △ACC 1FO =C 12C 1FO //C C 1BD =C 12C 1BD //C C 1FO =BD FO//BD FOBD DF //OB DF ⊂ABC OB ⊂ABC DF //ABC 2ABC −A 1B 1C 1C ⊥C 1ABC BO ⊂ABC BO ⊥C C 1△ABC AO =OC BO ⊥AC BO ⊥C C 1BO ⊥AC AC ∩C =C C 1AC C ⊂C 1ACC 1BO ⊥ACC 1DF//BO DF ⊥ACC 13AC =C =2C 1FO//C C 1FO ⊥平面ABC △ABC BO ⊥AC OA OB OF O OA OB OF x y z O −xyz则，，.∴，.设平面的一个法向量为，则即令，则，.∴平面的一个法向量为.又∵平面的一个法向量为，∴.∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.A(1,0,0)(−1,0,2)C 1D(0,,1)3–√=(−2,0,2)AC 1−→−=(−1,,1)AD −→−3–√ADC 1=(x,y,z)n →1 ⋅=0,n →1AC 1−→−⋅=0,n →1AD −→−{−2x +2z =0,−x +y +z =0.3–√x =1z =1y =0ADC 1=(1,0,1)n →1ABC =(1,0,1)n →2cos <,>===n →1n →2⋅n →1n →2||||n →1n →212–√2–√2D A C 1ABC 2–√2。
2023-2024学年江西省高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年江西省高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．320 用弧度制表示为（）A ．2π9B ．8π9C ．16π9D ．20π9【正确答案】C【分析】根据弧度与角度互化方法直接求解即可.【详解】π16π3203201809=⨯=.故选：C ．2．若角α的终边经过点(-，则cos α=（）A B ．C D ．【正确答案】B【分析】借助三角函数的定义直接求解即可.【详解】cos5α==,故选：B.3．cos15°sin 105°=（）A ．4+12B ．4-12C D 【正确答案】A【分析】利用积化和差公式直接求解．【详解】11111cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 9022222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯⨯=.故选：A ．4．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观，折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）．设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为1S ，折扇纸面面积为2S，当时12S S =，扇面较为美观．那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（）A．4BCD1【正确答案】B【分析】设原扇形半径为x ，剪下小扇形半径为y ，AOB α∠=，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比．【详解】由题意，如图所示，设原扇形半径为x ，剪下小扇形半径为y ，AOB α∠=，则小扇形纸面面积2112S y α=,折扇纸面面积2221122x y S αα=-，由于122S S =，222111222y x y ααα=-，即得221x y =+，解得xy=故选：B ．5．函数()22sin x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用()00f =得解.【详解】ππ[,22x ∀∈-，令()()22sin x xf x x-=-()()()()()22sin 22sin x x x x f x x x f x ---=-⋅-=-⋅=，则()f x 是偶函数，选项A ，B 是不正确的；又因为()00f =，所以C 不正确.故选：D6．tan 87tan 27tan 27tan 87-=（）A ．2B C ．－2D ．－5【正确答案】B【分析】利用两角差正切公式，即可得到结果.【详解】()()tan 87tan 2727tan 87tan 87271tan 27tan 8727tan 87︒-︒-︒︒=︒-︒+︒︒-︒︒)1tan 27tan 87tan 27tan 87+︒︒︒︒故选：B.7．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m ，其中心O 到水面的距离为2m ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为60s ，当水车上的一个水筒A 从水中（0A 处）浮现时开始计时经过t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度为()f t （在水面下高度为负数），则()130f =（）A ．3mB ．4mC ．5mD ．6m【正确答案】B【分析】设经过t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度为π()sin()2,(0,||)2f t A t ωϕωϕ=++><，由题意求得参数，可得解析式，即可求得答案.【详解】由题设，水车的角速度为2ππ/s s 60/30=,又水车的半径为4m ，中心O 到水面的距离2m ，设经过t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度为π()sin()2,(0,||2f t A t ωϕωϕ=++><，由题意可知π4,30A ω==,由于0=t 时，水筒A 在0A 处，即(0)4sin 20f ϕ=+=，即1s 2in ϕ=-，由于π||2ϕ<，故取π6ϕ=-，故t （单位：s ）后水筒A 距离水面的高度可表示为ππ()4sin(2630t f t =-+，130ππ(130)4sin()24(m)360f ∴=-+=，故选︰B ﹑8．已知函数()()tan f x x ωϕ=+0ω>π2<ϕ的图象经过点(，若函数()f x 在区间[]0,π内恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．25,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】首先求ϕ，再根据[]0,πx ∈,求π3x ω+的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求ω的取值范围.【详解】由条件可知()0tan f ϕ==π2ϕ<，所以π3ϕ=，()πtan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，πππ,π333x ωω⎡⎤+∈⋅+⎢⎥⎣⎦，若函数在区间[]0,π上恰有2个零点，则π2ππ3π3ω≤⋅+<，解得5833ω≤<.故选：D二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．137- 与943 的终边相同B ．若α为第三象限角，则tan02α<C ．若cos20α<，则α为第一象限角D ．若π4α+为第一象限角，则α不可能为第二象限角【正确答案】ABD【分析】根据终边相同的角的表示判断A ，利用象限角的定义判断B 、D ，利用特殊值判断C.【详解】对于A ：因为与137- 终边相同的角表示为137360k -+⋅ ，Z k ∈，当3k =时1373603943-+⨯= ，即137- 与943 的终边相同，故A 正确；对于B ：α为第三象限角，则3ππ2π2π2k k α+<<+，Z k ∈，则π3πππ224k k α+<<+，Z k ∈，即2α位于第二象限或第四象限，所以tan 02α<，故B 正确；对于C ：当π2α=时cos 2cos π10α==-<，但是α不属于任何一象限，故C 错误；对于D ：π4α+为第一象限角，则ππ2π2π42k k α<+<+，Z k ∈，则ππ2π2π44k k α--<<+，Z k ∈，所以α不可能为第二象限角，故D 正确；故选：ABD10．为了得到函数πsin 58y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数cos y x =-的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移3π40个单位长度B ．所有点的横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移3π8个单位长度C ．向左平移3π8个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的15D ．向左平移3π40个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来15【正确答案】AC【分析】化为同名函数后，根据图象变换判断．【详解】对于AB ：因为πcos sin 2y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以将函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变，得到πsin 52y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将πsin 52y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π40个单位长度，得到函数πsin 58y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确，B 错误；对于CD ：将πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移38π个单位长度，得到πsin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将πsin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所有点的横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变，得到函数πsin 58y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故C 正确，D 错误；故选：AC ．11．对于函数sin cos sin cos ()x x x xf x +--=，下列结论正确的是（）A ．()cos ,sin cos sin ,sin cos x x xf x x x x≥⎧=⎨<⎩B ．()f x 的单调递减区间为π2π,π2π(Z)4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最大值为1D ．若关于x 的方程()f x a =在[]0,2π上有四个实数解，则12a -<<-【正确答案】AD【分析】根据绝对值的性质化简不等式，判断A ，根据正弦函数和余弦函数的单调性判断BC ，结合函数图象判断D.【详解】因为()sin cos sin cos 2x x x xf x +--=，所以当sin cos x x ≥，即π5π2π2π44k x k +≤≤+，Z k ∈时，()sin cos sin cos cos 2x x x xf x x +-+==，当sin cos x x <，即3ππ2π2π44k x k -<<+，Z k ∈时，()sin cos sin cos sin 2x x x x f x x ++-==，所以()cos ,sin cos sin ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，A 正确；因为函数cos y x =在[]2π,2ππk k +，Z k ∈上单调递减，函数cos y x =在[]2ππ,2πk k -，Z k ∈上单调递增，函数sin y x =在ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增，函数sin y x =在π3π2π+,2π+22k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递减，又当3ππ2π2π44k x k -<<+，Z k ∈时，()sin f x x =，当π5π2π2π44k x k +≤≤+，Z k ∈时，()cos f x x =，所以函数()f x 的单调递减区间为()3ππ2π,2πZ 42k k k ⎛⎤-+-+∈ ⎥⎝⎦和()π2π,π2πZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，B 错误；当3ππ2π2π44k x k -<<+，Z k ∈时，()sin 2f x x =<，当π5π2π2π44k x k +≤≤+，Z k ∈时，()cos 2f x x =≤，当且仅当π2π4x k =+，Z k ∈时取等号；所以()f x 的最大值为2，C 错误；因为方程()f x a =在[]0,2π上有四个实数解，所以函数()y f x =的图象与函数y a =的图象有四个交点，作函数()f x 在[]0,2π上的图象如下，观察可得212a -<<-，D 正确；故选：AD.12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0ω>，π2<ϕ），π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3π8f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间ππ1224⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调，则下列说法正确的是（）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．()3π04f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【正确答案】BCD【分析】根据题意得π(,0)8-为对称中心，3π8x =为对称轴，列出方程组进而可得ω为奇数，根据()f x 在区间ππ1224⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调得8ω≤，进而对1,3,5,7ω=逐一分析即可.【详解】由已知得π(,0)8-是()f x 图像的一个对称中心，直线3π8x =是()f x 图像的一条对称轴，所以1122ππ,Z,83πππ,Z 82k k k k ωϕωϕ⎧-+=∈⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，则1221ππ()π,Z ,22k k k k ω=+∈-，于是21,Z k k ω=+∈，即ω为奇数，故C 正确；因为()f x 在区间ππ1224⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调，所以12πππ(22412ω⋅≥--得8ω≤，当1ω=时()sin()f x x ϕ=+，由于π(08f -=，所以π8ϕ=，即π()sin(8f x x =+，()f x 在ππ(,)1224-上单调，但()f x 不是偶函数，满足3π(0)()4f f =；当3ω=时()sin(3)f x x ϕ=+，由于π()08f -=，所以3π8ϕ=，即()3πsin(3)8f x x =+，()f x 在ππ(,)1224-上单调，但()f x 不是偶函数，满足3π(0)()4f f =；当5ω=时()sin(5)f x x ϕ=+，由于π()08f -=，所以3π8ϕ=-，即()3πsin(58f x x =-，此时()f x 在ππ(,1224-上不单调，故5ω=不合题意；当7ω=时()sin(7)f x x ϕ=+，由于π()08f -=，所以π8ϕ=-，即π()sin(7)8f x x =-，此时()f x 在ππ(,1224-上不单调，故7ω=不合题意；综上，选项A 错误，选项B 和D 正确；故选：BCD.三、填空题13．函数πtan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是____________．【正确答案】ππZ 43k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，【分析】由342πππ，Z x k k -≠+∈可得答案.【详解】342πππ，Z x k k -≠+∈，则43ππk x ≠+，Z k ∈.故ππZ 43k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14．sin 74sin 46sin16sin 44︒︒-︒︒=__________．【正确答案】12##0.5【分析】先用诱导公式进行化简，进而通过两角和的余弦公式即可求得答案.【详解】sin 74sin 46sin16sin 44︒︒-︒︒=1cos16cos 44sin16sin 44cos 602︒︒-︒︒=︒=.故答案为.1215．已知1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________.【正确答案】23【分析】根据角5π6x -与π6x +互补，角π6x +与π3x -的关系，再结合诱导公式即可求解.【详解】由题意可知：π1sin()63x +=，则3s 5πππ1)sin[π(sin(n )i 66(6x x x -=-+=+=，又因为ππππsin(sin[(cos()6233x x x +=+-=-，所以π1cos(33x -=，所以5ππ112sin()cos()63333x x -+-=+=，故答案为.2316．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，方程()()()2210f x a f x +-+=在π11,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为___．【正确答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】先应用换元法设()f x t =，把问题转化为一元二次方程根的问题，根据t 的范围求参数范围.【详解】因为π11ππ,π,2,2π61262x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以(]πsin 21,16x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π11,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像如下：因为()()()2210f x a f x +-+=有4个不相等的实数根,设(),f x t =结合图像可知()f x t =至多有2个根，而()2210t a t +-+=至多有2个不相等的实数根,所以()f x 与y t =的图像有2个交点，易得(]2,0t ∈-，所以()2210t a t +-+=有两不等实根(]12,2,0t t ∈-，故()()()2Δ240220242210a a a ⎧=-->⎪--⎪-<<⎨⎪--⨯+>⎪⎩，解得102a -<<.故1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题17．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x π35π6x ωϕ+0π2π3π22πsin()y A x ωϕ=+0300(1)请将上表数据补充完整，并写出函数()f x 的解析式（直接写出结果即可）；(2)根据表格中的数据作出()f x 在一个周期内的图象；(3)求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【正确答案】(1)表格见解析，π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)作图见解析；(3)33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用最大值求A ；由表格中数据先求周期,再求ω；再由π2π23ϕ⨯+=求得ϕ,进而得到解析式,由解析式补全表格即可；（2）由表格数据描点连线作图即可；（3）令ππ2,,062t x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则7ππ,66t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,利用正弦函数的性质求解即可.【详解】（1）由题表知3A =，5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2Tω==， π2π23ϕ⨯+=，∴π6ϕ=-，∴π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则数据补全如下表：x π12π37π125π613π12x ωϕ+0π2π3π22πsin()y A x ωϕ=+0303-0；（2）由（1），()f x 在一个周期内的图象如图所示，；（3）令ππ2,,062t x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则7ππ,66t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,所以π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域可转化为3sin y t =在7ππ,66t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上的值域,因为正弦函数sin y x =在区间3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增,所以3sin y t =在区间7ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增,故3sin y t =的最小值为π3sin 32⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,最大值为7π33sin 62⎛⎫-= ⎪⎝⎭,当π2t =-时,π6x =-；当7π6t =-时,2x π=-,故当2x π=-时,max 3()2f x =；当π6x =-时,min ()3f x =-，所以函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．已知tan 2α=．(1)()π3cos sin π22tan πααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+的值；(2)求2213sin cos sin 2cos αααα+-的值．【正确答案】(1)15(2)112【分析】（1）利用诱导公式化简原式，再根据同角三角函数的基本关系求出2cos α，即可得解；（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】（1）因为()()π3cos sin πsin cos 22tan πtan αααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭=-+2cos sin cos cos sin ααααα=⨯=，因为tan 2α=，所以22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21cos 5α=，所以()π3cos sin π122tan π5ααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+.（2） 2213sin cos sin 2cos αααα+-2222222213sin cos sin cos 3sin cos tan 13tan sin 2cos sin 2cos tan 2ααααααααααααα+++++===---，又 tan 2α=，∴原式41611422++==-．19．（1）已知sin cos 3αα+=，(0,πα∈），求sin cos αα-的值；（2）已知sin 7α=，且()13πcos ,0142αββα-=<<<，求角β的值．【正确答案】（1）sin cos 3αα-=；（2）π3β=【分析】（1）利用sin cos αα-与sin cos αα+的关系求解即可，注意角的范围和符号；（2）利用同角三角函数的基本关系及两角和差公式求解即可.【详解】（1） sin cos 3αα+=，两边平方得812sin cos 9αα+=，∴12sin cos 09αα=-<，又(0,π)α∈，∴sin 0α>，cos 0α<，∴sin cosαα-（2） sin α=π02α<<,∴1cos 7α==， π02βα<<<，∴π02αβ<-<，又13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-=，∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-131491147147982=⨯+=， 02βπ<<，∴π3β=．20．已知函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（其中π0,2ωϕ><）的图象与x 轴交于A ，B 两点，A ，B 两点间的最短距离为π2，且直线π12x =是函数()y f x =图象的一条对称轴．(1)求()y f x =的增区间；(2)若函数π4y f x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦内有且只有一个零点，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)22m <≤或m =．【分析】（1）利用辅助角公式结合条件可得π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质即得；（2）π04f x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时只有一个实根，然后根据三角函数的图象和性质结合条件即得.【详解】（1）由题知()()()πsin cos 4f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， A ，B 两点间的最短距离为π2，所以12,ππ22T T ω==，所以2ω=， 直线π12x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以()πππ2πZ 1242k k ϕ⨯++=+∈，()ππZ 12k k ϕ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以π12ϕ=，所以π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ222π,Z 232k x k k π-+≤+≤+∈，得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为函数π4y f x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内有且只有一个零点，所以π04f x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时只有一个实根，即函数ππ243f x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦的图象与直线y m =-只有一个交点，因为ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23t x =-，则5π6πcos ,,6y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦函数y t =在5π,06t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π0,6t ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递减，所以0=t ，函数y ．当5π6t =-，函数y =π6t =，函数y =所以要使函数π223y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象在与直线y m =-只有一个交点，则2m -或6622m -≤-<，所以2626m -<≤或2m =-．21．体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图，ABCD 是边长为50米的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，半径为40米，矩形AGHM 就是计划的健身室，G 、M 分别在AB 、AD 上，H 在弧EF 上，设矩形AGHM 面积为S ，(1)若HCF θ∠=，将S 表示为θ的函数；(2)求出S 的最大值．【正确答案】(1)()1002520sin cos 16sin cos 02S πθθθθθ⎛⎫⎡⎤=-++≤≤ ⎪⎣⎦⎝⎭(2)S 的最大面积为500平方米【分析】（1）延长GH 交CD 于N ，求得5040cos HM ND θ==-，5040sin AM θ=-，从而求得面积S 的函数；（2）利用换元转化为一元二次函数在区间上的最值，从而求得S 的最大值.【详解】（1）延长GH 交CD 于N ，则40sin ,40cos NH CH θθ==，5040cos ,5040sin HM ND AM θθ∴==-=-，故()()5040cos 5040sin S θθ=--()1002520sin cos 16sin cos 02πθθθθθ⎛⎫⎡⎤=-++≤≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（2）令sin cos 24t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2t θθ-=，且2t ⎡∈⎣，()2251002520818004504S t t t ⎛⎫⎡⎤∴=-+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，又2t ⎡∈⎣，∴当1t =时，max 500S =214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3444πππθ≤+≤ 44ππθ∴+=或4πθ+=34π，∴0θ=或2πθ=，∴当点H 在 EF的端点E 或F 处时，该健身室的面积最大，最大面积是500平方米；22．已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值.【正确答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1724π【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出ω，将点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入新解析式，得5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出ϕ，将点()0,1代入新解析式，即可得出A ，即可得出答案；（2）设()()()h x f x g x =-，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出()h x 在区间[],m m π-上单调递减，由三角函数的单调区间解出()h x 的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22Tπω∴==，因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上，所以5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<，554663πππϕ∴<+<，则56πϕπ+=，即6πϕ=，因为点()0,1在函数图像上，所以sin 16A π=，即2A =，故函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意可得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x -<-恒成立，即()()12h x h x <恒成立，()h x ∴在区间[],m m π-上单调递减，令32222122k x k πππππ+≤-≤+，解得719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为m m π-<，所以2m π>，则2m ππ-<，故7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得17224m ππ<≤，所以m 最大值为1724π.。
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一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.下列有4个命题：其中正确的命题有( )（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，则α2一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角. A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2) D.(1)(2)(3)(4))(,0tan ,0cos .2是则且如果θθθ><A.第一象限的角 B ．第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 3.已知角θ的终边经过点)2,1(-，则=θsin （ ）A.21-B. －2C.55D.552-4.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x y 3-=上，则角α的取值集合是（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,32ππαα ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k B ,322.ππαα⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k C ,32.ππαα D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,3ππαα ()01020sin .5-等于（ ）A.21 B.21- C. 23 D. 23- 6..已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，则cos α=（ ）A ．35-B ．25- C.． 7.函数sin y x = 的一个单调增区间是（ ）A. ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.在ABC ∆中，若()()C B A C B A +-=-+sin sin ,则ABC ∆必是（ ） A.等腰三角形 B ．等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角 9.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A.[]2,2-B. []2,0C.[]1,1-D.[]0,2-10.将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛12πf （ ）11.)42sin(log 21π+=x y 的单调递减区间是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k ,4 ()Z k ∈ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-8,8ππππk k ()Z k ∈ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k ()Z k ∈ D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-83,8ππππk k ()Z k ∈ 12.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是 （ ）A.1120,,1243⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B.1120,,633⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13.扇形的周长为cm 8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_______.错误！未找到引用源。
14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3tan πx y 的定义域是_______..______21,25sin log ,70tan log .1525cos 2121，则它们的大小关系为设︒⎪⎭⎫⎝⎛=︒=︒=c b a16.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx x f ，则下列命题正确的是_________. ①函数()x f 的最大值为2；②函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称； ③函数()x f 的图象与函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x h 的图象关于x 轴对称； ④若实数m 使得方程()x f ＝m 在[]π2,0上恰好有三个实数解321,,x x x ,则37321π=++x x x ； ⑤设函数()()x x f x g 2+=，若()()()πθθθ211-=+++-g g g ，则3πθ-=三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明及演算步骤.。
）17.已知函数())4f x x π=-，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)求函数()f x 在区间[]82ππ-，上的最大值，并求出取得最值时x 的值. 18.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，AE ＝21EC ，AD ，BE 交于点F ，设 b AD a AC ==, （1）用b a ,分别表示向量EB AB ,； （2）若t =,求实数t 的值．19.已知)3tan()cos()cos()tan()2sin()(απαππααπαπα----+-=f ．（1）将f （α）化为最简形式； （2）若()5123=⎪⎭⎫⎝⎛+-απαf f ，且()πα,0∈，求αtan 的值．20.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-+=32sin 21πx x f （Ⅰ）用五点法作图作出()x f 在[]π,0∈x 的图象；（2）若不等式()2<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立，求实数m 的取值范围． 21.已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B ，（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的一系列对应值如表：（1）根据表格提供的数据求函数f （x ）的一个解析式． （2）根据（1）的结果，若函数y ＝f （kx ）（k ＞0）周期为32π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 时，方程()1+=m kx f 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 22.已知函数)0(2162sin 3)(>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f ，其函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()x f 的解析式及对称中心； （2）将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移21个单位长度得到函数 g （x ）的图象，若关于x 的方程()[]()0232=++x mg x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．答案一．选择题：CCDDC CCBAD BB 二．填空题：24.13cm ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,6|.14ππb c a <<.15 .16 ①③④⑤三．解答题：17.解：（1）因为())4f x x π=-，所以函数()f x 的最小正周期为22T π==π，由2224k x k π-π+π≤-≤π，得388k x k ππ-+π≤≤+π，故函数)(x f 的递调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π（Z k ∈）；(2)因为()cos(2)4f x x π=-在区间[]88ππ-，上为增函数，在区间[]82ππ，上为减函数，又()08f π-=，()8f π=π())1244f ππ=π-==-，故函数()f x 在区间[]82ππ-，8x π=18.解：（1）由题意，D 为BC 的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t ＝t ，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t ），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t ＝．19.解：（1）由题意可得，． （2）①，平方可得，∴，因为α∈（0，π），所以，sin α﹣cos α＞0，，所以②，由①②可得：，所以．20.解：（1）列表如下：﹣对应的图象如下：（2）∵f（x）＝1+2sin（2x﹣），又∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max＝3，f （x）min＝2．由题意可得：f（x）＜m+2在x∈[，]上恒成立，∴m+2＞3，解得：m＞1，∴m的范围是（1，+∞）．21.解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得，由，得ω＝1，又，解得，令，即，解得∴；（2）∵函数的周期为，k＞0，∴，∴当时，方程f（kx）＝m+1恰有两个不同的解，等价于方程m＝2恰有两个不同的解，即直线y＝m与函数y＝2图象有两个交点令，∵，∴，如图，s＝2sin t在上有两个不同的解，则，∴方程f（kx）＝m+1在时恰好有两个不同的解，则m．22.解（1）∵它的函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴＝2×．∴ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）﹣．令2x﹣＝kπ，得x＝+，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（+，﹣）k∈Z（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+﹣）﹣＝sin2x﹣的图象；再向上平移个单位长度得到函数g（x）＝sin2x的图象．若关于x的方程3[g（x）]2+mg（x）+2＝0在区间上有两个不等实根，∵2x∈[0，π]，∴sin∈[0，1]，g（x）∈[0，]，∴3t2+mt+2＝0在[0，]上只有一个实数根．令h（t）＝3t2+mt+2，∴h（0）•h（）＝2×（11+m）＜0，或，求得m＜﹣，或m＝﹣2．。