七年级数学等腰三角形的判定2

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1.1.3等腰三角形的判定(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解等腰三角形的定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）掌握等腰三角形的判定定理：在一个三角形中，若两边相等，则这个三角形是等腰三角形。
（3）运用等腰三角形的性质解决问题，如：等腰三角形的底角相等，等腰三角形的对角线相等。
举例解释：
（1）通过实际图形和示例，让学生明确等腰三角形的定义，理解等腰三角形的两条边是相等的。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《等腰三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过两条边相等的三角形？”（如衣服上的图案、建筑物的结构等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是两条边相等的三角形，具有重要的几何性质和应用。它是几何图形中非常基础且重要的一部分，广泛应用于日常生活和各类工程领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析等腰三角形在实际中的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了等腰三角形的判定，我发现学生们对这一概念的理解程度有所不同。有的同学能够迅速抓住定义的核心，而有的同学在理解上还存在一定的困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，采取更加多样化的教学方法。

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△；（2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立．故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==，得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=，所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°；如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°，故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =，又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ．答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ），故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ），则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°．（2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

初中数学如何判断两个等腰三角形是否全等

初中数学如何判断两个等腰三角形是否全等判断两个等腰三角形是否全等，我们可以利用等腰三角形的全等性质进行推理和比较。

下面将详细介绍判断两个等腰三角形是否全等的方法：方法一：边角边法（SAS法）边角边法是通过比较两个等腰三角形的一对腰的边长、对应的顶角和底边的长度来判断它们是否全等。

步骤：1. 比较两个等腰三角形的一对腰的边长是否相等。

如果两个等腰三角形的一对腰的边长相等，记为AB = A'B'。

2. 比较两个等腰三角形的对应的顶角是否相等。

如果两个等腰三角形的对应的顶角相等，记为∠B = ∠B'。

3. 比较两个等腰三角形的底边的长度是否相等。

如果两个等腰三角形的底边的长度相等，记为AC = A'C'。

4. 如果满足以上三个条件，即AB = A'B'，∠B = ∠B'，AC = A'C'，那么可以得出结论，两个等腰三角形是全等的。

方法二：角边角法（ASA法）角边角法是通过比较两个等腰三角形的两个角和夹在这两个角之间的边的长度，以及对应的底边长度来判断它们是否全等。

步骤：1. 比较两个等腰三角形的一个角是否相等。

如果两个等腰三角形的一个角相等，记为∠B = ∠B'。

2. 比较两个等腰三角形的夹在这两个角之间的边的长度是否相等。

如果两个等腰三角形的夹在这两个角之间的边的长度相等，记为BC = B'C'。

3. 比较两个等腰三角形的另一个角是否相等。

如果两个等腰三角形的另一个角相等，记为∠C = ∠C'。

4. 如果满足以上三个条件，即∠B = ∠B'，BC = B'C'，∠C = ∠C'，那么可以得出结论，两个等腰三角形是全等的。

通过边角边法和角边角法，我们可以判断两个等腰三角形是否全等。

在判断过程中，我们需要比较两个等腰三角形的边长、角度和底边的长度，如果它们满足相等的条件，那么可以推断它们是全等的。

初中数学第2课时等腰三角形的判定

第2课时等腰三角形的判定要点感知1 有个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).预习练习1-1 △ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则△ABC的形状是.要点感知2 三个角都是的三角形是等边三角形.预习练习2-1 有一个外角是120°，另两个外角相等的三角形是( )A.不等边三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定要点感知3 有一个角是的等腰三角形是等边三角形.预习练习3-1 在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=3，则△ABC的周长为.知识点1 等腰三角形的判定1.如图，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M=45°，则图中等腰三角形的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC 于F，则△AEF的周长为.3.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是：.知识点2 等边三角形的判定4.已知△ABC，AB=AC，请添加一个条件，使△ABC成为等边三角形.5.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD=DC=DB，∠B=30°.求证：△A DC是等边三角形.6.如图所示，在△A BC中，AB=AC，∠B=30°，D，E在BC上，且AD=BD，AE=EC.求证：△ADE是等边三角形.7.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形8.在△ABC中，∠B=∠C=40°，D，E是BC上的两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有等腰三角形( )A.6个B.5个C.4个D.3个9.在下列命题中：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是.(只需填写序号)10.聪明的亮亮，用含有30°的两个完全相同的三角板拼成如图的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出所有的等腰三角形：.11.已知，如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F，试判断△ADF的形状，并说明理由.12.已知：等边三角形ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R，RP⊥AB于点P.求证：△PQR是等边三角形.挑战自我13.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程.。

等腰三角形的判定

12.3.1等腰三角形（二）一、教学目标知识技能：1、理解掌握等腰三角形的判定定理。

2、运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。

数学思考：通过实践、观察，证明从直观问题归纳等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力和空间观念。

解决问题：1、通过归纳等腰三角形的判定定理，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。

2、通过运用等腰三角形的判定定理解决有关问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。

二、教学重点与难点教学重点等腰三角形的判定定理及其运用。

教学难点等腰三角形的判定定理的证明。

三、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题，创设情境提出问题：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家一起回忆一下，等腰三角形有哪些性质？我们已经学习了等腰三角形的性质，那么满足什么条件我们就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题。

问题：如图，位于海上A、B两处的两艘救生艇接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。

如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？OA B由学生的讨论结果，提出问题，将问题一般化，在一般的三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？给学生作出猜想，用数学语言怎么表达？(并板书)同学们回忆并回答：1、等腰三角形的两底角相等；2、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

认真听讲并思考小组讨论，有学生认为若OA与OB的长相等，两艘救生船会同时赶到。

学生听到提到边的问题，易猜想到：在三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等。

通过回忆上节课已学习的内容，复习与巩固旧知识，为引出课题作铺垫。

引出这节课要学习的方向具体实例引出问题，激起学生的兴趣由学生猜想，并用数学语言表达，有利于培养学生的数学思想与逻辑推理能力。

应用举例，解决问题练练写要求学生小组讨论五分钟，并给出证明过程。

抽取两位同学，展示两种不同的证明方法（1、作平分线AD；2、作BC边上的高）。

2.4等腰三角形的判定定理

36°
D
2 1
36 72° °
答： ∠1= 72°, ∠2= 36°
△ABC、 △ABD、 △BDC是等腰三角形。、 B
（2）
C
例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向
前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河
2. 已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（在同一个三角形中，等角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C B D 1
A
2 E
C
∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC
即 BD=CE
D
B
H
C F E
3:如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD//BC，则 △ ABC是等腰三角形吗？说明你的理由。
证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
E
∵ ∠1=∠2， ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
B
1 A 2 D
C
△ODE的周长=BC=16
O D E C
B
名图形称等腰三角形
A
概念
性
质
判定两边相等
有两边两腰相等
相等的
三角形
B C
等边对等角等角对等边三线合一
是等腰
三角形
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE=BD，连结DE交BC于F。 A 求证：DF=EF

等腰三角形的性质定理和判定定理

一. 本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二. 教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。

（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。

（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。

三. 重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四. 教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。

知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。

说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

七年级数学等腰三角形的判定2(PPT)4-1

活动3
1、上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=420，∠NBC=840，求从海岛B到灯塔C的距离。
ห้องสมุดไป่ตู้
活动1 练一练： 1、等腰三角形的一个角是1100，则这个三角形另外两个角的度数为 350、350
2、等腰三角形的一个角是800，则这个三角形另外两个角的度数为 800、200或500、500
大约可以保持几秒至几分钟。当兔子生气时，也可能会用脚尖站起来，也代表警告的意思。当兔子感到害怕时，它们会用后腿跺脚。在野外，当敌人接近，兔子会用后腿跺脚去通知同伴有危险。兔子侧睡，把腿伸展是代表他们感到很安全。如果主人不去打扰它，兔子就可能很快就睡着了。当兔子尽量把身体压低，是代表它很紧张，觉得有；职称职称；危险接近。在野外，当兔子觉得有危险接近，它们会尝试压低身子，避免被看到。而宠物兔也会有这行为。蹲下来跟压低身子的表现是不同意思。蹲下来时，兔子的肌肉是放松的，是一种感到轻松的表现。代表兔子心情很不错，感觉很舒适。兔子推开你的手代表他觉得自己已经做妥了这件事，告诉主人别来管他的事。这样是代表恳求，希望得到一些东西或对待。例如兔子想吃小食，想主人把他放出来。轻咬是在兔子世界中的意思是“好了，我已经足够了！”。他们是会利用轻咬来告诉主人停止行动。在兔子的行为语言中，舔手是代表多谢。如果你家兔子舔你的手，代表他想跟你说谢谢喔！抽动尾巴是一种调皮的表现，就如人类伸舌的动作。通常兔子会在一边跳跃时一边前后抽动尾巴。例如主人想把兔子被捉回笼子，兔子突然跳起来同时抽动尾巴，代表他想说"你不会捉到我"的意思。因为兔子下巴的位置是有香腺的，所以兔子会用下巴去擦东西，留下自己的气味，以划分地盘。这种气味人类嗅不到，不过兔子就知道。未绝育的成年公兔可能会出现喷尿的行为。喷尿是兔子世界中用来划分地盘和占有母兔的做法。母兔可能同样会有喷尿的行为，可是主要是公兔出现这行为比较多。兔子一般也会在某一处拉一堆大便。如果兔子在不同地方分散地拉大便，其实也是一种划地盘的行为。母兔当它们要产子的前一天，它们就会出现拔毛的行为。它们会在胸部和脚侧的位置拔毛，利用拔出来的毛来建窝给小兔子保温。如果兔子是假怀孕，它们也会出现拔毛的情况。当人通过兔子耳朵抓起兔子的时候，要小心，它会用后蹄奋力抓到人的手。 [] 繁殖方式兔子的雄雌很难区分。初生仔兔性别，一般可通过观察阴部生殖孔形状及与肛门间距离识别。孔洞扁形而略大，与肛门间距较近者为母兔；孔洞圆形而略小，与肛门间距较远者为公兔。兔子出生后8～周，雄兔便长出精巢（睾丸）。抓住兔子用手触摸靠近肛门的阴部，你会感触到一个比蚕豆略大些的肉块，这是雄兔，而没有肉块的是雌兔。不过，肉块有大有小，个别的也难以分辨雌雄。成年公兔阴囊上是不长毛的。兔子长大开始发情时，雄兔的后腿常用力拍击地面发出声音，

等腰三角形的判定定理(2个知识点+12大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册

第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B Ð°，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150Ð°＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。

七年级(下)数学第14讲等腰三角形二 (解析版)

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强．根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算．【例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】经分析可知，等腰三角形有：ABC ABD ACE BCE BDC，，，，，BEF CDF BCF，，，共8个．【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用．等腰三角形二内容分析知识结构模块一：计算知识精讲例题解析ABCDEF2 / 22【例2】如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，求∠A 的度数．【答案】45A ∠=︒．【解析】BE ED EBD EDB =∴∠=∠，2233180818022.5245AED EBD EDB AED EBD AD ED A AED EBD BD BC C CDB AB AC C ABC C CDB ABCCDB A EBD CDB EBDC ABC CDB EBD A ABC C EBD EBD A EBD ∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例3】如图，AC =BC ，DF =DB ，AE =AD ，求∠A 的度数．【答案】36A ∠=︒【解析】AC BC A B =∴∠=∠，2180518036DB DF F BA B F EDA B F EDA A AD AE ADE AEDA ADE AED A A =∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例4】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF =70°，求∠AFD 的度数．【答案】160AFD ∠=︒．【解析】AB AC B C =∴∠=∠， 90702018070707090160DE AB DF BC DEB FDC FDB FDE EDB B DEB EDB B C AFD C FDC AFD ⊥⊥∴∠=∠=∠=︒∠=︒∴∠=︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒+︒=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．A BC DE FAB C DE FABCDE【例5】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，∠BAD =30°，在AC 上取点E ，使AE =AD ，求∠EDC 的度数．【答案】15EDC ∠=︒．【解析】AB AC B C AD AE ADE AED =∴∠=∠=∴∠=∠，，，23015ADC B BAD AED C EDCADC ADE EDC B BADC EDC EDC B BAD EDC BAD BAD EDC ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用，注意观察角度间的关系．【例6】如图，△ABC 中，∠C =90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE =AC ，BD =12， DE +BC =1，求∠ABC 的度数．【答案】30ABC ∠=︒．【解析】解：延长BC 至点F ，使CF DE =，联结AF ()1190..111222909030DE BC BF BC CF BC DE BE AC DEB ACF DE CFBDE AFC S A S BD AF BD B FAC AF BF B BAC FAC BAC ABC +=∴=+=+==∠=∠=︒=∴≅=∴==∠=∠∴=∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定及性质，注意辅助线的添加．【例7】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC =BD +AB ，求∠B ：∠C 的值．【答案】:2:1B C ∠∠=．【解析】在AC 上取点E ，使AE AB =，联结DEAD 平分BAC ∠，()..ABD AED S A S ∴≅B AED BD DE ∴∠=∠=，，AC BD AB =+EC DE C EDC ∴=∴∠=∠，2:2:1AED C B B C ∴∠=∠=∠∴∠∠=，【总结】考查截长补短构造全等三角形及等腰三角形的性质及外角性质．AB CDEABC DEF EABCD4 / 22【例8】在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．【答案】454590︒︒︒，，或3636108︒︒︒，，或367272︒︒︒，，或180540540777，，．【解析】解：如图（1），当BD AD CD ==时， AB AC B C BD AD DC B BAD CAD C=∴∠=∠==∴∠=∠=∠=∠，，，41804590B B C BAC ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒，，；如图（2）当BD AD CD AC ==，时， AB AC B C =∴∠=∠，，BD AD CD AC B BAD CDA DAC ==∴∠=∠∠=∠，，， 23CDA B BAD CDA B BAC B ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠，， 180518036108B C BAC B B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒，，，如图（3）当AD BD BC ==时，同理可得：51803672A A ABC C ∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，，；如图（4）当AD BD BC CD ==，时同理可得180540718077A A ABC C ︒︒∠=︒∴∠=∠=∠=，，．【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用．1．添加平行线构造全等三角形； 2．截长补短构造全等三角形； 3．倍长中线构造全等三角形．【例9】如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，BE=CF ，EF 交BC 于点G ，求证：EG =FG ．【答案】详见解析【解析】证明：过点E 作//EM AF ，交BC 于点M 则GCF GME EMB ACB ∠=∠∠=∠，，AB AC ABC ACB =∴∠=∠，ABC EMB EM EB BE CF EM CF ∴∠=∠∴==∴=，，， ()..EMG FCG A A S EG FG ∴≅∴=，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用．【例10】如图，已知AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE =EF ，试说明AC =BF 的理由．【答案】详见解析．【解析】延长AD 至点M ，使MD FD =，联结MC()..BD CD BDF CDM DF DM BDF CDM S A S MC BF M BFM EA EF EAF EFA AFE BFM M MAC AC MC BF AC=∠=∠=∴≅∴=∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∴=，，，，，，，，，，，【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用．模块二：构造全等形知识精讲例题解析ABC E FGM AD FBCEM6 / 22【例11】如图，△ABC 中，∠B =60°，角平分线AD 、CE 交于点O ，试说明AE +CD =AC ．【答案】详见解析．【解析】证明：在AC 上取AF AE =，联结OF易证()..AEO AFO S A S AOE AOF ≅∴∠=∠，．AD CE 、分别平分BAC ACB ∠∠、，()1180602ECA DAC B ∴∠+∠=︒-∠=︒则180120AOC ECA DAC ∠=︒-∠-∠=︒ 120AOC DOE ∴∠=∠=︒， 60AOE COD AOF ∴∠=∠=∠=︒则60COF COD COF ∠=︒∴∠=∠，，又FCO DCO CO CO ∠=∠=， ()..FOC DOC A S A DC FC ∴≅∴=，AC AF FC AC AE CD =+∴=+，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系．【例12】已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ．求OEF ∠的度数．【答案】30OEF ∠=︒．【解析】解：ABC 是等边三角形，60,A ABC AB BC ∴∠=∠=︒=，BD =AE易证()..ABE BCD S A S ≅，ABE DCB ∴∠=∠ADO ABC DCB ABE BOD ∠=∠+∠=∠+∠6060BOD ABC EOF ∴∠=∠=︒∴∠=︒， 30EF CD OEF ⊥∴∠=︒，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用．ADFB CEOABCD EOF【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =AB +CD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BE BA =，联结DEBD 平分ABC ∠，BE BA =，()..ABD EBD S A S ∴≅10818010872DEB A DEC ∴∠=∠=︒∴∠=︒-︒=︒， ()1180108362AB AC C B =∴∠=∠=︒-︒=︒，， 72EDC CE CD BE CE AB CD ∴∠=︒∴=∴+=+，，，BC AB CD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等．【例14】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =BD +AD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BF BA =，联结DF ，在BC 上截取BE BD =，联结DEBD 平分ABC ∠，BF BA =()..ABD FBD S A S ∴≅，100DFB A ∴∠=∠=︒，18010080DFC ∴∠=︒-︒=︒．()1180101040200AB AC C A ABC =∴∠=∠∠==︒-︒︒=︒，，， 20DBC ∴∠=︒20BE BD DBC =∠=︒，，80BED BDE ∴∠=∠=︒， DFE FED DF DE ∴∠=∠∴=，804040FED C EDC EDC C ∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠，，， DE EC AD EC ∴=∴=，，BC AD BD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加．ABCDE ABCDF E8 / 22【例15】在△ABC 中，已知AB =AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD =60°，1902ADB BDC ∠=︒-∠，试说明AB =BD +DC ．【答案】详见解析【解析】证明：以AD 为轴作ABD 的对称'AB D''1'60'902B D BD AB AB AC B ABD ADB ADB BDC∴===∠=∠=︒∠=∠=︒-∠，，， '180ADB ADB BDC ∴∠+∠+∠=︒， 'C D B ∴、、共线， 'ACB ∴是等边三角形， AB BD DC ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的正确添加．【例16】已知：如图，AB =AC =BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线，试说明CD =12CE ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF ， ∵CD 为△ABC 中AB 边上的中线， ∴BD =AD ∵DF =CD ，ADC BDF ∠=∠，∴ADC BDF ≅∴BF AC BE ==，180ABF A ABC CBE ∠=∠=-∠=∠，∴180CBF ABF ABC ABC CBE ∠=∠+∠=-∠=∠，又∵BC BC =，∴CBF CBE ≅， ∴CE CF =，∵12CD CF =，∴CD =12CE ．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用．A BCDB ’ABCDEF【例17】如图，AM 为△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，且AE =AB ，AF =AC ，MA 的延长线交EF 于点P ，试说明AP ⊥EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AM 至N ，使MN AM =，联结CNAM 是BC 边上的中线，()..ABM NCM S A S ∴≅AB NC BAM N ABM NCM ∴=∠=∠∠=∠，， //180CN AB NCA BAC ∴∴∠+∠=︒，180AE AB AF AC EAF BAC ⊥⊥∴∠+∠=︒，，，180NCA BAC ∴∠+∠=︒，EAF NCA ∴∠=∠AE AB AF AC EAF NCA EFA NAC ==∴≅∴∠=∠，，，9090AF AC PAF NAC EAF NAC PAF EFA ⊥∴∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，，， 90APF AP EF ∴∠=︒∴⊥，【总结】本题一方面考查中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的性质应用．【例18】如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ．【答案】详见解析．【解析】证明：过A 作AG 平分BAC ∠交BD 于G190452BAC GAB CAG A ∠=︒∴∠=∠=∠=︒，()1180452AB AC C B C A =∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒，，，C BAG ∴∠=∠ 9090AE BD ABE BAE CAF BAE ABE CAF ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，， ()..ABG CAF A S A AG CF ∴≅∴=，，D 为AC 中点，AD CD ∴=又45C DAG ∠=∠=，()..AGD CFD S A S ADB CDF ∴≅∴∠=∠，．【总结】考查等腰直角三角形的性质应用，注意辅助线的添加．ABCMEFPNA BCD E FG10 / 22【例19】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD =∠ACD =60°．试说明CD =AB -BD ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长BD 到E ，使BE BA =，连接AE CE 、60ABD ∠=︒，ABE ∴为等边三角形6060AE AB AC BE ACE AEC AEB ACD AEB ACD DEC DCE DC DEBD DC BD DE BE AB DC AB BD∴===∠=∠∠=︒∠=︒∴∠=∠∴∠=∠=∴+=+==∴=-，，，，，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质的综合应用．利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形【例20】如图，△ABC 中，∠ABC 、∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E ，求证：DE =BD +AE ．【答案】详见解析．【解析】证明：BP AP 、平分ABC CAB ∠∠、//CBP ABP CAP BAP DE AB DPB PBA EPA PABCBP DPB CAP EPA BD PD PE AE DE DP PE DE BD AE∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴===+∴=+，，，，，，，，，【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用．模块三：构造等腰三角形知识精讲例题解析ABCD EPABCDE【例21】如图，△DEF 中，∠EDF =2∠E ，F A ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系? 【答案】DF AD AE +=【解析】证明：在AE 上取一点B ，使AB AD =，连接BF2,FA DE FD FB FBD D E FBD E BFE E BFE BE BF BE DF AE AB BE AD DF⊥∴=∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=∴=+=+，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例22】如图，△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 是BC 边上的高，延长AB 到点E ，使BE =BD ，试说明AF =FC ．【答案】详见解析【解析】证明：BE BD E BDE =∴∠=∠，22ABC E BDE BDE ABC C C BDE BDE CDF C CDF DF FC∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，，，AD 为BC 边上的高9090CDF ADF ADC C CAD CAD ADF DF AF AF FC∴∠+∠=∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴=∴=，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例23】如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 两条高交于点H ，且AE =BE ．试说明AH =2BD ．【答案】详见解析．【解析】AD BE 、为高，90AEH BEC BDH ∴∠=∠=∠=︒BHD AHE EAH EBC ∠=∠∴∠=∠，，AE =BE ，()..AEH BEC A S A AH BC ∴≅∴=， 2AB AC AD BC BC BD =⊥∴=，，，2AH BD ∴=．【总结】考查等腰三角形的性质的应用．ABCDEFABCDE HAEFDB12 / 22【例24】如图，已知∠ABC =3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，试说明AC -AB =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 交AC 于点M90BE AE AEB AEM ⊥∴∠=∠=︒，，12ABE AME ∠=∠∴∠=∠，，2AB AM BE AE BM BE AC AB AC AM CM ∴=⊥∴=∴-=-=，，，，3322AMB C MBC ABC C ABC ABM MBC AMB MBC C AMB MBC MBC C MBC C CM BM AC AB BM BE∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴-==，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形．【例25】如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE =BD ．试说明EC =ED ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BD 至F ，使DF AB =，连接EFABC 是等边三角形，60AB BC AC B ∴==∠=︒，．AE BD DF AB AE AB BD DF BE BF ==∴+=+=，，，即 60B ∠=︒，BEF ∴为等边三角形，60B F BE FE DF AB BC DF ∴∠=∠=︒==∴=，，， ()..BCE FDE S A S EC ED ∴≅∴=，【总结】考查等腰三角形的判定及性质的综合应用．【例26】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =AB ，∠ABD =30°，试说明AD =DC ．【答案】详见解析．A BC2 E1 MABCDEFABCD E【解析】在BC 上截取BE AD =，连接DE9045AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，， 3075BD AB ABD BAD BDA =∠=︒∴∠=∠=︒，，1515DAC BAC BAD DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒∠=∠-∠=︒， ()..1545154515DAC DBC BDE ACD S A S BDE ACD DE DC DCE DECDEC EBD BDE ACD DCE ACB ACD ACD ACD ACD ACD ∴∠=∠∴≅∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠=︒+∠∠=∠-∠=︒-∠∴︒+∠=︒-∠∴∠=︒，，，，，，，ACD DAC AD DC ∴∠=∠∴=，．【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形判定的综合应用．【例27】如图，四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD =180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H ，试说明EH ⊥FH ．【答案】详见解析【解析】连接EF ，则180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒180180BAD BCD FCE BCDBAD FCE ∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，E F ∠∠、的平分线交于点H11221809018090CFH CFA HEC BEDA CFA CFE CEF BED CFH BEH CEF FCE CFH BEH CEF FCE H H EH FH∴∠=∠∠=∠∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴⊥，，【总结】考查角平分线的性质及三角形内角和定理的综合应用，综合性较强，注意认真分析角度间的关系．【例28】已知：如图，在∆ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，CD ⊥AB ，垂足是D ，CE 平分∠ACD ，BF ⊥CE ，垂足是G ，交AC 于F ，交CD 于H ，试说明DH =12AF ．【答案】详见解析．ABC D EFM H14 / 22ACBEF【解析】证明：延长CD 到M ，使CM CB =，连接BM ，则M CBM ∠=∠90ACB AB BC ∠=︒=，，ABC ∴是等腰直角三角形． 4567.5CD AB BCM ACD M ⊥∴∠=∠=︒∴∠=︒，，， CE 平分ACD ∠，122.52GCH ACD ∴∠=∠=︒，67.5CE BF GHC ⊥∴∠=︒，， MHB GHC BM BH ∴∠=∠∴=，． ()90..2BD HM DH DMFCG HCG CGF CGH CG CG CGF CGH A S A CF CH AC BC CM AC CF CM CH AF HM AF DH⊥∴=∠=∠∠=∠=︒=∴≅∴===∴-=-∴=∴=，，，，，，即12DH AF =．【总结】考查等腰三角形的性质应用，综合性较强，注意添加相应的辅助线，将问题进行转化．【习题1】如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（）A ．600B ．450C ．300D ．不确定【答案】B【解析】90,90ACB A B ∠=︒∴∠+∠=︒29045AC AE ACE AEC BC BF BCF BFC AEC B ECB BFC A FCAFCA ECF ECB B ECF ECB FCA A ECF A B ECF =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，故选B ．【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系．随堂检测AF GBH DEC M【习题2】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点AD =BD ，AB =AC =CD ，求∠BAC 的度数．【答案】108BAC ∠=︒．【解析】AD BD B BAD =∴∠=∠，，AB AC DC B C CDA CAD ==∴∠=∠∠=∠，，22180518036108CDA B BAD CDA B CAD B B C BAC B B BAC ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质．【习题3】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，试说明AF =EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AD 至G ，使DG AD =，联结BGAD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=()..ADC GDB S A S G CAD AC BG BE AC BG BE G BED BED AEF AEF G CAD AF EF∴≅∴∠=∠==∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠∴=，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质，注意倍长中线辅助线的添加．【习题4】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，试说明BD 是∠ABC 的角平分线．【答案】详见解析【解析】证明：延长AE BC 、交于点F9090ACB DBC BDC ∠=︒∴∠+∠=︒，，同理：90FAD EDA ∠+∠=︒ ()..1122EDA BDC FAD DBC AC BC AFC BDC A S A AF BD AE BD AE AF∠=∠∴∠=∠=∴≅∴==∴=，，，，，， ()..AE FE BAE BFE S A S ABE FBE ∴=∴≅∴∠=∠，，BD ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查全等三角形及等腰三角形性质的应用，注意对模型的总结．【习题5】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =100o ，D 、E 在AC 上，且AB =AD ，CB =CE ．求∠EBD 的度数．【答案】40EBD ∠=︒ABCDACDEEABDCF GAE BC DF16 / 22【解析】10080ABC A C ∠=︒∴∠+∠=︒，28040AB AD ABD ADB BC EC CBE CEB ADB C DBC CEB A ABEABE EBD DBC C EBD DBC ABE A EBD A B EBD =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．．【习题6】已知：如图在∆ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，EF ⊥AD ，垂足是G ，且交BC 的延长线于点F ．试说明∠CAF =∠B ．【答案】详见解析【解析】证明：//DE AC CAD EDA ∴∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，BAD CAD ∴∠=∠， ()..EAD EDA EA EDEF AD AFG DFG S A S AF DF ADF DAF B BAD CAF CAD BAD CAD CAF B∴∠=∠∴=⊥∴≅∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及外角性质的综合运用．【习题7】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，试说明AB +BD =CD ．【答案】详见解析【解析】证明：在CD 上取一点E 使DE BD =，联结AE()..22AD BC ABD AED S A S AB AE B AEB B C AEB C AEB C EAC C EAC AE EC CD DE EC AB BD⊥∴≅∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=+=+，，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定．ACDFB HGEBACDE【习题8】如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）等腰三角形．【解析】（1）在等腰Rt ABC 中，9045ACB CBA CAB ∠=︒∴∠=∠=︒， ()9045//9045..9090DE AB DEB BDE BF AC CBF BFD BDEBF DB CD DB BF CD CBF ACD S A S BCF CAD BCF GCA CAD GCA AD CF⊥∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒=∠∴==∴=∴≅∴∠=∠∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴⊥，，，，，，，，，（2）联结AF ，CF AD =，DBF 是等腰直角三角形，∵BE 是DBF ∠的平分线，BE ∴垂直平分DFAF AD CF AD CF AF ∴==∴=，，，∴ACF 为等腰三角形．【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．【习题9】在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA延长线于E ，交AC 于F ，试说明BE =CF =12(AB +AC )．【答案】详见解析【解析】证明：过点B 作//BN AC 交EM 延长线于点N()////12BN AC BM CM CFM BNM CF BNAD ME AD BAC CFM DAC E E N BEN BE BN CFEFA CFM E EFA AE AF AB AC AB AF FC AB AE FC BE FC BE CF AB AC =∴≅∴=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∴∴==∠=∠∴∠=∠∴=∴+=++=++=+∴==+，，，，平分，，是等腰三角形，，，【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．GFED C BAABDMCF E N18 / 22BDCA【习题10】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数．【答案】70BAO ∠=︒．【解析】作BAC ∠的角平分线与CO 的延长线交于点D ，联结BD()..805020202040BAD DAC AB AC AD ADABD ACD S A S BD CD ABD ACD DBC DCB BAC ABC ACB OCA ABD ACD OBD ABC ABD OBC ABD DOB OBC OCB BAD OBD ABD DOB DAB BD BD ABD ∠=∠==∴≅∴=∠=∠∴∠=∠∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=∠-∠-∠=︒=∠∠=∠+∠=︒=∠∠=∠∠=∠=∴≅，，，，，，，，，，，()()()()..1111801801804070222OBD A A S AB OB BAO AOB BAO ABO ABC OBC ∴=∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦，，【总结】考查等腰三角形的性质与全等相结合的综合应用，综合性较强，注意辅助线的添加．【作业1】如图，△ABC 中，∠ABC =460，D 是BC 边上一点，DC =AC ，∠DAB =210，试确定∠CAD 的度数．【答案】67CAD ∠=︒．【解析】DC AC CAD CDA =∴∠=∠，CDA B DAB ∠=∠+∠，又4621ABC DAB ∠=︒∠=︒， 67CDA ∴∠=︒，67CAD ∴∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质的综合运用，比较基础．课后作业OABCD【作业2】如图所示，12AB AD BC DE ==∠=∠，，，试说明：(1)(2)2AC AE CAE =∠=∠；．【答案】详见解析．【解析】（1）2112ADC ADE B ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠，又ADE B AB AD BC DE ∴∠=∠==，， ()..ABC ADE S A S AC AE ∴≅∴=，；（2）ABC ADE BAC DAE ≅∴∠=∠，，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠1122CAE CAE ∴∠=∠∠=∠∴∠=∠，，【总结】考查三角形全等的判定及性质的应用，比较基础．【作业3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ．求∠CDE 的度数．若∠BAD ＝40呢?【答案】15CDE ∠=︒，20CDE ∠=︒．【解析】AD AE AC AB ADE AED B C ==∴∠=∠=∠，，，23023015ADE CDE B BAD AED C CDE C CDE CDE B BAD CDE BAD BAD CDE CDE ∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，同理：当40BAD ∠=︒时，20CDE ∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转换．【作业4】如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD =ED =EA ，求∠A 的度数．【答案】1807A ︒∠=．【解析】AE ED ADE A =∴∠=∠，，2DEB ADE A A ∴∠=∠+∠=∠．233318018071807BD ED ABD DEB A BDC ABD A ABD BC C BDC A AB AC ABC C A ABC C A A A =∴∠=∠=∠∴∠=∠+∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∠︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=，，，，，，，【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转化．ABCDE21ABCDEABCDE20 / 22【作业5】已知∆ABC 中，BD =CE ，DF =EF ．试说明AB =AC ．【答案】详见解析【解析】证明：过点D 作//DG AC 交BC 于G()//..DG AC DGB ACB DGF ECF DF EF DFG EFC DFG EFC A A S CE DG BD CE BD DG B DGB B ACB AB AC∴∠=∠∠=∠=∠=∠∴≅∴==∴=∴∠=∠∴∠=∠∴=，，，，，，，，，【总结】考查等腰三角形结合全等三角形的性质及判定的应用．【作业6】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（）A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2ABC ．AC ≤2ABD ．AC ＜2AB【答案】D【解析】解：延长CB 到D ，使DB AB =，联结AD222AB BD BAD D ABC D BAD ABC DABC C C D AD AC AB BD AD AB BD AC AB AC=∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=+>∴+>∴>，，，，，，，故选D ．【总结】考查三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形三边之间的关系．【作业7】如图，已知：AC ∥BD ，EA 、EB 平分∠BAC 、∠DBA ，交CD 于点E ，试说明：AB =AC +BD ．【答案】详见解析【解析】证明：在AB 上取一点F ，使AF AC =，联结EF ．EA EB 、平分BAC DBA ∠∠、，CAE FAE EBF EBD ∴∠=∠∠=∠，()..ACE AFE S A S ∴≅，C AFE ∴∠=∠，//180AC BD C D ∴∠+∠=︒，，180AFE EFB ∠+∠=︒，EFB D ∴∠=∠，()..BEF BED A A S BF BD ∴≅∴=，． AB AF BF AB AC BD =+∴=+，．【总结】考查全等三角形的判定与性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件．BDCEAFGABCDA BCDEF【作业8】如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 的度数．【答案】150BMC ∠=︒．【解析】过B 作BD AC ⊥于D ，交CM 延长线于O ，联结OA4492BAC BCA AB BC ABC ∠=∠=︒∴=∠=︒，，BD AC ⊥， ABO CBO ∴∠=∠，ABO CBO ∴≅30OA OC OAC MCA ∴=∴∠=∠=︒，443014301614906012012030BAO BAC OAC OAM OAC MAC BAO MAO AOD OAD COD AOM AOB AO AO ABO AMO OB OM BOM OMB OBM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒∴∠=∠∠=︒-∠=︒=∠∴∠=︒=∠=∴≅∴=∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，， 180150BMC OMB ∴∠=︒-∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质、及全等三角形判定、三角形外角、内角和性质等．【作业9】如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，试说明：BQ +AQ =AB +BP ．【答案】详见解析．【解析】延长AB 到D ，使BD BP =，联结PD ，则D BPD ∠=∠．AP BQ 、分别是BAC ABC ∠∠、的角平分线，且6040BAC ACB ∠=︒∠=︒，()3080408040..BAP CAP ABC ABQ QBC C QB QC ABC D BPD D BPD APD APC A A S AD ACAB BD AQ QC AB BP BQ AQ∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒=∠∴=∠=∠+∠=︒∴∠=∠=︒∴≅∴=∴+=+∴+=+，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质相结合的综合运用，综合性较强，注意分析题目中的条件，添加合适的辅助线．B CMADOABPQCD22 / 22【作业10】如图，已知：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC =2∠C ，M 为BC的中点，ME ⊥AF ，交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于F ，试说明：BD =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 到G ，使EG BE =，联结CG GD 、，延长AF 交GC 于H ．//BE EG BM MCEM CG ME AF AH CG==∴⊥∴⊥，，，AH 平分BAC ∠，AG AC ∴=，GAD CAD ∠=∠()..AGD ACD S A S DGA ACD ∴≅∴∠=∠，22CBA ACB CBA DGA BDG BDG DGB BD BG BE EG BD BE∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴==∴=，，，【总结】本题综合性较强，难度较大，考查三角形的相关性质及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质的综合运用，也可以用其它方法进行求解，建议教师选择性讲解．ABCDEF MGH。

等腰三角形的判定(二)

常见误区与注意事项
误区一
误区二
认为只要有两边相等就是等腰三角形，忽略了“在同一个三角形中”的前提条件。
在使用“等角对等边”的判定方法时，忽略了必须是同一个三角形中的两个角相等才能推出对应的两边相等。
注意事项一
注意事项二
在证明等腰三角形时，要注意证明过程是否符合逻辑，每一步的推理是否都有充分的依据。
03
法
已知两边相等
01
若三角形中有两边相等，则这个三角形是等腰三角形。
02
已知两边相等的情况下，可以通过测量或计算确认第三边是否等于其中一边，从而判定是否为等腰三角形。
已知两角相等
若三角形中有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。
已知两角相等的情况下，可以通过测量或计算确认第三个角是否等于其中一个角，从而判定是否为等腰三角形。
在解决与等腰三角形相关的问题时，要善于运用等腰三角形的性质和判定方法，简化问题的解决过程。
思考与练习题
思考一
已知一个三角形的两个内角分别为30°和 70°，则这个三角形是等腰三角形吗？为
什么？
练习题一
在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的度数为____。
思考二
已知一个三角形的两边长分别为3和5，且这两边所对的内角分别为40°和70°，则这个三角形是等腰三角形吗？为什么？
等腰三角形的拓展与
05
延伸
等边三角形的性质与判定
01
02
03
三边相等
等边三角形的三条边长度相等。
三个内角相等
等边三角形的三个内角均为60度。
判定方法
若一个三角形满足三边相等或两个内角为60度，则可判定为等边三角形。

数学：10.3《等腰三角形的判定》课件2(华东师大版七年级下)

现在图中有没有等腰三角形？如果有，有几个？
线段DE与线段BD、CE之间
有什么关系？
A
活动5
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=360，
试一试：将三角形分割成两个等腰三
角形。画出图形并标明所分得的每个 B
C
等腰三角形三个内角的度数。
试试看：用尽量多的方法将△ABC分成三个等腰三角形。
活动6 回顾与反思等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
活动7
1、三个角都相等的三角形是
三角形。
2、有一个角等于600的等腰三角形是
三角形。
3、等边三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具
有独特的对称性。请你用多种不同的分割方法，将
等边三角形分割成四个等腰三角形。
谢谢合作！
；日博；
唐县理想中学田坤山
活动1 练一练： 1、等腰三角形的一个角是1100，则这个三角形另外两个角的度数为 350、350
2、等腰三角形的一个角是800，则这个三角形另外两个角的度数为 800、200或500、500
活动2
C
为什么？
归纳
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
简写成（等角对等边）
A
如图，用数学符号表示这一结论
∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC
B
C
活动3
1、上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=420，∠NBC=840，求从海岛B到灯塔C折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么？
（B）

七年级数学下册专题第13讲等腰三角形重点、考点知识总结及练习

专题第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．故答案为：80°或40°．2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．【解答】解：根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故答案为：7或11．3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．故答案为：12或144．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，三角形的三边长分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°=42°．故答案为：42或138．6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．故答案为：9．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CFE．∴∠BDE=∠CFD，∵∠EDF=50°，∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，∴∠C=50°∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，故答案为：80°．2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．知识点3等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：BD=DE．【解答】证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB，∴∠E=∠DBE，∴BD=DE．2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．知识点4等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【答案】10或103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：10或10．3【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BD=DC，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴AD=DC=5，故答案为5．综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；21④∵D 是BC 的中点，∴BD=DC ，∵AB=CE ，∴AB+BD=CE+DC=DE ，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，23∵△ABC 是等腰三角形，∴DB 是∠ABC 的平分线．5.已知等腰三角形△ABC ，AB=AC ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，根据题意得，152x x +=，122x y +=，解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，根据题意得，122x x +=，152x y +=，解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．。

1.1.4等腰三角形等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质教案

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形和等边三角形的判定及性质，以及含30°角的直角三角形的特殊性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些三角形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.1.4等腰三角形等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质教案
一、教学内容
本节课选自七年级数学下册第五章《三角形》的1.1.4节，主要内容包括：
1.等腰三角形的判定：通过观察和推理，使学生掌握等腰三角形的定义，并能运用等腰三角形的性质进行相关问题的解答。
a.有两边相等的三角形是等腰三角形。
b.等腰三角形的底角相等，底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。
3.培养学生的数据分析能力：通过对含30°角的直角三角形性质的学习，使学生能够运用数据进行计算和验证，提高其解决实际问题的能力。
4.增强学生的应用意识：将所学知识应用于解决生活中的实际问题，让学生体会数学在生活中的重要性，提高其学以致用的意识。
5.培养学生的团队协作能力：在小组讨论和探究过程中，培养学生的合作精神，提高其团队协作能力。

七年级数学等腰三角形的判定2

பைடு நூலகம்
◎开心孩子王 “六.一”儿童节到了，不由得想起了一些往事……各大足球网站最新地址仲夏之夜，客厅里灯光明亮，凉沁沁的镜面砖上，一圈儿趴了几个孩子。他们托着腮儿翘着腿儿，目不转睛地望着一位席地而坐的眉飞色舞的大人，不时哄堂大笑。这是干什么呢？听故事吗？非也，这是彭老师在讲课呢！彭老师是人们对她的尊称，她并非职业教师，却自幼喜读诗书，更爱寻章摘句。因有一二人家送子弟入她门下，见孺子可教，便索性设帐家中，收了几名徒儿，讲些春秋战国，吟些唐诗宋词，写些人物事件，颇得其乐。可笑这位彭老师虽老大不小，却顽劣如童。平日里一圆桌，中间摆些儿小吃，人手一册自编讲义，师生们边讲边笑。天热了，干脆撤掉桌子，坐在地上边纳凉边侃，就有了开头一幕。彭老师讲课不讲究，讲历史如说书，抑扬顿挫，甚至唱将起来，只差惊堂木了。讲诗歌则摇头晃脑，声情并茂。讲成语干脆编成小品，，让徒儿们各充一个角色。某日，讲完太白诗《赠汪伦》，她意犹未尽，童心骤起，随口溜出一首打油诗：李白乘舟将欲行忽闻江心救命声扑通一声跳下水捞起一看是汪伦笑得徒儿们前俯后仰，其中一位还差点尿裤子。

初一数学(等腰三角形的性质和判定

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：初一课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学培训师：薛子坤课题等腰三角形的性质和判定授课日期及时段教学目的了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题．教学内容一、等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”）；3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

（简称“三线合一”）4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。

等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）∵AB=AC ，∠1=∠2∴AD ⊥BC ，BD=CD性质应用：一、选择题（每小题5分，共25分）1. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（） A ．42° B ．60° C ． 36° D ． 46°2. △ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（） A.35° B.40° C.70 ° D.110°3. 等腰三角形的对称轴是（）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线ABC4. 一个等腰三角形的一边长是7cm ，另一边长是5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（）． A ．12cm B ．17cm C ．19cm D ．17cm 或19cm5. 如下图，∠ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ， ∠BAD =30°，且AD =AE ，则∠EDC 等于（） A ．10° B ．12．5° C ．15° D ． 20°DBAEC二、填空题（每小题5分，共25分） 6. 在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则∠C =__________． 7. 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________． 8.如图，若等腰三角形的两腰长分别为x cm 和（26x -）cm ，且周长为17cm,则第三边的长为________．9. 如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD 、AE ，则∠DAE =_______．EDCB A10. 如下图，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 .PQMNG三、解答题（50分）11.（12分）如图，已知△ABC 中AB=AC ，点P 是底边的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，•求证：PD=PE.ABCED Px26x -12.（12分）（12分）如图，已知：AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,求证：∠C=∠D二、等腰三角形的判定定理：名称图形概念性质与边角关系判定等腰三角形两边有相等的三角形是等腰三角形1.两腰相等1.两边相等——如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（在同一个三角形中，等角对等到边）2.等边对等角,2.等角对等边3. 三线合一。

七年级数学等腰三角形的判定2

在秋的季节里，我感受到一种从未有过的亲密。别人寻春，我寻秋。也许是黄昏。是谁在丽江的纳西小院顾影低徊，手撑一把油纸印花伞，在潇潇的秋雨中浅颦低笑。为一株黄菊而低眉，为一蓑烟雨而喟叹，为一场邂逅而思春。是谁的身影携着我的视线而去，同时也带走了我的心。不知何时，斜飞的秋雨变成了一场轻绡飞扬的花雨，带着情人衣袂上的墨香，残落的花瓣最终变成了萎地花泥，但最初的芬芳如斯。优游 / 在花事荼靡的人生市街，有几次机会能与卿擦肩而过。前世的深情隐恨变成了今生陌路人的一次回眸，那微妙的机会便是恒河沙数般不可计算的一缕丝萝攀藤。衮衮年华，流光浮影，今生与你邂逅梅雨里巷，哪里便是我们爱情的起点。在一个冷露朝凝，香风远送的季节，侬爱上了卿的诗，旖旎的诗词撩拨着一颗似水荡漾的心，将百炼钢化成绕指柔的一阕词韵，深深的埋入侬的心田，那檀板清唱的歌词都变成了艾艾告白与喁喁私语而不绝如缕。卿风流蕴藉，话语谐戏，绝不是一般的书蠹，侬就爱上了如此的卿，感动在诗情画意的缱倦中，如此变成了宜室宜家的琴瑟鸳鸯。从时光中抽离的我，不知不觉已暮色四合，暝色清淡。那亿万斯年里的风花雪月都谱写在泛黄的纸湄上，在诗庄词媚的搦管中跳脱出一个个鲜活的人生，在历史的烟岚中时隐时现。人生短暂，如流星破空，人生卑微，如沧海一粟。人生仅存于呼吸间。一呼吸有，一呼吸无。

七年级数学等腰三角形2

B E
1 2 5
A
O
6 4 3
F C
∵OF=FC(已证) ∴ C△AEF=AE+AF+EB+FC ∵ AB=AE+BE ∵ AC=AF+FC ∴ C△AEF=AB+AC ∵AB=9,AC=8(已知) ∴C△AEF=9+8=17 答：△AEF的周长为17
2.直角△ABC中，∠C=90°
求：（1）请以AC所在的直线为对称轴，画一个与△ABC成轴对称的图形；
等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC ∴∠B=∠C
A
等腰三角形性质二：
等腰三角形的互相重合,简称
B
1 2
C
(1)∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=DC (2)∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC, ∠1=∠2
D
(3)∵AB=AC，AD⊥BC ∴ ∠1=∠2, BD=DC
（2）所得图形与原图形所成的图形是等腰三角形吗？请说明理由
A
证：（2）∵AB与AB’重合
∴B点与B’点重合 ∴BC与CB’也重合
B C B'
∴∠B=∠B’,∠ACB=∠ACB’=90° ∴∠BCB’=180°
∴B、C、B’在一直线上
∴△ABB’为等腰三角形（等角对等边）
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB， DF⊥AC。那么请猜想DE=DF相等么？试说明理由。
A
证： ∵AB=AC（已知）又∵ AD⊥BC（已知） ∴AD为∠BAC的角平分线(三线合一）
E F
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
B D C
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

七年级数学等腰三角形有关概念

通过等腰三角形的一个顶点和该顶点所对的底边中点，可以作一个等腰三角形的外接圆。
详细描述
首先，找到等腰三角形的一个顶点以及该顶点所对的底边中点的位置。然后，使用这两个点作为圆心，以它们的距离作为半径，画出一个圆，即为等腰三角形的外接圆。
如何作一个等腰三角形的内切圆
总结词
通过等腰三角形的一个顶点和该顶点所对的底边上的垂足，可以作一个等腰三角形的内切圆。
05 等腰三角形的作图
如何作一个等腰三角形
总结词
通过给定底边和底边上的高，可以作一个等腰三角形。
详细描述
首先，确定底边的两个端点和底边上的高的位置。然后，使用底边的两个端点和高的位置，通过“底不变，高不变”的原则，画出两条相等的腰，从而形成一个等腰三角形。
如何作一个等腰三角形的外接圆
总结词
02 等腰三角形的边与角
等腰三角形的边
等腰三角形的两腰相等
在等腰三角形中，有两边长度相等，这两边称为等腰三角形的腰。
等腰三角形的底边与两腰的关系
等腰三角形的底边与两腰之间存在特定的关系，如底边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的角
等腰三角形的底角相等
在等腰三角形中，两个底角是相等的。
等腰三角形的顶角与底角的关系
概念
有一个角为$90^circ$的等腰三角形称为等腰直角三角形。
性质
等腰直角三角形的两腰相等，且斜边上的中线等于斜边的一半。此外，等腰直角三角形中的锐角都为$45^circ$ 。
等腰三角形的外角和性质
性质
等腰三角形的外角和等于$360^circ$。
应用
这一性质在解决与等腰三角形相关的几何问题时非常有用，可以帮助确定未知角的大小或证明某些几何关系。

【数学课件】等腰三角形的性质及判定2

C E F A D G B
综合运用2
证明两线段、两角相等的方法
证明两线段相等在两个三角形中 → 利用全等证明两角相等在一个三角形中 → 利用等腰在两个三角形中 → 利用全等
综合运用2
在一个三角形中 → 利用等腰
二、作辅助线的技巧
碰到角平分线，通常作“距离” 碰到角平分线，要构造全等，通常
B D
合运用2
例3：在△ABC中，D为BC的中点， AE平分∠BAC，过D点的直线 DE⊥AE于E，交AB于G，交AC延长线于H。求证：1、AG=AH 2、BG=CH 3、2BG=2CH=AB-AC
A
G B
D E
C
H
综合运用2
例4：等边△ABC，D、E分别在 AC、AB的延长线上，且CD=AE。求证：DB=DE。 D
好好学习，天天向上。

分析：采用“补形”方法，证明△ABD≌△FED
C
A
B
E
F
综合运用2
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

七年级数学等腰三角形的判定2

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