第3章离散序列
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第3章 离散信号的时域和Z域分析
f1 (n) f2 (n) f2 (n) f1 (n)
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
第3章-离散时间序列与Z变换1
第3章 离散时间序列及Z变换
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
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bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
第3章离散时间信号与系统的频域分析
结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
第3章 离散信源
离散有记忆信源
•
离散有记忆信源：信源先后发出的消息符号之间彼此 依存、互不独立的。 - 这类信源的数学表示比较困难； - 现实存在的信源多是离散有记忆信源； - 离散有记忆信源又可分为：有限记忆信源（马尔可 夫信源）和无限记忆信源。
信源分类小结
离散无记忆信源
单符号的无记忆离散信源 符号序列的无记忆离散信源 符号序列的有限记忆信源 符号序列的无限记忆信源
编码器 消息 信号 信 道 干扰 干扰器 译码器 消息 信 宿
信 源
在实际通信中最常见的信源有话音、文字、图像、数据等。
离散信源的数学模型
离散信源的数学模型
• •
信源可以输出多个符号，每个符号以一定的概率出现。 因此可以用概率来描述信源。
X x1 P p( x ) 1
则信源的熵为
x2 1 4
x3 1 4
1 1 1 1 H ( X ) p( xi ) logp( xi ) log 2 log 1.5 2 2 4 4 i 1
比特/符号
3
3.3.2 离散无记忆信源的扩展信源及其熵
可以一个符号一个符号的来研究信源，但有时这样不能满 足实际应用的需要。 • 汉语：更多地考察的是句子，而不是汉字。 • 英语：更多地考察的是单词，而不是字母。 • 图像：更多地考察的是整幅图像，而不是单个像素。 所以，有必要研究N次扩展信源。
我 们、要、的、把、看、… 碗、机、水、书、框、…
• •
p(们)=0.01，p(碗)=0.01 p(们|我)=0.05， p(碗|我)=0.001
有限记忆信源和无限记忆信源
离散有记忆信源分为 • 有限记忆信源 • 无限记忆信源 有限记忆信源 • 当记忆长度为m时称这种记忆信源为m阶马尔可夫信源， 即信源每次发出的符号与前m个符号有关，与更前面的 符号无关。
new第三章离散时间系统的时域分析
3. 举例 • 例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程：
y(n) ay(n 1) x(n)
• 解：y(0)=ay(-1)+1=1 • y(1)=ay(0)+0=a • y(2)=ay(1)+0=a2 • • y(n)=ay(n-1)+0=an • y(n)=ay(n-1)+0=anu(n)
n y(n) 0.45(0.9) u(n) 0.5u(n) 自由响应 强迫响应
• 零输入响应和零状态响应
用边界条件求系数
C1
5
1
, C2
n
5
1
最终解
1 1 5 1 1 5 y ( n) 5 2 5 2
n
例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n) 的齐次解 • 解(有重根)
差分方程特解的形式 • • • • • • • • • 激励 x(n) 特解 yp(n)的形式 A(常数) C(常数) An C1n+C2 nk C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 nkan an(C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 ) sin(bn)或 C1sin(bn)+C2cos(bn) con(bn) an [sin(bn)或 an[C1sin(bn)+C2cos(bn)] cos(bn)]
– 常系数线性差分方程(递归关系式) – 后向(或右移) 差分方程;前向(或左移) 差分方程
例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。
信号分析与处理(第3版)-第3章part1(时域分析)
14
五、离散信号的描述-序列的表示方法
• 集合表示法：
{x(n)}={……, 0，1，2，3, 4，3，2，1，0，……}
n=0
n值规定为自左向右逐一递增
• 公式表示法： x(n) 4 n , n 3
x(n)
• 图形表示法：
4
3
2 1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n
15
1、单位脉冲序列
奈奎斯特（Nyquist）频率： s 2m
10
2、由抽样信号恢复原连续信号
• 取主频带 X () ：
• 时域卷积定理： X () X s ()H ()
xs (t) x(nTs ) (t nTs ) n
h(t )
c
Sa( ct )
x(t) xs (t) * h(t)
n
c
x(nTs
• 频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频 谱X()分别延拓到以±s， ±2s ……为中心的
频谱，其中s为采样角频率
• 频谱的幅度乘上了因子1/Ts，其中Ts为采样周 期
9
二、时域采样定理
对于频谱受限的信号x(t)，如果其最高频率分量为 ωm，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢 复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频 率应满足ω s ≥ 2ωm
• 预习内容：
• 离散信号的频域分析
• 实验1：信号的采样与恢复
34
•即
y(n) {1,1,4,23,32,13,34,21,5,20} 32
7、两序列相关运算
• 序列的相关运算被定义为
xy (n) x(m) y(n m) m
• 可以用卷积符号“＊”来表示相关运算
xy (n) x(n) * y(n)
第3章 离散序列
1、定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域
2、收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x n Z n M
三、一些序列的收敛域
（1）、预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 x n Z ，在 Z Z 0收敛，那么，满足
x
0
n
双边序列指n为任意值时，x(n)皆有值的序列，即左边 序列和右边序列之和。
X ( z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
1
x ( n) z n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx
第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx
序列相乘
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2), , x(n) y(n), }
序列权乘
a{x(n)} {ax(n)} {ax(0), ax(1), ax(2), ax(n), }
第二节 离散时间信号序列
序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为
第二节 离散时间信号序列
单位抽样序列
(n) 1 ,
0 , n0 n0
δ (n) 1
x(n) nu(n)
单位阶跃序列
1 , u(n) 0 , 斜变序列 n0 n0
u(n) 1
o
n
…
o
x(n)
1
2
3
4
5
n
x(n) nu(n)
… -3 -2 -1 0 1 2 3 n
2、收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x n Z n M
三、一些序列的收敛域
（1）、预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 x n Z ，在 Z Z 0收敛，那么，满足
x
0
n
双边序列指n为任意值时，x(n)皆有值的序列，即左边 序列和右边序列之和。
X ( z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
1
x ( n) z n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx
第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx
序列相乘
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2), , x(n) y(n), }
序列权乘
a{x(n)} {ax(n)} {ax(0), ax(1), ax(2), ax(n), }
第二节 离散时间信号序列
序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为
第二节 离散时间信号序列
单位抽样序列
(n) 1 ,
0 , n0 n0
δ (n) 1
x(n) nu(n)
单位阶跃序列
1 , u(n) 0 , 斜变序列 n0 n0
u(n) 1
o
n
…
o
x(n)
1
2
3
4
5
n
x(n) nu(n)
… -3 -2 -1 0 1 2 3 n
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第3章离散时间序列及其Z变换
k =0
n
f1 (n)
2 1 0 1 2
2 1 3
n
f 2 (n) 3 2 1
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2 1
k
f 2 (k ) 3 2 1 0 1 2
0
1
2
n
f 2 (− k ) 3 2 1
k
-2 -1
0
k
1、置换 、
2、反褶 反褶
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
n
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列 δ (n) 、单位抽样（脉冲）
1 δ ( n) = 0
n=0 n≠0
1 δ (n − k ) = 0
n=k n≠k
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列u(n ) 、 ∞ n≥0 1 u( n) = , 也可表示为： u( n) = ∑ δ ( n − m ) 也可表示为： n<0 m=0 0 n≥ k 1 u( n − k ) = n<k 0
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列 、
RN (n )
0 ≤ n ≤ N −1 1 RN ( n) = (其他 n） 0 RN ( n) = u( n) − u( n − N ) 或
n
f1 (n)
2 1 0 1 2
2 1 3
n
f 2 (n) 3 2 1
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2 1
k
f 2 (k ) 3 2 1 0 1 2
0
1
2
n
f 2 (− k ) 3 2 1
k
-2 -1
0
k
1、置换 、
2、反褶 反褶
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
n
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第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列 δ (n) 、单位抽样（脉冲）
1 δ ( n) = 0
n=0 n≠0
1 δ (n − k ) = 0
n=k n≠k
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第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列u(n ) 、 ∞ n≥0 1 u( n) = , 也可表示为： u( n) = ∑ δ ( n − m ) 也可表示为： n<0 m=0 0 n≥ k 1 u( n − k ) = n<k 0
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第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列 、
RN (n )
0 ≤ n ≤ N −1 1 RN ( n) = (其他 n） 0 RN ( n) = u( n) − u( n − N ) 或
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法
傅里叶系数标号k ：0～N
数字频率ω：0～2π 模拟频率 f ：0～fs
0
N /2
0
0
fs /2
0
s /2
北京邮电大学信息与通信工程学院
N k (变换系数标号) 2 （弧度，数字频率） fs f （Hz，模拟频率） s （弧度/秒，模拟角频率）
24
DFS 定义：几点说明
频率成份
直流分量：
N 1
北京邮电大学信息与通信工程学院
11
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N
e W 1W k0
N 1 k(rm)
离散傅里叶级数包含了 0 到 (N-1)fs/N 的频率，因而 N 个傅里叶级数的系 数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。
N 1
当 k=0 时， X (0) x(n)WN 0n x(n) ，此时得到的傅里叶级数的系数
称为信号的直流分量（DnC0 Componenn0t）X，(0)/ N 是信号的平均值；
交流分量：
其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为 信号的交流分量。
k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs/N，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数
信号处理及其应用：第3章 离散时间序列及其z变换
1 , 0 ,
n0 n0
Z[ (n)] (n)zn zn 1 z1 z2
2）右边序列 n<n1时，x（n）=0，是有始无终序列
17
x(n) {x(n) 0
n1 n n n1
X (z) x(n)zn
nn1
收敛域为以Rn为半径的圆外域
若n1≥0，即Rn<|z|≤∞;当n1=0，因果序列 若n1<0, 收敛域不包括z=∞，即Rn<|z|<∞。
18
3）左边序列
n>n2时，x（n）=0，是无始有终序列
n
11
X (z) Z [x(n)] x(n)z n
n
若换考，虑xa（Xt(）z) 是 Z因[x果(n)信] 号 ，x(n采)z用n 单边拉氏变
2）直接定义
n0
双边z变换 X (z) Z [x(n)] x(n)zn
单边z变换
n
X (z) Z [x(n)] x(n)zn
n0
z变换完成了离散信号由时域到z域的映射，z
|a|>1，序列发散；|a|<1，序列收敛。 a>0，序列值均为正；a<0，序列值正负 摆动。
4
5
5）斜变序列
r(n) n (n)
斜变序列与单位阶跃序列
n
r(n) (m 1) m0
(m 1) r(m) r(m 1)
6
6）正弦（余弦）序列
xn sin nw0
xn cos nw0
-π≤ω0≤π 或0≤ω0≤2π 3.1.3 序列的运算 1）相加及累加
z(n) x(n) y(n)
8
n
y(n) x(m) m
2）相乘与数乘
z(n) x(n) y(n)
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk 。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.2 （1）设()xn 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*()()X k X k =- 。
（2）证明当()xn 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nkNn N N nk nkNNn n Xk xn W X k xn W xn W Xk --=---==-=-===∑∑∑（2）因()xn 为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =- 或*()()X k X k -= 又因()xn 为偶函数，即()()x n x n =- ，所以有 (1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk ，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+ ，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =- ，对于所有的k ； （3）(0)0X= ；（4）25()jkXk e π ，对所有的k 是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()Xk 也是一个周期为N ＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n 一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()Xk 是共轭对称的，即应有*()()Xk X k =- ，这里()X k 不一定是实数序列。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
第3章讲义离散时间信号
采样 fs2=9Hz
x2[n] ω2=？ 2 π/3
谢
谢
观
看
指数序列:
➢实指数序列: x[n]AnAen
β>0，函数值递增 β<0，函数值递减， β=0，恒定
➢复指数序列: x[n]ejn
e j cos j sin e j n cos n j sin n e j n cos n j sin n
Real part 1
Imaginary part 1
也称为开关序列
➢阶跃函数与脉冲函数之间的联系
unnk
阶跃函数是脉冲函k数0的积分(求和)
n n n 1
脉冲函数是阶跃函数的微分(差分)
指数序列:
➢实指数序列:
x[n] An
α>0，函数值递增，发散 α<0，函数值递减，收敛
x[n]AnAen
如果β为纯虚数， j，则0
x [ n ] A e j 0 n A ( c o s0 n js in0 n )
例：配乐朗诵 见过和运算吗？
x[n ]
朗读
[n]
配乐朗读
y[n ]
配乐
音乐合成 、信道建模：加噪 、…
时移 w4nxnN
例：快进、快退
见过时移运算延吗时？器
z 1
w[n]x[n1]
单位超前
z
w[n]x[n1]
时间反转
w5nxn
也称为折叠
照镜子、时光倒流 作用：Fourier运算
卷积
w 6 [n ] y [n ] x [n ] y [k]x [n k] x [k]y [n k]
2. 对称序列 Vs 非对称序列
偶序列/共轭对称序列 奇序列/反共轭对称序列
第3章离散序列的基本运算
8
图3-1 u(n)及其位移序列u(n＋6)和u(n－4)
9
例3-2 已知一正弦信号：
x(n)＝2 sin 2 πn 10
求其移位信号x(n－2)和x(n＋2)在－2<n<10区间的序列
波形。
解 MATLAB程序如下：
n＝－2：10；n0＝2；n1＝－2；
x＝2*sin(2*pi*n/10)；
%建)＝n sin(n)，试显示在0<n<20区间的下 列波形：
y1(n)＝x(n－3)，y2(n)＝x(－n)，y3(n)＝－x(n)， y4(n)＝x(－n＋3)，y5(n)＝x(n/2) *(4)已知信号
2n 5,
x(n)
6,
0,
4 n 1 0n4 其它
号波形。为研究问题的方便，取0<n<20，并将n缩小20倍 进行波形显示。
解 MATLAB程序如下：
n＝(0：20)/20；
31
x＝sin(2*pi*n)； %建立原信号x(n) x1＝sin(2*pi*n*2)；%建立x(2n)信号 x2＝sin(2*pi*n/2)；%建立x(n/2)信号 subplot(3，1，1)，stem(n，x，filled)； ylabel(x(n))； subplot(3，1，2)，stem(n，x1，filled)； ylabel(x(2n))； subplot(3，1，3)，stem(n，x2，filled)； ylabel(x(n/2))； 结果如图3-8所示。
(2) 思考题: ① 当进行离散序列的相加、 相乘运算时， 如果参加 运算的两个序列向量维数不同， 应进 行怎样的处理? ② 回答预习思考题。
3
第3章 3.1-3.2离散傅里叶变换(DFT)
n0
WNkm X (k)
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
对比记忆：
循环时移：
x((n
m))
N
RN
(n)
W mkm N
X(k
)
线性时移：
x(n n0 ) e jn0 X(e j )
29
时域移位，频域相移
2020/4/5
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3. 频域循环移位定理 如果： X (k) DFT[x(n)], 0 k N 1 则 ： Y (k) X ((k l))N RN (k)
e8
n0
n0
j 3k
e8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1,, 7
8
17 2020/4/5
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
提高谱密度
18
图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
2020/4/5
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3.3.2 DFT和DTFT、ZT的关系
设序列x(n)的长度为N， 其ZT、DTFT和
对任意整数m， 总有：
WNk WN(kmN) , k, m, N均为整数
所以(3.3.6)式中， X(k)满足：
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
x(n)WNkn X (k)
n0
同理可证明(3.3.7)式中：
14 2020/4/5
x(n mN) x(n)
1．
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的
L点循环卷积定义为：L1
kn
e4
n0
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第二节 离散时间信号序列
卷积和性质 ❖ 交换律
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
❖ 结合律
y(n) x(n) h1(n)h2(n) x(n) h1(n) h2(n)
两个线性时不变系统的级联可以交换次序，等效为一个新的线性时不变系统
❖ 分配律
y(n) x(n) h1(n) h2 (n) x(n) h1(n) x(n) h2 (n)
第二节 离散时间信号序列
❖ 序列相关
互相关函数 rxy (m) x(n) y(n m) n
自相关函数
rx (m) x(n)x(n m)
❖序列自相关性质 n
与卷积进行比较
1） 若x(n)是实信号，则rx (m)为实偶函数
若x(n)是复信号，则
共轭
rx
(m)与rx
(m)对应序列互为
2）rx (m) 在m=0达到最大值 3）若x(n)是能量有限信号，当m趋于无穷时，有
❖ 在实际中的离散系统都是因果系统，因此它对应的 Z变换为单边Z变换。
第三节 Z正变换
❖ 我们也可以从拉普拉斯变 换导出Z变换
X
(s)
x(nTs )est dt
n
x(nTs )
(t
nTs ) estdt
x(nTs ) (t nTs )est dt
x(nTs )esnTs X (esTs )
❖因果系统和非因果系统 或者 h(n) 0, n 0
输出只取决于当前的输入和过去的输入
❖ 本章讨论仅限线性时不变系统，实际应用中研究因 果稳定的系统。
第二节 离散时间信号序列
时间信号又称时间序列，是按一定 次序排列的一组数。
❖单位抽样序列
(n) 1 ,
0 ,
n0 n0
❖单位阶跃序列
u(n)
一、离散系统的定义
离散（时间）系统是指输入输出都是时间序列的系
统。输入 x(n) 又称为激励，输出 y(n) 又称为响应。
二、离散系统的分类
离散时间系统可以用变换（运算）T[ ]来表示。 ❖ 线性离散系统和非线性离散系统
T[a1x1(n) a2x2 (n)] a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)] a1y1(n) a2 y2 (n)
1 0
, ,
n0 n0
❖斜变序列x(n) nu(n)
单位阶跃序列常用来表示定义域
δ(n)
1
x(n) nu(n)
o
n
u(n)
1
…
o 1 23 4 5 n
x(n)
…
-3 -2时间信号序列
x(n)
❖正弦序列
x(n) Asin（ n )
振幅、初始相位角、数字角频率，是周期序列吗？
y(n) x(n n0 ) 正整数，右移，负整数，左移
❖ 序列折叠：将原序列以纵轴为对称轴进行折叠
y(n) x(n)
❖序列卷积（离散卷积或卷积和 ）表征了系统响应
y(n)与激励x(n)和单位冲激响应h(n)的关系 。
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m h(n)反转延迟，再与x(n)进行序列相乘，并求和
线性离散系统的零状态响应
n
第一节 离散时间系统
❖ 时不变离散系统和时变离散系统 x(n) y(n)则x(n k) y(n k) 满足时不变，否则时变
系统的输入在时间轴上有个平移，输出也产生同样的时间上的 平移
❖稳定离散系统和非稳定离散系统
❖ 有界输入产生有界输出，或者： | h(n) | n
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2),, x(n) y(n),}
❖ 序列权乘
序列的每一项都乘于权系数
a{x(n)} {ax(n)} {ax(0), ax(1), ax(2),ax(n),}
第二节 离散时间信号序列
❖ 序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为
n
则
n
z esTs e( j )Ts eTs e jTs
令：
r eTs
Ts
z re j
❖ 是离散系统和离散信号的圆周频率，单位为 rad. 是连续系统和连续信号的角频率，单位为 rad/s。
X (z) x(n)(re j )n [x(n)r n ]e jn
n
n
Z变换存在的条件是：
| x(n)r n |
n
X
(
z)
|
ze
j
x(n)(re j )n [x(n)]e jn
n
n
单位圆上的Z变换变成了离散序列的傅立叶变换。
lim
m
rx
(m)
0
延迟到无穷元处的序列与自身的相关性为零
第三节 Z正变换
在离散信号和系统中，Z变换的运算方法与拉普拉斯类似，可 以将问题从时域转换到复频域进行分析和处理。
一、Z变换的定义
❖双边Z变换 X (z) Zx(n) x(n)z n n
❖单边Z变换 X (z) Z x(n)u(n) x(n)zn n0
《信号分析与处理》课程
第三章 离散时间序列及其Z变换
重点内容:离散时间系统和序列，序列的Z变换及其性质，Z 变换和傅立叶变换的关系.
第一节 离散时间系统 第二节 离散时间信号序列 第三节 Z正变换 第四节 Z反变换 第五节 Z变换的性质 第六节 Z变换与拉普拉斯变换的关系 第七节 离散信号的Z变换
第一节 离散时间系统
T[ ak xk (n)] T[ak xk (n)] akT[xk (n)] ak yk (n)
k
k
k
k
y(n) T[x(n)] T[ x(k) (n k)] x(k)T ( (n k)]
不满足这个关系 的离散系统为非 线性离散系统
k
k
x(k)h(n k) x(n) h(n)
…… n
❖矩形脉冲序列
GN (n)
1 , 0 n N 1
GN (n) 0 ,
1
n 0或n N 1
…
❖单边指数序列
o 12 3
矩形脉冲序列的等间隔抽样
N-1 n
x(n) anu(n)
x(n)
1
指数函数信号的等间隔抽样
……
❖ 任意时间序列：任意连续时间信号的等间隔采o 样 1 2 3 N n
x(n) x(k) (n k) 离散信号的时域分解
第二节 离散时间信号序列
二、序列的基本运算
❖ 序列加减
各序列同序号的数值对应相加减
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2),,
x(n) y(n),}
❖ 序列相乘
各序列同序号的项对应乘积所组成的序列