苏教版数学高二-高中数学(苏教版选修1-2学案 合情推理

2．1合情推理与演绎推理

2．1.1合情推理

[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用．

[知识链接]

1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？

答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．

2．由合情推理得到的结论可靠吗？

答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．

[预习导引]

1．归纳推理

(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大

致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．

(2)归纳推理的特点：

①归纳推理是从特殊到一般的推理；

②由归纳推理得到的结论不一定正确；

③归纳推理是一种具有创造性的推理．

2．类比推理

(1)类比推理的定义：

根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．

(2)类比推理的思维过程：

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

3．合情推理

合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理．

要点一归纳推理的应用

例1观察如图所示的“三角数阵”

1 (1)

2 2 (2)

34 3 (3)

477 4 (4)

5 11 14 11 5 (5)

…………

记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：

(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；

(2)依次写出a2、a3、a4、a5；

(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．

解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．

(1)6,16,25,25,16,6

(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11

(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4

由此归纳：a n＋1＝a n＋n.

规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．

跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．

(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；

(2)a 1＝a ，a n ＋1＝1

2－a n

；

(3)对一切n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *.

(2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝1

2－a ，

a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝1

2－a 3＝3－2a 4－3a .

猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a (n ∈N *)．

(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1， 即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1， ∴2

a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.

∵对一切n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3. 同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用 例2

如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． 解

如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．

(2)平面图形与空间图形的类比：

跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p

y ，所以过P 的切

线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 2

2＝1在P (2，2)处的切线方程为________．

答案 2x －y －2＝0

解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝22

2＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：

(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最