层次分析法简介

层次分析法简介
层次分析法
• 美国运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初提出 的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简 称AHP）是一种具有定性分析与定量分析相结合 的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维 过程系统化、模型化、数量化。 • AHP基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因 素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不 同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间 的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均 按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构 造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元 素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素 对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的 决策依据。


w
k 1
k 1 2
k
k

(0)
k
RI k
0.6667 0.58 0.3333 0.9
0.074 0.1
• 对C1判别矩阵： WC (0.5390 ,0.2972 ,0.1638 )T 1
C层计算
max 3.0093, CI 0.00465 , RI 0.5800 , CR 0.008 0.1
层次单排序
• 利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而 言，本层次与之有联系的元素的重要性次 序的权值（权向量）的过程，称为层次单 排序。
• 层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的 特征值与特征向量的问题，即对于判断矩 阵B，求解满足BU=λU的最大特征值λ*以及 对应λ*的正规化(单位化)的特征向量U*， U*的分量即为相应元素的单排序权重。
层次分析法基本步骤
• • • • • 明确问题建立层次 构造判断矩阵 层次单排序 层次总排序 一致性检验
明确问题建立层次
• 对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类, 每类作为一个层次,按最高层(即目标层,表示解决问题的目 的)、若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准 则来实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层(表示解决 问题的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。
应用示例
• 某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经 济目标两类。并具体将其目标分为目标C1,目标C2,目标C3 和目标C4(如年利润增长10%，每年全国各地新开分支机构 5家，职工年收人年增20%,提高企业形象等)，并制定了三 项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加 以实施。 经专家讨论给出各层判断矩阵。
• C层各目标重要性的权重:
W W (0) W (1) (0.2805 ,0.5240 ,0.1549 ,0.0383 )
即目标2的重要程度最高，目标4的重要程度最低， 目标2是应优先满足的目标。
A层计算（和积法）
• • • • • 将第1列加总、规范化: ak1=1+1/2=3/2,ā11=a11/ak1=0.6667, ā21=a21/ak1=0.3333 将第2列加总、规范化: ak2=2+1=3,ā12=a12/ak2=0.6667, ā22=a22/ak1=0.3333 构成列向量规范的判断矩阵： 0.6667 0.6667
max 3, CI 0, RI 0.5800 , CR 0 0.1
• 对C2判别矩阵： WC (0.1429 ,0.5714 ,0.2857 )T 2 • 对C3判别矩阵： WC3 (0.1744 ,0.1919 ,0.6337 )
T
max 3.0091, CI 0.00455 , RI 0.5800 , CR 0.0078 0.1
2,4,6,8 表示相邻判断的中间值
用于需要达成妥协场合
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识 上述各 相应的反比较,即Bi和Bj比较其相对重要性用上述之 综合平衡后给出的，因此对判断矩阵的质量有一致性的要求， 值倒数 一值进行标度,则Bj和Bi比较以该值的倒数标度。 即B中元素满足要求：bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m 满足一致性的充分必要条件是：它的最大特征值λ*=m。
层间的权重组合与权重矩阵W(j)
• 若上一层所有元素A1，A2，…Ak的层次单排序已完 成，得到的权重为a1, a2,…ak,与Ai(1≤i≤k)对应的本 层次元素为B1,B2,…Bm单排序结果为 Bi=(bi1,bi2,…,bim) (注：若bij=0,则表示Bi与Aj无关)
层次 A 层次 B A1 a1 A2 a2 … … … Ak ak B 层次总排序
其中bij 表示对于Ak 而言，Bi 对Bj 相对重要性的标度 (MBi/MBj) 。显然判断矩阵B= (bij)有关系式 bij＞0，bii=1，bji= 1/ bij ，i,j=1,2,…,m
因此对m阶判断矩阵, 仅需对m(m-1)/2个元素给出标度。
Baidu Nhomakorabea
标度值意义及一致性
标度值 意义 1 Bi与Bj同样重要 3 5 7 9 Bi比Bj重要性稍高一些 Bi比Bj重要性明显高 Bi比Bj重要性明显多 Bi比Bj极端重要 说明 Bi,Bj对一个目标贡献相同 二者间判断差异轻微 二者间判断差异明显 二者间判断差异强烈 差异达到可能范围极限
随机一致比例CR
• 一、二阶判断矩阵必有一致性，其RI值只是 形式上的。 • 当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称为 判断矩阵的随机一致比例，记为CR。 • 当CR=＜0.10时，认为判断矩阵的一致性可 以接受，否则需要调整判断矩阵。
• 对于1~12阶的判断矩阵，RI值表如下:
阶数
1 0
2 0
0.2972 0.5714 0.1919 0.6480 0.1638 0.2857 0.9337 0.2299
W ( 2)
权重合成----层次总排序
• 各政策关于企业目标的权重:
W W (0) W (1) W ( 2) (0.2579 ,0.4376 ,0.3026 ) 由于政策乙的权重最大，因此，应该选择政策乙。
W
(1)
总排序CR
WB T 0 0.2243 0.6196 0.1560 0 1 T 0.3929 0.3340 0.1528 0.1149 WB 2 w CI 0.6667 0.05465 0.3333 0.0426
2 (0)
( BW ) i i 1 mWi
* m
中(BW)i表示向量BW的第i个元素。
最大特征值的近似简化算法--根法
• （1）将B的元素按行相乘 • （2）所得乘积分别开m次方 • （3）将方根向量正规化即得排序所要求的 特征向量W m ( BW ) i • （4）计算 *

i 1
mWi
B层计算
• 对B1判别矩阵： max 3.1093 1 1/ 4 2 0.2243 CI 0.05465 4 0.6196 B1 1 3 WB1 1 / 2 1 / 3 1 RI 0.5800 0.1560 CR 0.0942 0.10 • 对B2判别矩阵： 2 2 3 1 0.3929 max 4.1386 1 / 2 1 0.3340 5 2 B2 CI 0.0426 WB1 1/ 2 1/ 5 1 2 0.1528 1 / 3 1 / 2 1 / 2 1 RI 0.9000 0.1149 CR 0.0513 0.1 • B1和B2矩阵都通过一致性检验。
• 将Ã矩阵每行相加得一列向量,再归一化：
2 2 j 1 j 1
A 0.3333
0.3333
W1 a1 j 1.3334 , W2 a2 j 0.6666 W W W ( 1 , 2 )T (0.6667 ,0.3333 )T WA W j W j
B1
b
b
1 1
1 2
b
b
2 1
2 2
b
k 1
a b
i 1
k
k
i
i 1
B2
… …
b
k 2
a b
i 1 i
i 2
W
( j) T
Bm
b
1 m
b
2 m
…
b
2 m
ab
i 1 i
k
i m
一致性检验
• 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需 计算与层次单排序类似的检验量，记 • CI——层次总排序的一致性指标 • RI——层次总排序随机一致性指标 • CR——层次总排序随机一致性比例 K K CI 其中 CI ai CI i RI ai RI i CR
一致性指标
• 在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且 λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m， 其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出的 结论基本合理。 • 我们可用CI= (λ*-m)/(m-1)作为检验B的一致性指标。 • 显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0；λ*-m越大， CI越大，一致性越差。 • 此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵,计算其最大特 征根,然后取平均值得λ,于是得到RI = (λ-m)/(m-1)。 • 注：1~12阶判断矩阵的RI值已编制成数表备查。
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
RI
0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54
层次总排序
• 为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合 权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该 层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组 合权重，这个过程称为层次总排序。 • 层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行， 最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案 优先次序的相对权重。 • 若有m层目标(不含总目标),把各方案作为m+1层, 每相邻两层之间具有完全层次关系,且设第i层目标 有ni个,第i+1层目标(或方案)有ni+1个,用W(i)表示这 两层间的权重矩阵,它有ni行ni+1列。可以知道各方 案对总目标的权重向量W为：W=W(0)W(1)…W(m)。
• 对C4判别矩阵： WC (0.1222 ,0.6480 ,0.2299 )T 4
WC T 1 WC2 T T WC3 WC T 4 0.5390 0.1429 0.1744 0.1222
max 3.0038 , CI 0.0019 , RI 0.5800 , CR 0.0033 0.1
目标层 中间层 1 中间层 2 准则 1 子准则 1 决策目标 准则 2 子准则 2 准则 k 子准则 m

方案层

方案 1

方案 2

方案 n
构造判断矩阵
• 层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。 • 假定A层中元素Ak与下层中元素B1,B2,…,Bm有联系， 构造如下的判断矩阵：
Ak B1 B2 Bm B1 b11 b12 bm1 B2 b12 b22 bm2 … … … … … Bm b1m b2m bmn
• 二阶矩阵不需作一致性检验。
W (0) WA
AW 1 2 2 / 3 4 / 3 1 / 2 1 1 / 3 2 / 3 2 4 2 ( AW )i max 32 31 2 2 3 2 3 i 1 mWi m CI max 0, RI 0 m 1

i 1
i 1
RI
CIi 为Ai 对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。 RIi为Ai对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。 当CR≤0.10时,则 认为层次总排序计算结果的一致性可 以接受。
最大特征值的近似简化算法--和积法
• （1）将判断矩阵B每一列正规化； • （2）每列正规化的判断矩阵按行相加； • （3）对相加后得到的向量再正规化，即得 排序所要求的特征向量W； • （4）计算判断矩阵B的量大特征值λ*