第十章 时间序列分析

第二节、单位根检验 （unit root test）
单位根检验是运用统计检验时间序列是否平 稳的一种普遍应用的方法。
一、DF检验（Dicky-Fuller Test）
yt yt 1 et
对该式回归，如果确实 发现ρ =1，则称随机变 量y有一个单位根。
yt yt 1 et
弱相关序列
一个独立序列无疑是弱相关序列，因此独立同分布序 列是弱相关时间序列。弱相关序列的一个例子是：
xt et 1e t 1 , t 1, 2,
这个过程被称为一阶移动平均过程，表示 为MA(1) MA(1)是平稳的弱相关序列。
弱相关序列
弱相关序列的另一个更为常见的例子是：
yt 1 yt 1 et , t 1, 2,
平稳性关系到一个过程在时间推移过程中的联 合分布，弱相关则是与平稳性完全不同的概念， xt h 随着随机变量 和xt 之间时间距离 h的变大， 弱相关对二者的相关程度施加限定。
对于一个平稳时间序列过程 {xt : t 1, 2, } 若随着h无限增大，
xt 和 xt h “近乎独立”，则称之为弱相关。
如果ρ=0，β≠0, y成为一带时间趋势的随机变化过程。根据β的正
负， y表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势 （deterministic trend）。
如果ρ=1，β≠0 ，则y包含有确定性与随机性两种趋势。
判断一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定性 的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行。
I(0)代表一平稳时间序列。
现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列 表现为平稳的，如利率等; 大多数指标的时间序列是非平稳的， 大多数非 平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的 形式变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分， 都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的 （non-integrated）。
平稳性的定义
{xt : t 1, 2, } 如果对于每一个时间指标集 1 t1 t2
对于随机过程 和任意整数
h 1
tm
( xt1 , xt 2 ,
( xt1h , xt 2h ,
xtm )
的联合分布都与
xtmh ) 的联合分布相同，
那么这个随机过程就是(严格)平稳的。
弱相关
这个过程被称为一阶自回归过程，表示为AR(1) AR(1)过程弱相关的一个关键假定是稳定性 条件
1 1
不平稳的随机过程则称为非平稳过程（nonstationary process） 一个随机时间序列如果具有时间趋势，那么 它显然是非平稳的，因为它的均值随时间在 变化，但是时间趋势序列也可能是弱相关的。
计量经济学
—理论· 方法· EViews应用
郭存芝 杜延军 李春吉 编著
电子教案
第十章 时间序列分析
◆ 学习目的
了解平稳和非平稳序列、单位根和协整的概念，掌握单位根 检验、协整检验和误差修正模型的估计方法。
◆ 基本要求
了解平稳和非平稳序列、弱相关序列、随机游走、虚假回归的概念 掌握单位根的概念，掌握单位根DF检验和ADF检验的方法； 掌握协整关系检验方法、误差修正模型的建模方法及应用。
检验过程
实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。
何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为
平稳序列，何时停止检验。 否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值表。
检验模型滞后项阶数的确定：以随机项不存在 序列相关为准则。
随机游走（random walk）过程也是非平稳的。
随机游走的定义
yt yt 1 et , t 1, 2,
假定扰动项是零均值、同方差为的独立 同分布序列
随机游走的期望值不取决于时间 但是，随机游走的方差却是随着时间而变化。
随机游走的方差是时间的线性函数，随着时间而递增， 是一个非平稳过程。通常随机游走过程也包含了明显 的趋势，如带漂移的随机游走（random walk with drift）:
数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问 题。
表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却
有很高的相关性。
平稳时间序列过程意味着，如果我们从这个序列中任 取一个随机变量集，并把这个序列向前移动h个时期， 那么其联合概率分布仍然保持不变。在实践操作层面 上，如果我们想通过回归分析考察两个或者多个变量 之间的关系，就需要假定某种跨时期的平稳性。
一、协整关系
1、问题的提出
将一个随机游走变量对另一个随机游走变量进行 回归可能导致荒谬的结果，因为传统的显著性检 验说明变量之间的关系事实上是不存在的，这就 是为什么要检验一个变量是否是随机游走的一个 原因。 那有没有对两个即使都是随机游走的变量进行回 归，而不会造成荒谬结果的情形呢？我们的回答 是肯定的，因为有时虽然两个变量都是随机游走， 但它们的某个线性组合却可能是平稳的。
该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量，即分
离出了确定性趋势的影响。
如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变
量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势；
如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，
则该序列显示出确定性趋势。
差分平稳过程和趋势平稳过程
具有随机性趋势的时间序列通过差分的方法消除随机
从中国统计年鉴中获取名义GDP和GDP指数数据， 然后计算得到1979-2011年真实GDP数据，对真 实GDP做ADF单位根检验。
Eviews 中提供的检验方法
Eviews 中提供的滞后阶数选择
四、单整、趋势平稳与差分平稳
1、单整 如果一个时间序列经过一次差分变成平 稳的，就称原序列是一阶单整序列，记 为I(1)。 一般地，如果一个时间序列经过d次差分 后变成平稳序列，则称原序列是d 阶单 整序列，记为I(d)。
=0，认为时 如果t<临界值，则拒绝零假设H0： 间序列不存在单位根，是平稳的。
单尾检验
二、ADF检验（Augment Dickey-Fuller test）
为什么将DF检验扩展为ADF检验？ DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差 项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检 验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生 成，或者随机误差项并非是白噪声，用 OLS 法 进行估计均会表现出随机误差项出现自相关， 导致DF检验无效。 如果时间序列含有明显的随时间变化的某种趋 势（如上升或下降），也容易导致DF检验中的 自相关随机误差项问题。
样 本 容 量 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 50 100 -3.51 -2.89 -2.58 500 -3.44 -2.87 -2.57 ∝ -3.43 -2.86 -2.57 t分布临界值 （n=∝） -2.33 -1.65 -1.28
-3.75 -3.58 -3.00 -2.93 -2.63 -2.60
2、趋势平稳与差分平稳随机过程
yt t yt 1 et , t 1, 2,
含有一阶自回归的随机过程：
如果ρ=1，β=0，y成为一带位移的随机游走过程。根据α的正负，
y表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势 （stochastic trend）。

弱相关平稳随机过程满足下列条件： （1）均值 E(xt ) 是与时间t无关的常数； （2）方差 Var(xt ) 2 是与时间t无关的常数； （3）协方差 是只与时间间 Cov(x 隔h有关，与时间 t无关的常数。 t , xt h ) h
在多元回归分析中使用平稳的弱相关序列 最为理想。不是弱相关的时间序列，往往 会导致多元回归分析中的虚假回归问题。
t Yt 0 1 X t
一个简单的检验过程：
同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过
=0。 ADF临界值表检验原假设H0：
可以认为时间序列是平稳的；
只要其中有一个模型的检验结果拒绝了原假设，就 当三个模型的检验结果都不能拒绝原假设时，则认
为时间序列是非平稳的。
三、ADF单位根检验在Eviews中的实现
时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
一、静态模型和动态模型
假设有两个变量Y、X，一个静态模型为：
Yt 0 1 X t t , t 1, 2,
例如，静态的菲利普斯曲线表示为：
,n
inft 0 1unemt t
在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指 弱相关平稳。
白噪声（white noise）。
最简单的随机时间序列是一个具有零均值 同方差的独立同分布序列： xt t , t N (0, 2 ) 该序列常常为称为是一个白噪声。白噪声 序列具有相同的均值和方差，且协方差为 零，因此，白噪声序列是平稳的。
1) 2) 3)
第十章 时间序列分析
时间序列数据分析概述 单位根检验 协整和误差修正模型
第一节 时间序列分析概述
经典计量经济模型常用到的数据有：
时间序列数据（time-series data)； 截面数据(cross-sectional data) 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)
yt 0 yt 1 et , t 1, 2,
其期望值具有一种线性时间趋势，方差则与 不带漂移项的纯粹随机游走过程的方差完全 相同。
类似随机游走（带或不带漂移项）这样的过程， 一旦用于回归分析，则可能导致误导性的结果， 幸运的是，只要做一些简单变换，就可以使它 们变成弱相关平稳的过程。