4第四节信号流图

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信号流图的概念
节点：节点表示变量。以小圆圈表示。
支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信 号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
x
y
G
xG y
上图中， 两者都具有关系: y(s)G(s)x(s)。支路对节点x来说
是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。
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第四节 控制系统的信号流图
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信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关 系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。
一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图：
N
R1
EG1
P
1 G
2
Q
1C
H
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i
j ,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
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梅逊公式的推导
1 L iL jL k 1 ( m d k l h e g ) m k d l h m lh
i
j ,k
如果把△中与第k条前向通 道有关的回路去掉后，剩下的部 分叫做第k条前向通道的余子式， 并记为△k。由图可得，从输入到 R 1 输出的前向通道和其增益以及响 应的余子式如下表所示
g
1h eV2f R
d k 1 V3 0
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梅逊公式的推导
于是可求得该方程组的系数行列式
1m 0 l g 1h e(1m)1(h)gkld(l1h)(1m)ke
d k 1 1mhmhgkldldlhkemke 1(mdlkehgk)l mhdlhmke
和
1m bRl 2 g fR e(1m)fRdebRdlfRgbR
C 2s
ui
ue
I1
I
u
I2
uo
图中，有有一三个个前回向路通；1 道；La P1 R R1 C 1C111sR1 2CR 212 sC 212sR2 C 11s
有两个互不接触回路； L bL cR 1 C 1 1 sR 2 C 1 2sR 1R 2 C 1 1 C 2s2
111
1
1
f
m
h
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
前向通道
前向通道增益
余子式
RV1 V3 V2 C R V2 C R V1 V2 C
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P1=bde P2=f P3=bg
△1=1 △2=1－m－ld △3=1
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梅逊公式的推导
前向通道
前向通道增益
Байду номын сангаас
余子式
RV1 V3 V2 C
P1=bde
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
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梅逊公式的推导
图中所示信号流图共含有五个单 独回路和三对互不接触回路（回
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
它们都是互相接触的。
1 G 2 H 2 G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
G4
R
EG1 G2
H1H1H2
G3 H2
C
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梅逊公式||例2-14
G4
C (s) R
求
：
R (s)
EG1
G2
H1
G3 H2
C
H1H2
前向通道有二，分别为: P1G1G2G3, P2 G3G4
回路有三，分别为： G 1 H 1 , G 3 H 2 , G 1 G 2 G 3 H 1 H 2
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
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梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
I(s) C 1s
-
1
1 uo(s)
R 2 I2(s) C 2 s
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如
下：
1
1
1
1
1
1
R1
1 C 1s a 1 bR 2
C 2s
ui ue
I1
I
u
I2
uo
1
1
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梅逊公式||例2-13
1
1
1
1
1
1
R1
1
C 1s a 1 bR 2
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信号流图的术语
[几个术语]：
输入节点(源点)：只有输出支路 的节点。如： R，N。
输出节点(阱点)：只有输入支路 的节点。如： C
N
R1
EG1
P
1 G
2
Q
1C
H
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P， Q 。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面 的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
△1=1
R V2 C
P2=f
△2=1－m－ld
R V1 V2 C
P3=bg
△3=1
传 R 2 递 函P 数1 的1 分P 子2 等2 于P 系3 数3 行列k式P k △ k ２ 除b 以R (sd f )。( 1 而 e m R恰d 2 ) 好 为b l g
故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为
(s)C(s) k Pkk
R(s)
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梅逊公式
二、梅逊公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到
输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k1
Pk
k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数
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梅逊公式||例2-15
[例2-15]数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2 1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
有九条前向通道，分别是：
P1G1G2G3G4 P2G1G2G7G4 P3G1G2G8G4
P4G5G2G3G4 P5G5G2G7G4 P6G5G2G8G4
有两个不接触回路，所以：
1 L a L b L c 1 G 1 H 1 G 3 H 2 G 1 G 2 G 3 H 1 H 2 G 1 G 3 H 1 H 2
11, 21G 1H 1
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变
的，可以试着求一下。
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梅逊公式注意事项
注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。 而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公 式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一 的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法 求其传递函数：
路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ） R1
所有单独回路增益之和为
L i m d lk ehgkl
i
两两互不接触回路增益乘积之和为
f
m
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
h
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
LjLk mkem hdlh
j,k
而△值恰好为
1 L iL jL k 1 ( m d k l h e g ) m k d l h m lh
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梅逊公式||例2-14
求 E ( s )：
R (s) G4
R
EG1 G2
H1H1H2
G3 H2
P1G 3H2G 3G 4H 1H2
不变。
C P11,11G3H（2 兰线表示）
P 2 G 3 G 4H 1H 2, 2 1
（红线表示）
注意：上面讲 不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
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信号流图的术语
回路(闭通路)：通路与任一节点 相交不多于一次，但起点和终点 为同一节点的通路称为回路。
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信号流图的性质
信号流图的性质
节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置， 每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数 和，而从同一节点流向个支路的信号均用该节点的变 量表示。
支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增 益而变换为另一信号。
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果 的因果关系。
d 0 1 [bdef(1md)lbg]R
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梅逊公式的推导
根据克莱姆法则得 C V 2 2 1 (m [d b k ldf ( e 1 h e m g ) d k )m llb ]d R h g lm h ke
于是传递函数为
(s ) C (s ) 2 b d f( 1 e m d ) b l g R (s ) R1 ( m d k l h e g) k m ld h l m hke
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
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信号流图的绘制
⒉ 按微分方程拉氏变换后的
代数方程所表示的变量间数
学关系绘制。如前例所对应
的代数方程为
R1
V1m1V lV 3bR C V 2 g1 V h2 V e3V fR
V3dV 1kV 2
按方程可绘制信号流图
f
m
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
h
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
C 2s
ui ue
I1
I
u
I2
uo
上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？
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梅逊公式||例2-14
[例2-14]：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 C(s) , E(s) R(s) R(s)
G4
R
E
-
G1
G2
+
H1
+ -
G3
C
H2
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号 流图不是唯一的
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信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
⒈ 根据结构图
例1 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
k
R(S) b
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m
d
V1
l
g V3 e
f
C(S)
V2
h
f
m
h
R1
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梅逊公式||例2-13
1
1
1
1
1
1
R1
1
C 1s a 1 bR 2
C 2s
ui ue
I1
I
u
I2
uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
1
1
1
1
1
R1
1 C 1s a 1 bR 2
R 1 C 1 s R 2 C 2 s R 2 C 1 s R 1 R 2 C 1 C 2 s2
i 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
总传输为：P 1 k 1 1 P k k R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 (R 1 C 1 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )s 1
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N
R1
EG1
P
1 G
2
Q
1C
H
互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互 不接触回路。
通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回 路增益。
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流图特征式；其计算公式为：
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梅逊公式
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔） 式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
g
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梅逊公式的推导
二、梅逊公式的推导
f
如前例已知信号流图如图所
m
h
示，所对应的代数方程为
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1m1V lV 3bR
V1 d Ⅴ e V2 1
C V 2 g1 V h2 V e3V fR
g
V3dV 1kV 2
以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程
1m 0 lV1 b