高中数学易错题解题模型大全
(完整版)高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-6,推荐文档
(III )210 arcs in -------30PBC 的重心 G( Zaja^h),6 6 3【练63】(2005高考淅江东)如图，在三棱锥P AB BC kPA ，点 O 、D 分别是 AC 、 OP 底面ABC .(I) 求证OD 底面PAB ; 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为 平面PBC 所成角的大小；(山) 【答案】方法一：(I) Q o 、D 分别为 AC 、又PA 平面PAB . OD (II) Q AB BC ，OA OC PC 的中点.OD//PA //平面PAB . OA OB OC, ABC 中,AB BC ,PC 的中点， (||) 当k 丄时，求直线PA与 又Q OP 平面 ABC PA PB PC . 取BC 中点E ,连结 PE ,则BC 平面POE . 作OF PE 于F,连结DF ,则OF 平面PBC ， ODF 是OD 与平面PBC 所成的角.又 OD // PAPA 与平面PBC 所成角的大小等于 ODF . 在 RtODF 中, sin ODF OD 普 PA 与平面PBC 所成的角为arcsM 30 (III )由II 知，OF 平面PBC , F 是O 在平面PBC 内的射影.Q D 是PC 的中点，若点F 是VPBC 的重心，贝U B 、F 、D 三点共线, 直线OB 在平面PBC 内的射影为直线 BD . QOB PC PC BD PB BC ，即 K 1. 反之，当K 1时，三棱锥O PBC 为正三棱锥， O 在平面PBC 内的射影为 PBC 的重心. 方法二： x Q OP 平面 ABC , OA OC, AB BC, OA OB,OA OP,OB OP.以O 为原点，射线 OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz (如图), C设 AB a,则 A (-^ a,0,0)，B(0,舟 a,0)，C( 2 a,0,0).设 OP h (I)1 QD 为 PC 的中点， OD = ( la,0,]h)，又 PA-^PA OD // PA OD //平面 PAB . 4' ' 22 则 P(0,0, h) (Ja,0,h)，OD =(II) Q K 1,即 PA 2 2 可求得平面PBC 的法向量n(仁 1, . 1), co sPA,n PAg n■. 210 .7PAgn|30设PA 与平面PBC 所成的角为，则 sin | cos PA,n |210 ------ J PA 与平面PBC 所成的角为30PA =(辽2辽a,2」h). 6 6 3OGQOG 平面PBC. uurOGuu uuuPB.又PB(0孚,h),uur uu 1 2 1 2OGgPB a2 h20.6 3(III)h 2a. PA :'―h 2 a,即k 1反之，当k 1时，三棱椎O PBC 为正三棱锥,2O 在平面PBC 内的射影为 PBC 的重心.【易错点64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。
高考数学易错易误易忘题分类汇总及解析(61页)
f
1
x
1
1 x 1 2 1
2x 1 x
再求
y f 1 x 1 的反函数得 g x 2 x 。正确答案：B
1 x
【知识点分类点拔】函数 y f 1 x 1 与函数 y f x 1 并不互为反函数，他只是表示
f 1 x 中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 y f x 1 则
答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位
例 4、已知函数 f x 1 2x ，函数 y g x的图像与 y f 1 x 1 的图象关于直线
1 x
y x 对称，则 y g x的解析式为（）
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
4
4
28
8
28
+ 因此当 x=-1 时 x2+y2 有最小值 1, 当 x=- 时，x2+y2 有最大值 。故 x2+y2 的取值范围是[1,
3
3
3
28
]
3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 x 2 2 y2 1对 x、y 的限制，
4
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1， 2 y 2 。此外本题还可通过三角换元
x 的取值范围为（）A、 ( a2 1, ) 2a
(a, )
B、 (, a2 1) 2a
a2 1
C、 (
, a)
D、
2a
答案：A （ a 1 时， f x单调增函数，所以 f 1 x 1 f f 1 x f 1 x f 1 a2 1 .） 2a
【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合学生在考试中常见的29个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设a??x|x2?8x?15?0?，b??x|ax?1?0?，b若ab?，谋实数a共同组成的子集的子集存有多少个？【易错点分析】此题由条件ab?b易知b?a，由于空集就是任何非空集合的子集，但在解题中极容易忽略这种b?b知b特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：子集a化简得a??3,5?，由a?a故（ⅰ）当b??时，即为方程ax?1?0难解，此时a=0符合已知条件（ⅱ）当b??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?11或。
综上满足条件的a组成的集合为35?11?3?0,,?，故其子集共有2?8个。
?35?【知识点归类点拔】（1）在应用条件a∪b＝ｂ?a∩b＝ａ?ａ集φ的情况优先进行讨论．（2）在答疑子集问题时，必须特别注意子集的性质“确定性、无序性、互异性”特别就是互异性对子集元素的管制。
有时须要展开检验解的结果就是满足用户子集中元素的这个性质，此外，解题过程中要特别注意子集语言（数学语言）和自然语言之间的转变例如：ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合ａ是空ax,y?|x2?y2?4?，bx,y?|?x?3y?4?22?r2?，其中r?0,若ab??谋r的值域范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合a表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合b表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
ＡＢ时，【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、()22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是。
答案：1a=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
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高考数学易错易混易忘题【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y xy =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=I 求r 的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r 的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件()22214y x ++=对x 、y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x ≤-1，22y -≤≤。
此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【练2】若动点（x,y ）在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（ ） （A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩ （B ）()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（C ）244b + （D ）2b【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
立体几何(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)
专题09立体几何易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度减为原来的一半.(1)判断平面四边形OABC 的形状并求周长；(2)若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积变形1．如图，梯形1111D C B A 111111112,2,3A B C D A B C D ==∥变形2．如图所示，正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．OABC 与正方形O A B C ''''的各点分别一对应，如变形3．（1）如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；（2）在(1)中若2A C ''＝，//B D y '''轴且1．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，(1)画出它的原图形，(2)若2,A C A B C ''=''' 的面积是32，求原图形中AC 边上的高和原图形的面积.2．画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图A B C D ''''，并求出直观图中三角形B C D ⅱ的面积.3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A DBC ''''∥．(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．4．如图所示，正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ''=.(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC(1)求原平面图形ABCD (2)将原平面图形ABCD 6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知∥B C ''．(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形(2)将原平面图形ABCD 绕BC 7．如图，梯形O A B C ''''是水平放置的四边形3O B B C '=''='．(1)在下面给定的表格中画出四边形9．如图所示，O A B C ''''为四边形(1)画出四边形OABC 的平面图并标出边长，并求平面四边形(2)若该四边形OABC 以OA 10．如图，矩形O A B C ''''是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形1O C ''=.(1)画出平面四边形OABC 的平面图，并计算其面积；(2)若该四边形OABC 以OA 为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积11．在ABC 中，角A B C ，，所对边分别为(1)证明：ABC 为等边三角形；(2)若（1）中的等边ABC 边长为注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线⊄面》②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（⊂）》⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《⎩⎨⎧⊥⊥⊥⊥∥∥面、线、、》易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。
圆锥曲线(4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(原卷版
A、B
分别在双曲线的左、右两支上， AF FB 0 ， 3BF FC ，且点 C 在双曲线上，则双曲
线的离心率为（ ）
A． 10 3
B． 10 2
C． 5
2
D． 2 3 3
变式
1．已知
F1、F2
分别是双曲线
C:
x a
2 2
y2 b2
(a
0, b
0) 的左、右焦点，P
为双曲线右
支上一点，若 F1PF2 60 ， SF1PF2 3ac ，则双曲线的离心率为（
）
A． 1+ 5 2
B． 3 1 2
C． 3
D．2
变式
2．已知双曲线 E :
y2 a2
x2 8
1(a
0) 的上焦点为 F1 ，点
P
在双曲线的下支上，若
A(4, 0) ，且 PF1 | PA | 的最小值为 7，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A．2 或 697 25
B．3 或 697 25
C．2
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b 0)
与过定点
(m ，0)
的直线
l
相交于
AB
两点，设为
x ty m
，如此消去
x
，保留
y
，构造的方程如下：
x2 a2
y2 b2
1
，
x ty m
(a2 t2b2 ) y2 2b2tmy b2m2 a2b2 0
（2）抛物线 y2 2 px( p 0) 与直线 x ty m 相交于 A、B 两点，设 A(x1 ，y1) ，
，则双曲线 C
的离心率为（
）
高考数学易错题型全归纳
高考数学易错题型全归纳
高考数学易错题型有很多，这里列出了一些常见的类型：
1. 集合问题：这类问题通常涉及对集合的理解，如交集、并集、补集等。
学生容易混淆这些概念，导致错误。
2. 函数性质理解：对于函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，学生可能理解不透彻，导致在判断或应用时出错。
3. 等差数列和等比数列的性质理解：等差数列和等比数列是高中数学的重点内容，但学生容易在理解其性质和应用上出错。
4. 三角函数的性质：三角函数具有多种性质，如周期性、单调性、奇偶性等，学生可能对其中某些性质掌握不够，导致解题出错。
5. 立体几何中的空间想象：立体几何需要学生有一定的空间想象能力，对于空间中点、线、面的关系能够准确判断。
但学生往往由于缺乏这种能力而出错。
6. 解析几何中的问题：解析几何涉及直线、圆、椭圆等图形，学生可能在理解这些图形的性质和应用上出错。
7. 概率和统计问题：概率和统计是高考数学的必考内容，学生需要掌握各种概率和统计的基本概念和方法，一旦混淆就可能导致错误。
8. 不等式的性质和应用：不等式是高中数学的重要内容，但学生可能对不等式的性质和应用掌握不够，导致解题出错。
9. 数列的通项和求和公式：数列的通项和求和公式是高考数学的常见考点，学生需要准确理解和掌握这些公式，否则在解题时容易出现错误。
以上只是高考数学中可能出现的一些易错题型，实际上还有很多其他的问题，学生在备考时应全面复习，熟练掌握各种知识点，以应对各种题型。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析(3)
【练30】已知函数()f x =R 试分别确定满足条件的a 的取值范围。
答案：（1）1a ≥或3a ≤-（2）31a -≤≤或1a =-【易错点31】不等式的证明方法。
学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。
例31、已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425.【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a +a1和 b +b 1不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。
证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法)设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t bb a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立. 证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法)∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π).425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααααααααααααα【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【练31】数列{}nx 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>=N n x a x x a xn n n ,21,011（1） 证明：对于2n≥总有n x a ≥,（2）证明：对于2n ≥，总有1n n x x +≥.【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析第一部分高考函数考点易错题【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1．设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知,求的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。
此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3. 是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
143个高中高频数学解题模型
143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。
2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。
二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。
三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。
解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。
2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。
解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。
四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。
2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。
五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。
2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。
六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。
易错模型01 全等模型(八大易错分析+变式训练+易错题通关)(原卷版)
易错模型01全等模型易错模型一：角平分线模型角平分线的性质与判定1、角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB3、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图步骤：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC ，射线OC 即为所求.4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。
角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系：（1）角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。
（2）角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。
要从题设、条件与结论的关系上理解它们的区别和联系。
点在角平分线上−−−−→←−−−−性质定理判定定理点到这个叫的两边的距离相等。
（3）角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。
性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。
判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。
【易错点】发现几何关键字：角平分线，学会用角平分线的性质添加辅助线——过角平分线上的点向两边作垂线；例1．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线BD 、CE 相交于点O ，BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ，若已知ABC 周长为20，7BC =，:4:3AE AD =，则AE 长为（）A ．187B ．247C ．267D ．4例2．如图，在锐角ABC 中，8AC =，24ABC S = ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是．变式1．如图，在ABC 中，AM 平分BAC ∠，点D 是BC 的中点，且MD BC ⊥，连接BM CM 、，BAC α∠=，则BMD ∠的度数为．用含α的式子表示）变式2．如图ABC 中，60BAC ∠=︒，分别作ABC 的两个内角平分线BE 和CD ，BE 、CD 相交于点P ，连接AP ，有以下结论：①120BPC ∠=︒；②AP 平分BAC ∠；③PD PE =；④BD CE BC +=，其中正确的结论有．变式3．已知90AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线．三角板的直角顶点P 在射线OC 上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与OA ，OB 交于M ，N ，求证：PM PN =；(2)在图2中，三角板的一条直角边与OB 交于点N ，另一条直角边与OA 的反向延长线交于点M ，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．1．如图，BD 为ABC 的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足．下列结论：①ABD EBC ≌；②180BCE BCD ∠+∠=︒；③AD AE EC ==；④2BA BC BF +=．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =36°，则∠CAP =．3．如图，在五边形ABCDE 中，AB AE =，CA 平分BCD ∠，12CAD BAE ∠=∠．(1)求证：CD BC DE =+；(2)若75B ∠=︒，求E ∠的度数．4．如图，在ABC 中，=60B ∠︒，ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE CD AC +=．易错模型二：垂直模型【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．【常见模型】【易错点】善于发现两个有关联的直角，利用直角三角形的两个锐角互余的特征来做；例3．如图，直线l 上有三个正方形，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A ．13B ．16C ．36D ．55例4．如图，ABC 为等腰直角三角形AC BC =，若()30A -,，()0,2C ，则点B 的坐标为．变式1．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过点B ，C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若2BD =，4CE =，则DE 的长为．变式2．如图，OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，则经过点A 的反比例函数表达式为．变式3．综合与实践：如图1，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，且垂足分别为E ，D ．(1)猜想线段AD 、DE 、BE 三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C 的直线绕点C 旋转到ABC 的内部，其他条件不变，线段AD 、DE 、BE 三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；1．如下图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ．DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是（）A ．6cmB ．1.5cmC ．3cmD ．4.5cm2．如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(4,0)，点B 在y 轴上，若反比例函数(0)k y k x=≠的图象过点C ，则k 的值为．3．如图，在平面直角坐标系中，()2,0A -，()6,0C ，B 为y 轴正半轴上一点，D 在第四象限，且BC CD ⊥，CA 平分BCD ∠，180ABC ADC ∠+∠=︒．(1)直接写出B 点坐标；(2)求证：AB AD =；(3)求四边形ABCD 的面积．4．已知，射线CA BA ⊥于点A ，CA BA =，等腰直角DEF 的顶点D ，E 分别在射线CA 和BA 上，90FDE ∠=︒，FD ED =，过点D 作DG FC ⊥于点G ，延长GD 交射线BA 于点H ．(1)如图，点D ，E 在线段CA ，BA 上．①若30DEA ∠=︒，110DHE ∠=︒，求GFD ∠的度数；②证明：CD HE =；(2)若36CA CD ==，1AH =，请直接．．写出线段BE 的长．易错模型三：半角模型【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．【常见模型】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．【易错点】当出现45°角和60°角时，要联系到半角模型；例5．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE =︒∠，若3BD =，4CE =，15ADE S = ，则ABD △与AEC △的面积之和为（）A ．36B ．21C ．30D ．22例6．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，且∠EDF ＝45°，则DE 的长为．变式1如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将 ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到 ABG ，若BE ＝2，则EF 的长为．变式2．在ABC 中，90,ACB CA CB ∠=︒=，点,E F 在AB 边上，45ECF ∠=︒．若10,15AE EF ==，则BF 的长为．变式3．（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把 ADE 绕点A顺时针旋转90°，得到 ABG．易证 AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边 ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在 ABC中，AB＝AC62BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰 ADE的腰，请直接写出线段BD的长．1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（）A．①②③④B．②③C．②③④D．③④2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC D¢，连接D¢E．(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D¢E；(2)当DE＝D¢E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D¢EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）4．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，90∠=︒，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．AEF(1)求证：AE EF=；(2)连接AC ，则CF AC的值为__________；(3)连接AF ，设AF 与CD 交于点H ，连接EH ，探究BE EH DH ，，之间的关系．易错模型四：一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD ⊥DE ，AB ⊥AC ，CE ⊥DE ，那么一定有∠B ＝∠CAE ．【常见模型】例7．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．例8．小李用7块长为8cm ，宽为3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(),90AB BC ABC =∠=︒点B 在DE 上，点A 和C 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm ．变式1．如图，在四边形ABEF 中，4AB =，6EF =，点C 是BE 上一点，连接AC 、CF ，若AC CF =，B E ACF ∠=∠=∠，则BE 的长为．变式2．如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =．变式3．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数443y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，求点C 的坐标．1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．922．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为．3．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =,直线MN 经过边AC ．将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度，过点A 作AD MN ⊥于点D ，过点B 作BE MN ⊥于点E ．(1)当ABC 绕点C 旋转到图2的位置时，①求证：ADC CEB △≌△；②求证：DE AD BE =+；(2)当ABC 绕点C 旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．4．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，DE、AD、BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）．易错模型五：手拉手模型【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得ABD ACE∆≅∆．【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）例9．如图，在 ABC 中，AB =AC BAC =120︒，D 为线段BC 边上的动点，以BD 为边向上作等边 BED ，连接CE 、AD ，则AD +CE 的最小值为（）A ．B ．CD ．例10．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正ABC 和正CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD BE =；②PQ AE ∥；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）变式1．如图，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB CE CD ==，，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边DE 上，连接BD ，有下列结论：①AE BD =；②DAB BCD ∠=∠；③ED DB ⊥；④2222AE AD AC =+；其中正确的结论有（填序号）变式2．已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，若AE =4cm ，CF =3cm ，且OE ⊥OF ，连接EF ，则EF 的长为．变式3．如图，大小不同的两块三角板ABC 和DEC 直角顶点重合在点C 处，AC BC =，DC EC =，连接AE 、BD ，点A 恰好在线段BD 上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)猜想AE 与BD 的位置关系，并说明理由．1．如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，有以下5个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，DAC △，ECB 均是等边三角形，点A ，C ，B 在同一条直线上，且AE ，BD 分别与CD ，CE 交于点M ，N ，连结MN ．则下列结论：（1）ACE DCB ≌；（2）CMN 为等边三角形；（3）OC 平分AOB ∠；（4）MN BC ∥；（5）CO 平分DCE ∠．其中正确的有（）3．如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC BD 、相交于O ，设E 、F 分别是AD AB 、上的点，若90EOF ∠=︒，4DO =，求四边形AEOF 的面积．4．如图，已知ABC 是等边三角形，过点A 作DE BC ∥（DE BC <），且DA EA =，连接BD 、CE ．(1)求证：四边形DBCE 是等腰梯形；(2)点F 在腰CE 上，连接BF 交AC 于点G ，若60FBD ∠=︒，求证：12CG DE =．易错模型六：旋转模型【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．【常见模型】例11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．当AD ＝BF 时，∠BEF 的度数是（）A ．45°B ．60°C ．62.5°D ．67.5°例12．如图，等边ABC 中，115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为．变式1．如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =4，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ，则线段OF 长的最小值为变式2．如图，在四边形ABCD 中，,90,AB BC ABC CDA BE AD ︒=∠=∠=⊥于,10ABCD E S =四边形，则BE 的长为变式3．如图1，等边ABC 中，DE BA ∥分别交BC 、AC 于点D 、E ．(1)求证：CDE 是等边三角形；(2)将CDE 绕点C 顺时针旋转θ（0360θ<<︒︒），设直线AE 与直线BD 相交于点F ．①如图2，当0180θ︒<<︒时，判断AFB ∠的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；②若7AB =，3CD =，当B ，D ，E 三点共线时，求BD 的长．1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，如果AP =3cm ，那么PP ′的长为（）A ．3B ．42C ．33D ．322．如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=度．3．等腰Rt ABC △中，=AB AC ，=90BAC ︒∠．(1)如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且=45DAE ∠︒，将ABE 绕点A 逆时针旋转90︒后，得到AFC ，连接DF ．①求证：AED AFD ≌ ．②当3BE =，7CE =时，求DE 的长；(2)如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE ，当=3BD ，=9BC 时，则DE 的长__________．（直接给出答案）．4．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC BC ，为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE ，且CA CD =．CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ．(1)如图1，可得ACE ≌△___________；若60ACD ∠=︒，则AFB ∠=___________．(2)如图2，若ACD a ∠=，则AFB ∠=___________．（用含a 的式子表示）(3)设ACD a ∠=，将图2中的ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD AE ，中的一条线段上），如图3．试探究AFB ∠与a 的数量关系，并予以说明．易错模型七：倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
易错模型02 相似模型(十大易错分析+变式训练+易错题通关)(解析版)
易错模型02相似模型易错模型一：A 字型相似模型【模型解读】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DE BC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DE AB AC BC ==．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ∠=∠，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2：如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CD AC AB BC==．【易错点】善于寻找A 字型的相似；【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P 为ABCD Y 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，PEF !，PDC △，PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2．若3S =，则12S S +的值是（）A ．24B ．12C ．6D ．10【答案】B 【分析】过P 作PQ 平行于DC ，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出PDC △与PCQ △面积相等，PQB △与ABP 面积相等，再由EF 为BPC △的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC ，得出PEF !与PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出PBC 的面积，而PBC 面积＝CPQ 面积+PBQ 面积，即为PDC △面积+PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【详解】解：过P 作PQ DC ∥交BC 于点Q ，由DC AB ∥，得到PQ AB ∥，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴PDC CQP ≌，ABP QPB ≌，∴PDC CQP S S = ，ABP QPB S S = ，∵EF 为PCB 的中位线，【答案】2【分析】过D 作DH 其次利用CDG CBD ∽案．∵在Rt ABC 中，AC BC =∴226AB AC BC =+=又∵2BD AD =，∴22AD =，3 DF【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．1．直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为A ．253B ．203C ．254D ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ．∵∠EBC +∠BCE =90°，∠BCE2．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是．∵△ABC的BC边上的高是∴AM=3，∵四边形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD3．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC ＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为52，求AP的长．∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，4．如图，ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA △相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析【分析】（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解；（2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证．【详解】解：（1）D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，BD CD ∴=，AE CE =，//GE BC ，AGE ADC ∴∽△△，易错模型二：8字型相似模型【模型解读】①如图1，AB ∥CD ⇔△AOB ∽△COD ⇔AB OA OB CD OC OD ==；②如图2，∠A ＝∠D ⇔△AOB ∽△DOC ⇔AB OA OB CD OD OC ==．③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB ∽△CJD ⇔AB JA JB CD JC JD==．【答案】12105【分析】如图，过F 作FI BE EI IC acm CE ===，11102332GE AG a ⎛==+ ⎝FI BC，四边形ABCD ⊥∴，//FI CD∴ ，BIF BCD，=2BF DF2BI BF∴==，【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是()A．1.5B．1.8C．2D．2.4BE=，则GE=．2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若8【答案】2【分析】延长CF 、BA 交于M ，根据已知条件得出EF ＝AF ，CE ＝12DC ，根据平行四边形的性质得出DC ∥AB ，DC ＝AB ，根据全等三角形的判定得出△CEF ≌△MAF ，根据全等三角形的性质得出CE ＝AM ，求出BM ＝3CE ，根据相似三角形的判定得出△CEG ∽△MBG ，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：延长CF 、BA 交于M ，∵E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，∴EF ＝AF ，CE ＝12DC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∴CE ＝12AB ，∠ECF ＝∠M ，在△CEF 和△MAF 中EFC AMF ECF M EF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEF ≌△MAF （AAS ），∴CE ＝AM ，∵CE ＝12AB ，∴BM ＝3CE ，∵DC ∥AB ，∴△CEG ∽△MBG ，3．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．=；（1）求证：BC CF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．（2）连接AC和BE相交于点为G，若GEC4．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，12AC =，过点E 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ．（1）当MN BC ⊥时，MN 的长为________，AEM △∽________；（2）已知2EC AE =．①若9MN =，求此时AM 的长；②当E ，F 为AC 的三等分点，点P 在正方形的边上时，是否存在满足9+=PE EF 的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．易错模型三：AX型相似模型【模型解读】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【例1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（）A．12B．13C．23D．34【答案】C【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ，∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ，∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD +DG ＝3k ，∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ，∴2233BE AB k EG CG k ===，故选：C ．练习1、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．【答案】（1）证明见解析；（2）①2BM =；②证明见解析．【详解】（1）∵ABD △是等边三角形∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒∴60ABC ∠=︒∵点E 是线段AB 的中点∴12CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE=∴60ABD CEB ∠=∠=︒∴//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴//BC FD∴四边形BCFD 为平行四边形；（2）①如图，连接CD ，交AB 于点M∵//BC FD∴BCM ADM~ ∴BM BC AM AD=∵12BC CE AB ==，AB AD =∴12BM BC AM AD ==∵6AB BM AM =+=∴123BM AB ==；②如图，作MN AC ⊥，垂足为N∵90ACB ∠=︒，306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MN AC⊥∴////BC MN DA∴AMN ABC ，C CMN DA~ ∴MN AN BC AC =，MN CN DA CA =∴1MN MN AN CN AN CN AC BC DA AC CA AC AC ++=+===∴111BC AD MN+=．练习2、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，在直线AD上截取2AF FD=，连接EF，EF交AC于G，则AGAC=___________．【答案】25；27．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=12 AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+12AE=52AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD ，∴△EAF ∽△HDF ，∴HD ：AE=DF ：AF=1：2，即HD=12AE ，∵AB//CD ，∴AG ：CG=AE ：CH∵AB=CD=2AE ，∴CH=CD-DH=2AE-12AE=32AE ，∴AG ：CG=2：3，∴AG ：（AG+CG ）=2：（2+3），即AG ：AC=2：5．故答案为：２５或２７．练习3、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1．（1）请你探究：AC CD AB DB =，1111AC C D AB DB =是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CD AB DB =一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt △ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝8，BC ＝323，DE ∥AC 交AB 于点E ，试求DF FA的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）58【详解】解：（1） 等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，,,AC AB CD DB ∴==1.AC CD AB DB∴==因为B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1，∴∠CAB ＝60°，∠B 1＝∠CAD ＝∠BAD ＝30°，∴AD ＝B 1D ，1111111,,222C D AD B D AC AB ===∴11111,2AC C D AB DB ==综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC 为任意三角形，过B 点作BE ∥AC 交AD 的延长线于E 点，线段AD为其内角角平分线∴∠E ＝∠CAD ＝∠BAD ，△EBD ∽△ACD∴BE ＝AB ，AC CD BE DB=又∵BE ＝AB ．∴AC CD AB DB=，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，323BC =，40,3AB ∴=∵AD 为△ABC 的内角角平分线，∴83,4053CD AC DB AB ===∵DE ∥AC ，3,5CD AE DB BE ∴==5,8BE AB ∴=∵DE ∥AC ，∴△DEF ∽△ACF ，,BDE BCA ∆∆∽∴,DF DE FA AC =,DE BE AC BA=∴58DF DE BE FA AC AB ===1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，2AE ED =，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为（）A ．23B ．12C ．13D ．34【答案】A2．如图，在矩形ABCD中，,E F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N．已知4AB=，BC=，则MN的长为．6【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线形.3．ABC 中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ⊥于点H ．（1）求证：ADE CDB ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．4．如图，E 为平行四边形ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE ．交AC 于O ，交AD 于F ．求证：2BO OE OF = ．易错模型四：母子型相似模型【模型解读】如图为斜“A”字型基本图形．当AED B ∠=∠时，ABC AED △△∽，则有AE AD DE AB AC BC==．AE AC AD AB ⋅=⋅．如图所示，当E 点与C 点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当ACD B ∠=∠时，ABC ACD △△∽，则有AC AD CD AB AC BC==．【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等边OAB 中，6AB =，点D 是以O 为圆心，半径为3的圆上一动点，连接BD ，C 为BD 上一点，2DC CB =，连接AC ，则线段AC 的最大值与最小值之积为（）A ．27B ．26C ．25D ．24【答案】A 【分析】过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ；先证明BCM BDO ∽△△，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到1CM =；再根据图形得到AM CM AC AM CM -≤≤+，即当且仅当A ，M ，C 三点共线时，AC 取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【详解】解：如图：过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ，OAB 是等边三角形，3OH BH ∴==，HM 22AH AB BH ∴=-=2BM = ，6OB =，2163BM OB ∴==．2DC CB = ，13BC BD ∴=，BM BC ∴=，【答案】2【分析】由∠ACD =∠ABC 、(1)如图①，若点D 是ABC 的边AB 的中点，22AC =，4AB =，试判断点并说明理由；(2)如图②，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，若点D 是ABC 【答案】(1)D 为ABC 的理想点,理由见解析∆的“理想点”， 是ABCD∴∠=∠或BCDACD B∠=∠=∠时，当ACD B，∠+∠=︒90ACD BCDD 是ABC ∆的“理想点”，DBC A ∴∠=∠，又C C ∠=∠，1．如图，在等边OAB 中，6AB =，点D 是以O 为圆心，半径为3的圆上一动点，连接BD ，C 为BD 上一点，2DC CB =，连接AC ，则线段AC 的最大值与最小值之积为（）A ．27B ．26C ．25D ．24【答案】A 【分析】过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ；先证明BCM BDO ∽△△，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到1CM =；再根据图形得到AM CM AC AM CM -≤≤+，即当且仅当A ，M ，C 三点共线时，AC 取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【详解】解：如图：过A 作AH OB ⊥于H ，在BO 上截取2BM =，连结CM ，OD ，OAB 是等边三角形，6AB =，AH OB ⊥，3OH BH ∴==，1HM BH BM =-=，2233AH AB BH ∴=-=，2227AM AH HM =+=．2BM = ，6OB =，2163BM OB ∴==．2DC CB = ，13BC BD ∴=，BM BC OB BD ∴=，//CM OD ∴，BCM BDO ∴∽△△，13CM BM OD OB ∴==，∆中，AB=AC=4，B C=D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D 2．如图，在ABC∆面积的最大值为顺时针旋转90︒至ED，连接CE，则CDE∵AB=AC，3．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见详解；（2）75183-．【分析】（1）证明△EAB ∽△ECD ，根据相似三角形的性质即可得结论；（2）过点C 作CG ⊥AD 于点D ，过点A 作AH ⊥BC 于点H.在Rt △CDG 中利用已知条件求得DG 、OG 的长，再根据△CDE 的面积为6，可求得DE 的长，在△ABH 中求得BH 、AH 的长，利用（1）△EAB ∽△ECD ，可求得EH 的长，由S 四边形ABCD ＝S △AEH －S △ECD －S △ABH ，即可求得四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CDE.又∵∠AEB ＝∠CED ，∴△EAB ∽△ECD ，∴EB EA ED EC=，∴ED EA EC EB = ．（2）过点C 作CG ⊥AD 于点D ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵CD ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴DG ＝3，CG ＝4.∵S △CED ＝6，∴ED ＝3，∴EG ＝6.∵AB ＝12，∠ABC ＝120°，则∠BAH ＝30°，∴BH ＝6，AH ＝63，4．已知正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，点F在边CD上，且CF BE=，AE和BF交于点G．（1）如图，求证：①AE BF=②AE BF⊥（2）连接CG并延长交AB于点H，①若点E为BC的中点（如图），求BH的长．②若点E在BC边上滑动（不与点,B C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴GM=12AB=BM=2，∵AB∥CD，∴CF BMCG GM==1，∴CF=CG，∵CF=BE，∴CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=25-2，即当CG取得最小值时，BE的长为25-2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．易错模型五：三角形内接矩形相似模型【模型解读】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
一文搞定反比例函数7个模型,13类题型
反比例函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。
掌握反比例函数的基本概念和解题方法对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过七个模型和十三类题型，帮助读者全面了解并掌握反比例函数的相关知识。
一、反比例函数的基本概念1. 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的二元一次函数，其函数关系可以表示为y=k/x，其中k为比例系数。
当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
反比例函数的图像呈现出一条经过原点的曲线，并且不过原点，是一对对称的点。
2. 反比例函数的特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的“反比例”关系，即x与y成反比。
在实际问题中，反比例函数常常用来描述一种随着某个变量的增大而导致另一个变量的减小，或者随着某个变量的减小而导致另一个变量的增大的情况。
二、反比例函数的模型分析1. 比例系数为正数的反比例函数模型当比例系数k大于0时，反比例函数的图像为一条经过第一象限和第三象限的曲线，随着x的增大，y的值减小；随着x的减小，y的值增大。
2. 比例系数为负数的反比例函数模型当比例系数k小于0时，反比例函数的图像为一条经过第二象限和第四象限的曲线，随着x的增大，y的值增大；随着x的减小，y的值减小。
3. 比例系数为零的反比例函数模型当比例系数k等于0时，函数变为y=0，即y始终为0，这时反比例函数的图像为一条水平直线。
4. 比例系数为整数的反比例函数模型当比例系数k为整数时，反比例函数的图像呈现出一种更为规律的变化规律，可以通过整数的变化来探究x和y之间的反比关系。
5. 比例系数为分数的反比例函数模型当比例系数k为分数时，反比例函数的图像表现出更为复杂的变化规律，需要通过分数的变化来揭示x和y之间的反比关系。
6. 反比例函数的图像变换反比例函数的图像可以通过平移、缩放、翻转等变换来形成新的图像，这些变换对于理解反比例函数的性质和特点非常重要。
7. 反比例函数的应用举例反比例函数在日常生活中有很多应用，比如收费问题、速度与时间问题、密度与体积问题等等。
易错模型 最值模型(八大易错分析+变式训练+易错题通关)中考数学
易错模型03 最值模型易错模型一：将军饮马模型模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
模型2. 求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：m ABmmABm（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A 、B 位于直线m ,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.2）已知点A 位于直线m ,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA +PQ +QA 周长最短.【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·广东广州·校考一模）如图，在AB C 中，ABC，AB =BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）nnnmnnmnA B C ．2D 例2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上，且1BE =，F 为对角线BD 上一动点，连接CF ，EF ，则CF EF +的最小值为．练习1．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()30A -,，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．D 练习2．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是O 上的点．且OD BC ∥，AC 分别与BD 、OD 相交于点E ，F ．若O 的半径为5，80DOA ∠=︒，点P 是线段AB 上任意一点，则PC PD +的最小值是 ．练习3．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E 是线段BC 上的一个动点，4AB DC BC +==，且135B C ∠=∠= ，则AE DE +的最小值是___．1．已知30AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一定点P ，点M ，N 分别是OA ，OB 上的动点，若PMN 的周长最小值为3，则OP 的长为（ ）A ．1.5B ．3C ．D ．2．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4=AD ，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且90BEC ∠=︒，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD PE +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．10D ．2-3．如图，正方形ABCD 中22.5NCD ∠=︒，点P 是CN 上一点，若8CD =，CM =PM PD +的最小值是．4．如图，等边ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AB 边上一点，若=2AE ，求EM BM +的最小值．易错模型二：将军饮马模型（遛马造桥）模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。