高一数学必修3《概率》公式总结以及例题
高一数学必修3概率
概率必然事件： 不可能事件： 随机事件：练：判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不肯能事件，哪些是随机事件？（1）掷一枚骰子两次，所得点数之和大于12.（2）如果b a >，那么0>-b a ；（3）掷一枚硬币，出现正面向上；（4）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；（5）某电话机在1分钟内接到2次呼叫；（6）没有水分，种子能发芽.1，概率概念：思考：（1）抛掷一枚质量均匀的硬币20次，字面向上的频率和概率是试验前知道还是试验后知道？（2）如何用频率来研究事件发生的概率？（3）如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则事件A 的概率一定是nm ？ 随机事件的频率：随机事件的概率：概率与频率的区别与联系：例1：抛掷10次硬币，是否一定是5次“正面朝上”和5次“5次反面朝上”?例2：有四个阉，其中两个分别代表两件奖品，四个人按排序依次抓阉来决定这两件奖品的归属.先抓的人中奖率一定大吗？例3：一次抽奖活动中，中奖的概率为0.3，解释该概率的含义；例4．为了增强学生对世园会的了解和认识，某校决定在全校3000名学生中随机抽取10名学生举行一次考核，小明认为被选取的可能性为3001，不可能抽到他，所以他就不做备考，他的想法对吗？为什么？ 2，对立、互斥事件：对立事件： 互斥事件：问题1：互斥事件与对立事件有何异同？问题2：对于任意两个事件A ，B ，P(A ⋃B)=P(B)+P(B)是否一定成立？例1．某公司部门有男职工4名，女职工3名，由于工作需要，需从中任选3名职工出国洽谈业务，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件：（1）至少1名女职工与全是男职工；（2）至少1名女职工与至少1名男职工；（3）恰有1名女职工与恰有1名男职工；（4）至多1名女职工与至多1名男职工。
例2．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张。
高一数学必修3概率公式总结以及例题人教课标版(优秀教案)
高一数学必修概率公式总结以及例题事件：随机事件（），确立性事件 :必定事件 ()和不行能事件 ()随机事件的概率 (统计定义 )：一般的，假如随机事件 A 在n次实验中发生了m 次，当实验的次数 n 很大时，我们称事件发生的概率为P A m n说明：① 一个随机事件发生于拥有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大批的重复事件时某个事件能否发生，拥有频次的稳固性，而频次的稳固性又是必定的，所以有时性和必定性对峙一致② 不行能事件和确立事件能够当作随机事件的极端状况③ 随机事件的频次是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它拥有必定的稳固性，总在某个常数邻近摇动，且跟着试验次数的不停增加，这个摇动的幅度愈来愈小，而这个靠近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋向，而频次是详细的统计的结果⑤ 概率是频次的稳固值，频次是概率的近似值概率一定知足三个基本要求：① 对随意的一个随机事件 A ，有0P A1② 用和分别表示必定事件和不可能事件 , 则有 P1, P0 ③假如事件A和B互斥,则有 :P A B P A P B古典概率（）：① 全部基本领件有限个②每个基本领件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型假如一次试验的等可能的基本领件的个数为个n ，则每一个基本领件发生的概率都是1，假如某个事件 A 包括了此中的m 个等可能的基本领件，则事件 A 发生的概率为nmP An几何概型（）：一般地，一个几何地区 D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个地区 d 内”为事件 A ，则事件 A 发生的概率为d的侧度（这里要求 D 的侧度不为，此中侧度的意义由 D 确立，一般地，线P AD的侧度段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）几何概型的基本特色：① 基本领件等可性② 基本领件无穷多说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的地区都是指的开地区，即不含界限，在地区内随机地取点，指的是该点落在地区 D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能D 性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状没关。
新课程新教材高中数学选择性必修3：全概率公式
P(Ak )P( B | Ak )
P(A )P( B | A )
i
; k 1,2,..., n,
i
i1
证明: 由条件概率的公式:
P(Ak B)
P(Ak | B)
P( B)
对分子用乘法公式
对分母用全概
P(Ak )P(B| Ak ) 率公式
.
P(A )P( B | A )
＝0.85×1＋0.15×0.25＝0.887 5.
五、引申与评价
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
由贝叶斯公式得
PAPB|A 0.85×1
P(A|B)＝
＝
≈0.958.
PB
0.887 5
21
课
堂
小
结
1.设事件
2.写概率
3.代公式
条件概率 P(B|A)＝
PAB
1
2
2
n
n
P(B)=_______________.
n
P(A )P(B | A )
= _______________.
i 1
i
A1
i
B
A3
…
A2
An
A4
10
二、探读与思考
n
对全概率公式的理解
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1
某一事件 B 的发生可能有各种的原因，如果 B 是由原因 A i (i＝
摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为0.6，那么
第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
B BA1 BA2
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学概率公式大全
高中数学概率公式大全一、常用概率公式及应用1、概率定义：概率是指某件事情发生的可能性，以及该事件发生后，另一个事件发生的可能性，都是以概率来衡量的。
2、贝叶斯公式：P（A|B）=P（A）* P（B|A）/P（B），p（A|B）表示的是在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率，P（B|A）表示在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。
3、全概率公式：P（A）= ∑P（A|B）*P（B），全概率公式是通过对一个事件进行分类求其总概率，表示事件A发生的概率，P（A|B）表示事件在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。
4、乘法公式：P（A∩B）=P（A）*P（B|A），乘法定理是用来描述概率的一种方式，也叫做“独立性原理”，通常使用来计算两个不相关事件A和B发生的概率，P（A∩B）表示A和B同时发生的概率，而P （B|A）表示在A发生的情况下B发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率。
5、条件概率公式：P（A|B）=P（A∩B）/P（B），P（A|B）表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率，也可以理解为在B中发生A的条件概率。
P（A∩B）指的是两个事件A和B同时发生的概率，而P （B）表示的是事件B发生的概率。
二、重要定理1、条件概率定理：P（A）= ∑P（A|B）*P（B）。
概率世界中，条件概率定理是一个不可或缺的定理，它捕捉了一个核心思想，就是通过对某个条件下求出另一个条件的概率，从而可以计算事件A发生的概率。
2、独立性定理：P（A∩B）=P（A）*P（B），当两个事件没有任何关系时，也就是说，事件A和事件B相互独立，那么他们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。
3、期望定理：期望就是某种随机变量X的取值的数学期望，通常以＜X＞表示，它是服从该随机变量X分布的概率密度函数或概率分布函数的函数，也可以是某个给定概率发生的概率分布期望。
高中数学必修3(人教A版)第三章概率3.2知识点总结含同步练习及答案
3 18
)
B．
4 18
C．
5 18
D．
6 18
答案： C 解析： 正方形四个顶点可以确定
6 条直线，甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件．4 组邻边和对角线中两条直线相互垂直 10 5 的情况有 5 种，包括 10 个基本事件，根据古典概型公式得到结果 p = ． = 36 18
4. 有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k ， k + 1 ，其中 k = 0, 1, 2, ⋯ , 19 ．从这 20 张卡片中任取一 张，记事件"该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9, 10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为
所以取出的 2 个球一个是白球，另一个是红球的概率为
P ( B) =
某高级中学共有学生 3000 名，各年级男、女生人数如下表：
8 . 15
已知在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率是 0.18 ． （1）求 x 的值； （2）现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 120 名学生，问应在高三年级抽取学生多少名？ （3）在（2）的前提下，已知 y ⩾ 345 ，z ⩾ 345，求高三年级男生比女生多的概率． 解：（1）因为 （2）高三年级总人数为
y = kx + b 不经过第三象限的概率为 (
A．
2 9
B．
1 3
)
C．
4 9Байду номын сангаас
D．
5 9
答案： A 解析： 若直线
y = kx + b 不经过第三象限，则有 { k = −1, 和 { k = −1, b = 1, b = 2.
则满足条件的概率为
高一数学必修3知识点总结及典型例题解析(公式)新选.
新课标必修3概率部分知识点总结◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )❖ 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值♦ 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和⌧ 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P = ⍓ 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为()的侧度的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
高中数学概率知识点公式大全
高中数学概率知识点公式大全概率统计是一种非常重要的数学课程，它不仅可以让学生更好地理解和掌握概率知识，而且还可以解决实际生活中的问题。
在本文中，我们将介绍高中数学概率知识点公式大全，并且为您讲解概率知识点的运用。
首先，让我们来看看概率知识点里最基本的公式：概率论，也就是常见的中心极限定理，其公式如下：$$P(X leq x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} int_{-infty}^{x} e^{frac{-(t-mu)^2}{2 sigma^2}} dt$$在这个公式中，$X$表示概率变量，$x$表示随机变量的值，$mu$表示平均水平，$sigma$表示标准差。
其次，让我们来看看高中数学计算概率的公式，它是最常用的计算概率的公式，它可以用来计算某事件发生的概率，公式如下：$$P(A) = frac{m}{n}$$在这个公式中，$P(A)$表示事件A发生的概率，$m$表示满足事件A的样本总数，$n$表示样本总数。
紧接着，让我们来看看最常用的概率分布公式，它可以用来描述一系列随机变量的取值。
概率分布公式有很多，但是最常用的是正态分布，它可以用下面的公式表示：$$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{frac{-(x-mu)^2}{2 sigma^2}}$$在这个公式中，$x$表示随机变量值，$mu$表示平均水平，$sigma$表示标准差。
接下来，让我们来看看最重要的概率知识点，也就是假设检验的公式，它可以用来检验两个或多个样本的均值是否有显著的差异，公式如下：$$t = frac{bar{x_1} - bar{x_2}}{sqrt{frac{s_1^2}{n_1} + frac{s_2^2}{n_2}}}$$在这个公式中，$bar{x_1}$和$bar{x_2}$分别表示两个样本的均值，$s_1$和$s_2$分别表示两个样本的标准差，$n_1$和$n_2$分别表示两个样本的样本量。
高中数学 第三章 概率 3.2.2 概率的一般加法公式素材 新人教B版必修3
3.2.2 概率的一般加法公式
加法公式
定理1 若事件A 、B 互不相容，则 ()()().P A B P A P B +=+
解释：如右图，A+B ：12m m +个等概基本事件
1212()()().m m m m P A B P A P B n n n
++==+=+ 推论1 若有限个事件12,,,n A A A L 互不相容，则
1212()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++L L
推论2 若事件 12,,,n A A A L 互不相容，且12n A A A U +++=L ，则
12()()()1n P A P A P A +++=L
推论3 对立事件的概率满足 ()1()P A P A =-
例1 袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球. 从中每次任取一个,并放回,连取两次,求
(1) 取得的两球中无红球的概率.
(2) 取得的两球中无白球的概率.
(3) 取得的两球中无红球或无白球的概率.
解： 设A =“无红球”，B =“无白球”，则 (1) 22749()981
P A == (2) 22636()981
P B == (3) A B + =“无红球或无白球”
()()()P A B P A P B +==+ 定理2 设A 、B
解释：看右图，AB 基本事件个数为k ，A B +基本事件个数为12m m k +-。
因此()P A B +=1212m m k m m k n n n n +-=+-()()()P A P B P AB =+- ?。
高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式
高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式高中数学公式大全：概率与条件概率的计算公式数学中的概率和条件概率是高中数学中较为重要的概念，在各类数学问题中都有广泛的应用。
为了更好地理解和应用概率与条件概率，掌握相关的计算公式是必不可少的。
本文将为您全面介绍高中数学中概率与条件概率的计算公式，帮助您更好地学习和运用这一重要的数学知识。
一、概率的计算公式1.基本概率公式：在随机试验中，若S是随机试验的样本空间，E是S的某个事件，P(E)表示事件E发生的概率，则基本概率公式如下：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)表示事件E的样本点个数，n(S)表示样本空间的样本点个数。
2.加法公式：若事件A与事件B互不相容（即A与B不同时发生），则加法公式如下：P(AUB) = P(A) + P(B)3.减法公式：若事件A发生，则事件B的非发生记作A-B，减法公式如下： P(A-B) = P(A) - P(A∩B)4.乘法公式：若事件A与事件B相继发生，则乘法公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5.全概率公式：对于一事件B，若B能由有限个互不相容的事件A1、A2、...、An组成，并且B=A1∪A2∪...∪An，则全概率公式如下： P(B) = P(A1)×P(B|A1) + P(A2)×P(B|A2) + ... + P(An)×P(B|An)二、条件概率的计算公式1.条件概率公式：在随机试验中，设A，B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率用条件概率表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)2.独立事件的条件概率：若事件A与事件B相互独立，则条件概率公式如下：P(B|A) = P(B)3.乘法公式（条件概率的推广）：若事件A、B同时发生的概率用条件概率表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)4.贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，根据条件概率的定义，可以推导出贝叶斯定理：P(A|B) = P(A) × P(B|A) / [P(A) × P(B|A) + P(A') × P(B|A')]三、总结通过学习和掌握上述概率与条件概率的计算公式，我们能够更好地理解和应用概率与条件概率的相关概念。
高一数学必修三概率复习总结
知识点：
1、 概率的意义 2、事件的关系和运算 3、概率的性质 4、古典概型 5、几何概型
概率的意义
概率是一个确定的数，与每次试验无 关。是用来度量事件发生可能性大小 的量。
注意：频率与概率联系与区别
频率本身是随机的，在试验前不能确 定。做同样次数的重复试验得到事件 的频率会不同。
频率是概率的近似值，概率是频率的 稳定值。
例5.甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等 一个小时后即离去设二人在这段 时间内的各时刻到达是等可能的 ，且二人互不影响。求二人能会 面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到
达的时刻，于是 0 X 5, 0 Y 5.
即 点 M 落在图中
的阴影部分。所有的 点构成一个正方形， 即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻 到达都是等可能的， 所以落在正方形内各 点是等可能的。
几何概型
1）几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2）在几何概型中,事件A的概率 的计算公式如下:
A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
1、甲乙两人下棋，两人下成和棋
的概率是1/2，乙胜的概率是1/3，
解: 我们用a、b分别记八个队中的两个强队.
令C=“a队与b队分在同一组”，
则 C =“a队与b队不在同一组”.
a队与b队不在同一组，只能分成两种情况：
a队在第一组，b队在第二组，此时有C
3 6
·C
3 3
＝C
3 6
种分法；a队在第二组，b队在第一组，此
高一数学必修三经典例题
概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件对立事件（complementary events ）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件A 的对立事件 记为：A独立事件的概率：()()()B P A P A =AB P , B , 则为相互独立的事件事件若，若()()()()n 21n 2121A ...A A ...A A A P , , ... , , P P P A A A n =则为两两独立的事件古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等。
满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P = 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为()的侧度的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？练习1 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？练习2 盒子中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品（2）抽到的2次中，正品、次品各一次例题2 甲乙两人一起去游“2010上海世博会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【解析】试题分析：甲、乙最后一小时他们所在的景点共有6×6=36中情况甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况,故选D.考点：古典概型及其概率计算公式．例题3 设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数，则斜边的长小于率为∠为直角）的练习如图所示，一只蚂蚁在一直角边长为1 cm的等腰直角三角形ABC（B边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1 cm的概率为．练习甲乙两人约定在6时到7时之间在某一处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时方可离去。
高中数学必修3(人教A版)第三章概率3.3知识点总结含同步练习及答案
Q
A．
1 4 1 2
B．
1 3
C．
D．
解：C
2 3
1 |AB||CD| 1 S △ABE 点 Q 取自 △ABE 内部的概率为 = 2 = ． 2 |AB||CD| S 矩形ABCD
设不等式组 { 0 ⩽ x ⩽ 2 表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原
0⩽y⩽2 点的距离大于 2 的概率是（ π A． 4 π C． 6
解：（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有 6 × 6 = 36(种)，且它们都是等可 能的，因此属于古典概型． （2）游戏中指针指向 N 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可 以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型． 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q， 则点 Q 取自 △ABE 内部的概率等于（ ）
2 ． 3
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x 的二次方程两根都是实数"为事件 A ．由题意，得 Δ = 4 (a2 + b 2 ) − 4 ⩾ 0,
即
a2 + b 2 ⩾ 1.
因为点 (a, b) 的集合是边长为 2 的正方形以及内部的平面区域，所以事件 A 对应的是在正方形 内的圆 a2 + b 2 = 1 外的平面区域，如图所示． 故所求的概率为
P (A ) =
构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
.
例题： 判断下列试验是古典概型还是几何概型． （1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“ 4 点”的概率； （2）如图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定指南针指向 N 区域时，甲获 胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
高中数学概率知识点及例题自己整理
1．事件的关系：⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ⊆； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ⊆⊆,，则事件A 与B 相等，记作；⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ⋃（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ⋂（或AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ⋂为不可能事件（φ=⋂B A ），则事件A 与互斥； ⑹对立事件：B A ⋂为不可能事件，B A ⋃为必然事件，则A 与B 互为对立事件。
2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P()(A)(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；3. 随机变量的分布列 ⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：≥01,2,…； p 12+…=1; ②离散型随机变量：期望：＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + + … ;方差：＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+； ③两点分布：X 0 1 期望：＝p ；方差：＝p(1).P 1－p p①超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P nNk n MN k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。
称分布列X 0 1 … mP nN n MN M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n Nm n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。
高一数学必修3《概率》公式总结以及例题
§3. 概率事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P = 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为()的侧度的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
高中数学必修3(北师版)第三章3.1 随机事件的概率(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
）
3 ． 5
某地气象局预报说，明天本市降雨的概率是 80% ，则下列解释： ①明天本地有 80% 的区域降雨，20% 的区域不降雨； ②明天本地有 80% 的时间降雨，20% 的时间不降雨； ③明天本地降雨的机率是 80% ． 其中正确的是______．（填序号） 解：③ ①②不正确，因为 80% 的概率是说降雨的概率，而不是说 80% 的区域降雨或 80% 的时间降雨．
nA 为事件 A 出现 n3 Biblioteka C．频率为 6A．概率为
B．频率为
D．概率接近于频率 解：B C 选项明显错误，应该是频数为 6 ．选项 D 错误，应该是“频率接近于概率”．试验的次数确定是 10 次，因此仅凭 10 次试验不能确定事件 A 发生的概率大小，由频率的定义知事件 A 发生的频率 为
3 5
不可能事件 在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件（impossible event），简称不可能事件．
确定事件 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件． 随机事件 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件（random event），简称随机事件． 基本事件与基本事件空间 通常用大写英文字母 A 、B 、C 、⋯ 来表示随机事件，随机事件可以简称为事件．在一次试验中，所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述， 这样的事件称为基本事件 （elementary event） ，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母 Ω 表示． 例题： 下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①如果 x，y 均为实数，那么 x ⋅ y = y ⋅ x ； ②三张奖券只有一张中奖，任取一张奖券能中奖； ③掷骰子出现 7 点； ④某高速公路收费站 3 分钟内至少经过 8 辆车； ⑤声音在真空中传播； ⑥地球绕太阳旋转． 解：①⑥是必然事件，③⑤是不可能事件，②④是随机事件． 由实数的运算性质知①恒成立，是必然事件；⑥是自然常识，是必然事件，所以①⑥为必然事件；掷骰子不可能出现 7 点，声音不能在真空中传播，所以③⑤为不可能事件；三张奖券只有一张中奖，任 取一张可能中奖也可能不中奖，收费站 3 分钟内经过的车辆还可能少于8 辆，因此②④为随机事件． 从 a ，b ，c ，d 中任取两个字母，求该试验的基本事件空间． 解：含 a 的有 ab 、ac 、ad；不含 a ，含 b 的有 bc，bd ；不含 a 、b ，含 c 的有 cd ． 所以该试验的基本事件空间 Ω = {ab, ac, ad, bc, bd, cd}． 从 A 、B 、C 、D 、E、F 这 6 名学生中选出 4 人参加数学竞赛． （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件总数； （3）写出事件 “A 没被选中”所包含的基本事件． 解：（1）这个试验的基本事件空间是
高中数学必修三第三章概率知识要点
一、随机事件的概率1.事件与随机事件在一定条件下必然发生的事件叫；在一定条件下不可能发生的事件叫；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫。
2.事件的频率与概率⑴若在n次试验中事件A发生了m次, 则称为事件A的频率。
记做。
二、⑵若随着试验次数n的增大, 事件A的频率总接近某个常数p, 在它的附近作微小摆动, 则称为事件A的概率, 记做, 显然。
三、 3.概率从数量上反映了一个事件的大小。
四、概率的基本性质1.事件的关系与运算:（1）互斥事件：若为, 则称事件与事件互斥。
（2）对立事件：若为, 为, 则称事件与事件互为对立事件。
2.概率的几个基本性质:（1）概率的取值范围是: 。
（2）的概率为1；的概率为0。
五、（3）如果事件与事件互斥, 那么。
六、（4）如果事件与事件对立, 那么；；。
七、古典概型1.古典概型的特征:（1）：一次试验中, 基本事件只有有限个；八、（2）: 每个基本事件发生的可能性都相等。
九、2、求古典概率的常用方法: 列举法与列表法。
十、几何概型1.几何概型的特征:（1）几何概型的基本事件有无穷多个；（2）每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
2.求几何概率用到的一个方法: 线性规划。
练习题：1.甲盒中有红, 黑, 白三种颜色的球各3个, 乙盒子中有黄, 黑, 白, 三种颜色的球各2个, 从两个盒子中各取1个球, 求取出的两个球是不同颜色的概率.2.设关于的一元二次方程, 若是从区间任取的一个数, 是从区间任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.3.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为.将的值分别作为三条线段的长, 求这三条线段能围成等腰三角形的概率.1 / 1。
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几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当 时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足 事件 的区域的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为 【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域和
区域，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。 蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为
评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另 外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：
§3. 概率
u 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件(
certain event )和不可能事件( impossible event )
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 在次实验中发
生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律
【分析】点随机的落在线段上，故线段为区域 ，当点位于如图的内时，故线段 即为区域 解: 在上截取 ，于是 答：的概率为 【变式训练】如图，在等腰直角三角形中，在内部任意作一条射线，与 线段交于点，求的概率？ 错解：在上截取 ，在内部任意作一条射线，满足条件的看作是在线段
上任取一点，则有 【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题 目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取 得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的 取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本事件的等 可能性. 正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能 的，在上截取 ，则 ，故满足条件的概率为 评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域和，
段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ，如中国的祖冲之父子 俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.
会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另 一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？ 解：设“两人能会面”为事件，以 x和y分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充 要条件为： 在平面上建立如图所示的 坐标系，则的所有可能的结果是边长为60的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示， 由几何概型知， 答：两人能会面的概率 . ◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上 任取一点，求的概率？
（） ， 向平面内任意的投掷一枚长为的针，求针与平行线相交的概率？
解：以表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线 的交角，如图易知 ，有这两式可以确定平面上的一个矩形，这是为了 针与平行线相交，其充要条件为，有这个不等式表示的区域为图中的 阴影部分，由等可能性知
2a
如果 ，而关于的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 如果 投针 N 次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为 ，于是， 注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手
任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？ 解法1：（互斥事件）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥
事件为， 意义为“选取3个球都是白球” 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 解法2：（古典概型）由Байду номын сангаас意知，所有的基本事件有种情况，设事件
为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数 有， 所以 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 解法3：（独立事件概率）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则 事件的情况如下：
略解： 变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长
都是 , 现有一直径等于的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有 公共点的概率？ 【分析】
因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解：如图，正三角形内有一正三角形 ，其中
， 当圆心落在三角形 之外时，硬币与网格有公共点
求出其测度，再利用几何概型来求概率. 例3. 利用随机模拟法计算曲线所围成的图形的面积.
【分析】在直角坐标系中作出长方形（ 所围成的部分，用随机模拟法结 合几何概型可以得到它的面积的近似值）
解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上
的随机数， （2）进行平移变换：，其中分 别随机点的横坐标和纵坐标 （3）假如作次试验，数处落在阴影部分的点数， 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由 得出
（1） （2） 则 答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 ，少1人抽到选择题的概率 为. 变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个 黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球 略解: 变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一 个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？ 略解: 例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在 该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及 距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域 内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放 急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方 形为区域 ，事件“发放急救物品无效”为 ，距离水池10米范围为区域 ， 即为图中的阴影部分， 则有
答：略 颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入 另外一个网格，分析是同样的
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚 硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不 计，求硬币完全落在正方形内的概率？
对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则 称两个事件为对立事件 ，事件的对立事件 记为：
独立事件的概率：， 若
颜老师说明：① 若可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关 来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事 件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多 事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥 事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是 空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一 定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件 的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件是互斥事件，则有 ⑦ 一般 地，如果 两两互斥，则有 ⑧ ⑨ 在本教材中 指的是 中至少发 生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处 事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的 是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试 验教科书-苏教版）的例题
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有种情况，设事件 为“选
取2个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有 所以 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件有三种可能的情况：1红1白；1 白1红；2红，对应的概率分别为：， 则有 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方 法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中
例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选 的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可 以根据不同的思路有不同的解法 解法1：（互斥事件）设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥
事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球”
随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内”为事件， 则事件发生的概率为 （ 这里要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的 侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图 像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区 域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何 一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成 正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
红白白 1红2白 白 白 红
白红白 红红白 2红1白 红 白 红 白 红红 所以 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中 任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率： （1）第1次抽到的是次品 （2）抽到的2次中，正品、次品各一次 解：设事件为“第1次抽到的是次品”， 事件为“抽到的2次中，正品、次 品各一次” 则 ，（或者） 答：第1次抽到的是次品的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次 的概率为 变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人 抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概 率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？ 【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙 抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人 抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥 事件的概率来 解：设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件为“至少1人抽到选 择题”，则 为“两人都抽到填空题”