离散系统的数学模型与分析
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H 2 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
u( z) H1 ( z ) 1 H1 ( z ) H 2 ( z )
2.3 状态空间描述
2.3.1 离散系统的状态方程
X (k 1) FX (k ) GU (k ) Y (k ) CX (k ) DU (k )
例2： 用z变换法求解差分方程
c(k＋2) 3c(k＋1)＋2c(k ) 0 c(0) 0, c(1) 1
2.2
脉冲传递函数
2.2.1 脉冲传递函数的定义
输出量的z变换 c(z) 零初始条件下，G(z)= = 输入量的z变换 R(z) G( z) b0 b1 z 1 1 a1 z
m
bmr (k )
c(k n) aic(k n i) b j r (k m j )
i 1 j 0
2.1.2 差分方程的解法
(1)迭代法 — 由初始条件逐步求出 c(k) k=1,2,3… 例1: 已知系统的差分方程为：
k k 0 c(k ) c(k 1) r (k ) 2r (k 2), r (k ) c(0) 2 0 k 0
0.1 0.4 ( z 0.5) ( z 0.8)
y ( z ) x1 ( z ) x2 ( z ) u ( z )
0 x1 (k ) 0.1 x1 (k 1) 0.5 u (k ) x (k 1) 0 0.8 x2 (k ) 0.4 2 x1 (k ) y (k ) 1 1 u (k ) x2 (k )
串联法
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 G( z ) 2 1 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
1
0.5 x ( z ) u( z) 1 ( z 0.5) x ( z ) z 0.56 x ( z ) 2 1 ( z 0.8)
n1 z n1
可控标准型、可观测标准型、对角型 例：
Y ( z) z 2 0.8z 0.12 G( z ) 2 U ( z) z 1.3z 0.4
写出状态方程。
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 1 2 解： G( z) 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
0.5( z 0.56) ( z 0.5)( z 0.8)
y ( z ) x2 ( z ) u ( z )
令
0 x1 (k ) 0.5 x1 (k 1) 0.5 x (k 1) 0.06 0.8 x (k ) 0.5 u (k ) 2 2 x1 (k ) y (k ) 0 1 u (k ) x2 (k )
X (k ) x1 (k ) x2 (k ) U (k ) u1 (k ) u2 (k ) xn (k )
T T
连续系统的状态空间描述
X AX Bu y CX Du
n维状态向量 m维控制向量
um ( k )
Y (k ) y1 (k ) y2 (k )
试求出输出。
特点： 简单，适合计算机计算 无法得出通式
（2）Z变换法
z变换 z反变换 差分方程 代数方程 c(k )
左移定理 Z [c(k 1)] zc( z ) zc(0) Z [c(k 2)] z 2 c( z ) z 2 c(0) zc(1) 右移定理 Z [c(k－1)] z－1c( z ) Z [c(k 2)] z－2 c( z )
y p (k )
T
p维输出向量
2.3.2 由脉冲传递函数建立状态方程
Y ( z) bn z n bn1 z n1 b1 z b0 G( z ) n U ( z ) z an1 z n1 a1 z a0
1 z 0 bn n z an1 z n1 a1 z a0
1
bm z m an z
n
nm
2.2.2 差分方程与脉冲传递函数
Z变换
差分方程
Z反变换
传递函数
2.2.3
系统的脉冲传递函数
e( z )
H1 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
H 2 ( z)
e( z )
H1 ( z)
H 2 ( z)
H1 ( z)
并联法
Fra Baidu bibliotek
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 G( z ) 2 1 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
1
令
0.1 x ( z ) u( z) 1 ( z 0.5) x ( z ) 0.4 u ( z ) 2 1 ( z 0.8)
离散系统的数学模型与分析
主要内容 离散系统的数学模型 （差分方程，脉冲传递函数） 离散系统的分析方法 （时域法，根轨迹法，频域法）
2.1
Z变换与差分方程
2.1.1 差分方程的一般形式
后向差分方程：
c(k ) a1c(k 1)
n i 1
— 描述初始条件为零的系统
bmr (k m)
m
anc(k n) b0r (k ) b1r (k 1)
j 0
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
前向差分方程：
c(k n) a1c(k n 1)
n
— 描述有初始条件的系统
anc(k ) b0r (k m) b1r (k m 1)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
u( z) H1 ( z ) 1 H1 ( z ) H 2 ( z )
2.3 状态空间描述
2.3.1 离散系统的状态方程
X (k 1) FX (k ) GU (k ) Y (k ) CX (k ) DU (k )
例2： 用z变换法求解差分方程
c(k＋2) 3c(k＋1)＋2c(k ) 0 c(0) 0, c(1) 1
2.2
脉冲传递函数
2.2.1 脉冲传递函数的定义
输出量的z变换 c(z) 零初始条件下，G(z)= = 输入量的z变换 R(z) G( z) b0 b1 z 1 1 a1 z
m
bmr (k )
c(k n) aic(k n i) b j r (k m j )
i 1 j 0
2.1.2 差分方程的解法
(1)迭代法 — 由初始条件逐步求出 c(k) k=1,2,3… 例1: 已知系统的差分方程为：
k k 0 c(k ) c(k 1) r (k ) 2r (k 2), r (k ) c(0) 2 0 k 0
0.1 0.4 ( z 0.5) ( z 0.8)
y ( z ) x1 ( z ) x2 ( z ) u ( z )
0 x1 (k ) 0.1 x1 (k 1) 0.5 u (k ) x (k 1) 0 0.8 x2 (k ) 0.4 2 x1 (k ) y (k ) 1 1 u (k ) x2 (k )
串联法
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 G( z ) 2 1 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
1
0.5 x ( z ) u( z) 1 ( z 0.5) x ( z ) z 0.56 x ( z ) 2 1 ( z 0.8)
n1 z n1
可控标准型、可观测标准型、对角型 例：
Y ( z) z 2 0.8z 0.12 G( z ) 2 U ( z) z 1.3z 0.4
写出状态方程。
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 1 2 解： G( z) 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
0.5( z 0.56) ( z 0.5)( z 0.8)
y ( z ) x2 ( z ) u ( z )
令
0 x1 (k ) 0.5 x1 (k 1) 0.5 x (k 1) 0.06 0.8 x (k ) 0.5 u (k ) 2 2 x1 (k ) y (k ) 0 1 u (k ) x2 (k )
X (k ) x1 (k ) x2 (k ) U (k ) u1 (k ) u2 (k ) xn (k )
T T
连续系统的状态空间描述
X AX Bu y CX Du
n维状态向量 m维控制向量
um ( k )
Y (k ) y1 (k ) y2 (k )
试求出输出。
特点： 简单，适合计算机计算 无法得出通式
（2）Z变换法
z变换 z反变换 差分方程 代数方程 c(k )
左移定理 Z [c(k 1)] zc( z ) zc(0) Z [c(k 2)] z 2 c( z ) z 2 c(0) zc(1) 右移定理 Z [c(k－1)] z－1c( z ) Z [c(k 2)] z－2 c( z )
y p (k )
T
p维输出向量
2.3.2 由脉冲传递函数建立状态方程
Y ( z) bn z n bn1 z n1 b1 z b0 G( z ) n U ( z ) z an1 z n1 a1 z a0
1 z 0 bn n z an1 z n1 a1 z a0
1
bm z m an z
n
nm
2.2.2 差分方程与脉冲传递函数
Z变换
差分方程
Z反变换
传递函数
2.2.3
系统的脉冲传递函数
e( z )
H1 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
H 2 ( z)
e( z )
H1 ( z)
H 2 ( z)
H1 ( z)
并联法
Fra Baidu bibliotek
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 G( z ) 2 1 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
1
令
0.1 x ( z ) u( z) 1 ( z 0.5) x ( z ) 0.4 u ( z ) 2 1 ( z 0.8)
离散系统的数学模型与分析
主要内容 离散系统的数学模型 （差分方程，脉冲传递函数） 离散系统的分析方法 （时域法，根轨迹法，频域法）
2.1
Z变换与差分方程
2.1.1 差分方程的一般形式
后向差分方程：
c(k ) a1c(k 1)
n i 1
— 描述初始条件为零的系统
bmr (k m)
m
anc(k n) b0r (k ) b1r (k 1)
j 0
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
前向差分方程：
c(k n) a1c(k n 1)
n
— 描述有初始条件的系统
anc(k ) b0r (k m) b1r (k m 1)