高三数学一轮复习 7-7数学归纳法课件 北师大版
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第5节 数学归纳法
+…+
+
3×5
(2-1)(2+1)
(2+1)(2+3)
+1
=
2+1 2
+
+1
2+3
+1
=
2+1
(+2)(2+1)
·
2(2+3)
=
=
(+1)
(+1)2
+
2(2+1)
(2+1)(2+3)
(+1)[(+1)+1]
,
2[2(+1)+1]
即当 n=k+1,时等式也成立.
由 f(3)=70 得 9a+3b+c=70,③
联立①②③,解得
(+1)
a=3,b=11,c=10.∴f(n)=
(3n2+11n+10)(n∈N+).
12
证明:当 n=1 时,显然等式成立;假设当 n=k(k∈N+)时,等式成立,
即
(+1)
(+1)(+2)(3+5)
2
f(k)= 12 (3k +11k+10)=
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
考点三
归纳—猜想—证明
1
例3有一个关于正整数n的恒等式1×22+2×32+…+n(n+1)2= 12 n(n+1)(?),
其中问号处只能看出它是关于n的二次多项式,具体的系数看不清楚.请你
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：7.3 归纳与类比 .pdf
(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的
倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的. ( × )
(5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是
an=n(n∈N+). ( × ) (6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. (
×)
知识梳理 考点自诊
-6-
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( C )
A.在数列{an}中,a1=1, 的通项公式
(n≥2),由此归纳数列{an}
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质
C.两直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线与
第三条直线形成的同旁内角,则∠A+∠B=180°
知识梳理 考点自诊
-4-
-5-
知识梳理 考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正
确. ( × ) (2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理. ( × )
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对
考点4
思考形的归纳有几种?
-15-
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得1.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某 些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般 性命题(猜想).
2.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)与数字有关的等式的推理:观察数字的变化特点,找出等式左 右两侧的规律及符号可解. (2)与式子有关的归纳推理:
解析:由题干图中的数据可知,每行除首末两数外,其他数等于其 上一行两肩上的数字的乘积.
高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 f n 1 1 1
1 则f(1)为( n N ， 2 3 5n 1 1 A 1 B 4 1 1 1 1 C 1 D 1 4 2 3 4 【解析】选D. f 1 1 1 1 1 . 2 3 4
(3n 2＋ ＋ 11n 10)
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即 122＋232＋＋k k＋ 2 ＝ k k 1 3k 2＋ ＋ ， 1 11k 10
12
则当n＝k+1时，
2k 1 2k 2 k 1
=(k+1)(k+2)„(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
3
a4，猜想an的表达式，其结果是. 【解析】由 a1＝1 且Sn=n(2n-1)an得， 2＝ 1 ，a 3＝ 1 ，a 4＝ 1 ， a
)
3．用数学归纳法证明：＋ 1 1＋ ＋ 1
2 3
1 n (n∈N+且n>1) n 2 1
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1
高三数学一轮复习 7-7数学归纳法 北师大版
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第六章 数列
(2)由此猜想 an＝n(2n－1)． 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设 n＝k 时，结论正确，即 ak＝k(2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，有aakk＋ ＋11＋ －aakk－ ＋11＝k
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第六章 数列
知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命 题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设 n＝k(k≥1) 时，命题成立的前提下，推出
n＝k＋1 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
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第六章 数列
②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整 除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除．
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第六章 数列
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第六章 数列
[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N*时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝31，左边＝右边．∴等式成立．
2017届一轮复习北师大版 数学归纳法 课件
1 1 1 1 1 1 证明： 法一： ＋ ＋„＋S ＝ 2＋ 2＋„＋ 2 S1 S2 1 2 n n
1 1 1 1 1 1 > ＋ ＋„＋ ＝ 1－2 ＋ 2－3 1×2 2×3 nn＋1 1 1 1 n ＋„＋n－n＋1 ＝ 1 － ＝ . n＋ 1 n＋ 1
1 1 1 1 k 则当 n＝ k＋ 1 时， ＋ ＋ „ ＋ S ＋ > ＋ S1 S2 Sk＋1 k＋1 k
演练冲关
k＋1 1 k 1 1 ， 又 ＋ － ＝ 1 － ＋ 2 2 k ＋ 1 k ＋ 1 k ＋ 1 k ＋ 2 k ＋ 1 1 (2)求数列a 的前 n 项 1 1 1 k 1 n ＝ － 2－1＋ 2＝ k＋2 k＋2 k＋1 k＋2k＋12 1 1 k＋1 和 Sn ，并证明： ＋ S1 S2 >0， 1 n 1 1 1 1 k＋1 ＋„＋S > . ∴ ＋ ＋„＋S ＋ > ， n n＋ 1 S1 S 2 Sk＋1 k＋2 k ∴原不等式成立．
{an}各项均为正 数， 且满足 an＋1 ＝an－a2 n.
演练冲关
求证：对一切 n≥ 2 ， 都 有 1 an≤ . n＋ 2
2
4
等式成立， 假 设 当 n ＝ k(k≥2) 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 1 ak≤ ， k＋2
第七节
数学归纳法
抓主干 知识回顾
研考向 考点研究
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考点二
应用数学归纳法证明不等式注意的两个问题
典题悟法
(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他 办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立， 推 证 n＝k＋1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采 用分析法、 综合法、 求差(求商)比较法、 放缩法等证明．
高三一轮复习6.7 数学归纳法
)
【解析】 当 n＝1 时，左边＝1＋2＋22，故选 C.
3．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(n＋n) n3n＋1 * ＝ ( n ∈ N )的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n 2 ＝k时的等式左边的差等于________．
答案
解析
3k＋2
n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k
答案 B
)
B．8 D．10
1 1－ n 1 1 1 2 127 解析 1＋ ＋ ＋„＋ n－1＝ > 2 4 1 64 2 1－ 2 整理得2n>128，解得n>7 ∴初始值至少应取8.
2.用数学归纳法证明 1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n 2－1(n∈N*)
＋ ＋
的过程中，在验证 n＝1 时，左端计算所得的式子应为( A．1 C．1＋2＋22 B．1＋2 D．1＋2＋21 6×8
＋„＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2] k 1 ＝ ＋ 4k＋1 4k＋1k＋2 kk＋2＋1 k＋12 ＝ ＝ 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋1 ＝ ， 4[k＋1＋1]
即n＝k＋1时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
5 1 1 1 1 > ＋( ＋ ＋ － ) 6 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 5 1 1 5 > ＋(3× － )＝ 6 3k＋3 k＋1 6 ∴当n＝k＋1时不等式亦成立． ∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
探究2
由n＝k到n＝k＋1时，要弄清命题的变化，
应用放缩技巧． 思考题2 1 (2009· 陕西理)已知数列{xn}满足x1＝ ，xn 2
这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一 步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0 开始，即 假设 n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错了．
高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 7.6 数学归纳法
§7.6 数学归纳法数学归纳法证明某些与正整数n 有关的命题，它的基本步骤是： (1)验证：当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n 0开始的正整数n 都成立．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立． ( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明． ( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 凸n 边形的边最少有三条，故第一个值n 0取3. 3．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案 答案 C解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N ＋，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.答案12n ＋1－12n ＋2解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n)＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k＋1时，左边应增加的项数是________． 答案 2k解析 当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项.题型一 用数学归纳法证明等式例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N ＋)．思维启迪 证明时注意等式两边从n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化． 证明 ①当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②可知，对所有n ∈N ＋等式成立． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N ＋，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13， 右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，证明：a n <1n ＋1.思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a 的范围，进而求a ； (2)利用数学归纳法证明．(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a 26.又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈[14，12]时，f (x )≥18，所以⎩⎨⎧f (12)≥18，f (14)≥18，即⎩⎨⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈(0，13]时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1k ＋1)．于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N ＋，不等式a n <1n ＋1成立．思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n －1)>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52. ∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)[1＋12(k ＋1)－1]>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N ＋.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．思维启迪 通过计算a 1，a 2，a 3寻求规律猜想{a n }的通项公式，然后用数学归纳法证明． (1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N ＋，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．思维升华 (1)猜想{a n }的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算a 1，a 2，a 3发现规律(必要时可多计算几项)；②证明a k ＋1时，a k ＋1的求解过程与a 2、a 3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系．(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解 ∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1，∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增． 于是由a 1≥1得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1， 进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时结论成立，即a k ≥2k －1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ≥2n －1， 即1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.归纳—猜想—证明问题典例：(12分)设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．思维启迪 通过计算a 2，a 3，a 4观察规律猜想a n ，然后用数学归纳法证明． 规范解答(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a . [2分] 猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N ＋)．[4分] (2)证明 ①易知，n ＝1时，猜想正确．[6分] ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a ，[8分]则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．[11分] 由①②知，对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝a(n －1)＋a .[12分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n 0(n 0∈N ＋)成立．第三步：假设n ＝k (k ≥n 0)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意n ≥n 0，n ∈N ＋成立．温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 失误与防范1．数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1；2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明2n >2n ＋1，n 的第一个取值应是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ∵n ＝1时，21＝1,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C3．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1B ．2k ＋3C ．2(2k ＋1)D ．2(2k ＋3)答案 C解析 左边应增添的式子等于 (k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k ＋1)](k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)·…·(2k )＝2(2k ＋1)．4．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)答案 C解析 当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).二、填空题6．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝________.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n 解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n.7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1.8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用 n 表示)．答案 5 12(n ＋1)(n －2)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 三、解答题9．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n ∈N ＋有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2. 10．已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n .求证：当n ∈N ＋时，a n <a n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，0≤a k <a k ＋1，则由a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0，得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立，根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N ＋都成立．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．下列代数式(其中k ∈N ＋)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )答案 D 解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么当k ＝n ＋1时有3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，命题对k ∈N ＋成立．3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N ＋)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝_____. 答案 2n －12n －1 解析 ∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32， a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 4．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N ＋. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3] ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有f (n )≤g (n )成立．5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24， 即2624>a 24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证得不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－23(k ＋1)＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)＝2(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)>0， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以a 的最大值等于25.。
高考数学北师大(理)一轮复习课件：7.5 数学归纳法
+
4)
(n∈N+)中,当n=1
时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故n=1时,等
式左边的项为:1+2+3+4,故选D.
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-5-
3.(2018河北武邑中学二调,7)用数学归纳法证明 1+12 + 13+…+2���1���-1<n(n∈N+,n>1)时,由n=k(k>1)时不等式成立,推证
考点1
考点2
考点3
-11-
解
(1)Sn=1+2+������…! +������
=
������ +1
2.
(������-1)!
(2)������2 = 2 , ������3 = 11 , ������4 = 7,
������2 3 ������3 6 ������4 2
2 3
=
4������
+
=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
=(k+1)
f(k+1)-������
1 +1
-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)
=(k+1)[f(k+1)-1],
∴当 n=k+1 时结论成立.
由(1)(2)可知,当 n≥2,n∈N+时,f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1].
n=k+1时,左边应增加的项数是( C )
A.2k-1 B.2k-1
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
目录 CONTENTS
选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
目录 CONTENTS
【走向高考】高三数学一轮复习 75归纳与类比课件 北师大
∵xa122－yb122＝1，xa222－yb222＝1.两式相减得x12－a2 x22＝y12－b2 y22，
即x1－x2a2x1＋x2＝y1－y2b2y1＋y2，
即yx11－ －yx22yx11＋ ＋yx22＝ba22，即 kOM·kAB＝ab22.
[答案]
b2 a2
1．归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理 模式，具有以下几个特点：
(3)22n－n－11(4)12n(n－1)
[点评] 由特殊结果，归纳总结出一般结论，是一种 很重要的题型、结论正确，可以给出一般性的证明．
归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．如果归纳的个别情况越多，越具有代表性， 那么推广的一般性命题就越可靠．
A．一定是零 B．不一定是整数 C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数 [答案] C [解析] 当n＝1时，值为0；当n＝2时，值为0；当n ＝3时，值为2；当n＝4时，值为0；当n＝5时，值为6.
3．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类 比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的( )
1＝1 3＋5＝8 7＋9＋11＝27 13＋15＋17＋19＝64
…… 据此你可归纳猜想出的结论是________．
(2)观察下式： 1＋3＝22
1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52
…… 据此你可归纳猜想出的一般结论为________．
(3)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－an(n∈N*)， 计算前4项，归纳出an＝________.
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等； ②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面 角相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条 棱的夹角都相等； ④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
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第六章 数列
6．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，1＋2＋22＋23 ＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________， 从k到k＋1时需添加的项是__________．
[答案] 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3 ＋25k＋4
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[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若 n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题 也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝ k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C.
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2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x ＋y整除”，第二步归纳假设应该写成( )
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A．假设当n＝k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 [答案] D
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[解析] ①显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能 被x＋y整除
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4．欲用数学归纳法证明2n＞n2，n的第一个取值应是
()
A．1
B．2
C．5
D．6
[答案] C
[解析] ∵21＞12,22＝22,23＜32,24＝42,25＞52,26＞62，
∴n的第一个数应是5.
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5．若不等式n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n＞2m4对 n ∈N*都成立，则正整数 m 的最大值为____________．
[答案] 11
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[解析] 设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n， ∴f(n＋1)＝n＋1 2＋n＋1 3＋…＋2n1＋1 ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＋2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1 ＝f(n)＋(2n1＋1－2n1＋2)＝f(n)＋2n＋112n＋2＞f(n)， ∴f(n＋1)＞f(n)＞…＞f(1)＝12＝1224，∴m＝11.
基础自测 1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命 题成立，那么可推知n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C
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7．已知数列{an}，其中 a2＝6 且aann＋ ＋11＋ －aann－ ＋11＝n. (1)求 a1，a3，a4； (2)求数列{an}的通项公式． [解析] (1)∵a2＝6，aa22＋－aa11－＋11＝1， aa33－＋aa22＋－11＝2，aa44－＋aa33＋－11＝3， 解得 a1＝1，a3＝15，a4＝28.
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3．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的
内角和 f(k＋1)＝f(k)＋____________( )
π A.2
B．π
C.32π
D．2π
[答案] B
[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三
角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
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考纲解读 1．了解数学归纳法的原理； 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 考向预测 1．归纳——猜想——证明将是2012年高考热点； 2．与函数、不等式等知识交汇命题．
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[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N*时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝31，左边＝右边．∴等式成立．
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(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立 ，即有 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1 则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13
②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整 除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除．
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(2)由此猜想 an＝n(2n－1)． 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设 n＝k 时，结论正确，即 ak＝k(2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，有aakk＋ ＋11＋ －aakk－ ＋11＝k
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Hale Waihona Puke 下页末页第六章 数列
∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)ak－(k＋1) ＝(k＋1)·k(2k－1)－(k＋1) ＝(k＋1)(2k2－k－1) ＝(k＋1)(2k＋1)(k－1)(k－1≠0)． ∴ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]． 即当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②可知，{an}的通项公式为 an＝n(2n－1)．
知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命 题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设 n＝k(k≥1) 时，命题成立的前提下，推出
n＝k＋1 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
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