高考数学应重视用枚举法解题
高考数学中的集合论与函数知识点
高考数学中的集合论与函数知识点高考是人生中的一道重要关卡,其中数学是不可避免的一部分。
在数学中,集合论和函数是比较基础的知识点,也是需要我们认真掌握的。
本文将从集合论和函数中的常见概念、性质和解题方法等方面进行论述。
一、集合论1. 集合的定义在数学中,集合就是由若干个特定对象组成的一个整体。
例如,一堆苹果组成了苹果的集合,一堆数学题组成了题目的集合。
2. 集合的表示表示集合的方法有两种:枚举法和描述法。
枚举法就是直接把集合中的元素罗列出来,描述法则是用某些属性描述集合中的元素。
例如,集合A由1, 2, 3三个元素组成,可以用枚举法表示为A={1,2,3},用描述法表示为A={x|x∈自然数,x≤3}。
3. 集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集四种。
并集:表示两个集合中所有元素的总和。
用符号“∪”表示。
例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B={1,2,3,4}。
交集:表示两个集合中共有的元素。
用符号“∩”表示。
例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3}。
差集:表示一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后剩下的元素。
用符号“-”表示。
例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A-B={1},B-A={4}。
补集:表示全集中去掉某个集合中所有元素后剩下的元素。
用符号“C”表示。
例如,A={1,2,3},全集U={1,2,3,4,5},则A的补集为A^c={4,5}。
4. 集合的性质(1)自反性:任何集合都是该集合的子集。
(2)传递性:如果集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A也是集合C的子集。
(3)对称性:如果集合A是集合B的子集,那么如果在集合B中存在元素不在集合A中,那么集合B也不是集合A的子集。
5. 集合的应用集合论在高考数学中的应用比较广泛,尤其是在概率与统计中。
例如,众所周知,随机事件的可能性可以用概率来表示,而概率需要用到集合的运算。
利用枚举方法求方程
利用枚举方法求方程
利用枚举方法求方程是一种计算数学中常用的方法。
它的基本思路是通过枚举所有可能的解来找到方程的解。
具体来说,对于一个包含未知数的方程,我们可以先设定一个解空间,然后逐一枚举解空间中的元素,通过代入方程验证是否为方程的解。
如果是,就找到了方程的解;如果不是,就继续枚举下一个元素,直到找到解为止。
枚举方法不仅适用于简单的一元方程,也可以用来解决更为复杂的多元方程。
例如,对于一个二元方程,我们可以先设定两个解空间,然后在两个解空间中分别逐一枚举元素,代入方程验证是否为方程的解。
需要注意的是,枚举方法虽然可以帮助我们找到方程的解,但是其效率较低,特别是对于解空间较大的方程,枚举方法往往需要耗费大量的时间和计算资源。
因此,在实际应用中,我们通常会采用更为高效的求解方法,例如牛顿迭代法、高斯消元法等。
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枚举法解题
枚举法解题
【最新版】
目录
1.枚举法解题的定义和特点
2.枚举法解题的适用范围和优缺点
3.枚举法解题的具体步骤和示例
正文
枚举法解题是一种通过穷举所有可能的解决方案来求解问题的方法。
它通常被用于解决那些可以通过有限步骤解决的问题,尤其是在计算机科学和数学领域。
枚举法解题的适用范围非常广泛,包括数论、组合、图论等领域。
它的优点在于简单易行,可以直接解决问题,而且不需要深入的理论知识。
然而,枚举法解题的缺点也很明显,那就是它的时间复杂度通常非常高,当问题规模较大时,可能需要耗费大量的时间和资源。
下面是枚举法解题的具体步骤:
1.确定问题的范围和限制条件。
2.列举出所有可能的解决方案。
3.对每个解决方案进行验证,看是否满足问题的要求。
4.如果找到一个满足要求的解决方案,就结束枚举,开始下一步的计算。
如果没有找到满足要求的解决方案,就继续枚举。
5.如果枚举结束,还没有找到满足要求的解决方案,那么这个问题就没有解。
举个例子,如果我们要解决一个数论问题,即求解一个整数 n 的所有约数,我们可以使用枚举法解题。
首先,我们确定问题的范围,也就是
从 1 到 n 的所有整数。
然后,我们列举出所有可能的约数,即从 1 到n 的所有整数。
接着,我们对每个约数进行验证,看它是否是 n 的约数。
如果是,我们就记录下来。
如果不是,我们就继续枚举。
最后,我们把所有的约数都找出来,就得到了问题的解。
高考数学必考题型及答题技巧(整理)整理
高考数学必考题型及答题技巧(整理)整理2023高考数学必考题型及答题技巧最新(整理)高考数学答题的时候,考生们尤其要留意认真,解答题的考点相对较多,综合性强,难度较高,以下是我整理的一些2023高考数学必考题型及答题技巧最新,欢迎阅读参考。
数学常考题答题套路恒成立问题或是它的反面,能够转化为最值问题,留意二次函数的应用,敏捷使用闭区间上的最值,分类争论的思想,分类争论应当不重复不遗漏。
圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成,直线与圆维曲线相交问题,若与弦的中点相关,选择设而不求点差法,与弦的中点无关,选择韦达定理公式法;使用韦达定理必需先考虑是否为二次及根的判别式。
求曲线方程的题目,假如知道曲线的外形,则可选择待定系数法,假如不知道曲线的外形,则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(留意去掉不符合条件的特别点)。
求椭圆或是双曲线的离心率,建立关于a、b、c之间的关系等式即可。
三角函数求周期、单调区间或是最值,优先考虑化为一次同角弦函数,然后使用帮助角公式解答;解三角形的题目,重视内角和定理的使用;与向量联系的题目,留意向量角的范围。
高考数学答题技巧整理第1页/共4页1.数列问题数列的题目与和有关,优选和通公式,优选作差的方法;留意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特别数列;解答的时候留意使用通项公式及前n项和公式,体会方程的思想;2.立体几何问题立体几何第一问假如是为建系服务的,肯定用传统做法完成,假如不是,可以从第一问开头就建系完成;留意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同,娴熟把握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算留意系数1/3,而三角形面积的计算留意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防,留意连接“心心距”制造直角三角形解题;3.导数导数的题目常规的一般不难,但要留意解题的层次与步骤,假如要用构造函数证明不等式,可从已知或是前问中找到突破口,必要时应当放弃;重视几何意义的应用,留意点是否在曲线上;4.概率概率的题目假如出解答题,应当先设大事,然后写出访用公式的理由,当然要留意步骤的多少打算解答的详略;假如有分布列,则概率和为1是检验正确与否的重要途径;5.换元法遇到简单的式子可以用换元法,使用换元法必需留意新元的取值范围,有勾股定理型的已知,可使用三角换元来完成;第2页/共4页6.二项分布留意概率分布中的二项分布,二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法,排列组合中的枚举法,全称与特称命题的否定写法,取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证,用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;7.肯定值问题肯定值问题优先选择去肯定值,去肯定值优先选择使用定义;8.平移与平移有关的,留意口诀“左加右减,上加下减”只用于函数,沿向量平移肯定要使用平移公式完成;高考数学答题留意事项(1)填写好全部考生信息,检查试卷有无问题;(2)调整心情,尽快进入考试状态,可解答那些一眼就能看得出结论的简洁选择或填空题(一旦解出,信念倍增,心情马上稳定);(3)对于不能马上作答的题目,可一边通览,一边粗略地分为a、b两类:a类指题型比较熟识、简单上手的题目;b类指题型比较生疏、自我感觉有困难的题目,做到心中有数。
枚举法
浅谈数学枚举法思想【摘要】数学思想方法是数学中的理性认识,是数学的本质,是数学中高度抽象概括的内容,它蕴含于数学问题的解决过程中,它从教学内容中抽象和概括出来,是数学知识的精髓,是知识转化成能力的桥梁。
枚举法就是一种重要的数学解题思想。
【关键字】枚举法数学思想解题思想【正文】19世纪数学家西尔维斯特指出:“置身于数学领域中不断地探索和追求,能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。
”阿巴斯诺特说:“数学知识是思维增加活力,使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。
”塞劳尔说:“正如文学诱导人们的情感一样,数学则启发人们的想象与推理。
”总之,数学能令人的思维纯净、和谐,会为思维增添活力。
著名的日本科学家米山国藏指出:“作为知识的数学,出校门不到两年可能就忘了,深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想研究方法和着眼点,这些都随时随地发生动作,使人们终身受益。
”【1】数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。
枚举法、类比法、归纳法、分析法、综合法、化归法数学模型法等都是比较常见的数学思想方法,在这里,我将简单的谈一谈枚举法。
枚举法起源于原始的计数方法,即数数。
在进行归纳推理时,如果逐个考察了某类事情的所有可能情况,因而得出一般结论,那么这结果是可靠的,这种方法叫做枚举法。
从这里可以看出枚举法要将问题的所有可能的答案一一列举,然后根据条件判断此答案是否合适,合适就保留,不合适就丢弃。
因而枚举法具有以下三个特点:第一,通过枚举法得到的结果肯定是正确的;第二,枚举法要将所有可能的答案列举出来,效率必然低下,浪费时间;第三,枚举法会涉及到求极值。
枚举法的这些特点,并不就意味着它是没有头绪的尝试、瞎蒙瞎撞,枚举法也有它的解题思路。
首先要确定枚举对象、枚举范围和判定条件,其次要一一列举可能的解,验证是否是问题的正确的解。
【2】以百钱买鸡的题目为例,“一只公鸡,价值三元钱;一只母鸡,价值两元钱;三只小鸡,价值一元钱。
基本事件有多少?
高考数学复习点拨:基本事件有多少?基本事件有多少?江苏张允倩在研究古典概型时,很多错误都是因为基本事件总数出了问题,如何快速、准确地确定基本事件总数呢?本文介绍几种行之有效的方法。
一.枚举法把所有的基本事件一一列举出来,再计数的方法叫做枚举法。
枚举法一般在基本事件总数不多时应用。
例1.某人有4把钥匙,其中2把钥匙能把门打开。
现每次随机地取1把钥匙试着开门,试过的钥匙不扔掉,求第二次才能打开门的概率。
解:用表示能打开门的钥匙,用表示不能打开门的钥匙,则所有基本事件为:共有16个基本事件,其中"第二次才能打开门"的事件含有4个基本事件,如加横线部分的事件。
因此评注:"第二次才能打开门"暗示着第一次不能打开。
另外应用枚举法时要按照一定的顺序列举,做到不重复、不遗漏。
二.列表法通过列表,借助表格,准确地把所有的基本事件列出的方法叫列表法。
例2.抛掷两颗骰子,求点数之和大于或等于9的概率。
解析:用列表法,可得基本事件共有:个aa+bb12345612345672345678345678945678910567891011678 9101112记"点数之和大于或等于9"的事件为A,则从表中可以得出,事件A包含的基本事件有10个,即:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),故。
点评:列表法是枚举法的另一种形式,在基本事件总数不是很多的情况下,利用列表法容易准确地找出所有的基本事件。
三.树形图法当题中的基本事件较多,较为复杂时,可结合树形图进行分类、枚举,这样的方法叫做树形图法。
例3.口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从中摸出一球,试求乙摸到白球,且丙摸到黑球的概率。
解析:把两白球编上序号1、2,把两黑球也编上序号1、2,于是甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来如下:从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果数为24,乙摸到白球,且丙摸到黑球的结果有8种,记"第二个人摸到白球"为事件A,则。
应重视用枚举法解题
数,求 X 的数学期望 .(文)求前 4 局中乙恰
好当 1 次裁判的概率 .
解:先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判),见表 1: Nhomakorabea表1
情 形
第1局
第2局
第3局
第4局
在前 4 局 中乙当裁 判的次数
1
2
3
4
乙丙 (甲)
5
6
7
8
甲乙(丙) 甲丙(乙)
乙丙(甲) 甲丙(乙) 乙丙(甲) 甲乙(丙)
甲乙(丙) 甲丙(乙) 甲乙(丙) 乙丙(甲) 甲丙(乙) 甲乙(丙) 甲丙(乙) 乙丙(甲)
.
解:这里的一次试验是“每天均有 3 辆 开往省城的分为上、中、下等级的客车各一 辆”,试验成功的情形是“于先生采取上述策
略能乘上上等车”.
先枚举出一次试验可能的所有情形:①
上、中、下,②上、下、中,③中、上、下,④中、
下、上,⑤下、上、中,⑥下、中、上.其中试验
成功的情形是③④⑤三种,所以所求的概率
0 1 1 1 2 1 2 1
因为各局中双方获胜的概率均为
1 2
,
所以所列举的 8 种情形是等可能的,从而可
得答案:
(1)82
=
1 4
.
(2)(理)可得随机变量 X 的概率分布
列,见表 2:
表2
X
0
1
2
P
1 8
5 8
1 4
所以
E(X ) = 0 ×
1 8
+1×
5 8
+2×
1 4
=
9 8
.(文)85
.
是
3 6
=
1 2
枚举法解题
枚举法解题枚举法,又称为穷举法,是一种通过逐一列举所有可能的情况来解决问题的策略。
这种方法通常在问题的答案范围不是很大,或者虽然答案范围很大,但可以通过逐一检验每个可能答案来轻易排除不可能的答案时使用。
以下是一个使用枚举法解题的例子。
问题:有一个由0和1组成的数字序列,长度为10。
要求找出所有满足以下两个条件的序列:1.序列中0和1的数量相差不超过2;2.序列中相邻数字之间没有相同的数字。
分析:1.枚举的范围:由于长度为10,我们需要考虑0和1的所有可能组合。
这总共有2^10 = 1024种组合。
2.枚举的规则:我们可以使用两个变量来记录序列中0和1的数量,分别为x和y。
在每一步中,我们选择一个x或y的值,然后递减或递增它,以确保我们最终满足条件。
3.检查条件:对于每一种组合,我们检查它是否满足条件。
如果满足条件,则将其记录下来。
解法:1.初始化变量x和y为0,以及一个空列表来存储满足条件的序列。
2.进入循环,直到x和y的值超过10:1.如果x和y的数量之差不超过2,且序列中相邻数字之间没有相同的数字:1.将当前x和y的数值添加到列表中。
2.递增x或y的值,然后继续检查下一个组合。
3.返回列表中的所有序列。
现在我们已经有了解决问题的策略,下一步是编写代码来实现它。
由于这是一个文本格式,我们无法直接运行代码。
但你可以使用Python等编程语言来实现这个算法。
总结:枚举法是一种通过逐一列举所有可能的情况来解决问题的策略。
它通常适用于问题的答案范围较小,或者可以通过逐一检验每个可能答案来轻易排除不可能的答案的情况。
使用枚举法时,我们需要确定枚举的范围和规则,并编写代码来实现它。
在某些情况下,枚举法可能不是最优的解决方案,因为它需要检查所有可能的情况。
但在其他情况下,它可能是唯一可行的方法。
数学枚举法
数学枚举法数学枚举法其实还挺有趣的呢,就像是在一个大盒子里翻找各种小宝贝一样。
枚举法嘛,简单来说就是把所有可能的情况一个一个地列出来。
比如说,咱们要找1到10之间的偶数,那咱们就可以很干脆地把2、4、6、8、10都列出来,这就是最基础的枚举啦。
在做数学题的时候,枚举法能帮我们解决好多类型的问题呢。
像那种排列组合的初级题目,比如说有红、黄、蓝三种颜色的球,每次取两个球,有多少种不同的取法呢?咱们就可以枚举呀,红和黄、红和蓝、黄和蓝,就这么简单地把所有可能的组合都列出来,答案就出来了。
再比如说那种找规律的题目,要是规律不是特别明显,咱们也可以用枚举法来试试。
就像有一个数列,前几个数是1、3、5,那下一个数可能是啥呢?我们可以先枚举一些可能的规律,也许是奇数数列,那下一个就是7;也许是按照加2、加2这样的规律,那下一个也是7。
通过枚举不同的规律假设,就能找到最合理的那个答案。
还有在做几何题的时候,有时候也能用得上枚举法。
比如说一个三角形,已知两边的长度,然后让你找第三边可能的长度范围。
我们就可以先把一些边界情况枚举出来,然后再根据三角形三边关系的定理来确定准确的范围。
枚举法虽然有时候看起来很笨,就是一个一个去试,但它真的很实用。
尤其是在一些情况不是特别复杂,或者我们找不到更好的办法的时候。
就像我们在黑暗中找东西,先把所有能摸到的东西都摸一遍,总能找到我们想要的。
而且呀,在生活中我们也经常用到枚举法的思维呢。
比如说我们早上出门找衣服穿,要是没有特别的想法,就会把衣柜里的衣服一件一件在脑海里过一遍,这其实也是一种枚举呀。
再比如说我们去超市买东西,想要找性价比最高的商品,有时候也会把类似的商品都看一遍,比较一下价格、质量啥的,这也是枚举的生活版啦。
在学习枚举法的时候,我们也可以自己创造一些有趣的例子来加深理解。
比如我们可以想象自己是一个小魔法师,要从一堆魔法道具里找出特定的几个来施展魔法,那就得一个一个地看,这个过程就是枚举啦。
用枚举法解决问题
用枚举法解决问题
枚举法是一种解决问题的基本方法,其基本思想是列举出所有可能的情况,再根据问题要求进行筛选和判断。
以下是使用枚举法解决问题的一般步骤:
1. 确定待解决问题的范围和限制条件,明确问题的具体要求。
2. 对问题进行抽象和分析,找出问题的关键参数和变量。
3. 列举所有可能的取值范围和组合,并使用嵌套循环进行遍历。
4. 对每一组可能的取值进行判断和筛选,根据问题要求进行条件判断。
5. 根据问题的要求,输出所满足条件的解答或者统计满足条件的数量。
需要注意的是,枚举法一般适用于问题规模较小的情况,因为列举所有可能的情况会带来指数级的时间复杂度。
如果问题规模较大,枚举法可能不太适用,需要考虑其他更高效的解决方法。
高考数学解析集合知识点
高考数学解析集合知识点在高考数学考试中,集合是一个重要的知识点。
掌握了集合的基本概念和解题方法,可以帮助我们更好地解决与集合相关的题目。
本文将对高考数学中常见的集合知识点进行解析,以帮助考生们更好地复习备考。
一、集合的基本概念集合是指把具有某种特性的对象组成的整体,其中的对象称为元素。
在数学中,我们用大写字母A、B、C等表示集合,用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合的元素之间没有顺序关系,且同一个集合中的元素不会重复出现。
集合的表示方法有两种常见的方式:枚举法和描述法。
枚举法是将集合中所有的元素一一列举出来,用大括号{}括起来。
例如,集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
描述法是通过给出元素的特定性质或满足的条件来描述集合。
例如,集合B={x | x是正整数且小于10}表示B是由小于10的正整数组成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集四种常见的操作。
1. 交集:集合A与集合B的交集,记作A∩B,表示由同时属于A和B的元素所组成的集合。
例如,A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∩B={3}。
2. 并集:集合A与集合B的并集,记作A∪B,表示由属于A或属于B的元素所组成的集合。
例如,A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3. 差集:集合A与集合B的差集,记作A-B,表示由属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如,A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A-B={1, 2}。
4. 补集:集合A关于全集U的补集,记作A'或A^c,表示由属于全集U但不属于A的元素所组成的集合。
例如,A={1, 2, 3},U={1, 2, 3, 4, 5},则A'={4, 5}。
三、集合的性质在解题过程中,利用集合的性质可以简化计算和推导,提高解题效率。
下面介绍几个常用的集合性质。
高考数学大题解题技巧
高考数学大题解题技能各个科目都有自己的学习方法,但其实都是万变不离其中的,基本离不开背、记,运用,数学作为最烧脑的科目之一,也是一样的。
下面是作者给大家整理的一些高考数学大题解题技能的学习资料,期望对大家有所帮助。
高考数学大题必考题型排列组合篇1.掌控分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的运用问题。
2.知道排列的意义,掌控排列数运算公式,并能用它解决一些简单的运用问题。
3.知道组合的意义,掌控组合数运算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的运用问题。
4.掌控二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们运算和证明一些简单的问题。
5.了解随机事件的产生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式运算一些等可能性事件的概率。
7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率。
8.会运算事件在n次独立重复实验中恰好产生k次的概率.立体几何篇高考立体几何试题一样共有4道(挑选、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考核的知识点在20个之内。
挑选填空题考核立几中的运算型问题,而解答题侧重考核立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为条件。
随着新的课程改革的进一步实行,立体几何考题正朝着“多一点摸索,少一点运算”的发展。
从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。
知识整合1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的进程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、运算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,第一应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌控立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
枚举法的优点和缺点
枚举法的优点和缺点1. 说起枚举法啊,这可是个有意思的东西!就像是大扫除一样,把所有可能性都翻个遍,一个都不放过。
这种方法简单直接,就是把所有可能的情况都列出来看看。
2. 来说说枚举法的优点吧!最大的好处就是准确性高得没话说。
就像是查库存一样,把仓库里的东西一件件数过去,保证不会漏掉任何一个。
这种方法简直就是"实诚派"的代表!3. 用枚举法解决问题特别直观,连小学生都能理解。
比如说要找出1到100里能被3整除的数,就从头数呗:3、6、9。
虽然笨了点,但绝对不会出错。
4. 枚举法还有个优点,就是特别适合用来验证结果。
就像是检查试卷答案一样,一个一个代进去试,准确得不能再准确了。
5. 不过话说回来,枚举法也有让人抓狂的地方。
最大的缺点就是太费时间了!就像是要找一个破损的灯泡,非得把整个小区的灯泡都检查一遍,想想就累得慌。
6. 还有个让人头大的问题,就是当可能性特别多的时候,用枚举法简直就是在折磨人。
打个比方,要是让你用枚举法找出一个四位数密码,那得试多少次啊,估计试到天荒地老都试不完!7. 在计算机还没那么发达的年代,用枚举法解决复杂问题简直就是在找虐。
就像是用勺子挖一座山,光是想想就觉得腰酸背痛。
8. 枚举法还有个缺点,就是不太优雅。
用这个方法解题,就像是用大锤子砸核桃,虽然能把核桃砸开,但总觉得不够聪明。
有时候,一个漂亮的公式就能解决的问题,非得一个一个试,多费劲啊!9. 不过呢,枚举法在某些情况下还真是救命稻草。
特别是在处理一些小范围的离散问题时,它就像是一把万能钥匙,虽然笨了点,但特别管用。
10. 现在有了计算机,枚举法又重新焕发青春了。
那些原来需要算上几天几夜的枚举工作,现在只需要几秒钟就能搞定。
这就像是给枚举法装上了火箭推进器!11. 说到底,枚举法就像是一个老实巴交的农民,不懂什么花里胡哨的技巧,就是靠着一股子踏实劲儿把活儿干好。
虽然效率可能不是最高的,但绝对是最可靠的方法之一。
浅谈枚举法在中学数学解题中的应用
浅谈枚举法在中学数学解题中的应用作者:张弟来源:《新课程·下旬》2018年第05期摘要:在日常生活、学习中,学生会碰到些一时找不到算式的问题,它们看似无从下手,但如果依据问题,积极动脑动手,用枚举法将所求的对象一一列举或画图呈现出来,就能对解决此类问题的枚举策略有一些具体的体验和认识.关键词:枚举法;中学数学;应用一、与枚举法有关的概念在进行归纳推理时,如果逐个考察了某类事件的所有可能情况,因而得出一般的结论,那么这结论是可靠的,这种归纳方法叫做枚举法,或穷举法.简而言之就是根据情况逐一讨论.当主体接触的问题存在大量的可能的答案或者中间过程时,就不得不采用逐一检测这些答案的策略.采用枚举法虽然看起来“笨拙”,但确实是一种行之有效的解题策略,采用枚举法时,每种情况都增加了一个前提条件,为问题的解决提供了便利.因此有时即使可以统一处理,但是为了降低难度也采用枚举法,分情况讨论.二、枚举法在数学解题中的应用1.枚举与分类枚举与分类常常联系在一起,为了枚举,有时需要先分类再一一列出来,再考虑列举出来的结果与原问题的关系.例1 若整数n不是5的倍数,则n2也不是5的倍数.分析不是5的倍数的整数按余数可分为四类:5k+1、5k+2、5k+3、5k+4(为整数).对它们分类考查.①n=5k+1时,n2=(5k+1)2=5(5k2+2k)+1不是5的倍数;②n=5k+2时,n2=(5k+2)2=5(5k2+4k)+4不是5的倍数;③n=5k+3时,n2=(5k+3)2=5(5k2+k+1)+4不是5的倍数;④n=5k+4时,n2=(5k+4)2=5(5k2+8k+3)+1不是5的倍数.综上知,若整数n不是5的倍数,则n2也不是5的倍数.注:此题也可通过反证法来说明原命题成立。
例2 有一个无盖立方体纸箱,将它沿棱剪开摊成平面展开图.那么,共有多少种不同的展开图?分析我们将展开图按最长一行有多少个正方形来分类,有序的画图枚举就可以解决问题.(1)最长一行有4个正方形:(2)最长一行有3个正方形:(3)最长一行有2个正方形:故一共有8种不同的展开图.2.枚举与最值在数值比较小或是易于计算时,我们可以通过枚举法来处理一些最值问题.特别是在一些线性规划题中.最值的选择有时可从枚举出的情形中获得.例3 若m、n是正整数,mn=120,则m+n可能取到的最小值是______.分析考虑m、n的对称性,又因为120=1×120=2×60=3×40=4×30=8×15=10×12.可知当m、n为10,12时,m+n的最小值22.注:m,n两数越接近,和越小.3.枚举与不等式有时候我们在处理问题时会得到所求值在一个范围之内,为了找出它可能的值我们会根据题意用枚举法将它一一列出来,再通过验算找出符合题意的解.例4 一个三位数除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和,试求出所有满足这样条件的三位数.分析设这三位数的百位,十位,个位数字分别为x,y,z,由于任何不能整除11的数,除以11所得余数小于等于10,所以,1≤x2+y2+z2≤10从而1≤x≤3,0≤y≤3,0≤z≤3.于是所求的三位数必在以下数中:100,101,102,103,110,111,112,120,121,122,130,200,201,202,110,211,212,220,221,300,301,310.容易验证,100,101两个数符合要求.4.枚举与概率古典概率的计算是概率中最基本、最重要的内容之一.学好古典概率的计算对后续课程的学习是非常重要的.但对于初学者来说这比较难,特别是对有利事件数的计算,容易遗漏或重复.由于枚举法直观形象,只要按照一定的规律,就不容易重复或遗漏.例5 一个口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出两个球.(1)共有多少个基本事件;(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少?分析这是苏教版数学3课本中关于“古典概型”的第一道例题.枚举法讲究顺序,分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,摸到1,2号球用(1,2)表示,则基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).先將对象排好一定的次序,拿第一个找完所有的组合,再进行第二个,这时就不用回头找了,如此可确保不重复、不遗漏.5.枚举与不定方程关于不定方程的自然数解、整数解、有理数解或质数解的问题是数论研究的一个重要课题,对于简单的不定方程的求解和证明也是考查和训练中学生数学思维的灵活性与创造性的一个主要题目来源,其中枚举法可以处理简单的不定方程的求解问题.我们可以按一定顺序将它们的解一个一个地列出来,再判断这些解是否符合题意,从而求出解.例6 求不定方程5x+3y=49的正整数解.分析当一一列举x的整数值,y的值便可求出.解方程变形为y=,当x=1时,y=(不符合条件,舍),当x=2时,y=13(符合条件),当x=3时,y=(不符合条件,舍),当x=4时,y=(不符合条件,舍),当x=5时,y=8(符合条件),当x=6时,y=(不符合条件,舍),当x=7时,y=(不符合条件,舍),当x=8时,y=3(符合条件),当x=9时,y=(不符合条件,舍),当x≥10时,y都不是正整数.所以不定方程的正整数解为x=2y=13,x=5y=8,x=8y=3.参考文献:[1]单墫.数学竞赛教程[M].南京:江苏教育出版社,2002:18-19.[2]沈文选.解题金钥匙系列(初中数学)[M].长沙:湖南师范大学出版社,2006:98.[3]周士藩.例析枚举法[J].中学数学月刊,2007(4):24.[4]葛军,崔恒兵.小学奥数考级教程(六年级数学)[M].南京:南京出版社,2011:77,125,129.?誗编辑谢尾合。
巧用枚举法解答概率问题
巧用枚举法解答概率问题
枚举法是一种解决概率问题的方法,它的基本思路是,通过枚举所有可能出现的情况,并计算每种情况出现的概率,最后将各种情况的概率相加得到最终的概率。
在巧用枚举法解答概率问题时,需要注意以下几点:
1、确定概率问题的模型:需要确定概率问题的试验内容、可能出现的结果以及每种结果出现的概率。
2、枚举所有可能的情况:需要考虑所有可能出现的情况,并统计每种情况的概率。
3、计算最终的概率:将所有可能的情况的概率相加,得到最终的概率。
4、确定概率问题的答案:根据概率问题的条件和统计结果,确定最终的答案。
通过巧用枚举法,可以解决许多概率问题,并使用户能够更好地理解概率的含义和应用。
创新解题枚举
创新解题枚举一、创新解题1、针对普遍遇到的问题,多思考多联想。
针对一个问题,分步骤分析,尽可能多的联想出它的思路和衔接点,把它进行归纳和拆分,从多角度去思考。
2、加强良好的基本解题能力。
加强基本解题能力,尤其是应用数学公式的解题能力,这是学习科学的基本技能,也是提高创新解题能力的必要基础。
3、不断尝试新的运行方法。
新的运行方法是一把双刃剑,可以带来新的收获,也可能出现陷阱,多尝试就是提高解题水平的好方式。
4、要合理分析和把握时空间比例。
把握时间和空间、把握时间和空间比例,常常意味着成败、精细与简单的差别。
5、进行科学合理的组织思考。
思考应该严格遵循科学合理的规律,在考虑答案的同时就要寻思如何去解决,尽可能高效的组织完成思考任务。
6、从反思和实践中学习,不断进步和提高。
完成一个问题后,我们应当思考下这个问题的困难点,总结出解决方法,会面对类似的问题却可以应对。
二、运用创新解题的方法1、深入解析问题的思路。
要想在解决一个问题上获得成功,就需要仔细分析其问题的思路,有一些问题只有从其背后去思考,才能真正明白其本质,或发现其上所隐藏的答案。
2、多元发散思维。
要找出一个问题的解决方案,就要使用多元化的思维模式,联想其它的事物、现象、功能等,从不同视角推导出适合的解决方案。
3、寻找关联性。
复杂的问题都有其内部联系与关联,我们可以从这些关联中发现独特的解决方案,正是因为发现这些关联,才能更快的找出问题的答案。
4、结合当前热点知识,建立独特的系统框架。
现在流行各种新兴理论,新技术,能在日常中与不同领域的知识相结合,构成新的解题方法,从而更迅速的解决问题。
5、不断打破常规创新模式。
在找到问题的答案的过程中,如果层层延伸发现新的问题,可以不断创新模式,以更好的从不同的角度去分析,从而得出更优的解决方案。
6、持续学习不同的解题方法。
如果能看过不同的解题工具,熟练掌握各种解题方法,就可以在遇到时间紧迫的情况下,从不同策略中选择最合适的解决方法,提高解题效率。
2023届高考数学 枚举法在新情境题目中的应用
枚举法在新情境题目中的应用例1.图为一个开关阵列,每个开关只有“开”和“关”两种状态,按其中一个开关1次,将导致自身和所有相邻的开关改变状态.例如,按()2,2将导致()1,2,()2,1,()2,2,()2,3,()3,2改变状态.如果要求只改变()1,1的状态,则需按开关的最少次数为________.解析:根据题意可知,只有在()1,1以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少.具体原因如下:假设开始按动前所有开关闭合,要只改变()1,1的状态,在按动(1,1)后,(1,2),(2,1)也改变,下一步可同时恢复或逐一恢复,同时恢复需按动(2,2),但会导致周边的(2,3),(3,2)也改变,因此会按动开关更多的次数,所以接下来逐一恢复,沿着周边的开关按动,可以实现最少的开关次数.如下表所示:(按顺时针方向开关,逆时针也可以)故答案为:5.例2.(2020全国2卷)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=,且存在正整数m ,使得(1,2,)i m i a a i +==成立,则称其为0-1周期序列,并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ,11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是( )A. 11010B. 11011C. 10001D. 11001解析:由i mi a a +=知,序列i a 的周期为m ,由已知,5m =,511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ,511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑,不满足;对于选项B ,51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑,不满足;对于选项D ,51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑,不满足;故选:C例3(2016年全国三卷)定义“规范01数列”}{n a 如下:}{n a 共有m 2项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数. 若4=m ,则则不同的“规范01数列”共有 A.18个B.16个C.14个D.12个解析:由题意可得10a =,81a =,2a ,3a ,…,7a 中有3个0、3个1,且满足对任意k ≤8,都有1a ,2a ,…,k a 中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01 数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.例4(2020全国1卷).甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12, (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率.解析:(1)记事件:M 甲连胜四场,则()411216P M ⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)记事件A 为甲输,事件B 为乙输,事件C 为丙输,则四局内结束比赛的概率为()()()()411424P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ⎛⎫'=+++=⨯= ⎪⎝⎭,所以,需要进行第五场比赛的概率为314P P '=-=. (3)①四场比赛丙获胜,丙在前四场获胜的概率为81)21(3=②由下表可知:五场比赛丙获胜,16121212121)(=⨯⨯⨯=B P ,812112121)(=⨯⨯⨯=C P ,812121121)(=⨯⨯⨯=D P ,∴丙五场比赛丙获胜的概率为1658181161)()()(=++=++D p C P B P由于①②互斥,∴丙最终获胜的概率为751=+.注:第二问在处理时直接列举情况较复杂,此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接枚举出各种可能结果,这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧.例5.近几年,随着生活水平的提高,人们对水果的需求量也随之增加,我市精品水果店大街小巷遍地开花,其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口,风味较好,广受消费者的喜爱.在某水果店,某种猕猴桃整盒出售,每盒20个.已知各盒含0,1个烂果的概率分别为0.8,0.2. (1)顾客甲任取一盒,随机检查其中4个猕猴桃,若当中没有烂果,则买下这盒猕猴桃,否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率;(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃,若当中没有烂果,则下一周继续网购一盒;若当中有烂果,则隔一周再网购一盒;以此类推,求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率 解析:(1)由题意可得:甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果,甲购买一盒猕猴桃的概率319420C 10.20.96C P =-⨯=.(2)用“√”表示购买,“╳”表示不购买,乙第5周购买有如下可能:故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率()40.80.20.80.80.80.20.80.20.20.80.80.20.8336P =+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=.例6.(2017年全国1卷12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列⋅⋅⋅8,4,2,1,4,2,1,2,1,1,其中第一项是02,接下来两项是12,2,再下来三项是212,2,2,以此类推,求满足如下条件的最小整数100:>N N ,且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )解析:由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验选项D :若,由,知第项排在第14行,第19个由是奇数知不能写成整数幂; 选项C :若,由知,第项排在第21行,第10个是大于1的奇数,不能写成整数幂;选项B ,若,由知第项排在第26行,第个,同理,不能写成整数幂;选项A 时,当时,由,可解出 所以这前和为:,符合题意,故选A .110N =()131********⨯+=<110()()()141914191015213221221616221N S =--+-=+-=⨯+-1015221+-N S 2220N =()202012102202⨯+=<220()()211021102202212223N S =--+-=+-2330N =()252513253302⨯+=<3305()()()265262422522124421N S =--+-=+=⨯+2440N =()()()11244022n n n n +++≤<29n =440()()()()12290123430212121222222-+-++-+++++=。
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应重视用枚举法解题
题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆.某天干先生准备从该汽车站前往省城办事,但他不知道客车的等级情况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么干先生乘上上等车的概率是 .
解 这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”,试验成功的情形是“干先生采取上述策略能乘上上等车”.
先枚举出一次试验可能的所有情形:①上、中、下,②上、下、中,③中、上、下,④中、下、上,⑤下、上、中,⑥下、中、上.其中试验成功的情形是③④⑤三种,所以所求的概率是2
16
3=.
题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有2名女生相邻,不同排法种数是?
解 设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6.因为男生甲不站两端,所以可分以下四种情形:
(1)甲站的位置是2.
此时3位女生站的位置只能是(1,34),(1,45),(1,56),(34,6),(3,56)这5种情形,可得此时有60A
A 522
3
3
=种排法.
(2)甲站的位置是3.
此时3位女生站的位置只能是(12,4),(12,5),(12,6),(1,45),(1,56),(2,45),(2,56)这7种情形,可得此时有84A
A 722
3
3
=种排法.
(3)甲站的位置是4. 此时的排法数同(2). (4)甲站的位置是5. 此时的排法数同(1).
所以所求答案为2882)8460(=⨯+.
注 列举时可先选好标准进行分类,而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前大的在后),这样可做到不重不漏.
题3 (2013年高考全国大纲卷第20题)甲乙丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为2
1,各局比赛的结果
相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)(理)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望. (文)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.
解 先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判),见表1:
表1
情
形
第1局 第2局
第3局
第4局
在前4局
中乙当裁
判的次数
1
乙丙
甲乙(丙)
乙丙(甲)
甲乙(丙)
2 (甲)
甲丙(乙) 1 3 甲丙(乙)
甲乙(丙) 1 4 乙丙(甲) 1 5
甲丙(乙)
乙丙(甲)
甲丙(乙)
2 6 甲乙(丙)
1 7 甲乙(丙)
甲丙(乙)
2 8
乙丙(甲)
1
因为各局中双方获胜的概率均为2
1,所以所列举的8种情形是等可能的,从而可得答案:
(1)4
18
2=.
(2)(理)可得随机变量X 的概率分布列,见表2:
表2
X 0
1
2
P
8
1 8
5 4
1
所以8
94
128
518
10)(=⋅+⋅+⋅=X E .
(文)8
5.
题4 (2008年高考全国卷I 理科第12题)如图1,一环形花坛分
成D C B A 、、、四块.现有4种不同的花供选择,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )
D B
C
A
图1
A.96
B.84
C.60
D.48
解 B .可共种2种花,先把D C B A 、、、分成两组使得每组能种同一种花,只有一种分法),(BD AC ,有24
A 种种法;可共种3种花,先把
D
C B A 、、、分成三组使得每组能种同一种花,只有两种种分法
),,(),,,(BD C A D B AC ,有34
A 2种种法;可共种4种花,有44
A 种种法.并且
别无它法,所以共有84A A 2A
44
342
4
=++种种法. 题5 (2012年卓越联盟自主招生数学试题第7题)设b a ,是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数.
(1)求直线b ax y +=与圆22
2
=+y x 有公共点的概率;
(2)设X 为直线y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数,求随机变量
X 的分布列及数学期望()E X .
解 直线y a x b =+
与圆222x y +=的公共点为0(1,2)个222(,)22(,)21
b b a a ⇔
>=<⇔->=<+,由此可列出各种情形(表中的X
表示直线y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数),见表3:
表3
a
X
b
1 2 3 4 5
1 2 2 2 2 2 2
1
2
2
2
2
3 0 2 2 2 2
4 0 0 2 2 2 5
2
2
(1)直线y ax b =+与圆222x y +=有公共点的概率为61912525
-
=. (2)随机变量X 的分布列(见表4)及数学期望()E X 分别为
表4
X 0
1 2
P
625
125
1825
611837
()01225252525
E X =⋅+⋅+⋅=
题6 (三门问题)在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中,在参赛者的对面有三扇关闭的门,其中只有一扇门的后面有一辆汽车,其它两扇门后是羊.游戏规则是,参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门,但是这扇门仍保持关闭状态,紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有羊的一扇门,这时主持人问参赛者,要不要改变主意(选择另一扇门),以使得赢得汽车的概率更大一些?
解 由图2可知:若改变主意,则赢得汽车的概率是3
2;若不改变主意,则赢得汽车的概率是3
1.
图2
所以参赛者改变主意(选择另一扇门),可使赢得汽车的概率更大一些.
题7 (2012年高考新课标全国卷文科第21题)设函数
2e )(--=ax x f x .
(1)求)(x f 的单调区间;
(2)若k a ,1=为整数,且当0>x 时,01)()(>++'-x x f k x ,求k 的最大值.
解 (1)略.
(2)可得题设即)0(01e e >>++-x k k x x x 恒成立. 由1=x 时成立,得11
e 2
+-<
k ,所以整数2≤k .还可证2=k 时成立: 设)0(1e e )(>++-=x k k x x g x x ,得
因为)0(e )1()(>-='x x x g x ,所以0e 3)1()(min >-==g x g . 所以所求k 的最大值是2.
注 由此解法还可得:整数k 的取值范围是{不大于2的整数},实数k 的取值范围是0(,)k -∞,其中0k 是方程1e 010
+=-k k 的正数解.
在解决某些数学题特别是排列组合及概率统计等与计数有关的问
题时,有不少读者认为枚举法是“最烦、最繁、最差、最没有技术含量”的,其实不然:第一,当基本事件总数较少但情况又稍复杂时,枚举法一清二楚;枚举法应当是解这类题时首先想到的方法,比如树形图、列表法等;第三,即使枚举法失败,也可由此发现部分规律,对解题也有帮助.因此,解决某些数学题特别是计数问题时,应重视枚举法.。