高考数学应重视用枚举法解题

应重视用枚举法解题

题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆．某天干先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么干先生乘上上等车的概率是 ．

解 这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”，试验成功的情形是“干先生采取上述策略能乘上上等车”．

先枚举出一次试验可能的所有情形：①上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上．其中试验成功的情形是③④⑤三种，所以所求的概率是2

16

3=．

题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2名女生相邻，不同排法种数是？

解 设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6．因为男生甲不站两端，所以可分以下四种情形：

(1)甲站的位置是2．

此时3位女生站的位置只能是(1,34)，(1,45)，(1,56)，(34,6)，(3,56)这5种情形，可得此时有60A

A 522

3

3

=种排法．

(2)甲站的位置是3．

此时3位女生站的位置只能是(12,4)，(12,5)，(12,6)，(1,45)，(1,56)，(2,45)，(2,56)这7种情形，可得此时有84A

A 722

3

3

=种排法．

(3)甲站的位置是4． 此时的排法数同(2)． (4)甲站的位置是5． 此时的排法数同(1)．

所以所求答案为2882)8460(=⨯+．

注 列举时可先选好标准进行分类，而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前大的在后)，这样可做到不重不漏．

题3 (2013年高考全国大纲卷第20题)甲乙丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为2

1，各局比赛的结果

相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)(理)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． (文)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．

解 先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判)，见表1：

表1

情

形

第1局 第2局

第3局

第4局

在前4局

中乙当裁

判的次数

1

乙丙

甲乙(丙)

乙丙(甲)

甲乙(丙)

2 (甲)

甲丙(乙) 1 3 甲丙(乙)

甲乙(丙) 1 4 乙丙(甲) 1 5

甲丙(乙)

乙丙(甲)

甲丙(乙)

2 6 甲乙(丙)

1 7 甲乙(丙)

甲丙(乙)

2 8

乙丙(甲)

1

因为各局中双方获胜的概率均为2

1，所以所列举的8种情形是等可能的，从而可得答案：

(1)4

18

2=．

(2)(理)可得随机变量X 的概率分布列，见表2：

表2

X 0

1

2

P

8

1 8

5 4

1

所以8

94

128

518

10)(=⋅+⋅+⋅=X E ．

(文)8

5．

题4 (2008年高考全国卷I 理科第12题)如图1，一环形花坛分

成D C B A 、、、四块．现有4种不同的花供选择，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )

D B

C

A

图1

A.96

B.84

C.60

D.48

解 B ．可共种2种花，先把D C B A 、、、分成两组使得每组能种同一种花，只有一种分法),(BD AC ，有24

A 种种法；可共种3种花，先把

D

C B A 、、、分成三组使得每组能种同一种花，只有两种种分法

),,(),,,(BD C A D B AC ，有34

A 2种种法；可共种4种花，有44

A 种种法．并且

别无它法，所以共有84A A 2A

44

342

4

=++种种法． 题5 (2012年卓越联盟自主招生数学试题第7题)设b a ,是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数．

(1)求直线b ax y +=与圆22

2

=+y x 有公共点的概率；

(2)设X 为直线y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数，求随机变量

X 的分布列及数学期望()E X ．

解 直线y a x b =+

与圆222x y +=的公共点为0(1,2)个222(,)22(,)21

b b a a ⇔

>=<⇔->=<+，由此可列出各种情形(表中的X

表示直线y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数)，见表3：

表3

a

X

b

1 2 3 4 5

1 2 2 2 2 2 2

1

2

2

2

2