2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第六节 双曲线 含解析

课时规范练 A 组 基础对点练
1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A.3 B ．3 C.3m
D ．3m
解析：双曲线方程为x 23m －y 2
3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.
答案：A
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62
C.52
D ．1
解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3
a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.
答案：D
3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0
D ．y ±4x ＝0
解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2
＝0，即x ±2y ＝0，选
A. 答案：A
4．设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝4
3
|PF 2|，则△
PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24
D ．48
解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4
3|PF 2|，
∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1
2
×6×8＝24.
答案：C
5．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A ．2 B. 3 C. 2
D.32
解析：由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫－b a ·b
a ＝－1， 即a 2＝
b 2，即
c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C
6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2
－y 2
4
＝1
B.x 24－y 2
＝1 C.y 24
－x 2
＝1 D ．y 2
－x 2
4
＝1
解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 2
4－
x 2
＝0，得y ＝±2x ，令y 2
－x 24＝0，得y ＝±1
2
x ，故选C.
答案：C
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 2
3＝1 B.x 29－y 2
16＝1 C.x 216－y 2
9
＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 解析：由题意得e ＝
1＋b 2a 2＝5
4
，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2
9＝1.
答案：C
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0
垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
4
＝1
C.3x 220－3y 2
5
＝1 D.3x 25－3y 2
20
＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2
＝1.
答案：A
9．双曲线C ：x 2a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( )
A. 5
B. 2 C ．2
D.52
解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，可得b a ＝2，∴e ＝c
a ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
＝ 5.故选A. 答案：A
10．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且
双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：C 1的渐近线为y ＝±2x ，即b
a ＝2.
又∵2c ＝45，c ＝2 5. 由c 2＝a 2＋b 2得， ∴20＝1
4b 2＋b 2，b ＝4.
答案：B
11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C
的方程为( ) A.x 220－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
20＝1 C.x 280－y 2
20
＝1 D.x 220－y 2
80
＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b 2
＝251＝b a
×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝20
b 2＝5，
∴双曲线C 的方程为x 220－y 2
5＝1.
答案：A
12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1
2x ，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝1
2
x 的
下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，所以
⎩
⎨⎧
42a 2－(3)2
b
2＝1，b a ＝1
2
，，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.
法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2
＝λ(λ≠0)，又双曲线过点
(4，3)，所以424－(3)2
＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.
答案：x 24
－y 2
＝1
13．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距
离为3，则Γ的实轴长等于________．
解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5b
c ＝b ＝3，所以
a ＝4,2a ＝8. 答案：8
14．已知双曲线C ；x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 2
4＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐
近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋b 2
＝5，b a ＝2，
∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2
－y 2
4
＝1.
答案：x 2
－y 2
4
＝1
15．(2018·西安质检)已知抛物线y 2
＝8x 与双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物
线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，故n 2
＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2
a
2－
y 2＝1，可得9a 2－24＝1，解得a ＝35.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±5
3x .
答案：y ＝±5
3
x
B 组 能力提升练
1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，
|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2 B ．2 2 C ．4
D ．8
解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4. 答案：C
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b
a x ，
则由题意得b
a >2，
∴e ＝c a ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
>1＋4＝ 5.
答案：C
3．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．离心率相等
B ．虚半轴长相等
C ．实半轴长相等
D ．焦距相等
解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D
4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°
且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102
C.152
D. 5
解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2
＝4c 2
，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102
(负值舍去)．
答案：B
5．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 2
4＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，
F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→
＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233
B. 2
C ．2
D.263
解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→
＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C
6．已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 2
4＝1 B.x 24－4y 2
3＝1 C.x 24－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
12
＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±
b
2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝4
4＋b 2，
y A ＝
2b 4＋b
2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b
4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 2
12＝1，选D.
答案：D
7．(2018·甘肃两市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，
以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 2
9＝1 B.x 23－y 2
4＝1 C.x 29－y 2
16
＝1 D.x 24－y 2
3
＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝4
3，又c 2
＝a 2
＋b 2
，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 2
16
＝1.
答案：C
8．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一
条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →
，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2
D. 5
解析：不妨设B (x ，－b
a
x )，|OB |＝
x 2＋(－b
a
x )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为
BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b
2，c ＝2a ，e ＝2.
答案：C
9．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(b >a >0)的半焦距为
c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线
l 的距离为3c
4
，则双曲线的离心率为( ) A.223
B. 2
C. 3
D ．2
解析：由题意得ab ＝
34c 2，∴a 2(c 2－a 2)＝3
16
c 4， 整理得3e 4－16e 2＋16＝0. 解之得e 2＝4或e 2＝4
3
，
又0<a <b ⇒a 2<c 2－a 2⇒c 2>2a 2⇒e 2>2，故e 2＝4. ∴e ＝2. 答案：D
10．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双
曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |
解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，
∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝1
2
|PF 2|，
∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝1
2×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A
11．过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条
渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A →＝AB →
，则双曲线的渐近线方程为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，y ＝－b a x 得x ＝－ac
a ＋
b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，y ＝b a x ，
解得x ＝ac b －a ，不妨设x A ＝－ac a ＋b ，x B ＝ac b －a ，由F 1A →＝AB →可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b ，整
理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝0
12．设F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
b
2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若
|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________． 解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为1
2×22
×22＝4. 答案：4
13．设双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角
三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．
解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)
14．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2
＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两
条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →
的值是________． 解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x
3
＋y ＝0，所以可取|P A |＝|
x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 0
3＋y 0|1
3
＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－1
2，所以
P A →·PB →＝|P A →|·|PB →
|·cos ∠APB ＝|x 20
3－y 20|43
·(－12)＝34×(－12)＝－38.
3答案：－
8。