量子力学 第四章

Ψ 二、 （x，t）在任意力学量 Q 表象中的表示
L 1、当 Q 的本征值是分立谱 Q1、Q 2、 L Q n 时 、
L （ L n 设 Q1、Q2、 Qn 对应的本征函数为 u1 x）、u（x）、 u（x） 2
Ψ（x，t） ∑ a（t）u（x） = n n
n
* an t） ∫ u（x）Ψ（x，t）dx （ = n
第四章 态和力学量的表象
ψ（x，t）
ˆ x=x
ˆ = −ih∇ — — P = −ih ∂ P x ∂x ∂ Py = −ih ∂x ∂ Pz = −ih ∂x
ˆ ˆ F（x，P） ， F = F（x，P）
这种表示态和力学量的具体方式称为
x
表象。 表象。
如果波函数为 C（Q），那么 C（Q） 表示的就是关于力学量
∫
C（P） ∫ψ Ψdx = ∫ = e 1 0 2 （2πh）
∗ P
a
1
i − Px h
π 2 • sin x dx a a
i − Pa h 3
1− e 2 所以， 所以， （P） = π a h C 2 2 （π h） − Pa） （ Pa i i i 2 − 2 cos − Pa 2 Pa − Pa 3 1− e h = (1 − e h )(1 − e h ) h =π ah 2 2 （πh） − Pa）]2 [ （ i i − Pa Pa h h = 1− e − e +1 意义） （意义）
态的表象（态在各表象中的表示） §4.1 态的表象（态在各表象中的表示）
一 、 Ψ （ x， t ） 在动量表象中的表示
2 π sin x 0< x<a 例题1、 例题 、一粒子的状态用波函数 Ψ = a a 0 x < o, x > a
来描写，求该状态粒子按动量的几率分布。 来描写，求该状态粒子按动量的几率分布。 解：求动量的几率分布就是把 Ψ 按动量的本征函数展开 i Px 1 h ψP = e Ψ（x） cPφ（x） = dP 1 P 2 （2πh） 展开式的系数 a i − Px 1 2 π ∗ h C（P） ∫ψ P Ψdx = ∫ = e • sin x dx 1 a a 0 2 （2πh）
2
3
= 1 2 （2πh）
1
2 a
∫
0
a
sin
π
a
x⋅e
i − Px h
1− e dx = π a h 2 2 （π h） − Pa） （
i − Pa h
就是状态Ψ （x，t） C（P） 在动量表象中的波函数。 在动量表象中的波函数。
+e Pa = 2 − 2 cos h
= 2 − (e
i − Pa h
Q
2
的单位区间内发现粒子的几率——按力学量 的几率分布。 按力学量Q的几率分布 的单位区间内发现粒子的几率 按力学量 的几率分布。
例如： 例如： 以动量 P 为自变量的波函数为 C（P） ，则发现 r 2 r r r r 粒子动量在P — P + dP 区间内的几率为 C（P） dP 针对这种波函数，算符将会有一套与之对应的具体表示， 针对这种波函数，算符将会有一套与之对应的具体表示， 表象。 这种表示态和力学量的具体方式称为 Q 表象。 由此可看出： 由此可看出： 表象就是量子力学中态和力学量的具体表示方式。 表象就是量子力学中态和力学量的具体表示方式。
L 对应的本征函数为： 1 对应的本征函数为： u（x）、u（x）、 L u（x） 2 n
Ψ（x，t） ∑ a（t）u（x） = m m
Φ（x，t） =
（1）可写为 ）
∑ b（t）u （x）
m m m
m
m
∑
m
r r ˆ （r ， ih∇） a（t）u（x） = − b（t）u（x） F ∑ m m m m
m
δ ∑ b（t） mn
m m
r r ˆ（r ， ih∇）u（x）dx F − = ∑ a（t） ∫ u（x） m m
* n
m
m
r r ˆ （ F − 令 Fnm = ∫ u x） （r ， ih∇）u（x）dx m
* n
则
b（t） = n
∑F
m
（ nm a m t）
（2） ）
则
b（t） = n
∑F
Ψ =
2 2 0 2 2 0 M
例题4、在一维无限深势阱（ 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱（ 0 < x < a ）中运动的粒子， 它的定态归一化波函数,用 表示。 它的定态归一化波函数 用 φ n 表示。 求它在能量表象中的表示。 当粒子处于状态 Ψ =3φ1 +4φ 2 ，求它在能量表象中的表示。 解：设 Ψ =3φ1 +4φ 2 的归一化常数为 C 1 2 2 C= （3C） + 4C） = 1 （ 5 1 归一化波函数为 Ψ = （3φ1 + 4φ2） 5 Ψ （x）按{φ n }展开的系数
3 5 4 Ψ =5 0 M
3 4 c1 = 、c 2 = 、c 3 = c 4 = c 5 = L = 0 5 5
所描写的状态， 所以 Ψ =3φ1 +4φ 2 所描写的状态， 它在能量表象中的表示为
作业：在一维无限深势阱（ 作业：在一维无限深势阱（
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
r r r 基矢 i 、j 、k
L 基矢 u（x）、u（x）、 L u（x） 1 2 n
r r r r A = A x i + A y j + Az k
坐标 ( Ax , Ay , Az )
Ψ（x） a1u1 + a 2 u 2 + L + a n u n + L =
矩阵
（ a1 t） （ a 2 t） Ψ = M a t） （ n
这一组关系式可以用一个矩阵关系式表示
（ b1 t） F11 b（t） F21 2 M = M b（t） F n n1
F12 F22 M Fn 2
L F1m L F2 m M M L Fnm
（ a1 t） a（t） 2 M a （t） m
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a a a
2 nπ 解：能量的本征函数是 φn = sin x a a
1 π 3π Ψ = （sin x + sin x） 按 φn = a a a
2 nπ sin x 展开的系数 a a
cn = ∫ φ Ψdx = ∫
* n 0 0
a
a
2 nπ sin x a a
1 π 3 π （sin x + sin x）dx a a a
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
这种无限多维的数学上的空间叫做希尔伯特空间。 这种无限多维的数学上的空间叫做希尔伯特空间。
r r ˆ （r ， ih∇） 在 Q 表象中的表示 一、算符 F −
§4.2 算符的矩阵表示
L 具有分立的本征值： 设 Q 具有分立的本征值：Q1、Q2、 L Qn
r r 对于关系式 Φ（x，t） F（r ， ih∇）Ψ（x，t） （1） = ˆ − ）
Ψ（x，t） = e 1 2 （2π h）
1
i P′x h
，求这个状态在动量表象中的表示。 求这个状态在动量表象中的表示。
∗ = 解： C（P） ∫ψ PΨ（x，t）dx =
∫e （2π h）
−∞
1
+∞ i （P − P ′）x h
dx = δ（P′ − P）
动量的本征态在动量表象（自身表象） 动量的本征态在动量表象（自身表象）中的表示是一个 δ 函数
Ψ +Ψ =
∑
n
* * a（t）（t） a（t）a（t） = 1 an + q dq n q
来自百度文库
∫
力学量 Q 的值为 q 的几率密度是
* a（t）a（t） = q q
a（t） q
2
是 Q 的 r 本征函 矢量 A 数 选取坐标系（ 选取坐标系（笛卡儿坐标系 ）
几何学
量子力学 态矢量 Ψ
选取一个特定的表象 Q
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
）中运动的粒子， 中运动的粒子， 30 为归一化常数， 为归一化常数， 所处的状态是 Ψ (x ) = Ax(a − x ) ， A = 5 a
0< x<a
求这个状态在能量表象中的波函数的矩阵元的一般表达式。 求这个状态在能量表象中的波函数的矩阵元的一般表达式。
L 2、当 Q 的本征值是部分分立谱 Q1、Q2、 L Qn 部分连续谱 q 时 、
r r ˆ 其矩阵元为 Fnm = ∫ u x） （r ， ih∇）u（x）dx （ F − m
* n
ˆ 力学量的算符 F
在Q
表象中的表示也是一个矩阵， 表象中的表示也是一个矩阵，
ˆ 二、表示算符 F 的矩阵的特点 r r * ˆ（r ， ih∇）u （x）dx = （Fu ）u dx ˆ * Fnm = u（x） F − n m n m
设
Q1、Q2、 Qn、q L
对应的本征函数为
u1 x）、 u（x）、 u（x）、 u q ( x ) （ L n 2
Ψ（x，t） ∑ a（t）u（x） ∫ aq (t )uq ( x)dq = + n n
n
* an t） ∫ u（x）Ψ（x，t）dx （ = n
* a（t） u（x）Ψ（x，t）dx = q q
∑
m
r r = ˆ − b（t）u（x） F（r ， ih∇） a（t）u（x） ∑ m m m m
m
（x 并积分，得 并积分， 两边同时左乘以 un ）
*
∫
r r ˆ（r ， ih∇） a（t）u（x） dx dx m ∑ b（t）u（x）u（x） = ∫ u（x）F − ∑ m m m
* n
* n
（ L 数列 a1 t）、 a（t）、 L a（t） 2 n
（ a1 t） （ a 2 t） Ψ = M a t） （ n
* * * Ψ + = a1 t） a2 t） L a（t） （ （ n
(
)
（ a1 t） （ a2 t） * * * + （ （ （ ) Ψ Ψ = (a1 t） a2 t） L an t） M a t） （ n
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
2 2 c1 = 、c2 = 0、c3 = 、c4 = c5 = L = 0 2 2 1 π 3π Ψ = （sin x + sin x） 所描写的状态，它在 所描写的状态， 所以 a a a 能量表象中的表示为
m
（ nm a m t）
（2）表明的是一组关系： ）表明的是一组关系：
b1 t） F11 a（t） F12 a（t） L + F1m a m t） （ = + + （ 1 2
b（t） F21 a（t） F22 a（t） L + F2 m a m t） = + + （ 2 1 2
M b（t） Fn1 a（t） Fn 2 a（t） L + Fnm a m t） = + + （ n 1 2