三角形全等中的三垂直模型

“三垂直”模型知识目标

模块一三垂直基本模型

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一、三垂直模型的构成

等腰直角△ABC

过直角顶点A的直线l

过两底角顶点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N

题型一三垂直模型基本应用

例1

过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E，已知AD＝5，BE＝3，求DE的长．

C

B

A

C

B

A

C

B

A

练习

已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上 ，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明．

模型二 三垂直模型与“婆罗摩笈多”

例2

如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ．

练习 如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ． （1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹） （2）求点C 的坐标；

（3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度．

E

D

C

B

A

N

M

E

D

C

B

A

模型三 三垂直模型与“八字”全等综合

例3

（1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ．

（2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系．

练习

等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ．

（1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求

CP

BM

的值．

F

E

D

C

B

A D

A

B

C

E

F

N M

Q

P

C

B

A

（2）P 点在CB 延长线上，且CP ＝nBP ，M 、N 分别在AB 边和AB 边的延长线上，求

AM

BM

．

真题演练

（2016年江岸区八上期末第23题） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE （1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于点D ，求证：CE ＋CD ＝DF ； （2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，若

AG

CG

＝3，求证：E 为BC 中点； （3）当E 点在射线CB 上，连接BF 交直线AC 于点G ，若

43BC BE

，则AG CG

＝ ．

M

N

P

Q

C

B A

图1

F

E

D

C

B

A

图2

G

F

E

C

B

A

模块二 三垂直模型与坐标系综合

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三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标 情况一如下图：直角顶点在坐标轴上

情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上

例4

（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．

B

（2）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（－1，0），C（1，3），求B点坐标．

（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．

练习

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．

真题演练

如图，已知A（－2，0），

（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．

（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，P A为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H 点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．