设计IIR滤波器的双线性变换法

模拟域频率变换法
1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换
设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为 H aL ( p)，
p为模拟域内的拉氏变量 。
在模拟域内从低通到高通变换：即以 p-1代替 p。
HaH ( p) HaL (1 / p)
反后归的一高化通。滤即 波以器的p传输s 函数c 带H(入s)上。式，得到反归一化
变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换，
由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。
又称为
“数字域频率变换 法”
法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成 数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类 型的数字滤波器。
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第五章 第2讲
14
设计IIR数字滤波器的频率变换法
z 1 z 1
由 p j / c可得模拟滤波器与数字滤波器的频
率以及3dB截c 2c频tgc与2c
c
之间的关系：
c tg
c
2
典型例题
例1：设计一个 3 阶巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数 字截频为0.2π弧度，求滤波器的系统函数。
解：① 3阶巴特沃思型归一化模拟低通原型的系统函数为：
1 HaL ( p) p3 2 p2 2 p 1
满足： s
的任意T值。
T
只要保证将模拟频率在带限之间，不会产生因多值映
射产生频率混迭现象即可。
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第五章 第2讲
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典型例题
例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器
设计参数：通带数字截止频率 p 0.25 ，通带内最大 衰减 Ap 0.5dB，阻带数字截止率 s 0.55 ，阻带内
lg( s / p ) 2
lg( s / p )
∴ 取滤波器阶次 N = 3
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第五章 第2讲
11
典型例题
③ 查表得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数。
Ha
(s)
(s
1 1)(s 2
s
1)
④ 求 3 dB 截止频率c 。
由
|
H
(
j
p
)
|2
1
(
1 p/
c
)2N
100.1Ap
H
(s)
H
aH
(
s c
)
H
aL
(
c s
)
双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。
H (z) H (s) s11zz11
H ( p) aL
p
c
1 1
z z
1 1
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
变换关系：直接由归一化低通原型变换成数字高通滤波器时：
p
c
1 1
⑥ 求相对f s2=45.125kHz处的阻带的最小衰减
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3
设计IIR滤波器的双线性变换法
3、双线性变换法的基本思路：
从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 H (e j ) ，
逼近模拟滤波器的频率响应 H ( j) ,进而求得H(z)。
“双线性变换法”设计方法
① 通过正切变换： tg( 1T ) 2
将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的
④ 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)
H (z)
HaL (
p)
p
c
1 1
z z
1 1
(1 z 1 )4
2.3103 5.4743z 1 5.346z 2 2.4366z 3 0.4324z 4
⑤ 所设计的高通滤波器的幅度特性与相位特性图示
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19
典型例题
4.16
④
求
Ha
(。s)当 H
a
(s时)c ,31s阶3 巴2氏s2低1通2滤s 波1器的传输函数为:
⑤
求H(z)。将
s
z2
2z cos
z2 1
0代入1上 式zz22得：11
H (z)
Ha (s)
s
z z
2 2
1 1
1 2
1
3z
2
3
3z 4 z4
z 6
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典型例题
s 1 z 1 或 z 1 s
1 z1
1 s
“双线性变换法” 可行性的论证
映射必须满足的条件：
Ⅰ S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上；
Ⅱ 位于S左半平面的极点应映射到Z平面的单位圆内。
令z e j ,
带入 s
1 1
z 1 z1
说明S平面的虚 轴映射成了Z平
s
1 1
e e
j j
jtg( )
t g(c )
2
进行
频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原
型Ha(s) 确定 H(s) Ha (s / c ) ；最后求得数字系统
函数：H (z)
H (s) s
1 1
z z
1 1
Ha (s)
s
1 c
1 1
z z
1 1
频率预畸变示意图
用双线性变换法设计IIR滤波器的过程总结
H (e j ) 频率预畸变 H ( j) H (s) 双线性变换 H (z)
cos(1 2 )
cos 0
wenku.baidu.com
cos(1
2
2
)
0
2
0 0.5
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典型例题
③ 求模拟低通截止频率和阻带下边频
c
1
cos 0 cos 1 sin 1
cos0.5 cos0.75 sin 0.75
1
s
cos0 cosu sin u
cos(0.5 ) cos(0.925 ) sin( 0.925 )
（极点）
u , l ：下边频和上边频
sl：下阻带上边频
su ：上阻带下边频
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
满足以上映射关系的变换式推导过程：
s
s(z)
(z
e j0 )( z e j0 ) (z 1)(z 1)
z2
2z cos0
z2 1
1是稳定的
∴ S平面稳定的函数变换到Z平面也是稳定的。
最小衰减 As 15dB。
解：① 进行频率预畸变，求 p、s 。
p
tg(
p
2
)
tg0.125
0.4142136
s
tg(s
2
)
tg0.275
1.1708496
② 确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。
N lg( / ) 1 lg[(100.1As 1) /(100.1Ap 1)] 2.66
2
j
面的单位圆
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5
设计IIR滤波器的双线性变换法
1 s
令s
j
, 带入 z
1
得：
s
z 1 j 1 j
(1 )2 2
z
(1 )2 2
当 0 时， z 1
此式表明： S平面的左 半平面轴映 射到了Z平 面的单位圆 内，可保证 系统函数经 映射后稳定 性不变。
0.0662272(1 z1)3 1)(1 0.6762858z1
0.3917468z 2
)
应滤 波 器 的 幅 度 响 应 与 相 位 响
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§5 设计IIR数字滤波器的频率变换法
又称为
频率变换的两种基本方法
“模拟域频率变换 法”
法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率
均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随
频率增加越来越密。
双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍
然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。
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7
设计IIR滤波器的双线性变换法
频率预畸变
为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟
低通滤波器系统函数之前必须按式 c
解: ① 确定上下边带的3dB数字截止频率及上阻带下边频
1 2f1 / fs 2 37.5103 /105 0.75rad
2 2f2 / fs 2 12.5103 /105 0.25rad
u 2fsu / fs 2 45.125103 /105 0.925rad
② 确定数字中心频率
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典型例题
例2：设计一个巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截
频为c 0.2π弧度，阻带下边频 ＝s 0.05π弧度，阻带衰
减 As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。
解： ① 频率预c 畸t变g 求2c模拟tg低(0通.1的 )截频0.3和2c4阻9(带ra下d/边s) 频 s
求 得 c 0.588148
反归一化得：
H (s) Ha (s / c )
0.203451 (s 0.588148)(s2 0.588148s 0.345918)
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典型例题
⑤ 用双线性变换式求得H(z) 。
H
(z)
H
(s)
s
1 1
z z
1 1
(1
0.259328z
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
2、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换 方法：直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系
低通幅度响应
带通幅度响应
0
sb：模拟的阻带下边频
0：中心频率
映 射 关 系
0
0
（零点）
z
e j0
s
0
0, z 1 s j
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设计IIR滤波器的双线性变换法
双线性变换的频率对应关系
双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了
模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：
tg(
)
2
可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关
系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这
是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为
s
c2ctg
s
2
1.341267(rad/s)
② 确定低通滤波器的阶次 N
N 1 lg(100.1As 1) 3.8976 2 lg( s / c )
∴ 取N＝4
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典型例题
③ 查表得N=4时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数
1 HaL ( p) ( p2 0.7654 p 1) ( p2 1.8478p 1)
§4 设计IIR滤波器的双线性变换法
设计思想 设计方法 频率预畸变 典型例题
1
设计IIR滤波器的双线性变换法
设计思想 1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频 域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频 率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不 能用来设计高通和带阻滤波器。 原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
模拟低通与数字带通的频率变换关系：
c
cos0 cosu sin u
,
sb
cos0 cossu sin su
,
cos 0
cos(l u
2
cos(u l
) )
2
当 c 时 1，反归一化处理：
p s z 2 2z cos0 1
c
c (z 2 1)
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典型例题
例: 设计一个3阶巴特沃思数字带通滤波器，并求阻带的最
小衰减。 设计指标：对模拟信号滤波，下上边带的3dB截
止频率为 f 2 =12.5kHz，f1 =37.5kHz，阻带边频 fsu = 45.125
kHz,采样频率为 fs =100kHz。
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设计IIR滤波器的双线性变换法
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设计IIR滤波器的双线性变换法
有关双线性变换公式的说明
有些文献中双线性变换的关系为:
s
2 T
1 1
z 1 z 1
(先前为：s
1 1
z 1 z 1
)
两式存在 2 /T的系数差别
抽样间隔T的选取：
j , j 内。
T T
② 通过Z变换：z es1T 将Ω1映射到Z平面的单位圆上。
③ 将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面的
映射关系：
s
tg(
s1T 2
)
1 1
e s1T e s1T
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4
设计IIR滤波器的双线性变换法
④ 将S1平面按 z es1T映射到Z平面得到：
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典型例题
② 频率预畸变
c
tg c
2
tg(0.1 ) 0.3249(rad/s)
∴ 数字高通滤波器的系统函数为：
H (z)
HaL (
p)
p
c
1 1
z z
1 1
1
p3
2 p2
2p
1
p
0.32491 1
z z
1 1
(1 z 1 )3
1.859208 3.3358z 1 2.241976z 2 0.57016z 3
脉冲响应不变法的映射过程图示
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2
设计IIR滤波器的双线性变换法
2、双线性变换法的改进：
为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面
的映射。
①通过将标S平准面的压变缩换到将某此一横中带介域的映S射1平到面整的个一Z平条面横上带去域。
T
；，T②
双线性变换的映射过程图示
特别地，设 0 < z = r < 1,则有：
s
r
2
2r cos0
r2 1
1
(1
r)2
2r(1 r2 1
cos 0
)
0
此式表明：Z平面单位圆内的极点变到了S平面的左半平面
再令 z e代j入 上式 ，得：
s
e j2
2e j e j2
cos0
1
1
j
cos0 cos sin
j
此式表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴