2016年复旦附中自招数学试卷

2016年复旦附中自招数学试卷

1. 已知

a b c x

b c a c a b ===

++

+

，则x=

2.

已知函数2

2(5)3

y x a x

=-+-+(23)

b x b

≤≤+图像关于y轴对称，则a b

+=

3. 已知函数2

(2)2(1)

y k x kx k

=--++的图像与x轴只有一个交点，则k=

4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx

=与函数

28,3

2,33

24,3

x x

y x

x x

-≥

⎧

⎪

=--<<

⎨

⎪+≤-

⎩

图像恰好有三个

公共点，则k的取值范围是

5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD AB

>，设E、F分别是AC、BD的中点，AC与BD交于点O，已知OEF

V是边长为1的正三角形，BOC

V的面积为

15

3

4

，则梯形ABCD 的面积为

6. 已知矩形ABCD中，1

AB=，BC a

=，若在边BC上存在点Q，满足AQ⊥QD，则a的取值范围是

7. 已知锐角三角形ABC的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA

>>，若BC边上的高为AD，则BD DC

-=

8. 已知实数m、n（其中1

mn≠）分别满足：2

199910

m m

++=，299190

n n

++=，则41

mn m

n

++

=

9. 若关于x的方程2

(2)(4)0

x x x m

--+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是

10. 如图，矩形ABCD中，3

AB=，4

BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当CEB'

V为直角三角形时，BE的长为

11. 如图，OA、OD是圆O的半径，延长OA至B，使OA AB

=，C是OA的中点，∠AOD 为锐角α，连接CD、BD，且CD a

=，则BD=

12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是

13. 设n（10

n≥）个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为

14. 关于x的方程22

(21)20

x m x m m

--++=的两个根分别为

1

x、

2

x.

（1）若

12

||5

x x

-=，求m的值；（2）若

1

x、

2

x均为整数，求m的值.

15. 如图，ABC

V中，5

AB BC

==，6

AC=，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP BQ

=，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，联结PQ，记AP x

=，POQ

V面积为y.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）联结QE，若PQE

V与POQ

V相似，求AP的长.

16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

17. 设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作[]x，如[1.2]1

=，[3]3

=，[ 1.3]2

-=-.

（1）

222

111

(10111)(11121)(201620171)

[][][]

1011111220162017

S=++⋅⋅⋅+

⨯-⨯-⨯-

⨯⨯⨯

，求[90]S；

（2）解关于x的方程：2

1

2312[]

2

x

x x

-

--=.

参考答案

1. 12

或1- 2. 4 3. 2± 4. 223k << 5. 6. 2a ≥ 7. 4 8. 5- 9. 34m <≤ 10.

32或3 11. 2a 12. 2 13. 5

14.（1）1-；（2）2-、32-、12-、0. 15.（1）22412255y x x =-+，502

x ≤<；（2）5 16. 第27层，最小值316

17.（1）9；（2）1或1.