2016年复旦附中自招数学试卷
【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题
6
2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、 填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项 式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的 面 积 为 16 ， 那 么 线 段 DE 的 长 度 是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32
1 9
2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）
上海四校自招-数学复旦附中卷_含答案
a2 b2 (ab)2
(ab)2
(7)2
49
49
4. 【注】原题应为 p 是奇质数 (2x p)(2 y p) p2
则 2x p 1， 2y p p2
∴ x p 1 ， y p2 p
2
2
5. 显然 x 0
两边平方得 x2 x 1 1 1 2 (x 1)(1 1)
xx
xx
两边同乘 x ，得 x3 x2 x 2 2 (x2 1)(x 1)
因此，经过 70s 时，甲乙位于同一条边
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
【高中知识点】解析几何——圆的方程、两根差公式、分离变量、均值不等式
9. 【注】原题应为“有且仅有一个实数根”，这样表达的更准确一些 原方程
2x 3
ax
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
2x 3 ax
x 1
x
2
4x2 12x 9 ax
x
3 2
x 2
a
4x
9 x
12
坐标；
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
1
(3) 设点 P 是 x 轴上的任意一点，分别连结 AC 、 BC 。比较 PA PB 与 AC BC 的大小关系，说明理 由。
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
涉及到的重要高中知识点几乎很少，但有些考察的并不浅，如第 9, 10, 11 题 并不是简单的通过初中知识就能解决的，需要较好的掌握才足以解决问题（如参变分离思想，对勾函 数的图像，均值不等式等） 因此，建议考生对于高中的这些特有的思想和知识，又与初中知识相关的，加强补习与训练，才能在 考试中占据优势
复旦附中自招真题解析
海
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ， 若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． 【答】4． A 【解析】设 AB 、 BC 、 CA 分别为 n 1 、 n 、 n 1 ，则
昂
立
智
立 方
B
C
上
2
2
B
D C
有 c 2 a 2 b2 2b2 c 2b ab 2 b b 2b 2 而 ab 2 a b c 2 0 b b a 5 ，
2 2 b 7b a 7 ，
若 a 5 ，25 c b c b c b 25 ，c b 1 c 13 ，b 12 代入两式验证成立； 若 a 6 ， 36 c b c b c b 18 ， c b 2 c 10 ， b 8 代入两式验证成立；
2
若它们为不同解，则 19m n 19 矛盾 19m n
原式
m 19m 4m 1 19m2 99m 1 95m 5 ． 19m 19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x 2 4 x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则 m 的取值范围是______________． 【答】 3 m 4 ． 【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、 b ， a b 4 2 ，
15 sin120 a a 2 3 2 4 则 a 2 2a 1 16 sin 60 2 S 2a 2 ABCD 2
上海中考自招真题26套及其答案
四校八大历年自招真题答案目录2013年上中自招试卷2014年上中自招试卷2015年上中自招试卷2011年华二自招试卷2012年华二自招试卷2014年华二自招试卷2013年华二冬令营数学试卷2015年年华二自招试卷2017年年华二自招试卷2013年复附自招试题2014年复附自招试题一2014年复附自招试题二2015年复附自招试题一2015年复附自招试题二2012年交附自招试题2013年交附自招试题2014年交附自招试题2015年交附自招试题2016年交附自招试题2014年七宝自招试题2016年七宝自招试题2016年南模自招试题2016年建平自招试题2017年建平自招试题建平数学培训资料试卷2015年控江自招试题2013年华二冬令营数学试卷1、“帽子函数”的图像如图所示：(1)求此函数的解析式；(2)若有抛物线23(),4y x a a =-+<求它与“帽子函数”图像的交点个数； (3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为5722，．【解析】：⑴1,211,12x k x k y x k k x k ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪-+++≤<+⎪⎩⑵0a <时，无交点0a =时，一个交点304a <<时，两个交点 ⑶考虑到34a =时，抛物线234y x =-+与帽子函数交于11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， 所以可以将234y x =-+向右平移3个单位，即满足条件 该抛物线解析式为()2334y x =--+2、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。
【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么L 型放入方格纸中，必定可以盖住1个黑格子和3个白格子，或者3个黑格子和1个白格子。
复旦大学自主招生考试数学试题及答案
1、设函数y=f（x）=e x+1，则反函数OyxOyxO x答案：A2、设f（x）是区间[a，b]f（x）是[a，b]上的递增函数，那么，f（xA．存在满足x<y的x，y∈[a，b]B．不存在x，y∈[a，b]满足x<y且fC．对任意满足x<y的x，y∈[a，b]D．存在满足x<y的x，y∈[a，b]答案：A3、设]2,2[,ππβα-∈，且满足sinαA． [−2，2] B． [答案：D4、设实数0,≥yx，且满足2=+yxA．97/8 B．答案：C5则该多面体的体积为______________。
A．2/3 B．3/4答案：D6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________。
A ．32个；B ．30个；C ．28个；D ．26个答案：B7、给定平面向量（1，1），那么，平面向量（231-，231+）是将向量（1，1）经过________． A ．顺时针旋转60°所得； B ．顺时针旋转120°所得； C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；答案：C8、在直角坐标系O xy 中已知点A 1（1，0），A 2（1/2，3/2），A 4（−1，0），A 5（−1/2，−3/2）和A6（1/2， −3/2）．问在向量−−→−ji A A （i ，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）中，不同向量的个数有_____． A ．9个； B ．15个； C ．18个； D ．30个答案：C9、对函数f:[0，1]→[0，1]，定义f 1（x ）=f （x ），……，f n（x ） =f （f n −1（x ）），n=1，2，3，……．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的一个n −周期点．现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n −周期点的个数是___________．A ．2n 个；B ．2n 2个；C ．2n个；D ．2（2n−1）个．答案：C10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________． A ．13π/12 B ．11π/12 C ．−π/4 D ．−7π/12答案：A11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin （β−α）=______． A ．±3/2B ．3/2，−1/2C ．±1/2D ．1/2，−3/2答案：D12、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1．设C 1和C 2分别是以y =±k 1（x −1）+1和y =±k 2（x −1）+1为渐近线且通过原点的双曲线．则C 1和C 2的离心率之比e 1/e 等于_______．A ．222111k k ++ B ．212211k k ++ C ．1 D ．k 1/k 2答案：C13、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f （x ）是____________．A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x =π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数．答案：C14、将同时满足不等式x −k y −2≤0，2x +3y −6≥0，x +6y −10≤0 （k>0）的点（x ，y ）组成集合D 称为可行域，将函数（y +1）/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点（x ，y ）使目标函数达到在可行域上的最小值．如果这个规划问题有无穷多个解（x ，y ），则k 的取值为_____．A ．k≥1;B ．k≤2C ．k=2D ．k=1．答案：C15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是________．A ．y 是x 的函数；B ．z 是y 的函数；C ．w 是z 的函数；D ．w 是x 的函数．答案：B16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________． A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”； B ．否命题为“单调函数是周期函数”； C ．逆否命题为“周期函数是单调函数”； D ．以上三者都不正确 答案：D17、设集合A={（x ，y ）|log a x +log a y >0}，B={（x ，y ）|y +x <a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______ A ．∅ B ．a>0，a≠1 C ．0<a≤2， a≠1 D ．1<a≤2答案：D18、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x −x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合（1）{n/（n+1）|n ∈Z ， n≥0}， （2） R\{0}， （3）{1/n|n ∈Z ， n≠0}， （4）整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____． A ．（2），（3）B ．（1），（4）C ．（1），（3）D ．（1），（2），（4）答案：A19、已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k =______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32-答案：A20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 答案：A21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2lD ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行 答案：D22、设ABC −A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB’A’的中心，则P 到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21B ．43C ．814D ．823答案：C23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系．那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 答案：A24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 答案：B25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量OC OB OA ,,分别变换成向量,,，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 答案：B26、设集合A ，B ，C ，D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅．则下列选项中正确的是______． A ．如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅； B ．如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅； C ．如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅； D ．上述各项都不正确．27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n nB ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P （x ，y ）关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是（A ）2244x y x y -=+（B ）()22222x y x y-=+（C ）()22442x y x y-=+（D ）()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±b y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k ， m ， n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A ．m ，n 都整除kB ．m ，n 的最大公因子整除kC ．m ，n ，k 两两互素D ．m ，n ，k 除1外没有其它共因子。
复旦附中2016学年第一学期高二期中考试试卷
复旦附中2016学年第一学期高二期中考试试卷一、填空题()()1,,9,6a k b k ==-，假设//a b ，那么实数k = . 32521x y x y +=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵为 . 23014x x +<，那么实数x 的取值范围是 .4.计算：1111393lim 1111242n n n →∞++++=++++ . ,x y 知足1000x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，那么z x y =+的最大值是 . l 通过点()3,2，且在量坐标轴上的截距相等，那么直线l 的方程是 .1l 与2l 的斜率别离是方程2610x x +-=的两根，那么直线1l 与2l 的夹角为 .()()1,12,3A B -、，直线1y ax =-与线段AB 相交，那么实数a 的取值范围是 .l 过点()3,3P ，点()1,1Q -到它的距离等于4，那么直线l 方程是 .ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 知足(),1AP AB AQ AC λλ==-，R λ∈，假设32BQ CP ⋅=-，那么λ= .2360x y +-=别离交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线1y x =--上，那么PA PB +，的最小值是 .a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 因此可能取值中的最小值，那么以下命题中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，那么min S 与a 无关；③若a //b ，那么min S 与b 无关； ④若4b a >，那么min 0S >；⑤若2b a =，min 8S =2a 则a 与b 夹角为4π二、选择题13.有以下四个命题：①若22lim n n a A →∞=，那么lim n n a A →∞=，②若0,lim n n n a a A →∞>=，那么0A >；③若lim n n a A →∞=，那么22lim n n a A →∞=，④若()lim 0n n n a b →∞-=，那么lim lim n n n n a b →∞→∞=.其中正确结论的个数是（ ）.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个 m ，直线130mx y m -+-=必通过的定点坐标是（ ）.A ()3,1 .B ()1,3 .C 1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.D 无法确信{},min ,,y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面内的非零向量，那么（ ） .A {}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ .B {}{}min ,min ,a b a b a b +-≥ .C {}22min ,a b a b a b +-≥+ .D {}22min ,a b a b a b +-≤+16. 已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，那么关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情形是（ ） A.不管21,,p p k 如何，老是无解 B 不管21,,p p k 如何，总有唯一解21,,p p k 如何，使之恰有两解 D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解三、解答题a 与b 所成的角为56π，且2,3a b ==，求32a b +，并求32a b +与a 的夹角.()()1:2350l m x m y +++-=和()2:62150l x m y +--=，问当m 为何值时，别离有：（1）1l 与2l 相交？（2）12l l ：（3）1l 与2l 重合.xoy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ,点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上.（1）假设0PA PB PC ++=,求OP ；（2）设(),OP mAB nAC m n R =+∈，用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.12:2,:2l y x l y x ==-，过点()2,0M -的直线l 别离与直线12,l l 交于,A B ,其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()1,0N .（1）假设NAB ∆的面积为16，求直线l 的方程；（2）直线AN 交2l 于点P ，直线BN 交1l 于点Q ，假设直线l ，PQ 的斜率都存在，别离设为12,k k ，判定12k k 是不是为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，请说明理由？21. 在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A .假设由1n n n b A A j +=⋅组成的数列{}n b 知足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，那么称{}n A 为T 点列. （1） 判定()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是不是为T 点列，并说明理由；（2）假设{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中持续三点1k k A A +、、2k A +，判定△12k k k A A A ++的形状 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并证明；（3）（附加题）若{}n A 是T 点列，正整数1m n p q ≤<<<知足m q n p +=+， 求证：n q m p A A j A A j ⋅>⋅.。
2016年复旦附中自主招生试卷
5. 如图，在梯形 ABCD 中， AB∥CD ，CD AB ，设 E 、F 分别是 AC 、BD 的中点， AC
与 BD 交于点 O ，已知 △OEF 是边长为1 的正三角形， △BOC 的面积为 15 3 ， 4
则梯形 ABCD 的面积为__________.
A
B
【答】16 3 【解析】设 BO a ，则 OD OC a 2 ，由 △AOB 、△ODC 均为正三角形，
19m
19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x2 4x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形
的三边长，则 m 的取值范围是___________.
【答】 3 m ≤ 4
【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、b ， a b 4 2 ，
则
sin120 2
a
a
2
15 43Fra bibliotek
S
ABCD
sin 60 2a
2
22
a2
2a
1
16
S
3 4 16 16 4
3
F
O E
D
C
6. 已知矩形 ABCD 中， AB 1，BC a ，若在边 BC 上存在点 Q ，满足 AQ QD ，则 a 的 取值范围是___ _______.
x 3，BH x2 32
BB ' 3 x2 32
4
BH
18x x2 9
2x2
9x
18
0
无解
历年上海复旦大学自主招生试题汇总
⽆忧考为⼤家整理的历年上海复旦⼤学⾃主招⽣试题汇总，供⼤家参考。
2012年复旦⼤学⾃主招⽣千分考试题 据复旦招办预计，2012年通过千分考进⼊⾃主招⽣⾯试的学⽣⽐例将与2011年基本持平，成绩和⾯试⽅案将于⼀周内公布。
以下是中国教育在线为您整理的2012年复旦“千分考”部分考题。
选摘考题如下： 1.冷战以后，我国规模的⼀次撤侨是从哪个国家撤离的？ 2.中国的13个船员是在哪条河遇难的？ 3.在欧债危机中，有哪些国家的政权发⽣了更迭？ 4.请从东到西排出“iPhone4S”第⼀批上市的⼏个国家。
5.“《社戏》、《藤野先⽣》、《从百草园到三味书屋》等是否都出⾃《朝花⼣拾》？ 6.按照时间顺序排列鲁迅的四⼤名著《药》、《狂⼈⽇记》、《阿Q正传》、《祝福》。
7."五⽉渡泸，深⼊不⽑"出⾃哪⾥？” 8.清朝哪位⽂⼈将⽂体分为阴柔派和阳刚派？ 9.以下哪个地⽅对柑橘的⽣长危险因素？ 10.中国的四个卫星发射中⼼哪个耗能？ 11.上海出租车在3公⾥以内收费14元，超过3公⾥10公⾥以内，是每公⾥2.4元，请计算要付的钱和公⾥数的函数关系。
12.伊丽莎⽩⼥王的权⼒受限是因为哪个法案？ 13.根据⽔稻育种、播种的时间，请判断这是什么地区？ 14.根据某地茶叶上市的时节来判断当地⽓候。
15.⼀个磁铁矿完全变成氯化铁矿，会有多少四氧化三铁的含量？ 16.1M字节等于多少K字节？ 17.如果⾦属钠失⽕，要⽤什么来扑灭？ 18.中国有4个卫星发射中⼼，哪个发射中⼼的能耗？ 19.把⼗元钱换成1元、5⾓、1⾓零钱，有⼏种不同的组合⽅法？ 20.⼆进制1101011转化成⼗进制是多少？ 21. 1M字节等于多少K字节？2011年复旦⼤学千分考试题选摘： 辨别莎⼠⽐亚作品台词； ⼼绞痛可以⽤何种药物治疗； 列举陀思妥耶夫斯基的代表作； 朝韩炮击事件是在哪⾥发⽣的； 去年联合国⽓候⼤会在哪⾥举⾏； 世界杯半决赛对阵的是哪四⽀球队； 《达·芬奇密码》是什么类型的⼩说； 《六书》中哪些是造字⽅法、哪些是⽤字⽅法； 辨别“⼲涸、征伐、蜡烛、多余”等繁体字正误； 说是⼀辆辆车⼦进站出站，考汽车进出站的顺序； 给出了⾜球世界杯中对阵的⼏组国家的名字，问哪组国家⽂化背景相似； 世博园中⼀位游客的⼿表显⽰6点，当时北京时间是7点，这位游客来⾃哪个时区2010年复旦⼤学⾃主招⽣试题 复旦⼤学⾃主招⽣笔试全是选择题，考查内容囊括语⽂、数学、外语、物理、化学、⽣物、政治、历史、地理和计算机⼗门学科。
2015-2016年上海市复旦附中高二(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是（锐角、直角或钝角）5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为cm．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是（设地球的半径为R）11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．416．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是1：8．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：由已知两个球的表面积之比是1：4，所以两个球的半径之比是1：2，所以两个球的体积之比1：8；故答案为：1：8．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是c≤b≤a．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的距离，即两个平面内直线的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故答案为：c≤b≤a．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是锐角（锐角、直角或钝角）【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：在OA，OB上取点A，B，使得AB∥α，则射影长A′B′等于AB=c，设OA′=a，OB′=b，则a2+b2=c2，∴cos∠AOB=＞=0，∴∠AOB是锐角；故答案为：锐角．5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），则直线l：3z+3+2=0化为：3x+1=0．∵点﹣+3i在直线3x+1=0上，∴在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．故答案为：y=3．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是8．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：设m=a+bi，∵（4+3i）x2+（a+bi）x+4﹣3i=0，∴（4x2+ax+4）+（3x2+bx﹣3）i=0，∴，∴a=﹣，b=﹣，∴|m|==≥==8，当且仅当x2=1时“=”成立，故答案为：8．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=．在直角三角形POA中，．所以=．故答案为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为6cm．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O′，则∵∠ACB=60°，∴∠AO′B=120°；则在等腰三角形ABO′中，AO′==8；即r=8；故球心O到平面ABC的距离为=6（cm）；故答案为：6．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是πR（设地球的半径为R）【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：由题意A，B在大圆上．∵地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，∴纬度差为30°+180°﹣45°=165°=π，∵地球半径为R，∴A、B两地的球面距离是πR．故答案为：πR．11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），∴平面ABC为：=1，∴1=（）2≤[（）2+（）2+（）2]（x2+y2+z2），解得x2+y2+z2≥．又M是底面ABC内一点，∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．故答案为：．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则co sθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=cosγ．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图，在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD2=a2+b2﹣2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ==．在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，∴a2cos2α=b2cos2β=AC2，∴a2cos2α+b2cos2β=2AC2=2abcosαcosβ，∴．∴f（γ）=cosγ．故答案为：cosγ．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD和A1D1，此时两直线所成的角为90°．．②若两异面直线为CD和AB1，此时两直线所成的角为45°．③若两异面直线为AC和DC1，此时两直线所成的角为60°．所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°．故选：A．14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；在②中，∵z=a+bi，=a﹣bi，∴‖z‖=‖‖=|a|+|b|，故②成立；在③中，当z1=2+3i，z2=3+2i时，‖z1‖=‖z2‖，但z1≠±z2，故③错误；④对任何复数z1，z2，z3，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，则‖z1﹣z3‖=|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．故选：C．15．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．16．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【解答】解：设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1﹣x，|AD|2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+故S ABCD=|AD|2∈[，1]V=S ABCD•h•2=S ABCD∈[，]．∴该八面体的体积可能值有无数个，故选：D．三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．【考点】A1：虚数单位i、复数；A8：复数的模．【解答】解：设z=x+yi （x、y∈R），则原方程变成（2分）⇔⇔或（4分）⇔或∴原方程的解为，±1，±3．（6分）18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE=B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB=BC=5，∴AC=5，∴sin∠CAD==．∴直线AC与平面ABD所成角的大小为．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD=AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD==4，∴AD==．∴BM==．即B到平面ACD的距离为．（3）线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕AB旋转一周所得几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥，∴△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积V=﹣=15π．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．【考点】L2：棱柱的结构特征；LW：直线与平面垂直．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．【考点】L2：棱柱的结构特征；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，则∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在等边三角形BCD中，∵BC=CD=BD=1，∴DE=，在等腰三角形ABC中，∵AB=AC=，BC=1，∴AE=．在△AED中，由余弦定理得cos∠AED=；（2）当两条长为a的棱相交时，不妨设AB=AC=a，AD=BD=CD=BC=1，∵面ABC与平面BCD重合且A，D在BC异侧时，AE=，此时AB=AC=，面ABC与平面BCD重合且A，D在BC同侧时，AE=1+，此时AB=AC=．∴；当两条长为a的棱互为对棱时，不妨设BC=AD=a，AB=AC=BD=CD=1，BC，AD可以无限趋近于0，当ABCD为平面四边形时a=，∴0．综上，若四面体存在，则0＜a．。
2016-2017年上海市复旦附中高三上第一次月考
一. 填空题
1. 不等式 1 1 的解为 x3
2. 已知集合 A {y | y x2 1, x R} ， B {x | y lg(1 x)} ，则 A B
3. 已知奇函数 g(x) ，当 x 0 时， g(x) x2 x ，则 x 0 时， g(x) 4. 函数 y x3 4 ， x [1, 4] 的值域为
18. 已知函数 f (x) a x x （ a 为常数，且 a N * ），对于定义域内的任意两个实数
x1 、 x2 ，恒有 | f (x1) f (x2 ) | 1 成立，则正整数 a 可以取的值有（ ）个
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
三. 解答题
19. 设复数 z a bi (a, b R) ，若 z 是纯虚数，求| z 2 | 的取值范围； z 1
3x
9. 已知方程 x2 px 4 0 ( p R) 有两个虚根,，则2 2 的取值范围是
10. 从集合{1,2,3,4,5,6, 7,8, 9,10} 中任取两个数，要使取到的一个数大于 k ，另一个数小 2
于 k （其中 k {5, 6, 7,8,9} ）的概率是 ，则 k 5
11. 已知命题 p : x 1或 x 3 ，命题 q : x 3m 1 或 x m 2 ，若 p 是 q 的充分非必要 条件，则实数 m 的取值范围是
的子数组，求C( A, S ) 的最大值；
（3）若数组 A (a , a , a ) 中的“元”满足 a 2 a 2 a 2 1，设数组 B (m N *) 含有
123
1
2
3
m
四个“元” b ,b ,b ,b ，且b 2 b 2 b 2 b 2 m ，求 A 与 B 的所有含有三个“元”
2016-2017学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B =________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C按从小到大的顺序排列是________.6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X-=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X∆=-- ，已知{}2,A y y x x R==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B；复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________【答案】20162【分析】若集合中有n 个元素,则该集合有2n 个子集,显然,集合中的元素有2016个,即2016n =,代入2n 中即可【详解】由题,集合中有2016个元素,所以该集合有20162个子集,故答案为:20162【点睛】本题考查集合的子集个数,属于基础题2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B = ________【答案】{|12}x x <<【分析】先求的A B ⋃,再求得补集即可【详解】由题,{|1A B x x ⋃=≤或}2x ≥,所以(){}U |12A B x x ⋃=<<ð,故答案为:{|12}x x <<【点睛】本题考查集合的并集、补集运算,属于基础题3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【分析】由A B ⋂≠∅,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ⋂≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________【答案】{,}a e 【分析】由题,用维恩图来表示集合,由图即可得到B 集合【详解】由题,将集合用维恩图表示,则{},B a e =,故答案为:{,}a e 【点睛】本题考查图示法处理集合问题,属于基础题5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C 按从小到大的顺序排列是________.【答案】B ＜C ＜A【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.【详解】方法一：212112120,0,1a a b b a a b b >>>>+=+= ，不妨令12121212,,,3333a ab b ====，11221221145224,999999A a b a bB a b a b =+=+==+=+=，1 4.529C == ，B C A \<<，故答案为：B ＜C ＜A .方法二：∵210a a >>，210b b >>，∴由排序原理可知：22112112a b a b a b a b +>+，∵12121,1a a b b +=+=，()()1212111221221a a b b a b a b a b a b ∴=++=+++()()()2211211222112a b a b a b a b a b a b =+++<+221112a b a b ∴+>，∴A ＞C ＞B ﹒故答案为：B ＜C ＜A .6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.【答案】3-.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b++=⎧⎨=+⎩，2a b +=，2≥，2≤=-，所以6ab ≤-则三角形的面积132ABC S ab ∆=≤-.故答案为3-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________【答案】16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12,当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=,故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________【答案】{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >,所以{}|30A B x x ⋂=-<<,故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X -=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X ∆=-- ，已知{}2,A y y x x R ==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.【答案】[)()2,02-+∞ ，【分析】由A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，先求出A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，再求A △B 的值．【详解】∵A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，∴A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，∴A △B ＝{y |y ＞2}∪{y |﹣2≤y ＜0}，故答案为[﹣2，0）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X ﹣Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }、X △Y ＝（X ﹣Y ）∪（Y ﹣X ）．10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________【答案】2a【分析】分别求出集合A 、B 中的元素,再求出集合A 、B 的并集,即可求解【详解】由题,因为12x a a -<+,所以11222x a -<<+,则11|2,22A x x a x Z ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭；因为2x a <,所以22a x a -<<,则{}|22,B x a x a x Z =-<<∈,因为常数a 是正整数,所以{}0,,,,2A a a = ,{}21,,0,,21B a a =-+- ,所以{}21,,0,,21,2A B a a a ⋃=-+- ,所以A B ⋃中所有元素之和是2a ,故答案为:2a【点睛】本题考查集合的并集,考查解含绝对值的不等式11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________【答案】①④【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”【详解】①对于任意非负整数,a b ,则a b +仍为非负整数,即a b G +∈；取0e =,则00a a a +=+=,故①符合题意；②对于任意偶数,a b ,则ab 仍为偶数,即ab G ∈；但是不存在e G ∈,使对一切a G ∈都有ae ea a ==,故②不符合题意；③对于G 是所有二次三项式组成的集合,若,a b G ∈,ab 不再是二次三项式,故③不符合题意；④对于{|,}G x x a a b Q ==+∈,设1x a =+2x c =+,则()(122x x ac bd ad bc ⋅=+++,即12x x G ⋅∈；取1e =,则11a a a ⨯=⨯=,故④符合题意,故答案为:①④【点睛】本题考查对新定义“融洽集”的理解,考查理解分析能力12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【分析】将A B ⋂中有且仅有一个元素，转化为方程只有一个解，分情况讨论，确定参数范围.【详解】由集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，且A B ⋂中有且仅有一个元素，a x x a ∴=+只有1个解，若0x ≥，则ax x a =+，1a x a =-，若0x <，则ax x a -=+，1ax a =-+，所以0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪-≤⎪+⎩或101a a a =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩，解得11a -≤≤，故答案为：[]1,1-.二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【答案】A【分析】由题意可知集合B 表示整数的3倍且大1的数的集合,则找到集合A 中符合条件的最大元素即可【详解】由题,因为{|31,}B x x k k Z ==+∈,即为整数的3倍且大1的数的集合,则A B ⋂中的最大元素为2014,故选:A【点睛】本题考查集合的交集定义,属于基础题14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-【答案】D【详解】因为()()()U UUB A B A ⋃=⋂痧所以()()U UU A B A B ⋂=⋃⎡⎤⎣⎦痧，所以A B ⋂共有m n -个元素，故选D ．15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠【答案】D【分析】直接利用逆否命题的定义得到答案.【详解】己知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是：己知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠故选D【点睛】本题考查了命题的逆否命题，意在考查学生对于命题基础知识的掌握情况.16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可【详解】①“a b =”⇒“ac bc =”,但当0c =时,“ac bc =”无法推出“a b =”,则“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件,故①是假命题；②“5a +是无理数”⇒“a 是无理数”,且“a 是无理数”⇒“5a +是无理数”,则“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,故②是真命题；③当12a b =>-=时,2214a b =<=,即“a b >”无法推出“22a b >”,且当2241a b =>=时,21a b =-<=,即“22a b >”无法推出“a b >”,则“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；④因为{}|3a a <{}|4a a <,所以“4a <”是“3a <”的必要条件,故④是真命题；综上,真命题有2个,故选:B【点睛】本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；【答案】1a =或2或3【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可【详解】由A B A ⋃=可得B A ⊆,若B =∅,则()2140a a ∆=+-<,解得a ∈∅；若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =,①当1a =,则{}1B =,符合题意；②当2a =,则{}1,2B =,符合题意；③当3a =,则{}1,3B =,符合题意；综上,1a =或2或3【点睛】本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；【答案】证明见解析【分析】先对33+a b 与22a b ab +作差证明3322a b a b ab +≥+,同理证明3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,再求和即可得证【详解】证明:()()()()()()()()233222222a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +-+=-+-=--=+-,因为,,a b c R +∈,所以0a b +>,()20a b -≥,所以()()33220a b a b ab +-+≥,即3322a b a b ab +≥+,同理,3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,所以333333222222a b b c a c a b ab b c bc a c ac +++++≥+++++,即3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c++≥+++++【点睛】本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）作差(12111a a a -=+,讨论1a2a （2）整理问题为21a a <-,进而求证即可【详解】证明:（1）(121112111a a a a --=+-++,因为若1a >,则10a >,又10<,则2a <；若1a <则10a <,又10-<,则2a >,介于1a 与2a 之间（2）12111121a a a a a a ----=--+,因为10a >20-<,10a>,所以210a a -<,所以21a a -<-所以2a 比1a 【点睛】本题考查不等式的证明,考查运算能力与分类讨论思想20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；【答案】19m <<【分析】①对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,讨论0m =与0m ≠的情况,进而求解；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,二者求并集即可【详解】解:①由题,对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,当0m =时,不等式为310x -+>不成立,舍去；当0m ≠时,()20340m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩,解得19m <<；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,综上,19m <<【点睛】本题考查含参的一元二次不等式恒成立问题,考查分类讨论思想21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B 中元素个数最少，并用列举法表示集合B ；【答案】（1）答案见解析（2）[44k ∈--+，{2,3,4,5}B =【分析】（1）对k 进行分类讨论,分别讨论0k =,0k <,01k <<或9k >,19k ≤≤的情况,进而求解即可；（2）由（1）可知当0k <时,集合B 为有限集,利用对勾函数可知933442k k ++≤,当且仅当3k =-时等号成立,进而求解即可【详解】（1）当0k =,11{|}2A x x =<；当0k ≠时,令21291142k k k ++=,解得1k =或9k =,则当1k <或9k >时,9113442k k ++<,当19k <<时,9113442k k ++>,①当0k <,911{|3}442k A x x k =++<<；②当01k <<或9k >,11{|2A x x =<或93}44k x k >++；③当19k ≤≤,9{|344k A x x k =<++或11}2x >；（2）因为B A Z = （其中Z 为整数集）,由（1）,当0k ≥时,集合B 中的元素的个数无限；当0k <时,集合B 中的元素的个数有限,此时集合B 为有限集,因为0k <,所以9933333444422k k k k ⎛⎫++=---+≤-+= ⎪⎝⎭,当且仅当944k k -=-,即3k =-时等号成立,所以{2,3,4,5}B =且93144k k++≥，所以2890k k ++≤，所以[44k ∈--+【点睛】本题考查解含参的不等式,考查交集的定义的应用,考查分类讨论思想。
2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三(上)第二次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷一.填空题1．函数f（x）=的定义域为．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=．3．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解，则实数m的值为．5．已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=．6．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则的最小值是．7．若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．8．等比数列{a n}前n项和，n∈N*，则=．9．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．10．已知函数f（x）=，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．11．已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为．12．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是．二.选择题13．设全集U=R，已知A={x|＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣2]C．（2，3] D．[2，3）14．已知a、b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要15．下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A．0 B．1 C．2 D．316．已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是（）A．3πB．2πC．πD．18．已知O是正三角形△ABC内部的一点，+2+3=，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A．B．C．2 D．1三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，4S n=（a n+1）2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+（∈N*），试求（b1+b2+…+b n﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．23．已知函数f（x）=log2（x+a）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜，当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g （x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R 上恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=的定义域为[﹣2，0）∪（0，2] ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分母不为0联立不等式组求解．解：由，解得：﹣2≤x≤2且x≠0．∴函数f（x）=的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]．故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=﹣i．【分析】根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i【点评】本题考查复数的代数形式的运算，本题解题的关键是整理出复数的表示式，再进行复数的除法运算，或者设出复数的代数形式，根据复数相等的充要条件来解题．3．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为（x ﹣1）2+y2=4．【分析】求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解，则实数m的值为﹣2．【分析】根据二元一次方程组的增广矩阵是（），该方程组无解，可得且，从而可求实数m的值．解：∵二元一次方程组的增广矩阵是（），该方程组无解，∴且，∴m2﹣4=0且4m﹣m（m+2）≠0，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义．5．已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=﹣2．【分析】由题意可得y=g（x）是y=f（x）的反函数，得到函数y=g（x）的图象关于（0，﹣1）点中心对称图形，结合x1+x2=0，可得g（x1）+g（x2）的值．解：∵定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且y=g（x）是y=f（x）的反函数，∴函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称，故函数y=g（x）的图象关于（0，﹣1）点中心对称图形，∴点（x1，g（x1））和点（x2，g（x2））是关于点（0，﹣1）中心对称，∴，，∵x1+x2=0，∴g（x1）+g（x2）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数的性质，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是中档题．6．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则的最小值是25．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵x，y∈R+，且4x+y=1，则=（4x+y）=13++≥13+2=25．故答案为：25．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，求出r=0，2，4，6时，为有理项，即可求出概率．解：因为二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，所以n=6．=所以其通项为T r+1所以r=0，2，4，6时，为有理项，所以所求概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．8．等比数列{a n}前n项和，n∈N*，则=﹣．【分析】根据等比数列{a n}的前n项和推知a1和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．解：∵等比数列{a n}前n项和为S n=a+（﹣）n，n∈N*，∴a n=S n﹣S n﹣1=a+（﹣）n﹣a+（﹣）n﹣1=﹣•（﹣）n﹣1，∴a1=﹣，q=﹣∴a1，a3，a5，…，a2n﹣1，为首项﹣，公比为的等比数列，∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1==﹣（1﹣），∴=（﹣（1﹣）=﹣故答案为：【点评】本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．9．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆9.6公斤．【分析】设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，根据体积相等建立等式关系，然后求出64个小球球面的总面积，从而求出所求．解：设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，依题意得知：面积为4πR2需要要用油漆2.4kg．由=64×，可得r=R64个小球球面的总面积为：64×4πr2=4×（4πR2）∴4×2.4=9.6（kg）故答案为：9.6．【点评】本题是基础题，考查球的体积的求法，考查计算能力，送分题．10．已知函数f（x）=，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．【分析】要使函数f（x）=x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t，解得t；要使函数f（x）=在x＞3单调递减，则必须满足t ﹣13＜0，解得t；又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＞f（4），解得t．联立解得即可．解：要使函数f（x）=x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t；要使函数f（x）=在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t ＜13．又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）=27﹣9t＞f（4）=（t﹣13）•，解得t＜4．故t的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．11．已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为或．【分析】由f（x）≥f（），可知f（）是函数f（x）的最小值，利用辅助角公式求出a，b的关系，然后利用三角函数的图象和性质进求解即可．解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）其中tan，由f（x）≥f（），则f（）是函数f（x）的最小值，即f（）=，∴f（）=，即，平方得，，即，∴，解得b=﹣，∵tan=，不妨设，则f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x﹣），由f（x）=sin（2x﹣）=0，解得2x﹣=kπ，即x=，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，x=，当k=1时，x=，故x=或=．故答案为：或．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的辅助角公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．12．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b （k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是②④．【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h （x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D 且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g （x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h（x）=kx+b 的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f （x）﹣g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时，令F（x）=f（x）﹣g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）﹣g （x）→0，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=f（x）﹣g（x）==，因为当x＞1且x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以存在分渐近线；对于③f（x）=，g（x）=，f（x）﹣g（x）==当x＞1且x→∞时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x→∞时f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→∞时，f（x）﹣g（x）===→0，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故答案为②④．【点评】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．二.选择题13．设全集U=R，已知A={x|＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣2]C．（2，3] D．[2，3）【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．解：由A中不等式变形得：（2x+3）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣或x＞2，即A=（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），∴∁U A=[﹣，2]，由B中不等式变形得：﹣2＜x﹣1＜2，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∴（∁U A）∩B=（﹣1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．14．已知a、b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要【分析】利用不等式的性质与解法分别化简命题甲、乙，即可判断出关系．解：由命题乙：，可得：a＜b＜0．命题甲：ab＞b2，化为：b（a﹣b）＞0，∴，或，解得a＞b＞0，或a＜b＜0．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可判断出正误；（2）利用异面直线的性质与线面平行的判定定理即可断出正误；（3）利用直四棱柱与直平行六面体的定义，即可判断出正误；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．解：（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面不一定平行，因此不正确；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个，正确；（3）直四棱柱不是直平行六面体，因此不正确；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．综上正确的有1个．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、线面平行的判定定理、直四棱柱与直平行六面体的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是（）A．3πB．2πC．πD．【分析】由题意可得•=π，求得ω 的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且•=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．18．已知O是正三角形△ABC内部的一点，+2+3=，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A．B．C．2 D．1【分析】对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究即可，解：+2+3=，变为，设D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知，2，故，由于正三角形ABC，故S△AOC =S△ADC=××S△ABC=S△ABC，又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半，所以S△AOB=×S△ABC∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为．故选：B．【点评】本题考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义，本题中把两个三角形的面积都用三角形ABC的面积表示出来，这是求比值问题时常采用的思路，统一标准，属于中档题．三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【分析】（1）证明AB⊥BCC1B1，说明A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高，然后求解四棱锥A1﹣BCC1B1的体积．（2）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出=（1，1，0）是平面A1C1C 的一个法向量．平面A1B1C的一个法向量利用向量的数量积求解二面角B1﹣A1C ﹣C1的大小．【解答】（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题，第（2）小题．解：（1）因为AB⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB⊥BCC1B1，从而A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高．…四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V=×2×2×2=…（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），…设AC的中点为M，∵BM⊥AC，NM⊥CC1，∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是=（x，y，z），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0）…∴=﹣2x=0，，令z=1，解得x=0，y=1.=（0，1，1），…设法向量与的夹角为β，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosβ|=，∴θ=．二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为…【点评】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．【分析】（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围．解：（1）设P（x，y），则，∴曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，所以，∵，∴，∴0＜b≤2，由双曲线C2的焦距为2，故双曲线C2的焦距的取值范围∈（2，2]．【点评】本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．22．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，4S n=（a n+1）2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+（∈N*），试求（b1+b2+…+b n﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．【分析】（1）通过4a n+1=4S n+1﹣4S n得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，进而可得结论；（2）通过分离b n的分母可得b n=2+2（﹣），累加后取极限即可；（3）假设存在大于2的正整数m、k使得a m+a m+1+…+a m+k=300，通过（1）可得300=（2m+k﹣1）（k+1），利用2m+k﹣1＞k+1≥4，且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同，即得结论．解：（1）∵4S n=（a n+1）2，∴4S n+1=（a n+1+1）2，两式相减，得4a n+1=4S n+1﹣4S n=（a n+1）2﹣（a n+1+1）2=﹣+2a n+1﹣2a n，化简得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，又∵数列{a n}各项均为正数，∴a n+1﹣a n=2 （n∈N*），∴数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=2n﹣1 （n∈N*）．（2）因为b n=+=+=2+2（﹣），故b1+b2+…+b n=2n+2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n+2（1﹣），于是（b1+b2+…+b n﹣2n）=[2（1﹣）]=2；（3）结论：存在大于2的正整数m、k使得a m+a m+1+…+a m+k=300．理由如下：假设存在大于2的正整数m、k使得a m+a m+1+…+a m+k=300，由（1），可得a m+a m+1+…+a m+k=（2m+k﹣1）（k+1），从而（2m+k﹣1）（k+1）=300，由于正整数m、k均大于2，知2m+k﹣1＞k+1≥4，且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同，故由300=22×3×52，得或，解得或，因此，存在大于2的正整数m、k：或，使得a m+a m+1+…+a m+k=300．【点评】本题考查求数列的通项，涉及到极限等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．23．已知函数f（x）=log2（x+a）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜，当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g （x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R 上恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式化为1＜，且2﹣2x＞0且x+1＞0，解不等式组可得x的取值范围；（2）函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），表示函数的周期为4，结合函数g（x）为奇函数，可求出x∈[﹣3，﹣1]时，函数g（x）的解析式，进而得到其反函数；（3）关于x的不等式关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，等价于g（）≥g（﹣）在R上恒成立，即u==﹣，∈[﹣，]，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取值范围．解：（1）原不等式可化为，∴1＜，且2﹣2x＞0，且x+1＞0，得3﹣2．（2）∵g（x）是奇函数，∴g（0）=0，得a=1，当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x﹣2∈[0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=g（﹣x﹣2）=log2（﹣x﹣1），此时g（x）∈[0，1]，x=﹣2g（x）﹣1，h（x）=﹣2x﹣1（x∈[0，1]）．当x∈（﹣2，﹣1]时，﹣x﹣2∈[﹣1，0），x+2∈（0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3），此时，﹣g（x）∈[﹣1，0），x=2﹣g（x）﹣3，h（x）=2﹣x﹣3．（x∈[﹣1，0））．∴．（3）∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴记u==﹣，∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴g（）≥=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣）=（﹣），∴（﹣，）∈[﹣，]，解得t∈[﹣1，20]．当t+1＜0时，u∈（﹣，﹣）=（），由g（）≥=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R 上恒成立，得，解得t∈[﹣4，﹣1）．综上所述，实数t的取值范围是[﹣4，20]．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数，对数的运算性质，存在性问题，函数的最值，是函数图象和性质较为综合的应用，难度较大．。
复旦附中自招题
复旦附中自招题一、背景介绍复旦附属中学是上海市一所优秀的高级中学，也是全国重点中学之一。
自招是指该校通过独立招生考试，选拔出一批优秀的初中毕业生直接进入高中阶段学习。
复旦附中自招题是指在这个考试中出现的各种题型和题目，涵盖了多个学科的知识。
二、自招题的类型复旦附中自招题主要包括选择题、填空题、解答题等多种类型。
其中，选择题占据了较大比例，考察学生对知识点的掌握和理解。
填空题则更加注重对知识点的灵活运用和推理能力。
解答题则要求学生对某个问题进行深入思考，并用文字作出详细回答。
三、自招题的范围复旦附中自招题覆盖了初中阶段的各个学科，如语文、数学、英语、物理、化学等。
每个科目都有相应的考点和知识点需要掌握。
例如，在语文科目中，可能会涉及到文言文阅读、现代文阅读、写作等方面的内容；在数学科目中，可能会考察代数、几何、概率等知识点；在英语科目中，可能会考察听力、阅读理解、写作等技能。
四、自招题的难度复旦附中自招题的难度相对较高，要求学生有扎实的基础知识和较强的思维能力。
题目往往涉及到对知识点的深入理解和运用，需要学生具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，备战复旦附中自招考试需要提前做好充分准备，加强对各个学科知识点的掌握，并进行针对性的练习和训练。
五、备战复旦附中自招考试的建议1.提前规划：提前了解复旦附中自招考试的内容和要求，并制定合理的备考计划。
2.扎实基础：加强对各个学科知识点的掌握，建立扎实的基础。
3.多练习：进行大量的习题训练，熟悉各种题型，并注意总结归纳解题方法和技巧。
4.多思考：在解题过程中，注重思考问题的本质和解决方法，培养逻辑思维和推理能力。
5.查漏补缺：及时发现自己的不足之处，针对性地进行补充学习和强化训练。
6.考前冲刺：在考前适当加大复习强度，进行模拟考试和真题训练，熟悉考试环境和节奏。
六、总结复旦附中自招题是备战复旦附中自招考试的重要内容。
掌握自招题的类型、范围和难度，并合理制定备考计划，扎实基础知识，多练习并注重思考问题的本质和解决方法，可以提高备战复旦附中自招考试的效果。
上海市复旦大学附中2016年10月2016～2017学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用
2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一上学期期中数学试卷一.填空题1.集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为.2.已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝.3.已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是.4.己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.5.已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是.6.已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为.7.我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.8.已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝.9.对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A ＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝.10.已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为.11.非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是(请填写编号)12.集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是.二.选择题13.已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n15.命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠016.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B＝A,求实数a.18.已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.19.设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.20.已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.21.已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(2016秋•杨浦区校级期中)集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为22016.【知识考查点】子集与真子集.【专题】集合思想;集合.【试题分析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集. 【试题解答】解:∵集合{1,2,3,…,2015,2016}中有2016个元素,∴集合M{1,2,3,…,2015,2016}的子集的个数为22016;故答案为:22016.【点评】本题考查了集合的子集个数,若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集,有(2n﹣1)个真子集,属于基础题.2.(2016秋•杨浦区校级期中)已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2} .【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;定义法;集合.【试题分析】根据并集与补集的定义,进行计算即可.【试题解答】解:全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},所以A∪B＝{x|x≤1或x≥2},所以∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2}.故答案为:{x|1＜x＜2}.【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题,是基础题目.3.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是[1,＋∞).【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】题中条件:“A∩B≠∅,”表示两个集合的交集的结果不是空集,即可求解实数a的取值范围.【试题解答】解:集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},因为A∩B≠∅,所以a≥1故答案为:[1,＋∞)【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法,考查运算能力,是基础题.4.(2016秋•杨浦区校级期中)己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;综合法;集合.【试题分析】根据全集U,以及A与B并集的补集确定出A与B的并集,再根据A与B的交集及A,确定出B即可.【试题解答】解:∵U＝{a,b,c,d,e,f},∁U(A∪B)＝{f},∴A∪B＝{a,b,c,d,e},∵A∩B＝{b};A＝{a,b,c,d},∴b∈B,e∈B,b∉B,c∉B,d∉B,∴B＝{b,e}.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.5.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A.【知识考查点】不等式比较大小.【专题】计算题;转化思想;转化法;不等式.【试题分析】不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,分别求出A,B,比较即可【试题解答】解:∵a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,A＝a1b1＋a2b2＝＋＝,B＝a1b2＋a2b1＝＋＝,∵C＝＝∴B＜C＜A故答案为:B＜C＜A.【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单有效的方法,属于基础题.6.(2016秋•杨浦区校级期中)已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为3﹣2.【知识考查点】正弦定理.【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;不等式的解法及应用.【试题分析】设直角边长为a,b,则斜边长为,利用直角三角形ABC的三边之和为2,可得a＋b＋＝2,利用基本不等式,即可求△ABC的面积的最大值.【试题解答】解:设直角边长为a,b,则斜边长为,∵直角三角形ABC的三边之和为2,∴a＋b＋＝2,∴2≥2＋,∴≤＝2﹣,∴ab≤6﹣4,∴S＝ba≤3﹣2,∴△ABC的面积的最大值为3﹣2.故答案为:3﹣2.【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于中档题.7.(2016秋•杨浦区校级期中)我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;新定义;转化思想;转化法;集合.【试题分析】当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,由此能求出M∩N的长度的最小值.【试题解答】解:根据题意,M的长度为,N的长度为,当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,故M∩N的长度的最小值是＝.故答案为:.【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.8.(2016秋•杨浦区校级期中)已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝{x|﹣3＜x＜0} .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;方程思想;定义法;集合.【试题分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B,由此利用交集的性质能求出A∩B. 【试题解答】解:∵A＝{x|＞x}＝{x|﹣2≤x≤1,或x＜0},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0}＝{x|﹣3＜x＜0或x＞3},∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}.故答案为:{x|﹣3＜x＜0}.【点评】本题考查交集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用.9.(2016秋•杨浦区校级期中)对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y ＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝[﹣3,0)∪(3,＋∞).【知识考查点】子集与交集、并集运算的转换.【专题】综合题;方程思想;演绎法;集合.【试题分析】由A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},先求出A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},再求A△B的值.【试题解答】解:∵A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},∴A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},∴A△B＝{y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0},故答案为:[﹣3,0)∪(3,＋∞).【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意正确理解X ﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y}、X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X).10.(2016秋•杨浦区校级期中)已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为2a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】集合思想;转化法;集合.【试题分析】分别求出集合A、B中的元素,从而求出A、B的并集,求和即可.【试题解答】解:A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z}＝{0,a,2a},B＝{x||x|＜2a,x∈Z}＝{﹣a,0,a},则集合A∪B＝{﹣a,0,a,2a},故集合A∪B中所有元素之和是2a,故答案为:2a.【点评】本题考查了集合的运算,考查解绝对值不等式问题,是一道基础题.11.(2016秋•杨浦区校级期中)非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是①④(请填写编号)【知识考查点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义;集合思想;集合.【试题分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”.【试题解答】解:①对于任意非负整数a,b知道:a＋b仍为非负整数,所以a⊕b∈G;取e＝0,及任意非负整数a,则a＋0＝0＋a＝a,因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”;②对于任意偶数a,b知道:a＋b仍为偶数,故有a＋b∈G;但是不存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,故②的G不是“融洽集”.③对于G＝{二次三项式},若a、b∈G时,a,b的两个同类项系数,则其积不再为二次三项式,故G不是和谐集,故③不正确;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},设x1＝a＋b,x2＝c＋d,则设x1＋x2＝(a＋c)＋(b＋d),属于集合G,取e＝1,a×1＝1×a＝a,因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”,故④中的G是“融洽集”.故答案为①④.【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力,及对有关知识的掌握情况.关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件.12.(2016秋•杨浦区校级期中)集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是[﹣1,1] .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;转化思想;转化法;集合.【试题分析】由已知得a|x|＝x＋a有1个解,由此能求出常数a的取值范围.【试题解答】解:∵集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},集合A∩B中有且仅有一个元素,∴a|x|＝x＋a有1个解,若x≥0,ax＝x＋a,x＝,若x＜0,﹣ax＝x＋a,x＝﹣,由已知得或或或,解得﹣1≤a≤1.∴常数a的取值范围是[﹣1,1].故答案为:[﹣1,1].【点评】本题考查常数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.二.选择题13.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】由题意求出A与B的交集,即可作出判断.【试题解答】解:∵A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014.故选:A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.14.(2009•江西)已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n【知识考查点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】数形结合.【试题分析】要求A∩B的元素个数,可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图,根据图来分析(如解法一),也可以利用德摩根定理解决(如解法二).【试题解答】解法一:∵(C U A)∪(C U B)中有n个元素,如图所示阴影部分,又∵U＝A∪B中有m个元素,故A∩B中有m﹣n个元素.解法二:∵(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)有n个元素,又∵全集U＝A∪B中有m个元素,由card(A)＋card(C U A)＝card(U)得,card(A∩B)＋card(C U(A∩B))＝card(U)得,card(A∩B)＝m﹣n,故选D.【点评】解答此类型题目时,要求对集合的性质及运算非常熟悉,除教材上的定义,性质,运算律外,还应熟练掌握:①(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)②(C U A)∩(C U B)＝C U(A∪B)③card(A∪B)＝card(A)＋card(B)﹣card(A∩B)等.15.(2016秋•杨浦区校级期中)命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠0【知识考查点】四种命题间的逆否关系.【专题】定义法;简易逻辑.【试题分析】根据已知中原命题,写出逆否命题,可得答案.【试题解答】解:命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是“已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0”故选:C【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.16.(2016秋•杨浦区校级期中)对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识考查点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】综合法;简易逻辑.【试题分析】逐项判断即可.①由ac＝bc不能推出a＝b;②由5是有理数易判断;③根据不等式的性质可得;④根据充分必要条件的定义易得.【试题解答】解:①由“a＝b“可得ac＝bc,但当ac＝bc时,不能得到a＝b,故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件,故①错误;②因为5是有理数,所以当a＋5是无理数时,a必为无理数,反之也成立,故②正确;③取a＝1,b＝﹣2,此时a2＜b2,故③错误;④当a＜4时,不能推出a＜3;当a＜3时,有a＜4成立,故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件,故④正确.综上可得正确的命题有2个.故选:B.【点评】本题考查充分必要条件的判断,掌握充分必要条件的定义是关键.属于基础题.三.解答题17.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B ＝A,求实数a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】计算题;分类讨论;集合.【试题分析】根据A∪B＝A,得到B⊆A,然后分B为空集和不是空集讨论,A为空集时,只要二次方程的判别式小于0即可,不是空集时,分别把1和2代入二次方程求解a的范围,注意求出a后需要验证.【试题解答】解:由A∪B＝A,得B⊆A.①若B＝∅,则△＝(a＋1)2﹣4a＜0,解得:a∈∅;②若1∈B,△＝(a＋1)2﹣4a＝0,此时a＝1,满足12﹣a﹣1＋a＝0,此时B＝{1},符合题意;③若2∈B,则22﹣2a﹣2＋a＝0,解得:a＝2,此时A＝{2,1},满足题意.④若3∈B,则32﹣3a﹣3＋a＝0,解得:a＝3,此时A＝{3,1},满足题意.综上所述,实数a的值为:1,2,3.【点评】本题考查了并集及其运算,考查了分类讨论的数学思想,求出a值后的验证是解答此题的关键,是基础题.18.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【知识考查点】不等式的证明.【专题】证明题;转化思想;演绎法;不等式的解法及应用.【试题分析】作差,因式分解,即可得到结论.【试题解答】证明:(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)＝a2(a﹣b)＋b2(b﹣a)＝(a﹣b)(a2﹣b2)＝(a﹣b)2(a＋b)∵a＞0,b＞0,∴(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)≥0∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理b3＋c3≥bc2＋b2c,a3＋c3≥ac2＋a2c,三式相加,可得2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19.(2016秋•杨浦区校级期中)设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.【知识考查点】二分法求方程的近似解.【专题】证明题;转化思想;作差法;不等式.【试题分析】(1)利用作差法,再因式分解,确定其符号,即可得到结论;(2)利用作差法,判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0,即可得到结论【试题解答】证明:(1)a2﹣＝1＋﹣＝,∵若a1＞,∴a1﹣＞0,而1﹣＜0,∴a2＜∵若a1＜,∴a1﹣＜0,而1﹣＜0,∴a2＞,故介于a1与a2之间;(2)|a2﹣|﹣|a1﹣|＝﹣|a1﹣|＝|a1﹣|×,∵a1＞0,﹣2＜0,|a1﹣|＞0,∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,确定差的符号是关键.20.(2016秋•杨浦区校级期中)已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用.【试题分析】①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,对m分类讨论,m＝0时,易判断出.m≠0时,,解出即可得出.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.【试题解答】解:①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,m＝0时化为:﹣3x＋1＞0,不成立,舍去.m≠0时,,解得.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.综上可得:.∴实数m的取值范围是.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.21.(2016秋•杨浦区校级期中)已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;不等式的解法及应用;不等式.【试题分析】(1)对k分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出.(2)根据B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,即可得出.【试题解答】解:(1)①当k＜0,A＝{x|};②当k＝0,A＝{x|x};③当0＜k＜1或k＞9,A＝{x|x,或x＞};④当1≤k≤9,A＝{x|x＜,或x＞};(2)B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,只有k＜0,B＝{2,3,4,5}.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.11。
复旦附中自招数学题目
．
N D E C
M A B
F
8
10. 设 x1 ， x2 为 x2 2 px p 0 的两根， P 为实数． ①求证 2 px1 x22 3 p 0 ． ②当 x1 x2 2 p 3 时，求 P 的最大值．
11. 实数 a1 , a2 , ① a1 a2 ② a1 a2
2
（每题 6 分，共 30 分） 二、填空题： 9. 若关于 x 的分式方程
1 a 1 在实数范围内无解，则实数 a x3 x3
.
cm 2 .
10．三角形的两边长为 4cm 和 7cm ，则这个三角形面积的最大值为 11．对正实数 a, b 作定义 a b ab a b ，若 4 x 44 ，则 x 的值是
．
（本题有 4 个小题，共 38 分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤． 三、解答题： 14． （本小题满分 8 分） 【田忌赛马】 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各 出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马 略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌 的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的 下马. 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图 2 的 方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情 况下： （1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况； （2）田忌能赢得比赛的概率是___________. 田忌上马 田忌中马 田忌下马
．
12．已知方程 x 2 a 3 x 3 0 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于 1 小于 2 ，则 a 的取值范围是 ． 的规律报数，那么第
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2016年复旦附中自招数学试卷
1. 已知
a b c x
b c a c a b ===
++
+
，则x=
2.
已知函数2
2(5)3
y x a x
=-+-+(23)
b x b
≤≤+图像关于y轴对称，则a b
+=
3. 已知函数2
(2)2(1)
y k x kx k
=--++的图像与x轴只有一个交点，则k=
4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx
=与函数
28,3
2,33
24,3
x x
y x
x x
-≥
⎧
⎪
=--<<
⎨
⎪+≤-
⎩
图像恰好有三个
公共点，则k的取值范围是
5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD AB
>，设E、F分别是AC、BD的中点，AC与BD交于点O，已知OEF
V是边长为1的正三角形，BOC
V的面积为
15
3
4
，则梯形ABCD 的面积为
6. 已知矩形ABCD中，1
AB=，BC a
=，若在边BC上存在点Q，满足AQ⊥QD，则a的取值范围是
7. 已知锐角三角形ABC的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA
>>，若BC边上的高为AD，则BD DC
-=
8. 已知实数m、n（其中1
mn≠）分别满足：2
199910
m m
++=，299190
n n
++=，则41
mn m
n
++
=
9. 若关于x的方程2
(2)(4)0
x x x m
--+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是
10. 如图，矩形ABCD中，3
AB=，4
BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当CEB'
V为直角三角形时，BE的长为
11. 如图，OA、OD是圆O的半径，延长OA至B，使OA AB
=，C是OA的中点，∠AOD 为锐角α，连接CD、BD，且CD a
=，则BD=
12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是
13. 设n（10
n≥）个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为
14. 关于x的方程22
(21)20
x m x m m
--++=的两个根分别为
1
x、
2
x.
（1）若
12
||5
x x
-=，求m的值；（2）若
1
x、
2
x均为整数，求m的值.
15. 如图，ABC
V中，5
AB BC
==，6
AC=，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP BQ
=，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，联结PQ，记AP x
=，POQ
V面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）联结QE，若PQE
V与POQ
V相似，求AP的长.
16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
17. 设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作[]x，如[1.2]1
=，[3]3
=，[ 1.3]2
-=-.
（1）
222
111
(10111)(11121)(201620171)
[][][]
1011111220162017
S=++⋅⋅⋅+
⨯-⨯-⨯-
⨯⨯⨯
，求[90]S；
（2）解关于x的方程：2
1
2312[]
2
x
x x
-
--=.
参考答案
1. 12
或1- 2. 4 3. 2± 4. 223k << 5. 6. 2a ≥ 7. 4 8. 5- 9. 34m <≤ 10.
32或3 11. 2a 12. 2 13. 5
14.（1）1-；（2）2-、32-、12-、0. 15.（1）22412255y x x =-+，502
x ≤<；（2）5 16. 第27层，最小值316
17.（1）9；（2）1或1.。