博弈论纳什均衡存在定理_的两种证明方法的分析及设想_张莉
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关键词 :博弈 ;纳什均衡存 在性定理 ;社会均衡 ;分析 ;设想 . 中图分类号 :O18 文献标识码 :A
0.序言
纳什 (J.F.Nash, 1950, 1951)在冯 · 诺 依曼 和摩 根斯
特恩的帮助 和支持下 (HaroldW.Kuhn, 1997, 2005 )在非合 作博弈理论 中提 出 、并 证明 了 被后 人称 为 纳什 均衡 的 存在
AnAnalysisandImaginationoftwoprovingwagsforthetenabilityoftheNash Equilibrium Theorem Ⅱ intheGameTheory
ZHANGLi
(BeijingCollegeofprofessionalTechnology, Beijing, 100042, China0
2 4 辽宁科技学院学报 第 9卷 文章编号 :1008 -3723(2007)04 -0024 -02
博弈论纳什均衡存在定理 II的两种证明方法的分析及设想
张 莉
(北京工业职业技术学院 , 北京 100042)
摘要 :博弈论很早就在国外备受关注 , 国内对此方面的研究也发展 得很快 , 而 其中纳什 均衡存 在性定 理 II是博弈 论中应 用最广泛的定理之一 , 尤其是在经济领域 。 本文就它的两种证明方法进行分析和设 想 , 有助于将来对此方面的研究 。
即混合策略组 合集是通常拓扑空间
Rm(m=∑
n i=1
mLeabharlann Baidu)的非空
紧凸子集 ;对 ρ∈ Δ, V(p)=∏ i∈ NVi(p) Δ, 它是 Δ到 Δ的
集映映射即 V:Δ Δ;利用命题 1.3(4), 可知 Vi(p)(i∈ N)是
非空的闭凸子集 , 从而 , 对 ρ∈ Δ, V(p)是非空 的闭凸 子集 。
>0}, Ki
M(p＊ i )且 Ki≠Ф, 则有 Ci(p＊ i )=co
{eik＊ i :k＊ i } Vi(p)且 Vi(p)是凸集 。
命 题 1.4 设两 (期望 )支付函数 组合 v与 v的
收稿日期 :2007 -10 -12 作者简介 :张莉 (1982 -), 女 , 首都师范大学应用数 学数理经 济在读硕士 , 助理讲师 。
p , (I) k＊ i
…,
p(I) m＊ i
)∈
Vi(p),
对 p∈ Δ, Ski(i)∈ Si, i∈ N
(1)则最优混合策略是局中人以正概率选取相
应纯策略的概率分布构成的混合策略 ;
(2)p( k＊ iI) >0, 则有 vi(s( k＊ iI), p-1 )≥vi(s( k′Ii), p-1 ), K′i=1, … , mi
Abstract:Thegametheoryhadbeenpaidattentionbyforeignersmanyyearsago.Domesticresearchisdevelopingrapidlyinthisarea, andinthisfield, thetenabilityoftheNashequilibriumtheorem Ⅱ isoneofthemostwidelyappliedingametheory, especiallyinthe economicfield.Thispaperpresentsananalysisandimaginationoftwoprovingwaysthatwillcontributetoresearchit. Keywords:Game;TenabilityoftheNashequilibriumtheoremⅡ ;Socialequilibrium;Analysis;Imagination.
参考文献
(1)KuhnHaroldW.博弈论经典 〔M〕.韩松 、刘世军等译 , 北京 :中国人民大学出版社 , 2005. (2)张维迎 .博弈论与信息经济学 〔M〕.上海 :上海三联书店 、上海 人民出版社 , 1996. (3)DebreuG.ASocialEquilibriumExistenceTheorem.Proc.Nat.Acad.U.S.A.19 52. (4)ValueTheory.NewYork:JohnWiley, 1959.
个混合均衡 , 当且仅当对每个 i∈ N
vi(p＊ 1 , p＊-1 )≥vi(Ski(i)), p＊-1 , ki=1, … …mi (2)p＊是 G的一个混合均衡 , 当且仅当
p＊ ∈ V1 (p＊ )×… ×Vn(p＊ )=∏i∈ NVi(p＊ )
命题
1.3 设
p＊ i
=(p( 1I ＊),
…
2.纳什均衡存在定理 II的证明方法
证明方法
方法一 :
范一格里克斯伯格 定理 :设 T是拓扑空间的非 空紧凸子
集 , F:T T是集值映射 , 如果 F在 T上上半连续 , 且对任何 x
∈ T, F(x)都是非空的闭 凸子集 , 则存 在 x＊ ∈ T, 使得 x＊ ∈ F
(x＊), 即 x＊是 F的不动 点 。 现 在 , 由命题 1.1, Δ =∏ i∈ NΔi
的假设条件 , 因此 , 存在 P＊ ∈ Δ, 使 得 P＊ ∈ V(P＊)。 于是由 命题 1.2(2)知 P＊是 G的一个纳什均衡 。
方法二 :
由纳 什均衡 存在 性定 理 1, 即在博 弈 G= si, ui i∈ N中 , 局中人集 N={1, … n}是有限的 , 且 Si(i∈ N)都是有 限策略 集 , 则 G至少存在一个纳什均衡 。 以及命题 1.6中的对 G存
的一个混合策 略纳什均衡 。
命 题 1.6 设 G= si, ui i∈ N是连续博弈 , 对 ρ>0, 则存 在一个本质上有限得博弈 G= si, ui i∈ N, 使得 ρ u, u <ρ。
定理 II:G= si, ui i∈ N是连 续博 弈 , 则 G至少 存在 一个 混合策略纳什 均衡 。
在一个本质上 有限的博弈 G= si, ui i∈ N, 可知 G存在混合策 略纳什均衡 。
又由命题
1.6 中
ρ=(u,
u)=maxsup i∈ n s∈ S
ui(s)-ui(s)
<ρ
和命题 1.4, 知道 G对 ρ>0存在它的一个 2ρ-均衡 。 再利
用命题 1.5, 只要取 ρ=εk/2 -均衡的一个系列 , 且 limFk=F K※∞
∈ Δ, 那么 F是 G的一个混 合策略 纳什均 衡 。 所以纳 什均衡
存在性定理 II得证 。
第 9卷 第 4期 2007年 12月
JOURNALOFLIAONING辽 INS宁T科 ITU技T学EO院F学S报CIENCEANDTECHNOLOGY VDoel.c.9 2N0o0.74
(3)对
K′i, K″i-1,
…mi, 只要
p(i) K′i
>0,
p(i) K″i
>0,
就有 vi(s( Ki ′)i, p-i)=vi(s( Ki ″) i, p-i)=vi(p＊ i p-1 )
(4)记 Mi ={1, … , mi}, Mi(p＊ i )={k＊ i ∈ Mi:
P(i)＊ ki
个离散拓 扑结 构 。 利 用 吉洪 诺 夫 (TNXOHOB)定理 , 具 有拓扑 D的拓扑空间 Δ是紧空间 , 且 Δ是 Rm中子
集 , 因此得到 :
命题 1.1 Δ是紧的 Hausdorff空间 , 它是 Rm的
非空紧凸子集 。
命题 1.2 (1)p＊ =(p＊ 1 , p＊ i … … p＊ n )是 G的一
略纳什均衡 。 而 证明方 法二则 是通过 拉得纳定 义的任 一策略 型博弈
的 ε— 均 衡概念 。 它 是一个混合 策略组合 , 使得没 有局中人 能通过不采用为他确定 的混合策略 , 却 去选择他的 任一纯策 略而 会得到大于 ε≥ 0的增量 。 所以引入这种 ε— 均衡 , 利用 它的一种跨接 博弈的 连续 性来证 明纳 什均衡 问题 。 这样的 证法要比第一 种证法稍微简练些 。
性 。 纳什均衡存在性定理的证 明有很多科学 家研究过 , 有的
又长又难懂 , 随后就 有很多 的文 献来研 究它 的证明 方法 , 本
文在以往工作的基 础上 , 对定理 II的 两种证 明进 行讨论 , 分
析 , 并谈一下设想 。
1.预备知识
令 Di是 Δi的一切 子集 构成 的集 族 , Di就 是 Δi上 的一
3.分析与设想
证明方法一利用了连续博 弈的混合扩充 性质 、仿照纳什 均衡存在定理 I的证明 , 利用 紧凸集的性质以及定理 1.2(混 合纳什均衡的充分 必要条 件 )证明 了纳 什均衡 存在 定理 II。 特别注意到 , 有限策 略型博 弈的 混合 扩充博 弈是 连续博 弈 , 且证明纳什均衡存在 定理 I时 , 是在有 限策略 型博弈 的混合 扩充博弈上进行的 , 即混合扩充博弈至 少存在一个 混合策略 纳什均衡 , 所以纳什均衡存在定 理 I和纳 什均衡 存在定 理 II 实际上是等价的 。 且有 限策略 型博 弈和连 续博 弈存在 的混 合策略纳什均衡分 别就 是它们 的混 合扩充 博弈 本身的 纯策
距离为 ρ, 如 果 σ是 G的一个 ε— 均衡 , 则是 G的 一个 (ε+
2ρ)— 均衡 。
命题 1.5
Fk ∞
k=1
Δ, limFk=F∈ Δ, 若 εk ∞ 是满
K※∞
k=1
足对每个 ε5≥ 0使得 Fk是 G的 εk— 均衡的一个 系列 , limεk
K※∞
=ε, 则 F是 G的一个 ε— 均衡 。 特别地 , 当 ε=0时 , F是 G
对于纳什均衡存在 性定理 II的证明有个设想 , 就是利用 社会均衡存在 性定理 来证 明 。 因为 社会均 衡存 在性 定理作 为数学工具用 来证明广 泛的一 类经 济模型 的均 衡存 在性是
十分有用的 。 思路 是把连 续博弈 G= si, ui i∈ N的混 合策略 纳什 均衡 看作是 G= Δi, vi i∈ N的纯策 略纳 什均 衡 , 只要证 明 G= Δi, vi i∈ N至少存在一个纯策略纳什均衡即可 。
再根据 , 紧集在连续 映射下 的象 集是紧 的 , 且欧 几里 得空间
的紧 子集是有界闭集 , 可知 V(Δ)是 Δ的紧子集 , V:Δ ΔV是
闭集映 (即 V的图象 Grap(V)是 积空间 Δ ×Δ的闭 子集 ), 从
而由二可用闭性描述上 半连续性的特性 , 我们得出 V在 Δ上
是上半连续的 。这样 , V:Δ Δ满足 范一格 里克 斯伯 格定理
0.序言
纳什 (J.F.Nash, 1950, 1951)在冯 · 诺 依曼 和摩 根斯
特恩的帮助 和支持下 (HaroldW.Kuhn, 1997, 2005 )在非合 作博弈理论 中提 出 、并 证明 了 被后 人称 为 纳什 均衡 的 存在
AnAnalysisandImaginationoftwoprovingwagsforthetenabilityoftheNash Equilibrium Theorem Ⅱ intheGameTheory
ZHANGLi
(BeijingCollegeofprofessionalTechnology, Beijing, 100042, China0
2 4 辽宁科技学院学报 第 9卷 文章编号 :1008 -3723(2007)04 -0024 -02
博弈论纳什均衡存在定理 II的两种证明方法的分析及设想
张 莉
(北京工业职业技术学院 , 北京 100042)
摘要 :博弈论很早就在国外备受关注 , 国内对此方面的研究也发展 得很快 , 而 其中纳什 均衡存 在性定 理 II是博弈 论中应 用最广泛的定理之一 , 尤其是在经济领域 。 本文就它的两种证明方法进行分析和设 想 , 有助于将来对此方面的研究 。
即混合策略组 合集是通常拓扑空间
Rm(m=∑
n i=1
mLeabharlann Baidu)的非空
紧凸子集 ;对 ρ∈ Δ, V(p)=∏ i∈ NVi(p) Δ, 它是 Δ到 Δ的
集映映射即 V:Δ Δ;利用命题 1.3(4), 可知 Vi(p)(i∈ N)是
非空的闭凸子集 , 从而 , 对 ρ∈ Δ, V(p)是非空 的闭凸 子集 。
>0}, Ki
M(p＊ i )且 Ki≠Ф, 则有 Ci(p＊ i )=co
{eik＊ i :k＊ i } Vi(p)且 Vi(p)是凸集 。
命 题 1.4 设两 (期望 )支付函数 组合 v与 v的
收稿日期 :2007 -10 -12 作者简介 :张莉 (1982 -), 女 , 首都师范大学应用数 学数理经 济在读硕士 , 助理讲师 。
p , (I) k＊ i
…,
p(I) m＊ i
)∈
Vi(p),
对 p∈ Δ, Ski(i)∈ Si, i∈ N
(1)则最优混合策略是局中人以正概率选取相
应纯策略的概率分布构成的混合策略 ;
(2)p( k＊ iI) >0, 则有 vi(s( k＊ iI), p-1 )≥vi(s( k′Ii), p-1 ), K′i=1, … , mi
Abstract:Thegametheoryhadbeenpaidattentionbyforeignersmanyyearsago.Domesticresearchisdevelopingrapidlyinthisarea, andinthisfield, thetenabilityoftheNashequilibriumtheorem Ⅱ isoneofthemostwidelyappliedingametheory, especiallyinthe economicfield.Thispaperpresentsananalysisandimaginationoftwoprovingwaysthatwillcontributetoresearchit. Keywords:Game;TenabilityoftheNashequilibriumtheoremⅡ ;Socialequilibrium;Analysis;Imagination.
参考文献
(1)KuhnHaroldW.博弈论经典 〔M〕.韩松 、刘世军等译 , 北京 :中国人民大学出版社 , 2005. (2)张维迎 .博弈论与信息经济学 〔M〕.上海 :上海三联书店 、上海 人民出版社 , 1996. (3)DebreuG.ASocialEquilibriumExistenceTheorem.Proc.Nat.Acad.U.S.A.19 52. (4)ValueTheory.NewYork:JohnWiley, 1959.
个混合均衡 , 当且仅当对每个 i∈ N
vi(p＊ 1 , p＊-1 )≥vi(Ski(i)), p＊-1 , ki=1, … …mi (2)p＊是 G的一个混合均衡 , 当且仅当
p＊ ∈ V1 (p＊ )×… ×Vn(p＊ )=∏i∈ NVi(p＊ )
命题
1.3 设
p＊ i
=(p( 1I ＊),
…
2.纳什均衡存在定理 II的证明方法
证明方法
方法一 :
范一格里克斯伯格 定理 :设 T是拓扑空间的非 空紧凸子
集 , F:T T是集值映射 , 如果 F在 T上上半连续 , 且对任何 x
∈ T, F(x)都是非空的闭 凸子集 , 则存 在 x＊ ∈ T, 使得 x＊ ∈ F
(x＊), 即 x＊是 F的不动 点 。 现 在 , 由命题 1.1, Δ =∏ i∈ NΔi
的假设条件 , 因此 , 存在 P＊ ∈ Δ, 使 得 P＊ ∈ V(P＊)。 于是由 命题 1.2(2)知 P＊是 G的一个纳什均衡 。
方法二 :
由纳 什均衡 存在 性定 理 1, 即在博 弈 G= si, ui i∈ N中 , 局中人集 N={1, … n}是有限的 , 且 Si(i∈ N)都是有 限策略 集 , 则 G至少存在一个纳什均衡 。 以及命题 1.6中的对 G存
的一个混合策 略纳什均衡 。
命 题 1.6 设 G= si, ui i∈ N是连续博弈 , 对 ρ>0, 则存 在一个本质上有限得博弈 G= si, ui i∈ N, 使得 ρ u, u <ρ。
定理 II:G= si, ui i∈ N是连 续博 弈 , 则 G至少 存在 一个 混合策略纳什 均衡 。
在一个本质上 有限的博弈 G= si, ui i∈ N, 可知 G存在混合策 略纳什均衡 。
又由命题
1.6 中
ρ=(u,
u)=maxsup i∈ n s∈ S
ui(s)-ui(s)
<ρ
和命题 1.4, 知道 G对 ρ>0存在它的一个 2ρ-均衡 。 再利
用命题 1.5, 只要取 ρ=εk/2 -均衡的一个系列 , 且 limFk=F K※∞
∈ Δ, 那么 F是 G的一个混 合策略 纳什均 衡 。 所以纳 什均衡
存在性定理 II得证 。
第 9卷 第 4期 2007年 12月
JOURNALOFLIAONING辽 INS宁T科 ITU技T学EO院F学S报CIENCEANDTECHNOLOGY VDoel.c.9 2N0o0.74
(3)对
K′i, K″i-1,
…mi, 只要
p(i) K′i
>0,
p(i) K″i
>0,
就有 vi(s( Ki ′)i, p-i)=vi(s( Ki ″) i, p-i)=vi(p＊ i p-1 )
(4)记 Mi ={1, … , mi}, Mi(p＊ i )={k＊ i ∈ Mi:
P(i)＊ ki
个离散拓 扑结 构 。 利 用 吉洪 诺 夫 (TNXOHOB)定理 , 具 有拓扑 D的拓扑空间 Δ是紧空间 , 且 Δ是 Rm中子
集 , 因此得到 :
命题 1.1 Δ是紧的 Hausdorff空间 , 它是 Rm的
非空紧凸子集 。
命题 1.2 (1)p＊ =(p＊ 1 , p＊ i … … p＊ n )是 G的一
略纳什均衡 。 而 证明方 法二则 是通过 拉得纳定 义的任 一策略 型博弈
的 ε— 均 衡概念 。 它 是一个混合 策略组合 , 使得没 有局中人 能通过不采用为他确定 的混合策略 , 却 去选择他的 任一纯策 略而 会得到大于 ε≥ 0的增量 。 所以引入这种 ε— 均衡 , 利用 它的一种跨接 博弈的 连续 性来证 明纳 什均衡 问题 。 这样的 证法要比第一 种证法稍微简练些 。
性 。 纳什均衡存在性定理的证 明有很多科学 家研究过 , 有的
又长又难懂 , 随后就 有很多 的文 献来研 究它 的证明 方法 , 本
文在以往工作的基 础上 , 对定理 II的 两种证 明进 行讨论 , 分
析 , 并谈一下设想 。
1.预备知识
令 Di是 Δi的一切 子集 构成 的集 族 , Di就 是 Δi上 的一
3.分析与设想
证明方法一利用了连续博 弈的混合扩充 性质 、仿照纳什 均衡存在定理 I的证明 , 利用 紧凸集的性质以及定理 1.2(混 合纳什均衡的充分 必要条 件 )证明 了纳 什均衡 存在 定理 II。 特别注意到 , 有限策 略型博 弈的 混合 扩充博 弈是 连续博 弈 , 且证明纳什均衡存在 定理 I时 , 是在有 限策略 型博弈 的混合 扩充博弈上进行的 , 即混合扩充博弈至 少存在一个 混合策略 纳什均衡 , 所以纳什均衡存在定 理 I和纳 什均衡 存在定 理 II 实际上是等价的 。 且有 限策略 型博 弈和连 续博 弈存在 的混 合策略纳什均衡分 别就 是它们 的混 合扩充 博弈 本身的 纯策
距离为 ρ, 如 果 σ是 G的一个 ε— 均衡 , 则是 G的 一个 (ε+
2ρ)— 均衡 。
命题 1.5
Fk ∞
k=1
Δ, limFk=F∈ Δ, 若 εk ∞ 是满
K※∞
k=1
足对每个 ε5≥ 0使得 Fk是 G的 εk— 均衡的一个 系列 , limεk
K※∞
=ε, 则 F是 G的一个 ε— 均衡 。 特别地 , 当 ε=0时 , F是 G
对于纳什均衡存在 性定理 II的证明有个设想 , 就是利用 社会均衡存在 性定理 来证 明 。 因为 社会均 衡存 在性 定理作 为数学工具用 来证明广 泛的一 类经 济模型 的均 衡存 在性是
十分有用的 。 思路 是把连 续博弈 G= si, ui i∈ N的混 合策略 纳什 均衡 看作是 G= Δi, vi i∈ N的纯策 略纳 什均 衡 , 只要证 明 G= Δi, vi i∈ N至少存在一个纯策略纳什均衡即可 。
再根据 , 紧集在连续 映射下 的象 集是紧 的 , 且欧 几里 得空间
的紧 子集是有界闭集 , 可知 V(Δ)是 Δ的紧子集 , V:Δ ΔV是
闭集映 (即 V的图象 Grap(V)是 积空间 Δ ×Δ的闭 子集 ), 从
而由二可用闭性描述上 半连续性的特性 , 我们得出 V在 Δ上
是上半连续的 。这样 , V:Δ Δ满足 范一格 里克 斯伯 格定理