向量极化恒等式
极化恒等式向量公式
极化恒等式向量公式
极化恒等式向量公式是一种重要的数学公式，用于计算复数极化恒等式的极化矢量和复共轭矢量。
它是由英国数学家和物理学家威廉·爱迪生于1845年发现的，是他研究复数极化恒等式的结果。
它被广泛应用于电磁学，物理学和工程领域，为解决复杂的问题提供了方便的工具。
极化恒等式向量公式可以用来计算复数极化恒等式的极化矢量和复共轭矢量。
它的表达式如下：P = E + iH，其中E和H分别表示极化矢量和复共轭矢量，i是虚数单位。
极化恒等式向量公式被广泛应用于电磁学，物理学和工程领域。
在电磁学中，它可以用来计算电磁场的功率、功率密度和功率流等，从而分析电磁场的特性。
在物理学中，它可以用来计算物体的旋转矩、动量和动能等，从而分析物体运动的特性。
在工程领域，它可以用来计算电磁设备的功率损失、阻抗和噪声等，从而分析设备的性能。
极化恒等式向量公式可以帮助我们解决复杂的问题，它提供了一种方便的工具。
它不仅可以提高我们的计算效率，而且可以帮助我们更好地理解电磁学、物理学和工程领域的知识。
总之，极化恒等式向量公式是一种重要的数学工具，对于理解复数极化恒等式有着重要的意义。
向量极化恒等式
2 EF
AF
2
21
，选
A。
16
4．（2017 年新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA PB PC 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
解：记 BC 中点为点 D ， AD 中点为点 E ，则
PA
PB PC
题型二：利用极化恒等式求解两向量不同起点，但可转化为两
同起点向量的数量积问题
例 2．（2016 年江苏）如图，在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点， E, F 是 AD 上的两个三等
分点， BA CA 4, BF CF 1 ，则 BE CE
。
解：由极化恒等式：
BA
，其中 D 为 BC
4
中点，此时 AB AC 的值只依赖于 AD 的值，向量数量积的问题转化为两点间距离问题，
难度大大降低。
2、两向量不同起点时，考虑转化为同起点两向量数量积。如例 2 中求解 BE ⋅CE ，两
向量同终点不同起点，但经转化后 BE CE EB EC 同起点，亦可利用极化恒等式求解。
1 4
AB
，且对于边
AB
上
任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C 则（
）
A． ABC=90 B． BAC=90 C． AB AC D． AC BC
解：记
AB
中点为点
H
， BC
中点为点
M
，则
PB PC
2 PM
2 BM
，注意到
BM
2
为定
值，即 P 为 P0 时 PM 最小时，故 MP0 AB, CH AB CA CB ，选 D。
巧用极化恒等式,妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是 以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上， 若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。
极化恒等式的应用
极化恒等式的应用引言极化恒等式是数学中一条重要的关系式，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍极化恒等式的定义和性质，并给出一些具体的应用案例。
极化恒等式的定义极化恒等式是指在内积空间中，通过使用内积运算将双线性函数转化为一个向量上的光滑函数。
具体地，对于一个内积空间 V，其内积运算为 \< , \>，则对于任意两个向量v, w ∈ V，极化恒等式可以表示为：\< v, w \> = \frac{1}{4} \left(\|v + w\|^2 - \|v - w\|^2\right)其中，\|v\| 表示向量 v 的范数。
极化恒等式的性质极化恒等式具有以下一些重要的性质：1.对称性：对于任意的v, w ∈ V，极化恒等式成立。
2.线性性：极化恒等式中的向量 v 和 w 可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。
3.正定性：当且仅当 V 是一个欧几里得空间时，极化恒等式成立。
极化恒等式在向量分析中的应用极化恒等式在向量分析中起着重要的作用，以下是一些常见的应用案例：1. 向量正交性证明假设有两个向量 v 和 w，在证明它们正交性时，可以利用极化恒等式。
通过计算 \< v, w \>，若等式右侧的值为 0，则可以得到 v 和 w 的正交性。
2. 向量长度计算对于一个给定的向量 v，可以利用极化恒等式计算其长度。
通过令 w = v，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 的长度，即 \|v\|。
3. 向量夹角计算给定两个向量 v 和 w，可以利用极化恒等式计算它们之间的夹角。
通过令 w = v - w，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 和 w 之间的夹角。
极化恒等式在物理学中的应用极化恒等式在物理学中也有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 电场的计算对于一个给定的电场分布，利用极化恒等式可以计算电场的能量密度。
通过令v 和 w 分别为电场和电位移向量，在极化恒等式中代入并求解，即可得到电场的能量密度。
平面向量的极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用2AB22AC2BC2则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心平面向量的极化恒等式及其应用一、极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
证法1（向量法）：设 $AB=a,AD=b$，则$AC=a+b,DB=a-b$，$AC+DB=2(a+b)=2(AB+AD)$。
证法2（解析法）：证法3（余弦定理）：推论1：由 $AC+DB=2(AB+AD)$ 知，$2AO+2OB=2(AB+AD)$，即 $AB+AD=2(AO+OB)$。
推论2：$a\cdot b=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$，即 $AB\cdot AD=AO-OB$。
推论3：在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是边 $BC$ 的中点，则 $AB\cdot AC=AO-OB$，即极化恒等式的几何意义。
二、平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
AC+DB=2(AB+AD)$。
三、三角形中线的一个性质AB+AC=2(AO+OB)$。
推论1：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-OB$。
推论2：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-BC$。
应用】已知点 $P$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上中线 $CD$ 的中点，则 $\dfrac{PA+PB}{PC^2}=-\dfrac{1}{2}$。
四、三角形“四心”的向量形态1.$O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不同的三点，动点 $P$ 满足 $\dfrac{AP}{AB}+\dfrac{AP}{AC}=\infty$，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$，即$OP=OA+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrighta rrow{AC}$，$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$。
平面向量中极化恒等式从入门到精通
平面向量中极化恒等式从入门到精通一、初识极化恒等式我们知道，对于任意a b R ，∈，恒有222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++−=−+，，将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论：222()2a b a b a b +=++⋅，①222()2a b a b a b −=+−⋅，② 将两式相减可得()221()()4a b a b a b ⎡⋅=+−−⎣，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义．几何解释1（平行四边形模型）以AB ，AD 为一组邻边构造平行四边形ABCD ，AB a AD b ==，，则AC a b BD b a =+=−，，由221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+−−⎣⎦，得()2214AB AD AC BD ⋅=−．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的14”．几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由()2214AB AD AC BD ⋅=−变形为()()2222114444AB AD AC BD AM BM ⋅=−=−，得22AB AD AM BM ⋅=−，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．正因为极化恒等式可以有效地建立向量的数量积与几何图形长度大小的关联，可以搭建代数与几何的桥梁，因此极化恒等式在解决向量数量积问题中占据着重要的作用．【类型一】两向量共同的起点为动点在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2PB PC BC ⋅+的最小值是_______．解：取BC 的中点O ， 则22222222133323444PB PC BC PO BC BC PO BC HO BC HO BC ⋅+=−+=+≥+≥⋅=． 如图所示，当点P 运动到点H 且使HO BC ⊥与32HO BC =时，等号成立，故有最小值为【类型二】两向量终点均为动点已知点O 为坐标原点，ABC 为圆22(1)(1M x y −+=：的内接正三角形，则()OA OB OC ⋅+的最小值为_________． 解：取BC 的中点N ，连结AN ，取其中点D ，如图所示，则：()22222()()192222228ON OA ON OA OA OB OC ON OA OD AN OD +−⋅+=⋅=−=−=−． 当正ABC 沿圆周运动时，点D 在以M 圆心，以DM 为半径的小圆上运动．由ABC 外接圆半径为1，可求得33124AN AD AM ===，，，从而14DM =．所以OD 的最小值是74OM DM −=，故所求最小值为2min 9258OD −=．【类型三】两向量的起点和终点均为动点如图，已知ABC 是边长为EF 为ABC 的外接圆O 的一条直径，M 为ABC 的边上的动点，则ME FM ⋅的最大值为________．解：由已知易求得外接圆半径为2．因为圆心O 是EF 的中点，所以： 2224ME FM ME MF MO FO MO ⋅=−⋅=−+=−．当M 为正三角形ABC 三边的中点时，MO 最小值均为1，故ME FM ⋅的最大值为3．二、经典例题例1 已知ABC 中，42AB AC ==，，且()()|22AB ACR λλλ+−∈∣的最小值为P 为边AB 上任意一点，求PB PC ⋅的最小值．解：令()()221AD AB AC AB AE λλλλ=+−=+−（其中2AE AC =），则D B E ，，三点共线（如图），从而()2223AB AC λλ+−∣∣的几何意义表示点A 到直线BE 的距离为说明ABE 是等边三角形，BC 为边AE 上的高，故BC =．取BC 的中点M ，则由向量极化恒等式可得222219||3344PB PC PM BC PM d ⋅=−=−≥−=−， 其中d 为点M 到边AB 的距离．即当点P 在垂足H （非端点）处时，PB PC ⋅达到最小值．例2 已知直线AB 与抛物线24x y =交于两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅，求证：0C M l ⊥（l 是抛物线过点0C 的切线）． 解析：由极化恒等式知2214CA CB CM AB ⋅=−，由于AB 是固定的，故当CM 最小时，CA CB ⋅最小．因此，本题等价于在抛物线上找一点C 使得CM 最小．如图所示，以点M 为圆心，逐步增大圆M 的半径，当圆M 刚好碰到抛物线时那个点恰为圆M 与抛物线的公共切点0C ，故0C M l ⊥（l 是抛物线过点0C 的切线）．三、极化恒等式中的转化思想1、化动为定，破不定之惑一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村．例1：已知Rt ABC 的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）．A ．3522⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，B ．5522⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]35，− D ．1⎡−+⎣ 解析：此题符合运用极化恒等式速解平面向量问题的基本要求，但在具体使用中遇到了点P 是运动的点这一特殊情况，动点问题是突破极化恒等式应用的瓶颈．结合条件中P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，通过极化恒等式22PA PB PM AM ⋅=−，不妨将PM 的最值问题转化为圆心距CM 的最值问题，这样问题便可迎刃而解．如图所示，在Rt ABC 上，不妨取AB 的中点M ，则2224PA PB PM AM PM ⋅=−=−．设圆的半径为1r =，而max ||213PM CM r =+=+=，则：22max min min ()345||211()143PA PB PM CM r PA PB ⋅=−==−=−=⋅=−=−，，．因此PA PB ⋅的取值范围是[]35，−． 反思：极化恒等式的应用，由一般的直接运用到结合具体问题的巧用，需要学生恰当地运用转化思想，注意化动为定，特别是要结合题中的隐性特征进行转化处理，如此题中圆的半径是“定”这一重要信息的使用至关重要；化动为定可破不定之惑，也可使一些压轴问题成为得分题．2、化动为静，破多动点之惑极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解．例2：如图，圆O 为Rt ABC 的内切圆，已知3490AC BC C ∠===︒，，，过圆心O 的直线l 交圆O 于P Q 、两点，则BP CQ ⋅的取值范围是_________．解析：此题初看也是可以使用极化恒等式求解平面向量问题，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，即便学生掌握了极化恒等式的知识和方法，也无法突破这个困惑．因此学生需要结合转化思想，挖掘题中静态条件进行突破．此题中圆是相对静态的，若能将BP BC CP =+，则BC 为定，CP 为动，CP 、CQ 呈现动态但都涉及一个定点C ，再结合圆的特征，可得22CP CQ CO OP ⋅=−，则动态问题转化为静态问题，多动点之惑得以化解．圆O 的半径为1，考虑到P 、Q 两点都是动点，不妨将BP BC CP =+，这样一转化，()BP CQ BC CP CQ ⋅=+⋅，22211CP CQ CO OP ⋅=−=−=，而BC CQ CB CQ ⋅=−⋅，若CQ BC ⊥，则min ()0CB CQ ⋅=． 若Q 在CB 的投影为BC 的中点时，max ()428CB CQ CB CQ ⋅=⋅=⨯=，因此BP CO ⋅的取值范围是[]71−，． 反思：遇到多动点问题时，学生要考虑“化动为静”的策略，如此题先将点P 过渡转化到点C ，余下一个动点Q ，则问题便可如例1进行处理，这样的处理手段实际上是一个逐渐将多动点化为少动点的过程，这是一个重要的解题思想，即转化思想．3、化曲为直，破最值之惑极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解．例3：在Rt ABC 中，9035ACB AC AB ∠=︒==，，，若点A 、B 分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，OA OC ⋅的最大值是_____________．分析：初看此题，学生一般想通过极化恒等式进行处理，不妨取AC 的中点为M ，得等式22OA OC OM AM ⋅=−，但在如何处理OM 时，陷入困境．分析原因是Rt ABC 在变化，使得OM 长度不定，但与直角三角形的斜边中点有一定的关联，不妨取AB 中点为N ，得MNO ，再结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），最大值可求．如图所示，不妨取AC 的中点为M ，AB 的中点为N ，则由极化恒等式可得22OA OC OM AM ⋅=−，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于22222253()21822OA OC OM AM ON NM AM ⎛⎫⎛⎫⋅=−=+−≤+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为18． 反思：这是一个运用极化恒等式求最值的典型示例，这类问题的处理除理解和掌握极化恒等式的基本性质还不够，还需要灵活地运用有关边长关系或隐性条件，再结合定理性质，最值问题便可突破化解．4、化普通为特殊，破极限之惑平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立．例4：在锐角ABC 中，已知23B AB AC π∠=−=，，则AB AC ⋅的取值范围是____________．解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取BC 的中点为M ，立即可得等式22AB AC AM MB ⋅=−，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．如图，取BC 的中点M ，可得2221AB AC AM MB AM ⋅=−=−，AM 应长度变化的极限位置是ABC 为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即C ∠为直角和A ∠为直角．下面分两种情况进行分析：过点C 作11CA A B ⊥，垂足为1A ，此时11901BAC A M ∠=︒=，； 过点C 作2CA BC ⊥，垂足为C ，此时290BCA ∠=︒，2A M = 因此()2113AM ∈，，故AB AC ⋅取值范围是()012，． 反思：破解这类问题，因通过极化恒等式转化后，线段的最值求解没有一定的现成条件可以推理，对学生往往会造成困惑，突破的关键是“化一般为特殊，破极限之惑”，要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到的效果．四、专题强化训练1．设向量,a b 满足10a b +=， 6a b −=，则a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【详解】因为2222||()210a b a b a b a b +=+=++⋅=，22||()a b a b −=−=2226a b a b +−⋅=，两式相加得：228a b +=，所以1a b ⋅=，故选A.考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．2．设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅.则（ ）A ．90ABC ∠=︒B ．90BAC ∠=︒ C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【分析】取BC 的中点D ，由极化恒等式可得22PB PC PD BD ⋅=−，22000P B P C P D BD −⋅=，从而可得0PD P D ≥，即可得出0P D AB ⊥，由014P B AB =，得出答案. 【详解】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：22PB PC PD BD ⋅=−， 同理，22000P B P C P D BD −⋅=，由于00PB PC P B P C ⋅≥⋅， 则0PD P D ≥，所以0P D AB ⊥，因为014P B AB =，D 是BC 的中点，于是AC BC =. 故选：D. 3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C【详解】由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP FP ⋅＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝20x ＋x 0＋20y∵P 为椭圆上一点，∴204x ＋203y ＝1.∴OP FP ⋅＝20x ＋x 0＋320(1)4x −＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP FP ⋅的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c −⋅−=，则c 的最大值是 A ．1 B ．2C ．D ．【答案】C【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2− B ．32−C ．43−D ．1−【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B −，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =−，(1,)PB x y =−−−，(1,)PC x y =−−，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=−+=+−∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯−=−，故选：B ．6．在ABC 中(2)(2)0CA CB CA CB −⋅−=，则CB CA AB+= .【答案】3【分析】直接构造极化恒等式的结构，即可求解.【详解】解析：CB CA +即为CB 和CA 的和向量；AB CB CA =−即为CB 和CA 的差向量，所以原问题可转化成两向量和向量模与两向量差向量模的比.再观察条件，若利用极化恒等式可将原条件转化如下：221(2)(2)(33)()04CA CB CA CB CA CB CA CB ⎡⎤−⋅−=−−+=⎣⎦.所以229()()0CA CB CA CB −−+=，所以229()()0AB CA CB −+=，即2290AB CA CB −+=.所以3CB CA AB+=.故答案为：37．在锐角三角形ABC 中，已知60B ︒=，2BC =，则AB AC ⋅的取值范围为 . 【答案】(0,12)【分析】因为2BC =，故以B 为原点，BA 所在的直线为x 轴建立坐标系，则C，设点A (x ,0)，分析图象可得x 的取值范围，则根据数量积的公式可得AB AC ⋅的表达式，然后根据二次函数的性质求出值域即可.【详解】以B 为原点，BA 所在的直线为x 轴建立坐标系，如图. 因为60B =，2BC =，所以C ，设点(,0)A x ， 又△ABC 是锐角三角形，所以120A C +=︒，所以 3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以14x <<.则()(()2,010,12AB AC x x x x ⋅=−⋅−=−∈.所以AB AC ⋅的取值范围()0,12. 故答案为：()0,12.【点睛】方法点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式：一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式.涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 8．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为 ．【答案】2【分析】设,0,2OAD πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,根据三角形的边角关系求得OB ，OC ，利用平面向量的数量积公式以及正弦函数的最值求解即可.【详解】设,0,2OAD πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭由于1AD =，故cos ,sin OA OD θθ== 又因为2BAx πθ∠=−，1AB =，所以cos cos cos sin 2B x πθθθθ⎛⎫=+−=+ ⎪⎝⎭sin cos 2B y πθθ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭， 则(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可得(sin ,cos sin )OC θθθ=+(cos sin ,cos )(sin ,cos sin )1sin 2OB OC θθθθθθθ⋅=+⋅+=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴当22=πθ时，1sin 2OB OC θ⋅=+的最大值为2.故本题的正确答案为2.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及正弦型函数的最值，属于中档题. 9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ． 【答案】152【详解】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定22121()3333AB BD AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅211159333322=⋅+⋅⋅⋅=，故答案为152．考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质． 10．若平面向量,a b 满足：23a b −≤；则a b ⋅的最小值是 【答案】98−【详解】试题分析：因为23a b −≤，所以，22(2)49a b a b +−⋅≤，－89≤，所以≥98−，即的最小值是98−．考点：不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=− ，则BE CE ⋅ 的值是 .【答案】78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD −−⋅=−⋅−−==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD −⋅=−⋅−−==−（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED −−⋅=−⋅−−===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．已知向量12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤||||,则a b ⋅的最大值是 ． 【答案】12 【详解】试题分析：221()6|6|||262a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12. 【考点】平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为22||26a a b b ++⋅≤的过程中，很容易忘记13．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 .【答案】22【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅− 2231162AD AB AB AD =−−⋅311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =−⨯−⋅=−⋅=∴⋅=【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．14．如图，△ABCP 是以C 为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则AP BP ⋅的取值范围为 .【答案】111,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【分析】取AB 的中点D ，连接,PD CD ，利用向量数量积的运算律有22()()4PA PB PA PB PA PB +−−=⋅，进而可得22AP BP PA PB PD BD ⋅=⋅=−，结合几何图形即可求AP BP ⋅的范围.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD .∵2PA PB PD +=，2PA PB BD −=，则22()()4PA PB PA PB PA PB +−−=⋅，∴2222()()4PA PB PA PB PA PB PD BD +−−⋅==−，∴22234AP BP PA PB PD BD PD ⋅=⋅=−=−，15[,]22PD ∈，∴AP BP⋅的取值范围为111,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦.故答案为：111,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律得22()()4PA PB PA PB PA PB+−−=⋅，进而有22AP BP PA PB PD BD⋅=⋅=−，即可求数量积的范围.15．在平行四边形ABCD中, AD = 1, 60BAD︒∠=, E为CD的中点. 若·1AC BE=, 则AB的长为 .【答案】12【详解】设AB的长为x，因为AC=AB BC+，BE=BC CE+，所以·AC BE=()AB BC+⋅()BC CE+=2AB BC AB CE BC BC CE⋅+⋅++⋅=1cos18022xx x+⋅+1+1cos1202x⋅=1，解得12x=，所以AB的长为12.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.。
极化恒等式向量公式推导
极化恒等式向量公式推导极化恒等式是线性代数中的一个重要定理，它描述了内积空间中两个向量之间的关系。
下面，本篇文章将从定义内积与证明极化恒等式两个方面对其进行讲解。
内积的定义内积是一种将两个向量映射到标量的函数。
设 $V$ 是一个实向量空间，函数 $<,>$ 是从 $V \times V$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射，若满足以下三个条件，那么我们将$<,>$ 称为$V$ 上的一个内积。
1.对于任意的 $u,v \in V$，有 $<u,v>=<v,u>$。
2.对于任意的 $u,v,w \in V$ 和任意的 $\alpha,\beta \in\mathbb{R}$，有 $<\alpha u + \beta v, w> = \alpha <u,w> + \beta<v,w>$。
3.对于任意的 $v \in V$，有 $<v,v> \ge 0$，且 $<v,v>=0$ 当且仅当 $v=\mathbf{0}$（零向量）。
证明极化恒等式设 $V$ 是一个实内积空间，$<,>$ 是其上的一个内积，对于任意的 $u,v \in V$，有：$$\begin{aligned}&<u+v,u+v>-<u-v,u-v>\\=&<u,u>+<u,v>+<v,u>+<v,v>-<u,u>+<u,v>-<v,u>+<v,v>\\=&2<u,v>+2<v,v>,\end{aligned}$$其中第一个等式使用了内积的定义二和定义三，以及形如$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ 的恒等式。
由于内积的对称性，上式中的$<u,v>$ 和 $<v,u>$ 等价，即：$$<u,v>=\frac{1}{2}\left(<u+v,u+v>-<u-v,u-v>-2<v,v>\right).$$上式便是极化恒等式。
专题二 培优点11 向量极化恒等式(原卷版)
培优点11 向量极化恒等式
【要点总结】
极化恒等式：a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22. 变式：a ·b ＝a ＋b 24－a －b 24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |2
4. 如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－MB →2.
【典例】 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA
→＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．
(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．
【方法总结】
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
【拓展训练】
1．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14
AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )
A ．∠ABC ＝90°
B ．∠BA
C ＝90° C ．AB ＝AC
D ．AC ＝BC
2.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是________．。
高中数学向量——极化恒等式
极化恒等式阅读以下材料：.引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。
你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。
你能用向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.,,b AD a AB ==证明：不妨设C A a b =+则，DB a b=- ()222222C C b b a a ba A A +⋅+=+==（1）()222222bb a a ba DB DB +⋅-=-==（2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？()()2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦ ————极化恒等式即：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ （平行四边形模式）思考2：在三角形ABC 中（M 为BC 的中点），此恒等式如何表示呢？因为2BC BM =，所以22AB AC AMBM ⋅=-（三角形模式）AB CM2016﹒江苏填空倒2[例1]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】法一：极化恒等式224BA CA AB AC AD BD ⋅=⋅=-= ，2222119BF CF FD BD AD BD ⋅=-=-=- 解得22451388AD BD == ，，故22224798BE CE EB EC ED CD AD BD ⋅=⋅=-=-= .法二：分点恒等式（拆分，基向量）21113333BF BD BA BC BA =+=+ ，21113333CF CD CA CB CA=+=+12123363BE BD BA BC BA =+=+ ，12123363CE CD CA CB CA=+=+ 211111111133339999BF CF BC BA CB CA BC BC CA BA CB BA CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅+⋅+⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()21111==9999BC CA BA CB BC CA AB BC ⋅+⋅⋅+-，化简得2221131=992BC BA CA BC -+⋅=-⇒()212121147=636336998BE CE BC BA CB CA BC BC CA AB BA CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【方法二点评】：选取的基向量计算有点复杂，可以考虑将B D 和DF作为基向量.[例2]如图，已知等边△ABC 内接于半径为2的⊙O,点P 是⊙O 上的一个动点,则PA PB ⋅取值范围______________.【答案】【解析】2221PA PB PD AD PD ⋅=-=- ,∵3r 33r OD PD OD PD ⎡⎤-≤≤+⇒∈⎢⎥⎣⎦ ，∴2,23PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦[练习]2012北京高考改编1.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE DA ⋅的值为_______.【答案】1【解析】①投影；②极化恒等式；③拆分；④建系[变式]——等和线复习（参考）如图正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，若=ED xEA yEC +，则x y +的最小值为_______.【答案】2广东省“百越名校联盟”12月联考第5题2.已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足()12AP AB AC =+ ，则PA PD ⋅=_______.【答案】3【解析】①极化恒等式；②拆分；③建系3.在锐角ABC △中，已知3B π=，2AB AC -= ，则AB AC ⋅ 的取值范围是．【答案】()0,12【解析】222==1AB AC AM BM AM ⋅-- ,而要使△ABC 为锐角三角形，则A 在线段MN 上，则()113AM ∈ ，，∴()0,12AB AC ⋅∈4.正ABC △边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（）A.⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C.⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D.⎦⎤⎢⎣⎡-21,21【答案】B。
极化不等式和极化恒等式
极化不等式和极化恒等式是数学中与向量和复数有关的两个概念。
极化不等式（Polarization Inequality）是关于复数或向量的一种不等式，它描述了复数或向量的模和幅角之间的关系。
对于复数z，极化不等式可以表示为：|z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|，其中|z|是复数z的模，Re(z)和Im(z)分别是z的实部和虚部，|Re(z)|和|Im(z)|分别是它们的绝对值。
极化恒等式（Polarization Identity）是关于复数或向量的一种恒等式，它描述了复数或向量的模和幅角之间的关系。
对于复数z，极化恒等式可以表示为：|z|^2 = |Re(z)|^2 + |Im(z)|^2，其中|z|是复数z的模，Re(z)和Im(z)分别是z的实部和虚部，|Re(z)|^2和|Im(z)|^2分别是它们的平方。
这两个式子在复数和向量分析中都有重要的应用，例如在复数的三角形式和极坐标形式之间进行转换，以及在向量的分解和合成中进行计算。
向量_极化恒等式
1极化恒等式第一种写法：已知#…a ,#…b ,则#…a ⋅#…b =⒧#…a +#…b ⒭2−⒧#…a −#…b ⒭24第二章写法：已知M 是AB 的中点,则# …OA ⋅# …OB =|# …OM|2−|# …MA|2=|# …OM|2−14|# …AB|2极化恒等式两种写法,常用的是第二种,用于解决向量的数量积求值范围问题,一般情况下,如果AB 的长度是固定的,那么在处理# …OA ⋅# …OB 时,常用极化恒等式将其转化为|# …OM|2的函数,至于其他用法,熟练之后自然会具体问题具体分析1.【2012浙江理数T15】在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则# …AB ⋅# …AC−16# …AB ⋅# …AC =⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM +# …MC ⒭=⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM −# …MB⒭=|AM|2−|MB|2=−162.【2016江苏T13】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,# …BA⋅# …C A =4,# …BF⋅# …C F =−1,则# …BE ⋅# …C E的值是78记|BD|=x ,|DF|=y ,則4=# …BA ⋅# …C A =|AD|2−|BD|2=9y 2−x 2−1=# …BF ⋅# …C F =|DF|2−|BD|2=y 2−x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x 2=138y 2=58从而# …BE ⋅# …C E =|DE|2−|BD|2=4y 2−x 2=783.【2018天津理数T8】如图,在平面四边形ABC D 中,AB⊥BC ,AD⊥C D,∠BAD =120∘,AB =AD =1.若点E 为边C D 上的动点,则# …AE ⋅# …BE 的最小值为A.2116B.32C.2516D.3A取AB 中点F ,则# …AE ⋅# …BE =|# …EF|2−|# …AF|2当EF ⟂C D 时,|# …EF|取得最小值54,比时# …AE ⋅# …BE 取得最小值2116,选A4.【2013浙江理数T7】设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足# …P 0B =14# …AB ,且对于边AB 上任一点P ,恒有# …PB ⋅# …PC ⩾# …P 0B ⋅# …P 0C ,则A.∠ABC =90∘ B.∠BAC =90∘C.AB =ACD.AC =BCD取AB,BC的中点D,E.则# …PB⋅# …PC=(# …PE+# …EB)⋅(# …PE−# …EB)=|PE|2−|EB|2⩾|P0E|2−|EB|2,所以|PE|⩾|P0E|,则必有P0E⟂AB,从而C D⟂AB,所以AC=BC,选择D5.【2017全国2卷理数T12】已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则# …PA⋅⒧# …PB+PC⒭的最小值是A.−2B.−32C.−43D.−1B取BC中点M,取AM中点N,则# …PA⋅(# …PB+# …PC)=2# …PA⋅# …PM=2⒧PN2−MN2⒭⩾−2MN2=−32,当PN重合时取到,所以所求最小值是−32,选择B6.【2020天津T15】如图,在四边形ABC D中,∠B=60∘,AB=3,BC=6,且# …AD=λ# …BC,# …AD⋅# …AB=−32,则(1)实数λ的最小值为(2)若M,N是线段BC上的动点,且|# …MN|=1,则# …DM⋅# …DN的最小值为A DB M N C(1)16(2)132# …AD⋅# …AB=λ# …BC⋅# …AB=−9λ=−32,所以λ=16.取MN中点E,则# …DM⋅# …DN=|DE|2−|MN|24当DE⟂BC时,取到最小值13 2.7.【2005江苏T18】在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则# …OA ⋅⒧# …OB +# …OC ⒭的最小值为−2设|OM|=x ,则# …OA ⋅(# …OB +# …OC )=2# …OA ⋅# …OM =−2x(2−x)⩾−2,取等条件是x =1,故所求最小值为−28.【2012安徽理数T14】若|2#…a −#…b |⩽3,则#…a ⋅#…b 的最小值是−98#…a ⋅#…b =|2#…a +#…b |2−|2#…a −#…b |28⩾−|2#…a −#…b |28⩾−989.在平行四边形ABC D 中,AD =√2,AB =2.若# …BF =# …FC ,则# …AF ⋅# …DF72# …AF ⋅# …DF =(# …AB +# …BF)⋅(# …AB −# …BF)=|AB|2−|BF|2=7210.已知△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,P 在平面ABC 内,且# …PB ⋅# …PC =−9,则|# …PA|的取值范围是[1,9]解析11.正方体ABC D −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）,P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大是,# …PM ⋅# …PN 的取值范围是[0,2]解析12.在面积为2的平行四边形ABC D中,点P为直线AD上的动点,则# …PB⋅# …PC+# …BC2的最大值是2√3设M为BC的中点,由题意,# …PB⋅# …PC+BC2=PM2−14BC2+BC2=PM2+34BC2⩾√3⋅PM⋅BC⩾√3⋅2S△PBC=2√3.取等条件为PM=√32BC且PM⟂BC.故所求最小值为2√313.在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60∘,C为弧AB的动点,AB与OC交于点P,则# …OP⋅# …BP的最小值是−1 16解析14.已知正四面体ABC D的棱长为2,P是以棱BC为直径的球面上一动点,则# …PA⋅# …PD的最大值是A.1+√2B.3C.2+√2D.2(√2+1)D取AD中点E,BC中点F,则# …PA⋅# …PD=|PE|2−|AE|2=|# …PF+# …FE|2−1⩽(|# …PF|+|# …FE|)2−1=(1+√2)2−1=2+2√2,选D15.【成都七中23届高三上一诊模拟T16】已知A(2cos15∘,2sin15∘),O(0,0),且|# …OB|=|# …OC|=2,则# …AB⋅# …AC的取值范围[−2,16]如图方法1极化恒等式记M为BC的中点,由极化恒等式可知:# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2,易知OM⊥BC,所以# …BM2=# …OB2−# …OM2所以# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2=# …AM2+# …OM2−# …OB2=# …AM2+# …OM2−# …OA2由余弦定理可知# …AM 2+# …OM 2−# …OA 2=2|# …MA|⋅|# …MO|cos ∠AMO =2# …MA ⋅# …MO记D 为OA 的中点,再由极化恒等式可知2# …MA ⋅# …MO =2 # …MD 2−# …OD 2因为B ,C 是圆上任意两点(可重合)所以|# …MD|∈[0,3]所以−2⩽# …AB ⋅# …AC ⩽16方法2投影暂无16.【乐山市21届一诊T10】已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点P 是△ABC 所在平面的内的一点,且BP =1,则当# …AP ⋅# …C P 取得最小值时,# …BP ⋅# …BC 的值是A.√3B.√32C.−√3D.−√32A 方法1建系建系如图A(0,√3),B(−1,0),C (1,0),设P(−1+cos θ,sin θ)# …AP ⋅# …C P =⒧−1+cos θ,sin θ−√3⒭(−2+cos θ,sin θ)=3−2√3sin ⒧θ+π3⒭当且仅当θ=π6+2kπ时取等,代入# …BP ⋅# …BC =√3方法2向量转换# …AP⋅# …C P=⒧# …AB+# …BP⒭⋅⒧# …C B+# …BP⒭=# …AB⋅# …C B+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B+# …BP2=2√3+1+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B下求# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B的最小值# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B=−2# …BM⋅# …BP=−2|# …BM|⋅|# …BP|cos∠PBM=−2√3cos∠PBM⩾−2√3,当∠PBM=0时取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3方法3极化恒等式# …AP⋅# …C P=# …PM2−14# …AC2=# …PM2−1⩾3−2√3,当P在线段BM与圆B的交点P′时,取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3。
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
方法二(极化恒等式法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图③，
设 MN 的中点为 A，P→M·P→N＝|P→A|2－|A→M|2＝|P→A|2－15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知直线 l：x＋y－1＝0 与圆 C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1 交于 A，B 两 点，O 为坐标原点，则O→A·O→B的最小值为
√A.－12
B.
2 2
C. 2
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标
如图所示，在 Rt△ABC 上，妨取 AB 的中点 M， 则P→A·P→B＝P→M2－A→M2＝P→M2－4.
设圆C的半径为r，则r＝1， 而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(P→A·P→B)max＝32－ 4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (P→A·P→B)min＝12－4＝－3. 因此P→A·P→B的取值范围是[－3,5].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B ＋P→C)的最小值是
A.－2
√B.－32
C.－43
D.－1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP， PM， 则P→A·(P→B＋P→C)＝2P→A·P→D＝2|P→M|2－12|A→D|2＝2|P→M|2 －32≥－32， 当且仅当M与P重合时取等号.
高中数学课件-向量极化恒等式
答案:(2)2
→
→
→
→
(3)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.·=4,·=-1,
→
→
则·的值为
.
→
→
→
解析:(3)设 BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则 AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2→
→
答案:(1)C
C.
(2)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑
→
→
动,则·的最大值是
.
解析:(2)如图,取 BC 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,ON,
→
→
→
→
→
2
则·=|| -.因为 OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当 O,N,M 三点共线时取等号,所
2
2
2
→
→
→
→
|| =9n -m =4,·=|| -|| =n2-m2=-1.联立解得 n2= ,m2= ,
→
→
→
→
2
2
→
→
因此·=|| -|| =4n -m =,即·=.
答案:(3)
→
→
→
cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ=
→
→
依题意得 AD∥BC,∠BAD=120°,由 · =| || |·
→
→
→
→
→
(完整版)向量—极化恒等式
定义解读，引入主题
向量数量积(代数)定义
定义解读，引入主题
向量数量积(几何)意义
rr r r
a b | a || b | cos
rr
| a | (| b | cos )
r
r
(| a | cos ) | b |
运用定义，解决问题
例1：如图，在RT △ABC中，已知AB=3，AC=4，
1
uuur 2 ( AB
uuur AC
2
)
2
定义解读，引入主题
四.向量数量积运算中的垂直问题
定义解读，引入主题
四.向量数量积运算中的垂直问题
rr r r
r
r
(2)几何意义：a b | a | (| b | cos ) (| a | cos ) | b |
rr r r r r (3)极化恒等式：4a b (a b)2 (a b)2
uuur uuur uuuur 2 uuur 2 AB AC AM MB
uuuur AM
uuur CB
uuur uuur
9
则AO AB ______2______.
变式1：(09 陕西预赛)在△ABC，O是△ABC的
外心
，AB=3，AC=5，则
uuur AO
uuur BC
____8____.
运用定义，解决问题
D
运用定义，解决问题
16
5 2
巩固深化，提升能力
变式1
如图，在边长为1的正方
形中，p为AB上的一动点，
uuur BC=5，则AC
uuur CB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
______1_6_____.
平面向量的极化恒等式与奔驰定理
案 与
为2
3。当弦 MN 的长度最大时，MN 为球的直径。设内切球的球心为 O，则P→M·P→N
解 析
＝P→O2－O→N2＝P→O2－1。由于 P 为正方体表面上的动点，故 OP∈[1， 3]，所以P→M·P→N
∈[0,2]。
【答案】 [0,2]
第5页
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适 合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题。
结论一 向量的极化恒等式 a·b＝a＋2 b2－a－2 b2。 变式：a·b＝a＋4 b2－a－4 b2， a·b＝|a＋4 b|2－|a－4 b|2。 如图，在△ABC 中，设 M 为 BC 的中点，则A→B·A→C＝A→M2－M→B2。
第1页
【例 1】(1)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点。 B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E的值为________。
第8页
(2)点 O 为△ABC 内一点，若 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设A→O＝λA→B＋μA→C， 则实数 λ 和 μ 的值分别为( )
A.29，49 B.49，29 C.19，29 D.29，19
答 案
பைடு நூலகம்
【解析】 根据奔驰定理，得 3O→A＋2O→B＋4O→C＝0，即 3O→A＋2(O→A＋A→B)＋4(O→A
第2页
答
【解析】 设 BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则 AD＝3n。根据向量的极化
案 与
恒等式，有A→B·A→C＝A→D2－D→B2＝9n2－m2＝4，F→B·F→C＝F→D2－D→B2＝n2－m2＝－1。
解 析
专题2 极化恒等式与向量隐圆
专题2 极化恒等式与向量隐圆知识点1 极化恒等式极化恒等式：2214a ba b a b，我们再之前提到两个向量的数量积，有两个方案，一是知道模和夹角，二是知道两个向量的坐标，极化恒等式的出现，使得向量的数量积有了第三种方案，就是利用中线的平方差，这样无需任何角度和坐标，完全靠长度平方差来解决，向量完全靠模长化解决数量积问题，联想我们学习的极坐标，所谓“极化”，就是完全模长化，这个完全模长化的恒等式就叫极化恒等式.在ABC △中，若AM 是ABC △的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()()1212AM AC AB BM AC AB ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC ∆的中线，则()22222AB AC AM BM +=+.定理2 在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则有22221.4AB AC AM BC AM BM ⋅=-=- 【例1】（2014•新课标II ）设向量a ，b 满足a b +=a b -=a b ⋅等于（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．5【例2】（2020•新课标Ⅰ）设a ，b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -= ．【例3】（2022•北京）在△ABC 中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为△ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是( ) A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【例4】（2020•天津）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =-，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为 ．【例5】（2016•江苏卷）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点E ，F 是AD 的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-则BE CE ⋅= .【例6】（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，BC AB ⊥，CD AD ⊥，︒=∠120BAD ，1==AD AB ．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ） A ．2116B ．32C ．2516D ．3【例7】（2016•浙江卷）已知向量,2,1,,==b a b a 若对任意单位向量e ，均有a e b e ⋅+⋅≤则a b ⋅的最大值是 .【例8】（2017•全国II 卷）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC⋅+的最小值是（ ） A ．2-B ．23-C ．34-D ．1-【例9】（2022•重庆期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅的值可能为( )A ．32B ．52C ．3D ．72【例10】（2022•淮安月考）如图，在ABC ∆中，6BC =，D ，E 是BC 的三等分点，且4AD AE ⋅=，则()A ．2133AE AB AC =+B ．1122AD AB AE =+ C ．4AB AC ⋅=- D ．2228AB AC +=同步训练1.（2022•雨花区开学）已知正方形ABCD 的对角线长为2，EF 是它的内切圆一条弦，点P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，当弦EF 的长度最大时，PE PF ⋅不可能为( ) A ．0B ．13C ．12D ．232.（2022•房山区开学）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，AB 为圆M 的直径，若点P 为圆M 上一动点，则PA PC ⋅的取值范围为( ) A ．[0，4]B ．[1-，3]C ．[2-，4]D ．[3-，1]3.（2022•南关区期末）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，24AB CD ==，AD BC ==E 为CD 的中点，F 为线段BC 上的点，则EF BF ⋅的最小值是( )A ．0B ．95-C ．45-D ．14.（2022•思明区月考）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE EA =，2CF FB =．点P 在正方形ABCD 的边上，且16PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．65.（2022•资阳期末）如图，在等腰直角ABC ∆中，斜边为4BC =，M ，N 为BC 上的动点，且1MN =，则AM AN ⋅取值范围为( )A ．15[4B ．C ．15[,6]4D ．[4，6]6.（2022•万州区开学）在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是 ．7.（2022•黄浦区开学）如图，ABC ∆中，4AC =，2BC =，ACB ∠为钝角，M 、N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ACB ∠= ．8.（2022•青岛期末）设点P 是边长为2的ABC △三边上的一动点，则()PA PB PC ⋅+的取值范围是 ． 9.（2018•浙江联考）如图，在等腰梯形ABCD 中，2=AB ，4=CD ，5=BC ，点E ，F 分别为AD ,BC 的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛--209,45B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-411,209C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--41,209D ．511,44⎛⎫- ⎪⎝⎭知识点2 向量的隐圆问题第一类 极化恒等式向量乘积型：PA PB λ=定理 平面内，若B A ，为定点，且PA PB λ=,则P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，241AB +λ为半径的圆． 证明 由PA PB λ=，根据极化恒等式可知，λ=-2241AB PM ，所以λ+=241AB PM ，P 的轨迹是以M 为圆心241AB +λ为半径的圆． 【例11】（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，)012(，-A ，)60(，B ，点P 在圆O ：5022=+y x 上，若20PA PB ≤，则P 的横坐标范围是 ．【例12】已知)32(，A ，)36(-，B ，P 在0343=+-y x 上，若满足20AP BP λ+=的P 有2个，则λ的取值范围是 ．第二类 与向量模和矩形相关构成隐圆如图，在矩形ABCD 中，若对角线AC 和BD 交于点O ，P 为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①2222PA PC PB PD ；① .PA PCPB PD4⎭根据极化恒等式2a b a b +⎛⎫⋅= ⎪⎝，可得224AC PA PC PO PB PD ⋅=-=⋅ 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．【例13】（2008•浙江卷）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ，则||c 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．【例14】（2013•重庆卷）在平面内，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+若12OP ，则OA 的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎢⎣⎭B. ,⎝⎦C. ,⎝D. ,⎝【例15】（2012•江西卷）在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC +等于（ ） A ．2B ．4C ． 5D ． 10【例16】(2022•岳麓区月考)已知向量a 、b 、c 满足3a ，2b ，1c ，且(c)(c)0a b ，则a b-的取值范围是 _ .【例16】（2022•安徽模拟）已知||||2a b ==，||1c =，()()0a c b c --=，则||a b -的取值范围是（ ）A ．11]B ．C ．11]D ．第三类 与向量模和向量数量积构成隐圆【例17】（2022•绍兴期中）已知平面向量a ，b ，c 满足对任意x R ∈都有||||a xb a b -≥-，||||a xc a c -≥-成立，||||1a c b c -=-=，||3a b -=，则||a 的值为（ ）A ．1B C ．2D ．7 【例18】（2022•山东月考）已知向量a ，b ，c ，其中||2a b -=，||1a c -=，b 与c 夹角为60︒，且()()1a b a c --=-．则||a 的最大值为 ．【例19】（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．2【例20】（2016•四川）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C D同步训练10.（2022•海淀开学）已知a ，b 是单位向量，0a b ⋅=，若||1a b c ++=，则||b c -的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[11]C ．1-1]D ．11]+11.（2022•浙江月考）已知向量,,a b c 满足||1,20,2||||a a b c a c b =+=-=-，则向量c b -与a 夹角的最大值是( ) A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 12.（2022•沙坪坝区期末）已知圆22(1)4C x y ++=，过点(0,)M m 的直线交圆于A ，B 两点，下列说法正确的是( )A ．当1m =时，||AB 的最小值是 B ．当m 时，||AM 的取值范围是[22+C ．当2m =时，MA MB ⋅为定值D ．当m =-||2||AB AM =时，120ACB ∠=︒13.（2016•四川）已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C D 14.（2022•祁东县期末）已知向量a ，b ，c 满足||3a =，||1b =，||7a b -=，||2||c c a =-．设()m tb t R =∈，则( )A ．||m c -B ．||m c -的最小值为2C ．||m c -的最大值为2D ．||m c -无最大值15.（2022•南京模拟）已知O 为坐标原点，向量,,OA OB OC ，满足||||||1OA OB OC ===，()()0OA OB OB OC -⋅-=，若||4OP =，则||PA PB PC ++的取值范围是( )A ．[11，13]B ．[8，11]C ．[8，13]D ．[5，11]16.（2022•仙游期中）已知向量,,a b c 满足：||1,()(),(2)a a c b c a a b =-⊥-⊥-，若37||2b =，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n +等于（ ）A ．32B C D 17.（2022•宝山区开学）已知a ，b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．[1，1B ．[2，2C ．D ．[3-，3+18.（2022•礼泉县开学）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且||3CP =，则()PC PA PB ⋅+的取值范围为 ．19（2022•门头沟期末）已知向量,,a b c ，满足||2a =，||3b a b =⋅=，若2(2)()03c a c b -⋅-=，则||b c -的最小值是（ ）A ．2B ．23+C ．1D ．220.（2022•长沙月考）在平面上，12OB OB ⊥，12|||2MB MB ==12OP OB OB =+．若||1MP <，则||OM 的取值范围是 ．21.（2022•浙江期中）已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b 共面的向量c 满足2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则||c 的最大值为（ ）A ．B ．2CD ．122.（2022•余姚期中）设平面向量,,a b c 满足||1a =，||2b =，1a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则|2|a c -的最大值为（ ）A B C D ．223．（2022•浙江模拟）设a b c ，，为平面向量，||||2a b ==，若(2)()0c a c b -⋅-=，则c b ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．94C ．174D ．524．（2022•苏州月考）已知平面向量a ，b ，c 满足||3a =，||2b =，a ，b 的夹角等于6π，且()()0a c b c --=，则||c 的取值范围是 ．25．（2022•昆山月考）已知平面向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，(2)a a b ⊥-，(2)()0c a c b --=，则||c 的最大值与最小值的和为 ．。
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向量极化恒等式
极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22.
变式：a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24
. 如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－MB →
2.
例 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →
的值为________．
答案 78
解析 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .
根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.
联立解得n 2＝58，m 2＝138
. 因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78
. 即BE →·CE →＝78
. (2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →
的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →
∈[0,2]． 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
1．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14
AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )
A ．∠ABC ＝90°
B ．∠BA
C ＝90° C ．AB ＝AC
D ．AC ＝BC
答案 D
解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14
AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE .
根据向量的极化恒等式，
有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2.
又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立，
必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC .
2.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →
的最大值是________．
答案 2
解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，
则OC →·OB →＝OM →2－14
. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32
， 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号． 所以OC →·OB →的最大值为2.。