第一章_生存分布与生命表
第一章生存分布理论基础
一、寿命的概率分布与生存函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F (x) Pr( X x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1)F (0) 0;
(2)F(w) 1.
寿命的生存函数 随机变量X 的生存函数
S(x) Pr( X x) 1 F (x), x 0.
e0 0 S(t)dt
例.已知 S (x) (1 x ) 0 x 100 计算： 100
（1）（30）岁的人在60岁内死亡的概率； （2）（40）岁的人至少还能再活10年的概率； （3）（30）岁的寿命在60岁到80岁之间的概率； （4）（30）岁的平均寿命。
三、 整数年龄的概率分布 (x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
假定寿命极限为w，满足：
(1)S(0) 1;
(2)S(w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr(x X z) S(x) S(z)
寿命的密度函数
f (x) F(x) S(x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；
满足属性：
(1) f (x) 0;
x
w
二、余命的概念分布与生存函数
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x) . 剩余寿命分布函数
FT (t) Pr(T (x) t) t qx , t 0.
t qx Pr(T (x) t) Pr( X x t X x)
S(x) S(x t) S(x)
寿命变量和剩余寿
命变量的区别？
前者是无条件概率，后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ; (3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x)
临床研究中的生存分析与生命表计算
临床研究中的生存分析与生命表计算生存分析和生命表计算是临床研究中常用的统计方法，旨在探究患者的生存状况和预测其生存期。
本文将对生存分析和生命表计算两个方法进行详细介绍，并探讨其在临床研究中的应用。
一、生存分析生存分析是考察个体是否发生某一事件（如死亡、复发、治愈等）的统计方法，适用于无法精确测量时间的患者，如癌症患者的死亡时间。
生存分析常用的统计方法包括生存曲线、生存率、风险比等。
1. 生存曲线生存曲线是反映患者存活时间的统计图形，通常采用Kaplan-Meier 法来估计。
该方法基于观察到的患者生存时间数据，可绘制出生存曲线，展示出不同时间点的生存率。
通过观察曲线的下降情况，可以初步判断治疗效果是否显著。
2. 生存率生存率是指在一定时间段内存活下来的个体占总体的比例，可以通过生存曲线估计得出。
常见的生存率有1年生存率、3年生存率等，可以提供一定时间点上的患者存活情况，对治疗效果进行评估。
3. 风险比风险比是比较两组或多组患者生存时间的指标，用来评估不同治疗方法的效果。
通常采用Cox回归模型来计算，得出的风险比越大，说明在某一组患者中发生事件的风险越高，治疗效果越差。
二、生命表计算生命表计算是用来评估某一特定人群的生存概率和预测其实际寿命的方法。
生命表常用于人口学研究和流行病学研究中，可提供人群的整体生存情况和相应的死亡风险。
1. 准备数据生命表计算需要搜集大量的人口统计学数据，如人口年龄分布、死亡人数等。
根据这些数据，可以绘制出一个人口的年龄-死亡情况表。
2. 表格内容生命表中通常包含每个年龄组的人口数量、死亡数量、生存人数、死亡率、存活比率等。
通过统计和计算，可以得出各个年龄组的生存概率和死亡风险。
3. 应用和意义生命表计算可用于评估人口的整体生存情况和预测特定年龄组的死亡风险。
在临床研究中，生命表计算可以帮助医生预测患者的存活期，从而指导治疗方案的制定。
结语生存分析和生命表计算是临床研究中常用的统计方法，它们对于评估患者的生存情况和预测生存期具有重要意义。
保险学课件-生存模型与生命表
一、延期死亡概率
¡例：在某特定的人口群体中，所有年龄的死亡力为0.025，计算： 年龄为10岁的人在12岁前死亡的概率。 年龄为5岁的人在10-12岁死亡的概率。 新生婴儿的完全生命期望。
新生婴儿的简单生命期望
二、非整数年龄的生命表函数
（一）一年内死亡时间均匀分布假设
（二）死亡力为常数的假设
四、未来生存时间和简单未来生存时间的方差
第四节 生命表函数
¡ 一、生命表的概念 ¡ 二、 函数 ¡ 三、 函数
一、生命表的概念
二、 函数
三、 函数
第五节 延期死亡概率和非整数年龄的生命表 函数
¡ 一、延期死亡概率 ¡ 二、非整数年龄的生命表函数
（一）一年内死亡时间均匀分布假设 （二）死亡力为常数的假设
¡ 选择表是一种不同与终极表的生命表。在人寿保险的承 保过程中，经过体检等选择的被保险人的死亡率等风险 低于一般人口的风险，而且最近几年选择的被保险人的 死亡率风险低于前些年选择的被保险人的死亡率风险， 考虑到这种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择 表。
¡ 总合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的年数，以 整个保险期间为对象，根据不同年龄的被保险人的死亡 率数据编制的生命表。
¡ 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支 付(contingent payment)。其最重要特征就是它发生的不 确定性。一个人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊 情况下才是预先可知的。
¡ 被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件， 对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之 一，它决定着保险金的给付与否。它的研究把数学和生存 与死亡概率结合在一起。
二、选择表
¡对于生命表函数的所有概率公式适用于选择表函 数，例如：
第一章 生命表
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
生存分布与生命表
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令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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下面讨论几个概念的关系：
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所以
于是
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 x
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
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第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
F (x)描述了随机变量X的分布函数， 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
10000
1,
x0
sX
(
x)
(100 x)2 10000
,
0
x 100
பைடு நூலகம்0,
x 100
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3.生命表
(t 0 )
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考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了
x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t
qx Pr[ x X t x | X x]
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是 1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假
设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到
lx+n岁的人存活了n年，故
n n n Lx nl x n n d x (l x l x n ) 2 2 1 当n=1时， Lx (lx lx 1) 2
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1)
k 1 x
q k qx
k px k 1 px
k px qxk k qx
设S(x)为(x)在死亡年所活过的不足一年的部分，它是(0,1)上的连续 函数，显然有
T ( x) K ( x) S ( x)
如果lx 10000,
(lx ) s( x) 20 x = 0.0020, s ( x) lx 10000
19
图3-2是死亡力函数曲线，从图中可见，新生婴儿的死亡力 很高，随着年龄的增加，新生婴儿的死亡力逐渐减小，在 10岁时降至最低，在此之后死亡力又逐渐上升，随着年龄 的增加不断增大。
l xn p npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数，n x lx
《寿险精算学》实验指导书
《寿险精算学》实验指导书李新统计学院保险教研室山东工商学院目录实验一生存分布与生命表实验二人寿保险趸缴纯保费实验三人寿保险年缴均衡纯保费实验四寿险责任准备金的计算实验一生存分布与生命表实验目的：通过本次实验使学生学会如何利用Excel软件来计算各类死亡概率、生存概率及一些其它的生命表函数。
实验内容：Excel的基本用法；中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）的输入；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算整数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算分数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算各类生命表函数。
实验步骤：1、在Excel输入中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）；2、利用生命表基础函数计算各整数年龄段的生存概率nx p 和死亡概率nx q 、x m n q 等。
如计算x 岁的人未来5年内死亡的概率，可以用5年内死亡人数比例来近似死亡概率，计算公式应为：55x x x xl l q l +-=。
先计算0岁的人未来5年内死亡的概率50q ，在单元格F2中输入公式“=(C2-C7)/C2”，按回车键得到结果；再拖动F2单元格右下角的填充柄，向下填充，就可以得到F 列所有整数年龄存活人在未来5年内的死亡概率。
结果如下图所示：其它两种死亡概率n x q 、x m n q 的计算方法类似。
3、在死亡均匀分布假设和常数死亡力假设的前提下计算分数年龄死亡率和生存率,,(0,1)t x tx q p t ∈。
比如计算死亡均匀分布假设下0.2x +的个体在未来0.5年内死亡的概率，公式为0.50.20.510.2xx xq q q +=-。
精算数学知识点复习课件
F1 T
(t)，概率密度为
FT (t)
fT (t)，生存函数为
sT(t)，
精算数学知识点复习精算数学知识点
复习
主讲：
郑兆娟
精算数学知识点复习
•
（1）连续t型qx 未FT (t来) P寿r(T 命(x) 的t) 生s(x存) s(sx(分)x t布)
(1.1)
•
精算函数符号 t
px
sT
(t)
1t
• （2）性质
• ①s(0)=1，
，ω为死亡的极限年龄；
精复• 算习数学知识②点复0习≤精算s数(x学)知≤主识讲点1：，x≥0；
郑兆娟
精算数学知识点复习
• （3）条件概率
•
Pr x
①新生婴儿在
xX岁 z与| X zx（ PxrP<rxzX）X x岁z 之sx间sxs死z亡的概率为：
•Pr(x<X≤z)=F(z)－F(x)=s(x)－s(z)
f 1
(x) F ( x)
[ ln
s(x)]'
(1.4)
•
•
1．死亡效力 x
lim
x0
s(x) s(x x) x s(x)
•
（1）定义：达到lim xP{岁x将的在x人 x中岁之，前死在亡}一瞬间里死亡的人所占的比
率，记为μx：
x0
x
x瞬间死亡的比率
• 含义：
精算数学知识点复习精算数学知识点
复习
复习
•郑兆娟
死亡主讲效： 力
精算数学知识点复习
• 【引言】
• 生存分布或生命表，主要是通过对人们的寿命及死亡率的统 计数据，利用概率论与数理统计的原理和现代统计方法，进行整理、 加工、建立起人们的生存分布（即生存函数），构造出人类的生命 表。
精算数学知识点复习
1．连续型的死亡年龄概率分布 记号： X：某人的死亡年龄——寿命——随机变量； 对应分布函数记为F(x)，概率密度记为f(x)，且F′(x)=f(x)； X的分布函数为：
F x Pr X
x Pr某人在
x岁之前死亡
x
0
f
t dt
且F 0 0。
精算数学知识点复习
主讲：郑兆娟
X的均值与方差分别为：
E
X
0
x
f
x dx
Var
X
0
x
E
X
2
f
xdx
E
X2
E2X
2．离散型的死亡年龄概率分布
K：新生婴儿死亡年龄X整数值（即取周岁数），则K=[X]（其中，[ ]是取整函数）。那么，离散型随机
变量K的概率分布律为：
死亡年龄 K
0
1
2
3
…
概率 q
q0
q1
q2
(1.11)
F(x) 1 exp
x
0 tdt
x
f (x) F(x) 1
表明：在de Moivre形式下s(，x)死亡1 年F龄(Xx在) [01，ωx]上服从均匀分布。
②T(x)的分布函数和密度函数为：
精算数学知识点复习
t
px
s(x t) s(x)
x
x
t
FT
(t)
1
t
px
t
x
(1.4)
x
lim
x0
s(x) s(x x s(x)
x)
P{x将在x x岁之前死亡}
lim
x0
x
x瞬间死亡的比率
A5寿险精算总结(数学部分)
A5寿险精算(actuarial aspects of life insurance)公式总结第一章 生存分布与生命表11nx x x x n p p p p ++-=⋅()()()()()1Xx xf x s x l x Fx s x l μ''==-=--()()0x ttxy d yx s d stx p eeμμ+--+⎰⎰==()()00xs d sXxs x ep μ-⎰==()()()()(1),()T x tx tx tx T x tx d d f t p x t p p F t q d t d tμ=⋅+=-=-=()0x l l s x =⋅平均余寿[]011|:0()x x t x tx xxkxxk n k x nxx nk T l d tT E T x p d tl p k q n p e e e∞+∞∞=-=======⋅+⋅⎰⎰∑∑线性假设{}{}()1()(1)11111()1x T x tx x t x x xtx x tx x tx x t xx t xq f t p tq q tq xtx t p tq P r T t xxtq tq P r T t xx t p q t xx txq t q μωωωωωωωωωμ+++=⋅=-==----=-=-==>--===≤---=⋅=----=-⋅与无关指数假设()(),1tT x tx x t ttx x ttx f t p ep ep eq eμμμμμμ-+---=⋅=⋅===-De Moivre 死亡解析律()1,()1xx x s x xωμωωω-==-=-第二章 人寿保险的精算现值2112::()()x nx nV ar Z AA=-常值死力假设()()()()1:022122:0()1()12nn t tx x t x nnn ttx x t x nAE Z vp d t eAE Z vp d t eμδμδμμμδμμμδ-++-++===-+===-+⎰⎰()t x tx x t A E Z vp d t μ∞+==⎰12112:::(),()()n x nx nx x x nnnA E Z E v p V a r Z A A ====-两全保险()()11:::22211211113::::::()2x x nx nnx x x x n x nnnx n n AAA V a r Z A A A A A A =+⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦|()t m x tx x t mA E Z vp d tμ∞+==⎰n 年期年度递增（递减）定期寿险11111|::1()(1)(1)n n k t tx x t k x nx kk k IA k vp d t k Aμ--++===+=+∑∑⎰11111|::1()()()n n k t tx x t k x nx kk k D A n k vp d t n k Aμ--++===-=-∑∑⎰离散型定期保险111:011:1:1212221:1:1[]n k kx x kx nk x x x n x n x x x nx n AE z vp q Av q v p AAv q v p A-++=+-+-===+=+∑递推公式终身寿险12312201k x kx x k x x x x x k x x x x A vp q v q v p q vp q A v q v p A ∞++++=+==+++=+∑递推公式保单分解11|::x nx x n n x x nx nA AE A A A +=+=+变额保险11111|::111111|::1()(1)(1)()()()n n k kx x k k x nx k k n n k kx x k k x nx k k IA k vp q k AD A n k vp q n k A--++==--++===+=+=-=-∑∑∑∑第三章 生命年金的精算现值 连续型终身生命年金222[]1()()1t x tx Tx xx x TTTa E Y a vp d ta A A A V a r a vaδδδ∞====+-=-=⎰常值死力假设212x x x a A A μδμμδμμδ=+=+=+定期生命年金:0::::22::211()()nt tx x nx nx n x n x nx nx navp d t AaAa AAV a r Y δδδ=-=+⇒=-=⎰确定期生命年金:|:()()t tx nx nnx n x nx nnaavp d taa aaa ∞=+=+-=+⎰保单分解离散型期初付生命年金()()2222211::::22::2::11111()()()()k x kx x x k x x x x K x x x x nx n x nx nx n x nx nx nx navp v p vp d aA A A V a r ada v p a Ad aAa dAA V a r Y daaa a ∞=++==+++=+-==+-=+⇒=-==+-∑终身递推定期确定期保单分解期末付生命年金()()2212221:::22::2111()()k x kx x x x k x x K n nx nxx nx nx nx nx na vp v p vp aA A V a r a daavp aE AA V a r Y d∞=+==++=--==-+=-+-=∑终身定期每年支付m 次的生命年金。
第一章生存分布与生命表
绪论 第一章 生存分布与生命表
绪论
保险精算学的产生与相关概念 寿险精算学的主要研究内容 课程相关及考核
保险Байду номын сангаас算学的产生与相关概念
为了准确地评估和控制风险，精算学得以产 生和发展。
人类面临许多严重的风险事故，可能会使全 家突然陷入经济困境。个人通常无法预测和避免 风险事故的发生，但是可以通过风险转移的方式 将风险事故可能造成的财务后果降到可以接受的 程度。
概率模型的构造
大数定理保证了由大量的被保险人构成的一 个大数群体而言，他们的寿命分布是有统计规律 性的。这就意味着，保险公司可以依靠概率统计 的原理预测将来的风险。因此概率模型将是我们 构造寿险精算模型的主要工具。
精算参数的合理假定
寿险精算中，基本参数主要有：死亡率、利 率、赔付金额、费用率、退保率。
例10000人为了转移1年内死亡后家庭陷入经 济困境的风险，每人出资100元，共计筹款100 万，假设一年内有一人死亡，获得100万解决家 庭经济问题。
风险转移的实质是将具有相同风险的个人聚合成一 个团体，团体成员的损失共同分担，这就实现了个人 风险向团体的转移。作用原理类似与物理学中的压力 与压强的关系。
学习目标： 了解常用生命表函数的概率意义、函数表达 式及相互关系 了解生存分布与生命表之间的关系 了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分 数年龄生命表函数的计算方法
人寿保险是以人的生命为保险标的，已被保 险人在指定时期的生存或死亡作为保险金的给付 条件，因此，精确估计被保险人的生命规律对风 险分析和控制来说至关重要。
寿命 剩余寿命 取整余命 死亡力
1.1 引言
寿命
剩余寿命
取整余命
死亡力
CH1 生命表
三、死亡力与未来生存时间的分布函数，密度函数之间的关系
根据 f x (t ) ＝
d dt
F x (t ) d dt P [T x t ]
1
f x (t ) ＝
＝ Iim
h 0
h
P [T x t h ] P [T x t ] P [T x t h | T x ] P [T x t | T x ]
f x (t ) ＝
S (x t) S (x)
h 0
Iim
1 P [T x t h ] P [T x t ] h S (x t)
＝ S x (t ) × Iim
h 0
1
P [T x t h | T x t ]
h
＝ S x (t ) × x t 或者，用精算符号，对 0 到 w 间的某一年龄 x
下面就是生存模型可回答的例子：
1.一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少? 2.假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少 人可能在下一年内死亡? 3.如果某一45岁的男性公民，在投保了一个10年 的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少 保费?
4.一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民 的未来生存时间的影响是怎样的?
1. 2. 3. 4. 5.
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下 的特征： 存在两种状态：生存和死亡。 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死 亡概率的探讨而着手生存状况的研究。 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行 清晰的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释.
生存分析与生命表的构建与解读
生存分析与生命表的构建与解读生存分析是一种统计方法，用于研究个体从某一特定事件发生开始（如诊断）到另一特定事件发生（如死亡）的时间间隔。
生存分析的结果可以通过生命表来展示和解读。
一、生存分析的构建生存分析可以使用多种方法进行构建，其中最常用的是卡普兰-邓利方法（Kaplan-Meier）和考克斯模型（Cox proportional hazards model）。
1. 卡普兰-邓利方法：该方法适用于无法遵循比例风险假设的数据。
它基于每个观察点的生存状态（存活或死亡）和事件发生时间来计算生存函数。
通过绘制生存曲线，可以直观地显示不同时间点的存活率。
2. 考克斯模型：该方法通过估计风险比例来研究预测变量对生存的影响。
它可以考虑多个预测因子，包括连续型和分类型变量。
通过计算风险比例，可以了解每个预测因子对存活率的相对影响。
二、生命表的构建与解读生命表是对人群中不同年龄组的生存情况进行汇总的一种表格形式。
生命表通常分为静态生命表和动态生命表。
1. 静态生命表：静态生命表基于已知年龄组的死亡和存活数据来计算各个年龄组的生存指标，如存活率、死亡率和平均寿命。
它主要用于描述特定时点的人群生存状况，适用于横断面研究。
2. 动态生命表：动态生命表是根据观察到的人群动态数据来计算生存指标，如存活率和失能率。
它可以追踪人群在不同年龄组之间的动态变化，适用于长期追踪研究。
根据构建的生命表，可以进行以下解读和分析：1. 存活率分析：通过绘制生存曲线，可以比较不同组群或特定因子下的存活率差异。
例如，可以比较男性和女性的存活率，或者吸烟者和非吸烟者的存活率。
2. 平均寿命计算：平均寿命是一个重要指标，可以通过生命表中特定年龄组的存活率来计算。
它可以反映某一人群的整体生存水平。
3. 风险因素分析：利用考克斯模型等方法，可以研究预测因子对生存的影响程度。
通过分析风险比例，可以了解不同预测因子对人群生存的相对影响。
4. 生命表的应用：生命表不仅仅局限于人群的生存分析，还可以应用于其他领域，如保险、医疗决策和公共卫生政策的制定等。
第一章 生命表
第一章 生命表
b) 离散型平均余命：
l x k l x k 1 l xk e x E[ K ( x)] k k| q x k lx k 0 k 0 k 1 l x
含义：x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿
1.2.2
生命表的构成
Lx l xt dt
记住！
x=0 时，有 T (0) X , x p0 s( x)
含义：新生婴儿的未来寿命等于他的死亡年龄
t=1 时，有 u=1 时，有
q x 1 q x Pr(T ( x) 1), p x 1 p x Pr(T ( x) 1),
t|
qx t| 1 qx t px qxt
1.2.2
4. 死亡概率
生命表的构成
d x l x l x 1 qx , lx lx d x l x l xk q x 1| q x k 1| q x , k qx lx lx
k t |u
l x t l x t u qx lx
1.2.2
含义：(x)在x+t 前死亡的概率
1.1.3
未来寿命T 的分布
s ( x t ) f T (t ) FT (t ) s ( x)
概率密度 生存函数
s( x t ) T ( x) t ) t p x 1 t q x Pr( s ( x)
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选择—终极生命表
国民生命表又可分为完全生命表（complete life table）和简易生命 表（abridged life table）。完全生命表是根据准确的人口普查 资料，依年龄分别计算死亡率、生存率．平均余命等生命函数而 编制的；简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和 人口抽样调查的资料，按年龄段（如5岁或10岁为一段）计算的死 亡率、生存率、平均余命等生命函数。 经验生命表又可分为终极表（ultimate table）、选择表（select table）、总合表（aggregate table）等。 终极表是指根据被保险人最终的死亡率编制的生命表，也就是按照承 保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表 选择表是一种不同于终极表的生命表。在人寿保险的承保过程中，经 过体检等选择的被保险人的死亡率等风险低于一般人口的风险， 而且最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前些年选择的被 保险人的死亡率风险，考虑到这种选择因素的影响之后编制的生 命表称为选择表
第一章
生存分布与生命表
第一节引言（简单模型） 一、 生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生 存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡， 保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间) 可作为一个随机变量，们用F(x)表示。
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）
平均余命，记作 e x 平均生存函数 考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡 情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存 情况由生存函数给出。
d q 正式生命表经常含有一些基本函数如l x 、 x、 x
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）
平均余命，记作 e x 平均生存函数
o
生命表实例 选择终极生命表
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选择—终极生命表
(100 x) 2 解 （1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= 10000
x0 1, (100 x) 2 s X ( x) , 0 x 100 10000 x 100 0,
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（2）Pr(70<X≤80)= sX (70)- sX (80) 考虑一些概率分布
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生命表举例，看书
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对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表， 其中： 1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成 员减少的唯一原因是死亡；
3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；
双曲假设
双曲假设又叫调和假设或Balducci假设，这 种假设下l 具有双曲线形式，即它可写成
x+s
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类似地，在双曲假设下，可以得到其它生命 表函数的表达式。
等等，见教材20页
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注意，在调和假设下，死亡力在(x，x+1)上是单 调递减的，这和直观的感觉有所不同。 一般死亡力描述了个体的瞬时死亡概率随时间变化 的情况，因此，具有递增性质的死亡力才是合乎情 理的，同时直觉也告诉我们，高龄人死亡的概率应 该比年轻人死亡的概率大。 当然，这种感觉并不一定总是正确的。 事实上，经验表明，人类生命有这样一种特性，由 于先天的缺陷或婴儿疾病，在婴幼儿阶段死亡率较 高，而后死亡率随年龄的增长而下降，并在30岁 左右趋于相对稳定，此后又随年龄的增长而升高。
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指数假设（常值死力假设）
指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这 种假设下lx+s具有指数形式，即它可以写成的 形式
类似的有
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这表明S在(0，1)上服从参数为μ指数的指数分 布。所以有时又将指数分布称为常力分布。相应 地，将指数假设称为常力假设。
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F(x)的概念及其分布函数
F ( x) Pr X x 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
x n x n x
x
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第三节 分数年龄假设
关于尾龄的缘由及若干假设 死亡均匀分布假设 常值死力假设 Balducci假设 线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假 设下，lx+s具有线性形式，即lx+s可以写成a+bs的形 式。 由连续性，知道
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将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即 K(x)=[T(x)]。 令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略 未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长 度随机变量 有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)<k+1]
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在保险精算领域，具有递增性质的死亡力是更合理 的，也是更常用的假设。
首先，因为保险精算实务中更多考虑的是处于稳定年龄 段的生命，这种生命的死亡力是递增的。 其次，当考虑的是低龄生命时，即使国民生命表相应死 亡力呈现先降而后升的形状，对保险公司来说，由于存 在选择的过程，所以往往可以将身体虚弱者挡在门外， 而只接纳那些身体条件较好者，而这些人的死亡力则是 递增的。
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x 0
F ( x)描述了随机变量 的分布函数， X
引言
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
2(100 x) , 0 x 100 f X ( x) 10000 0, 其它
求：（1）该地区人群的生存函数； （2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度 函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡 的概率。 x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关 系
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由上式，可以得到
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第三节 分数年龄假设
生命表所给出的数值都是相应函数在整数点的值。 对于非整数值，在表中是找不到的。 并且，在对一些其它函数的讨论中可以发现，仅有 l 在整数点上的值是不够的。事实上，只有 p 和 q 在x和n为整数时可以仅由生命表中的l 给出。 因此，还需要对s(0<s<1)，确定lx+s的值. 通常假设lx+s作为s的函数在[0，1]区间上具有某种 数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲 假设等。 也叫做尾龄的各种假设。
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第一节引言（简单模型）
符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄， 显然，X也是一个随机变量 记X的分布函数为FX(x) FX(x)=Pr(X≤x) x≥0 显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机 事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡 概率。 死亡概率对应，定义函数SX(x) 为： 1-FX(x)= Pr(X>x) x≥0 {X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿 将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x 岁仍然活着的概率 2013-5-14 2 称其为生存函数 ,简记为S(x)
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o
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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下面讨论几个概念的关系：
q = Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1) p = Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)>1)
x x
另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于 (x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可 以用t q 来表示，即
|u x
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或者
或者 s(x+t)=(1-t)s(x)+t·s(x+1) 都称为死亡均匀分布
0
例，设（x) 在[x,x+1]上服从死亡均匀分布，试证： e x
ex 1 2
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事实上，我们有下面的公式成立
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这是一个非常简洁且非常实用的结果，它表明，在线性假设下，区间(x,x+1) 上的条件死亡密度为一个常数，并且这个常数就是在这个区间上的死亡概率。 这同时表明随机变量s在这个区间上是均匀分布的。 lx+s的线性假设通常被称为死亡的均匀分布假设，简称为UDD假设