控制器设计方法第一次课2学时

(1.1.10) (1.1.11) (1.1.12) (1.1.13)
阶次限制关系为
nH1 nB 1
nG n A 1
nT nA nB 1
闭环极点配置方程 (1.1.10) 式相当于已知 A( z 1 ) , B ( z 1 ) , T ( z 1 ) , 待求 H 1 ( z 1 ) 和 G ( z 1 ) 的 Diophantine 方程，在上述阶次匹配限制下存在唯一解。因此闭环系统方程(1.1.6)式可写成
阶次限制为
nH 1 d 1 nG n A 1 nT nA d 1
因 A( z 1 ) 与 z d 互质，在上述阶次配合下， H 1 ( z 1 ) 和 G ( z 1 ) 有唯一解。 多项式 E ( z 1 ) 的选取原则与（1）相同。当引入积分器时，即 H1 (1) 0 时，取
1
(1.1.6)
下面的问题就是如何根据闭环系统方程(1.1.6)式，求取控制器方程中的未知多项式 H ( z 1 ) ，
G ( z 1 ) 和 E ( z 1 ) ，并使得闭环系统极点配置到理想位置，实现稳态跟踪。
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丢番图方程在多项式中的一般形式为
X ( z 1 ) X 0 ( z 1 ) B( z 1 )Q( z 1 )
Y ( z 1 ) Y0 ( z 1 ) A( z 1 )Q( z 1 )
也是该方程的解，其中 Q( z 1 ) 为任意多项式。控制问题中我们通常是求出 X ( z 1 ) 或 Y ( z 1 ) 的 最小阶解，而最小阶解则是 Diophantine 方程在最小阶限制下的唯一解。以确定 X ( z 1 ) 的最 小阶解为例加以说明。 确定 X ( z 1 ) 和 Y ( z 1 ) 的阶次 n X 和 nY 的方法是根据方程两边 z 1 的同次幂系数相等的原 则建立一组线性方程。因为 X ( z 1 ) 和 Y ( z 1 ) 的系数未知待求，所以方程组中的未知数的个数 为 X ( z 1 ) 和 Y ( z 1 ) 的阶次 n X 和 nY 之和再加 2，即未知数个数为 n X nY 2 ；而方程组中方程 式的个数为 nC 1 ，或 n X n A 1 ，或 nY nB 1 ，其中 n A ， nB 和 nC 分别代表 A( z 1 ) ， B( z 1 ) 和 C ( z 1 ) 的阶次。我们可以看出丢番图方程有唯一解的条件是方程个数等于未知数个数，即
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
课堂练习：已知多项式
A( z 1 ) 1 1.6 z 1 0.6 z 2 ，
B( z 1 ) 1.5 0.53z 1 0.9 z 2 ，
C ( z ) 1 0.4 z
参考输入
w(k )
E
1 H
G
控制器输出
u(k )
B A
被控对象
被控对象输出
y (k )
控制器
图 1.1 极点配置控制器结构框图 为选择极点配置控制器中的未知多项式 H ( z 1 ) ，G ( z 1 ) 和 E ( z 1 ) ， 将(1.1.4)式代入(1.1.1) 式得到闭环系统方程，即
控制器设计方法
教学大纲： (1) 模型参数已知时线性确定性被控对象控制器设计方法 极点配置控制器、基于极点配置的 PID 控制器、 模型跟随控制器 (2) 模型参数已知时线性随机被控对象控制器设计方法 最小方差控制/调节器、 广义最小方差控制器、 广义预测控制器、 多变量广义最小方差解耦控制器 (3) 模型参数未知时自适应控制器设计方法 自校正控制/调节器及在车辆悬架系统中的应用、 模型参考自适应控制及在船舶自动驾驶仪中的应用
A( z 1 ) X ( z 1 ) B( z 1 )Y ( z 1 ) C ( z 1 )
其中 A( z 1 ) ， B ( z 1 ) 和 C ( z 1 ) 为三个已知非零多项式，且 A( z 1 ) ， B ( z 1 ) 和 C ( z 1 ) 三者之间 无公因子， X ( z 1 ) 和 Y ( z 1 ) 为未知的待求多项式。 这是一个未知数个数多于方程个数的方程，因此是一个不定方程。如果 A( z 1 ) 和 B( z 1 ) 互质，也就是 A( z 1 ) 和 B( z 1 ) 之间没有公因子，则上述方程总存在解，并且存在多个解。例 如，如果 X 0 ( z 1 ) 和 Y0 ( z 1 ) 是上述方程的一个特解，则
B ( z 1 ) B ( z 1 ) B ( z 1 )
(1.1.7)
式中 B ( z 1 ) 为由所有不稳定零点组成的因式，B ( z 1 ) 为由所有稳定零点组成的因式配以适 当的比例，令
H ( z 1 ) H 1 ( z 1 ) B ( z 1 )
上述极点配置控制算法可适用于开环不稳的非最小相位被控对象， 但要求分解 B( z 1 ) 为
B ( z 1 ) 和 B ( z 1 ) 。下面的三种极点配置算法不需要分解 B ( z 1 ) 。
（2）对消所有过程零点 当被控对象是最小相位时，即 B ( z 1 ) 的全部零点在 z 平面单位圆内，假定被控对象的时 延为 d，可将 B ( z 1 ) 写为 B( z 1 ) z d B ( z 1 ) ，这时对象模型变为
2
E ( z 1 ) 必须取为 E (1) G (1)
(1.1.16)
(II) 不引入积分器 如果不引入积分器， 由(1.1.14)式知为使 y (k ) 和 w(k ) 之间的传递函数稳态时为 1，E ( z 1 ) 必须取为
E (1) T (1) / B (1)
(1.1.17)
参考书： [1] 柴天佑，岳恒，自适应控制理论及应用, 清华大学出版社, 2015 [2] 舒迪前，饶立昌，柴天佑，自适应控制，东北大学出版社，1993 [3] G. C. Goodwin, 孙贵生， 自适应滤波、预测与控制，科学出版社 [4] Karl J. Astrom, Bjorn Wittenmark，自适应控制，科学出版社
1.1.2 极点配置控制器设计
采用具有下面结构的极点配置控制器方程
H ( z 1 )u (k ) E ( z 1 ) w(k ) G ( z 1 ) y (k )
(1.1.4)
式中，H ( z 1 ) ，G ( z 1 ) ，E ( z 1 ) 为 z 1 多项式，其阶次和系数待定，控制器的结构图如图 1.1.1 所示。
A( z 1 ) 1 a1 z 1 a n z n
A
A
(1.1.2)
B B
B( z 1 ) b1 z 1 bi z i bn z n
(1.1.3)
如果被控对象的时延为 d ，将 bi ( i 1, 2, , d 1 )置为零即可。假设 A( z 1 ) 与 B ( z 1 ) 互质，即 两者无公因子。 控制的目标： 将闭环系统的极点配置到理想位置， 并要求闭环传递函数的稳态增益为 1， 令 T ( z 1 ) 是首 1 的稳定多项式， 其零点是理 消除输出 y (k ) 与参考输入 w(k ) 之间的稳态误差。 想的闭环系统极点。
[ A( z 1 ) H ( z 1 ) B( z 1 )G ( z 1 )] y (k ) B ( z 1 ) E ( z 1 ) w(k )
(1.1.5)
即
y (k ) B ( z 1 ) E ( z 1 ) w(k ) A( z ) H ( z 1 ) B( z 1 )G ( z 1 )
1. 模型参数已知时线性确定性被控对象控制器设计方法 1.1 极点配置控制器
1.1.1 控制问题描述
设被控对象的数学模型为
A( z 1 ) y (k ) B( z 1 )u (k )
B ( z 1 ) 分别为关于 z 1 的 nA 和 nB 阶多项式，可以表示为
(1.1.1)
式中， y (k ) 和 u (k ) 分别为 k 时刻被控对象的输出和输入量， z 1 为单位后移算子， A( z 1 ) 和
1 1
(1.1.20)
z d E ( z 1 ) u (k ) A( z ) H1 ( z 1 ) z d G ( z 1 )
1
于是极点配置方程式变为
A( z 1 ) H1 ( z 1 ) z d G ( z 1 ) T ( z 1 )
(1.1.21) (1.1.22) (1.1.23) (1.1.24)
A( z 1 ) y (k ) z d B ( z 1 )u (k ) C ( z 1 ) (k )
(1.1.18)
取
H ( z 1 ) H 1 ( z 1 ) B ( z 1 )
(1.1.19)
则闭环传递函数为
y (k ) B ( z 1 ) E ( z 1 ) u (k ) A( z 1 ) H ( z 1 ) B ( z 1 )G ( z 1 ) z d B ( z 1 ) E ( z 1 ) u (k ) A( z ) H1 ( z ) B ( z 1 ) z d B ( z 1 )G ( z 1 )
1 1
，
1 1 求取阶次最小的多项式 X ( z ) ， Y ( z ) ，满足丢番图方程
A( z 1 ) X ( z 1 ) B( z 1 )Y ( z 1 ) C( z 1 ) 。
下面我们介绍四种极点配置算法。 （1）对消所有稳定零点，保留所有不稳定零点 假设被控对象为非最小相位系统，则需将 B ( z 1 ) 分解
(1.1.8)
则(1.1.6)式可以化简为
y (k ) B ( z 1 ) E ( z 1 ) w(k ) A( z ) H1 ( z 1 ) B ( z 1 )G ( z 1 )
1
(1.1.9)
显然闭环极点配置方程为
A( z 1 ) H1 ( z 1 ) B ( z 1 )G ( z 1 ) T ( z 1 )
n X nY 2 nY nB 1 n X nY 2 n X n A 1 n X nY 2 nC 1
确定 X ( z 1 ) 的最小阶解，也就是限制 n X nB 的解，在此条件下，可以确定
n X nB 1
nY max{n A 1, nC n B }
A( z 1 )(1 z 1 ) H 2 ( z 1 ) B ( z 1 )G ( z 1 ) T ( z 1 )
(1.1.15)
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相当于已知 A( z 1 )(1 z 1 ) , B ( z 1 ) , T ( z 1 ) ，待求 H 2 ( z 1 ) 和 G ( z 1 ) 的 Diophantine 方程，这 时 n G n A ， nH nB 1 。由(1.1.14)式知，为了使 y (k ) 和 w(k ) 之间的传递函数稳态时为 1，
y (k )
B ( z 1 ) E ( z 1 ) w(k ) T ( z 1 )
(1.1.14)
此外，由(1.1.14)式可看出：为了消除跟踪误差必须合理地选择 E ( z 1 ) 。下面介绍两种消 除跟踪误差的方法。 (I) 引入积分器 为了引入积分器，选择 H1 ( z 1 ) 使 H1 (1) 0 ，即取 H ( z 1 ) (1 z 1 ) H 2 ( z 1 ) B ( z 1 ) ，则闭 环极点配置方程为