乘法公式——平方差公式
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2、预期效果：让学生掌握平方差公式的结构特征 ，并能运用公式进行简单的计算。
四、教学目标：
1．掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
2．在探索平方差公式的过程中，体会数形结合的思想方法，进一步发展学生的符号感和观察、推理、归纳能力。
3．通过公式的探究，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信。
【设计意图】
1、进一步巩固学生对公式的认识和理解；
2、在认清公式的结构特征 的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。
（2）间接运用新知，解决第二层次问题：
自学例1，然后仿照例1独立运用平方差公式计算：
①(-2x+3)(3+2x)②(3b+2a)(2a-3b)
思考：1式子的左边具有什么共同特征？
2它们的结果又什么特征？
3能不能用字母表示你的发现？
点拨：由于等式右边是两数平方差的形式，因此此公式叫“平方差公式”
【设计意图】
由学生自己给公式取名，会极大地增加学生学习数学的兴趣，同时通过取名这一活动能让学生更深刻地认识和理解公式。
师进一步点拨、强调，师生共同完成，及时巩固：
三、教法特点及预期效果：
1、教法特点：
以问题为线索，学生在动口、动手、动脑中使知识再创造，并展示学生探索成果，让学生感受学习数学是一件快乐的事。从中让学生明确获取知识只有通过自己的探索才能不仅“知其然”，而且“知其所以然”；透过表象看公式特征，而不是死记硬背，在应用中学会知识的迁移，抓住公式的结构特征，提高学生的灵活运用能力。
平方差公式：____________________________
问题：你能将上述公式转化成文字语言吗？
（学生独立思考后，小组内交流，小组代表发言）
文字叙述：________________________________________
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织、表达能力；加深学生对公式 的理解和记忆。
第14章《平方差公式》（第1课时）教学设计
一、教学内容的本质、地位、作用：
平方差公式是多项式乘法的后续学习及再创造活动的结果，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅为特殊多项式的乘法提供了简便算法，而且为以后学习因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程等内容奠定了坚实的基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有举足轻重的地位，是初中阶段学习的第一个非常重要的计算公式。
【设计意图】复习回顾多项式乘多项式的运算法则，为后面学生验证平方差公式做好铺垫，同时为平方差公式的应用提供一个随机的变式训练，前后照应。
（二）课上探究：
【活动一】
计算下列各题:
(1) (x+1)(x-1 )=?
(2) (a+2)(a-2)=?
(3) (3-x)(3+x)=?
(4) (2m+n)(2m-n)=?
五、教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。
六、教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行计算；公式几何意义的理解。
七、教学过程：
（一）课前复习、准备：
1、各小组长领取本组课上探究所需学具：正方形纸片
2、复习回顾：
多项式与多项式是如何相乘的？
计算：（2a +3b）（4a-6b）
a2－b2（平方差的形式）
（y+3)(y-3)
(a+3b)(a-3b)
（-m-n）(-m+n)
（a+b+c）(a+b-c)
精讲点拨：
运用平方差公式进行计算，关键是找出公式中的a和b。最后一题是两个三项式相乘，如果两个式子中，它们的项数相同，有几项是相同的，有几项互为相反数，那么相同的项即为公式中的a，相反的项即为公式中的b,它也能用平方差公式进行计算。
引导学生画出图形分析。
②小红准备用一块边长为a厘米的正方形花布做成手绢，但在缝制的过程中，花布的一角不小心被染上污渍，使正方形花布的这一角有边长为b厘米的小正方形花布无法再使用。（把发到你们手中的正方形纸片当作那块“花布”）他无从下手，我也是束手无策。请同学们帮助设计一下，把不规则花布通过剪拼变成规则花布来缝制手绢，看谁的办法多！”
③（-1-2a）(-1+2a)④（a5-b 2）（a5+ b2）
【设计意图】
检查学生对平方差公式本质的理解程度，从而加深学生对公式的本质把握。
（3）灵活运用新知，解决第三层次问题：
①灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?
问题：如何证明这个结论？
学生在自己学案上利用多项式的乘法法则推导出公式
（一名学生到黑板前板演推导过程） （a+b）（a-b）＝a2-ab+ab-b2=a2-b2
【设计意图】让学生经历探究——发现——猜想——验证的学习过程，体会数 学这门学科的严谨性。
精讲点拨：
平方差公式的特点：
1．左边是两个二项式相乘，这两Baidu Nhomakorabea二项式中有一项相同，另一项互为相反数
活动方式：
1、各小组成员先独立剪拼正方形纸片，然后小组内交流各自的不同方法。
二、教学问题诊断：
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号，并出现漏项等问题。由此，学生学习平方差公式的困难在于：（1）不能准确把握公式结构的本质特征（2）不能真正理解公式中字母代表的广泛意义。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解，是当务之急，也是重中之重。
2．右边是相同项与相反项的平方差
3．公式中的字母可以表示任意数（正数和负数），也可以代表单项式或多项式等代数式
【活动三】有效训练（平方差公式的应用）
自主学习：分层训练
（1）直接运用新知，解决第一层次问题：
试一试、你能用平方差公式直接计算下列各式结果吗？
(a+b)(a-b)
a（相同的项）
b（互为相反数的项）
四、教学目标：
1．掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
2．在探索平方差公式的过程中，体会数形结合的思想方法，进一步发展学生的符号感和观察、推理、归纳能力。
3．通过公式的探究，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信。
【设计意图】
1、进一步巩固学生对公式的认识和理解；
2、在认清公式的结构特征 的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。
（2）间接运用新知，解决第二层次问题：
自学例1，然后仿照例1独立运用平方差公式计算：
①(-2x+3)(3+2x)②(3b+2a)(2a-3b)
思考：1式子的左边具有什么共同特征？
2它们的结果又什么特征？
3能不能用字母表示你的发现？
点拨：由于等式右边是两数平方差的形式，因此此公式叫“平方差公式”
【设计意图】
由学生自己给公式取名，会极大地增加学生学习数学的兴趣，同时通过取名这一活动能让学生更深刻地认识和理解公式。
师进一步点拨、强调，师生共同完成，及时巩固：
三、教法特点及预期效果：
1、教法特点：
以问题为线索，学生在动口、动手、动脑中使知识再创造，并展示学生探索成果，让学生感受学习数学是一件快乐的事。从中让学生明确获取知识只有通过自己的探索才能不仅“知其然”，而且“知其所以然”；透过表象看公式特征，而不是死记硬背，在应用中学会知识的迁移，抓住公式的结构特征，提高学生的灵活运用能力。
平方差公式：____________________________
问题：你能将上述公式转化成文字语言吗？
（学生独立思考后，小组内交流，小组代表发言）
文字叙述：________________________________________
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织、表达能力；加深学生对公式 的理解和记忆。
第14章《平方差公式》（第1课时）教学设计
一、教学内容的本质、地位、作用：
平方差公式是多项式乘法的后续学习及再创造活动的结果，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅为特殊多项式的乘法提供了简便算法，而且为以后学习因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程等内容奠定了坚实的基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有举足轻重的地位，是初中阶段学习的第一个非常重要的计算公式。
【设计意图】复习回顾多项式乘多项式的运算法则，为后面学生验证平方差公式做好铺垫，同时为平方差公式的应用提供一个随机的变式训练，前后照应。
（二）课上探究：
【活动一】
计算下列各题:
(1) (x+1)(x-1 )=?
(2) (a+2)(a-2)=?
(3) (3-x)(3+x)=?
(4) (2m+n)(2m-n)=?
五、教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。
六、教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行计算；公式几何意义的理解。
七、教学过程：
（一）课前复习、准备：
1、各小组长领取本组课上探究所需学具：正方形纸片
2、复习回顾：
多项式与多项式是如何相乘的？
计算：（2a +3b）（4a-6b）
a2－b2（平方差的形式）
（y+3)(y-3)
(a+3b)(a-3b)
（-m-n）(-m+n)
（a+b+c）(a+b-c)
精讲点拨：
运用平方差公式进行计算，关键是找出公式中的a和b。最后一题是两个三项式相乘，如果两个式子中，它们的项数相同，有几项是相同的，有几项互为相反数，那么相同的项即为公式中的a，相反的项即为公式中的b,它也能用平方差公式进行计算。
引导学生画出图形分析。
②小红准备用一块边长为a厘米的正方形花布做成手绢，但在缝制的过程中，花布的一角不小心被染上污渍，使正方形花布的这一角有边长为b厘米的小正方形花布无法再使用。（把发到你们手中的正方形纸片当作那块“花布”）他无从下手，我也是束手无策。请同学们帮助设计一下，把不规则花布通过剪拼变成规则花布来缝制手绢，看谁的办法多！”
③（-1-2a）(-1+2a)④（a5-b 2）（a5+ b2）
【设计意图】
检查学生对平方差公式本质的理解程度，从而加深学生对公式的本质把握。
（3）灵活运用新知，解决第三层次问题：
①灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?
问题：如何证明这个结论？
学生在自己学案上利用多项式的乘法法则推导出公式
（一名学生到黑板前板演推导过程） （a+b）（a-b）＝a2-ab+ab-b2=a2-b2
【设计意图】让学生经历探究——发现——猜想——验证的学习过程，体会数 学这门学科的严谨性。
精讲点拨：
平方差公式的特点：
1．左边是两个二项式相乘，这两Baidu Nhomakorabea二项式中有一项相同，另一项互为相反数
活动方式：
1、各小组成员先独立剪拼正方形纸片，然后小组内交流各自的不同方法。
二、教学问题诊断：
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号，并出现漏项等问题。由此，学生学习平方差公式的困难在于：（1）不能准确把握公式结构的本质特征（2）不能真正理解公式中字母代表的广泛意义。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解，是当务之急，也是重中之重。
2．右边是相同项与相反项的平方差
3．公式中的字母可以表示任意数（正数和负数），也可以代表单项式或多项式等代数式
【活动三】有效训练（平方差公式的应用）
自主学习：分层训练
（1）直接运用新知，解决第一层次问题：
试一试、你能用平方差公式直接计算下列各式结果吗？
(a+b)(a-b)
a（相同的项）
b（互为相反数的项）