必修4第2章平面向量典型例题及练习(最新整理)

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⑤相等的向量一定是共线向量。
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7. 下列四个命题中，正确命题的个数是
① 共线向量是在同一条直线上的向量
② 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③ 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④ 若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 与 CD ， BC 与 AD 分别共线.
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②两个单位向量是相等向量； ③若 a=b, b=c,则 a=c； ④若一个向量的模为 0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a|=|b|,则 a=b。 ⑥若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线
其中正确命题的个数是（
）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 2 下列命题正确的有
A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 题型二 用基底表示向量 例 2.已知 a=-e1+3e2，b= 4e1+2e2，其中 e1，e2 不共线，向量 c=-3e1+12e2，用试用 a，b 作为基底来表 示c
8 . 已知 a (2, 4) ， b (1,3) ， c (6,5) ， p a 2b c ，则以 a ， b 为基底，求 p .
题型三 向量共线的证明及判定
例 5.已知 A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量 AB 与 CD 平行吗？直线 AB 与平行于
→1
→
1
→ 11
AB＝ － a－ b ②BE＝ a＋ b ③CF＝ － a＋ b
2
2
22
（ ） A.1
B.2 C.3
D.4
→→→ ④AD＋ BE＋ CF＝ 0.其 中 正 确 的 命 题 个 数 为
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题型四 向量的加减法综合运用
例 6.设两个非零向量 e1 、 e2 不是平行向量 （1）如果 AB = e1 + e2 ， BC =2 e1 +8 e2 ， CD =3( e1 e2 )，求证 A、B、D 三点共线； （2）试确定实数 k 的值，使 k e1 + e2 和 e1 + k e2 是两个平行向量．
达 C 点, 最后又改变方向,向东行驶了 100km 到达 D 点. (1)作出向量 AB , BC , CD ;(2)求 AD
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题型三 相等向量与共线向量
例 4 如图，设 O是正六边形 ABCDEF 的中心，分别 写出图中与向量 OA ， OB ， OC 相等的向量，共线的向量。
2．若 A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则 AB 2 BC =
.
3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）
A．a ( 0, 0) , b (1, 2) B．a ( 1, 2) , b ( 5, 7)
C．a ( 3, 5)b ( 6, 10)
例 7.已知 O 是 A ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,若 AB =a, BC =b, OD =c,试证明:c+a-b= OB .
综合练习： 1.下列命题正确的有
①单位向量都相等 ②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 ③若 a，b 满足|a|>|b|且 a 与 b 同向，则 a>b ④对于任意向量 a、b,必有|a+b|≤|a|+|b| 2. 以下四个命题中不正确的有 ①若 a 为任意非零向量，则 a∥0 ②| a+b|=|a|+|b| ③a=b，则|a|=|b|，反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的
5.化简 AB BC CD DA
6.如图，在四边形 ABCD 中,根据图示填空:
a+b= ,b+c=
,c-d=
,a+b+c-d= .
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【知识点归纳】 1.平面向量的基本定理：
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2.3 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理
2.向量的夹角：
【典型例题】 题型一 基底的判定 例 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量，则有( )
.
5.已知 a、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定
.
6.判定下列命题的正误：
①零向量是惟一没有方向的向量。
（）
②平面内的单位向量只有一个。
（）
③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（ ）
④向量 a 与 b 是共线向量，b∥C,则 a 与 c 是方向相同的向量。
C. 若|a|>|b|,则 a>b D. 若 a 与 b 不相等，则向量 a 与 b 是不共线向量
2.下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
4.已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 关系是
B. OA OC BO CO
C. AB AC BD CD D. NQ QP MN MP
例 2．如图所示，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,
则 AF DB ＝( )
A. FD
B. FC
C. FE
D. BE
C
F
E
A
B
D
题型二 向量的作图
例 3 已知在矩形 ABCD 中，宽为 2，长为 2 3 , AB a, BC b, AC c,试作出向量 a+b+c，并求出
其模的大小
例 4.已知向量 a、b、c、d，求作向量 ab、cd
题型三 用已知向量表示未知向量
B
D
例 5.如图所示，OADB 是以向量 OA = a ， OB = b 为边的平行四边形，
又 BM= 1 BC，CN= 1 CD．试用 a ， b 表示 OM ， ON ， MN ．
3
3
O
M
N
C
N
A
变式：设 D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，且B→C＝a，C→A＝b，给出下列命题：①
【知识点归纳】 1.向量的加法：
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2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量的加法 2.2.2 向量的减法 2.2.3 向量的数乘
2.向量加法的平行四边形法则：
3.向量的加法的运算率： 4.向量的减法：
5.向量减法的平行四边形法则：
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6.向量数乘的概念：
直线 CD 吗？
题型四 向量共线求参数
例 6 已知 a (4, 2) ， b (6, y) ，且 a // b ，求 y ．
练习：
1.若向量 a =(-1，x)与 b =(-x， 2)共线且方向相同，则 x 为________.
2.设
a
(
3
,
sin
)
，
b
(cos
,
1)
，
(0,
2
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，且
a
//
练习：
1.若 a =(2，3)， b =(4，-1+y)，且 a ∥ b ，则 y=（ ）
例 1.已知点 A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。
题型二 平面向量的坐标运算
例 2 已知 a =(2，1)， b =(-3，4)，求 a + b ， a - b ，3 a +4 b 的坐标.
①a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线
②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 ③向量 a 与ｂ不共线，则 a 与ｂ都是非零向量
④有相同起点的两个非零向量不平行
题型二 向量的表示
例 3.一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点, 然后又改变方向,向西偏北 45°走了 200km 到
例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构 成平行四边形四个顶点.
例 4 已知三个力 F1 (3， 4)， F2 (2， 5)， F3 (x， y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ，求 F3 的坐标.
练习：
1．若 M(3， -2) N(-5， -1) 且 MP 1 MN ， 求 P 点的坐标 2
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7.向量的数乘的性质：
8.向量共线的条件： 9.向量的线性运算 10.向量证明三点共线：
三角形的中线与重心公式：
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【典型例题】
题型一 向量的加减法
例 1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为 0 的是（ ）
A. AB BC CA
3.已知| AB | 6,| AC | 4 ，则| BC | 的取值范围为
4. 设（ AB + CD ）+（ BC + DA ）= a , b ≠ 0 ,则在下列结论中，
正确的有
① a ∥ b ; ② a + b = a ; ③ a + b = b ; ④｜ a + b ｜＜｜ a ｜+｜ b ｜
题型四 利用向量解决多点共线的问题
例 5.如图，四边形 ABCD 中， AB DC ，P,Q 是 AD，BC 上的
点，且 BP QD ,求证： AP QC
B
Q
C
A
P
D
综合练习：
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若|a|=|b|，则 a=b B. 若 a=b,则 a 与 b 是平行向量
【知识点归纳】 1.平面向量的概念：
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第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.向量的表示： （常见的 2 个向量）
3.相等向量与共线向量：
【典型例题】 题型一 向量的基本概念 例 1.给出下列命题：
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；
A． (2,4)
B． (3,6)
C． (5,10)
6. 已知 a (2,3) ， b (1, 2) ，若 k a b 与 a kb 平行，则 k 等于（ ）．
A. 1
B. -1
C.1 或-1
D.2
D． (4,8)
7.已知 a (5,2) ， a (7,2) ，则4a 3b 的坐标为 ____________.
题型三 向量的夹角 例 3.已知两个非零向量 a，b 的夹角为 80°，求下列向量的夹角： （1）a 与-b （2）2a 与 3b
练习： 1.已知向量 a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中 e1、e2 不共线，则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
2.已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于( )
A.3
B.-3
C.0
D.2
3.已知 a、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若 c 与 b 共线，则 λ1= .
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【知识点归纳】 1.平面向量的正交分解：
b
，求角
．
2
3
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题型五 三点共线
例 2: 已知 A(1, 1) ， B(1,3) ， C(2,5) ，求证 A 、 B 、 C 三点共线．
例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点， P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标； (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标.
D．a ( 2, 3)b ( 4, 6)
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4．已知 a (3, 2) ， b (0, 1) ，则 2a 4b 等于（ ）
A． (6,8)
B． (3,6)
C． (6,8)
D． (6,8)
5．已知平面向量 a (1,2) ， b (m, n) ，且 2 a b ，则 2a 3b 等于（ ）
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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量的共线的坐标表示
2.平面向量的坐标表示：
3.平面向量的坐标运算：
4.平面向量共线的表示：
5.三点共线：
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【典型例题】
题型一 求向量的坐标