1概率统计试题分析

概率统计试题分析 1

一、填空题

1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，求( )P A B = 0.2 。

2、设X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，记事件

}{}{a Y B a X A >=≤=,，且7

()9

P A B = ，则常数

a =

5733

a =或。

3、某机构有一个9人组成的顾问小组，如每个顾问提出正确意见的概率是7.0，现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见，

并按多数人意见做出决策，做出正确决策的概率=

（写出计算表达式）9

9950.70.3k k k k C -=??∑

4、设(0,1)X U :，则2ln Y X =-的概率密度为

21,

0()2

00

y

Y e y f y y -?>?=??≤?

5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=，且

+∞<

ρ1a

a

=± 6、设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且

2()i D X σ=(10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差

=)(Y D 2

10

σ

7、设12(,,....,)n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，则

22

1

1(1)~(4)n i

i n X χ=-∑ 8、设∧

θ是θ的无偏估计，()0D θ∧

>，则比较大小2

()E θ∧ > 2

θ

二、（10分）对有100名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机点了10位同学的名字，如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的，并且已知该班考核为全勤，计算该班实际上确实全勤的概率。

解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =，所以1

()3

i

P A = 设B 表示点名为全勤（优秀）1010010100

()i

i C P B A C -=，0,1,2i =

0002

()()

110

()0.369298

()()

i

i

i P A P B A P A B P A P B A ==

=

=∑

三、（12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为：

()201,02

,3

xy

x x y f x y ?+

<<<

，

试求：（1）()()X Y f x f y 与；（2）X Y 与是否独立?（3）求()1<+Y X P 解 （1）

222

0201

()2() 330 X xy x x dy x x f x ?<<+=+?=????其它

120110()() 3360 Y xy

y x dx y f y ?<<2

+=+?=????其它 （2）因()()(,),X Y f x f y f x y ≠,X Y 故与不独立.

（3）

112

7(()372

x

xy P X Y dx x dy -+<1)=+=??

四、（14分）设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 均服从参数为λ的指数分布，试求（1）Z

X Y =+的密度函数)(z f Z .（2）()E Z ，

()D Z ，（3）XZ ρ。

解 （1）120

()

()()()00z

x t x Z X X z

f z f t f z t dt dt e e

dt dt λλλλ+∞

+∞

----∞

-∞

=-=++????g

2,0

0,0z ze z z λλ-?>=?≤?

（2）20

2

()z E Z z ze dz λλλ

+∞-==

?

2222

6

()z

E Z z ze dz λλλ+∞

-==?

222

2

()()()D Z E Z E Z λ

=-=

（3） ,X Y Q 独立， (,)0Cov X Y ∴=，2

1

(), ()X Exp D X λλ∴=

Q :

(,)(,)(,)()Cov X Z Cov X X Cov X Y D X ∴=+=

，XZ ρ=

=。 五、（12分）学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p 进行调查。 某天中午随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n 个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X ，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p 之间的误差上下在10% 以内，问

n 应取多大？附表：(1.96)0.975, (1.645)0.95.Φ=Φ=

解 ~(,)X B n p , ()E X np =, ()(1)D X np p =-,

{||0.1}0.95X

P p n

-<>.

由中心极限定理

{||0.1}210.95

X P p P n -<=<≈Φ->

20.975

19.6(1)

n p p ?Φ>?>- 记 ()(1)g p p p =-, 令 ()120g p p '=-=, 1/2p =, max 1/4g =

22

1

19.6(1)19.696.044

p p -≤?

= 故 96.04]197n >[+=人.

六、（10分）设总体分布密度为：22

() 0(,)0 x x f x θθ

θθ?-<

(1) 求θ的矩估计量;

(2) 求θ的极大似然估计量,假设样本容量1n =。并判定是否为无偏估计量。

解 (1)

2

0?2

?(),,3.3

3

EX x

x dx X X θ

θ

θθθ

θ

=-===?令

,

112

2()

(2) 1, ()(,)x n L f x θθθθ-=∴==

Q ，

1ln ()12

0d L d x θθθθ

=-=- 11

? 2 2x X θθ?=∴=

2021()()3E X x x dx θθθθ=-=?，而12?()(2)2()3E E X E X θθθ===≠

所以不是无偏估计量。

七、（10分）某公司声称自己生产的VCD 机平均寿命在1500小时以上，现随机测试10台，平均寿命1480，30s =，假设寿命服从正态分布，问该公司宣传是否可信（0.01α=）？

附表：(1.96)0.975, (1.645)0.95,Φ=Φ=；0.010.005(9) 2.821, (9) 3.250t t ==。

解

01:1500, :1500H H μμ=<

(1)X T t n μ-=-:

{}t ,(1) 2.821, 2.821)

t P T t t n αααααα<-==--=-∞-对给定的，查表求，使查表得 拒绝域为（-

计算样本观测值0 2.108T W =-?，所以接受原假设。