高考数学专题复习_椭圆

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高考数学专题复习_椭圆

高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连-方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，且2PQ =u u u r ，则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r（1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =u u u r u u u r（1）若k ≤（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点（1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点（4）求OPQ V 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。

高三数学专题复习----椭圆

高三数学专题复习----椭圆一基础知识（1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系二例题1、方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29 2、已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝13、椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3504、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）335、若椭圆19822=++y k x 的离心率是21，则k 的值等于 ( ) (A)－45 (B)45 (C)－45或4 (D)45或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。

（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=18、椭圆22a x ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（）。

（A ）32 （B ）33 （C ）63 （D ）669、椭圆100x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（）。

专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2，因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5，所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12，当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ，所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ，所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1）＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14，又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2，所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →，又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0），故得x 0＝3，y 0＝－2，即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1，以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1，得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立．设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结

高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。

椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。

2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。

其中，c表示焦距，a表示长半轴长。

椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。

由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。

当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。

当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。

双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。

需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。

当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。

当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。

双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。

高中数学高考总复习---椭圆及其性质知识讲解及考点梳理

，
，
长轴长= ，短轴长=
准线方程*
焦半径*
，
，
要点诠数间的关系都有 a
＞b＞0 和
，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
【典型例题】类型一：求椭圆的标准方程
例 1. 求中心在原点,一个焦点为
且被直线
截得的弦 AB 的中点横坐标为的椭
考点一、椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(
)，这个动
点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 要点诠释：
（1）若
，则动点的轨迹为线段；若
，则动点的
轨迹无图形. （2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。考点二、椭圆的标准方程
圆标准方程. 【思路点拨】先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数
法确定、（定量）.
【解析】方法一：因为有焦点为
，
12
所以设椭圆方程为
，
,
由
，消去得
，
所以解得故椭圆标准方程为
方法二：设椭圆方程
因为弦 AB 中点
,所以
,
,
,
，
由
得
,（点差法）
所以
又
故椭圆标准方程为
.
∴
.
【举一反三】【变式 1】已知椭圆的焦点是 ① 求椭圆的方程； ② 设点 P 在椭圆上,且
,直线 ,求
是椭圆的一条准线. .
【答案】①
.
14
②设

高考椭圆专题知识点总结

高考椭圆专题知识点总结椭圆作为数学中的一个重要概念，是高考数学中的一个重要考点。

本文将对椭圆的相关知识进行总结，从基本概念到具体应用进行阐述，探讨其在高考中的应对策略。

一、椭圆的基本概念椭圆是平面上的一个几何图形，其定义为到两个定点F₁、F₂的距离之和等于定值2a的点集合。

F₁、F₂称为椭圆的焦点，而直线段F₁F₂的长度为椭圆的主轴。

与主轴垂直的直径称为椭圆的次轴，两轴的交点称为椭圆的中心。

二、椭圆的数学描述椭圆的数学表示是(x/a)²+(y/b)²=1或(x/a)²/(y/b)²=1，其中a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。

根据椭圆的性质，由于离心率e=√(a²-b²)/a<1，椭圆是离心率小于1的一类曲线。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。

通过参数方程，我们可以很方便地求得椭圆上的各个点的坐标。

此外，椭圆的参数方程还可以用来求椭圆中心、焦点等相关信息。

四、椭圆的常见性质1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率为0时即为圆。

2. 椭圆的长半轴a和短半轴b满足a>b>0。

3. 椭圆的焦距2c满足c²=a²-b²，其中c为焦点F₁F₂到中心的距离。

五、椭圆的相关定理1. 椭圆的切线定理：椭圆上任意一点处的切线斜率等于该点对应的椭圆的切线的倾角的正切值。

2. 椭圆的法线定理：椭圆上任意一点处的法线斜率等于该点对应的椭圆的切线的倾角的负倒数。

3. 椭圆的切线和法线的判定：切线和法线的直线方程满足x²/a²+y²/b²=1和bx/a²y+ay/b²x=1。

六、椭圆的应用椭圆在现实生活中有丰富的应用。

例如，椭圆的形状被广泛应用于汽车或自行车的轮胎、卫星的轨道等。

在高考数学中，椭圆的知识点也常常涉及到与其他几何图形的相互关系以及坐标变换等问题。

高考数学专题复习：椭圆

高考数学专题复习：椭圆一、单选题1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（）A B 1C 1D -2．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（）A ．()2-∞-，B ．(6)(3)-∞-⋃+∞，， C ．(62)(3)--⋃+∞，， D ．(3)+∞，3．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点，A 、B 分别为椭圆C的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为（） A ．13B ．12C ．23D ．344．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（）．A B C 1 D 5．已知点()3,15M 是椭圆22221x y a b+=上的一点，椭圆的长轴长是焦距的32倍，则该椭圆的方程为（）A ．2212520x y +=B ．22212745x y +=C ．2211810x y +=D ．2213620x y +=6．椭圆221259x y +=与椭圆22219x y a +=有（）A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．前三个答案都不对7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，则右焦点2F 的坐标是（）．A ．(1,2)B ．(2,1)-C ．(2,0)-D ．(1,0)8．已知椭圆22:14x y C m+=的一个焦点为(1,0)，则m 的值为（）A B ．3 C ．D ．69．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12 ∠F PF 的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（） A ．4B ．3C ．2D ．110．点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y +=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（） A ．()2,6 B ．[)4,6 C ．()4,6D ．[)4,811．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则||ON 等于（） A ．2B ．4C ．6D ．1.512．如图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点P ，Q ，且四边形12F PF Q 为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的一条切线l 在x 轴上的截距为）A ．22198x yB ．221109x y +=C ．2212018x y +=D ．2212516x y +=二、填空题13．设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点为12,F F ，过点1F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，22::3:4:5AB AF BF =，则椭圆的离心率是________.14．椭圆22221(0)1x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =________．15．已知椭圆C 的焦点在坐标轴上，且经过(2)A -和(B -两点，则椭圆C 的标准方程为________.16．椭圆221x my +=的长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________. 三、解答题17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点()()122,0,2,0A A -，点B 为椭圆E 的上顶点，且直线1A B 与直线20x =相互垂直. （1）求椭圆E 的方程；（2）若不垂直x 轴的直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，交椭圆于,C D 两点(C 在x 轴上方)，直线12,AC A D 分别与y 轴交于,S T 两点，O 为坐标原点，求证：13OSOT =.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）求E 的方程；（2）设E 的左，右焦点分别为1F ，2F ，经过点(2,0)M -的直线l 与E 交于A ，B 两点，且12//F A F B ，求l 的斜率.19．已知中心在坐标原点O ，焦点在x C 过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于PQ 两点，使得OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．若存在，求出k 、m 满足条件；若不存在，请说明理由．20．如图，椭圆C ：2223x y a +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若a =M ，N 是椭圆C 上两点，且MN =MON △面积的最大值．21．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）经过点12⎫⎪⎭，且长轴是短轴的两倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，()0,1A ，直线:l y kx t =+（1t ≠±）与曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP 与x 轴相交于点M ，直线AQ 与x 轴相交于点N ，若4OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点．22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆C 上的动点，12PF F △的周长为4+ （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,7T ，直线l ：y kx m =+（0m <）与椭圆C 交于M ，N 两点，若TM TN ⋅为定值，则直线l 是否经过定点？若经过，求出定点坐标和TM TN ⋅的定值；若不经过，请说明理由．参考答案1．D 【分析】根据等腰Rt ABC ，可得||BC ，然后4AB AC BC a ++=可得a ，假设FA x =，依据椭圆定义可得x ，根据222||4AC AF c +=可得c ，最后可得离心率.【详解】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC ，42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -，∴x =，2214c +=，c ，∴c e a =故选:D. 2．C 【分析】根据方程表示焦点在x 轴上的椭圆列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由于椭圆的焦点在x 轴上，∴2660a a a ⎧>+⎨+>⎩，解得62a -<<-或3a >.故选：C 3．A 【分析】由AF a c =-，OF c =，OB a =，利用//MF OE ，两次应用平行线性质求MF 得出,a c 的关系式，从而求得离心率．【详解】如图，由题意得(0)A a -，、0B a (，)、(0)F c -，，设(0)E m ，，由//PF OE 得MF AF OEAO =，则()m a c MF a-=①，又由//OE MF ，OE 中点为H ，得OH BO MFBF=，则()2m a c MF a+=②，由①②得1()2a c a c -=+，即3a c =，则13c e a ==，故选：A. 4．C 【分析】由圆的切线及椭圆定义可得出,a c 的等式，从而求得离心率．【详解】由题意2PF c =，12PF PF ⊥，所以1PF =，所以122PF PF c a +=+=，所以离心率为1ce a ===．故选：C ． 5．D 【分析】由长轴长是焦距的32得32a c =，再把已知点的坐标代入，结合222a b c =+可解得,a b 得椭圆方程．【详解】由题意22222329151a b c a c a b ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得6a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2213620x y +=．故选：D ． 6．D 【分析】由于椭圆22219x y a +=中，由于2a 与9的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，即可得正确答案. 【详解】在221259x y +=中，15a =，13b =，可得：14c = 所以其长轴长为10，短轴长为6，离心率11145c e a ==，在椭圆22219x y a +=中，由于2a 与9的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，所以选项ABC 都不正确，故选：D. 7．D 【分析】根据椭圆的几何性质可得答案. 【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，所以右焦点2F 的坐标是(1,0)，故选：D. 8．B 【分析】根据椭圆焦点坐标确定参数c 及长轴的位置，进而求m 的值.【详解】由题意知：1c =且长轴在x 轴上， ∴241m c -==，即3m =. 故选：B 9．D 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项. 【详解】P 是焦点为1F 、2F 的椭圆2212516x y+=上一点，PQ 12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1FQ 的延长线交2F P 的延长线于点M ，1∴=PM PF ，12210+==PF PF a ，22||210∴=+==MF PM PF a ，由题意知OQ 是12F F M △的中位线， ||5∴==OQ a ，Q ∴点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，∴当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离541=-=-=d a b ，故选：D ． 10．C 【分析】根据椭圆的定义及简单性质，转化求解即可得出答案．【详解】解：由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6. 故选：C. 11．B 【分析】设椭圆另一焦点为2F ,根据椭圆定义12210MF MF a +==，故28MF =，再结合中位线定理即可得答案. 【详解】设椭圆另一焦点为2F ,根据椭圆定义12210MF MF a +==，故28MF =，12MF F △中, N 是1MF 的中点，O 是12F F 的中点，故ON 是中位线， 2118422ON MF ==⨯=. 故选：B. 12．B 【分析】根据题意，求得切线l 的方程，根据四边形12F PF Q 为正方形，可得b ，c 的关系，根据直线l 与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即可求得b ，c 的值，根据a ，b ，c 的关系，即可得2a ，即可得答案. 【详解】因为切线l 在x轴截距为y 轴截距为b ，所以切线l1yb =，即330y b -+=，因为正方形12F PF Q 的对角线122F F PQ c ==，所以1223b c ⨯=，即3b c =，则正方形12F PF Q 外接圆方程为：222x y c +=，c =，解得3,1b c ==，又22210a b c =+=，所以椭圆方程为221109x y +=.故选：B13【分析】由题意可得2AB AF ⊥，设3AB k =，24AF k =，25BF k =，根据椭圆的定义可得3a k =，再由勾股定理求出c ，由ce a=即可求解. 【详解】12,F F 是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，过点1F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，22::3:4:5AB AF BF =，则2AB AF ⊥，不妨设3AB k =，24AF k =，25BF k =，由椭圆的定义可得3454k k k a ++=，解得3a k =，所以122642AF a AF k k k =-=-=，22222221212441620F F c AF AF k k k ==+=+=，解得c =，所以c e a ==，故答案为：14【分析】由题意利用椭圆的几何性质，得到1,c b m ==，结合16F AO π∠=，列出方程，即可求解.【详解】由题意，椭圆22221(0)1x y m m m+=>+，可得22221,a m b m =+=，则2221c a b =-=，所以1(1,0)F -，2(1,0)F ，且上顶点(0,)A m ，如图所示，因为123F AF π∠=，可得16F AO π∠=，则11tan F AO m ∠==，解得m =15．221155x y += 【分析】设所求椭圆方程为：221mx ny +=(0m >，0n >，m n ≠)将A 和B 的坐标代入方程，即可得到答案；【详解】设所求椭圆方程为：221mx ny +=(0m >，0n >，m n ≠)将A 和B 的坐标代入方程得：341121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所求椭圆的标准方程为：221155x y +=. 故答案为：221155x y +=. 16．4或14【分析】将椭圆方程化为标准形式，分成焦点在x 轴、y 轴两种情况进行分类讨论，由此求得m 的值.【详解】将221x my +=转换成2211y x m +=，当焦点在x 轴时，长轴长是2，短轴长是1=，则4m =，当焦点在y 轴时，短轴长是2，长轴长是4，则14m =，综上填4或14. 故答案为：4或1417．（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）依题意求得a ，由直线1A B与直线20x =垂直求得b ，进而得椭圆方程；（2）依题意设直线():10l x my m =+≠，与椭圆方程联立，进而得()()211221231333my y y y OSOT y my -+-=+，结合韦达定理可得结果. 【详解】（1）由()22,0A ，得2a =.直线1A B与直线20x =相互垂直，则12b ⎛⋅=- ⎝，解得b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）依题意设直线():10l x my m =+≠，联立l 和椭圆C 的方程得：()2243690m y my ++-=，设()()1122,,,C x y D x y ，则有12122269,4343m y y y y m m --+==++. ()111:22y AC y x x =++，令0x =，则1122S y y x =+，同理：2222T y y x -=-. 所以()()()()121221212123S T y x y my OSy OT y y x y my --===-++. 则()()()()()12212112212131323133333y my y my my y y y OSOT y my y my --+-+-==++，分子()12122296232304343m my y y y m m m --⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以13OS OT =.18．（1）2212x y +=；（2）12或12-. 【分析】（1）由题意可得：2ab =⎪⎩ （2）设直线l 的方程为2x ty =-，联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩利用根与系数的关系，再结合1//2F A F B 的坐标关系，建立等式即可求解【详解】（1）依题意可得：2ab =⎪⎩解得a 1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）由题可知：直线l 的斜率存在且不为零，故设直线l 的方程为2x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）可知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，则()1111,F A x y =+，()2221,F B x y =-，因为1//2F A F B ，所以()()122111x y x y +=-，10y ≠，20y ≠，化简得213y y =，所以1214y y y +=，21213y y y ⋅=，得()()21212163y y y y ⋅+=. 联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()222420t y ty +-+=，由0∆>得22t >， 12242t y y t +=+，12222y y t =+，则()222216162322t t t =++，解得2t =或2t =-，故l 的斜率为12或12-. 19．（1）2214x y +=；（2）存在，12k =±，m 1m ≠±且0m ≠．【分析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=C过点1)2，列方程组222221()21c e a b a b c ⎧==⎪⎪=⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a ，2b ，即可得出答案．（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，由OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，得到2OP OQ PQ k k k =，解出k ，由∆0>，且120x x ≠，求出m 的范围．【详解】解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b+=，C过点1)2，所以222221()21c e a b a b c ⎧==⎪⎪=⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0(0)k x kmx m m +++-=≠，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+，所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，因为OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以2OP OQ PQ k k k =，所以21212y y k x x ⋅=，所以222121212()mk x x m k k x x x x +++=，所以2222228(41)04(1)4(1)k m m k m m -++=--，所以12k =±，因为222(8)4(41)4(1)0km k m ∆=-+⨯->，所以2224120k m m -+=->，所以m <因为120x x ≠，所以210m -≠，解得1m ≠±，综上所述，12k =±，m <1m ≠±且0m ≠．【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，难度较大． 20．（1（2【分析】（1）将椭圆方程化成标准方程，代入离心率公式计算即可；（2）对直线MN 的斜率讨论，设方程为y kx b =+，联立方程组，根据弦长公式k ，b 的关系，利用0∆>得出k 的范围，求出O 到直线MN 的距离d 的范围即可得出结论．【详解】解：（1）由椭圆的标准方程：222213x y a a +=， ∴2222233a a c a =-=，即c =， ∴椭圆C的离心率c e a ==．（2）a 22162x y +=，显然直线MN 的斜率存在．①当0k =时，把x 1y =，∴O 到直线MN 的距离为1，∴112MON S =⨯=△ ②当直线MN 斜率不为零时，设直线MN 的方程为y kx b =+，联立方程组22162y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x kbx b +++-=， ∴()()222236413360k b k b =-+->∆，解得2262b k <+，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122613kb x x k +=-+，21223613b x x k-=+， ∴MN ==213k =+，整理得42223211k k b k -++=+， ∴4222321621k k k k-++<++，解得20k ≥． ∴O到直线MN 的距离d∴()242222222321411111b k k d k k k -++===-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭． ∴21d <，即1d <，∴12MON S d =⨯<△ 综上，MON △21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由条件可知2a b =，再将点代入椭圆方程，即可求解；（2）首先直线l 与椭圆方程联立，得到韦达定理，再利用坐标分别表示直线,AP AQ ，并求得,OM ON ，利用韦达定理表示4OM ON ⋅=，即可求得定点.【详解】（1）解：∵椭圆22221x y C a b+=：长轴是短轴的两倍， 2a b ∴=，设方程为222214x y b b+=，又∵椭圆经过点12⎫⎪⎭，，将点代入方程解得1b =，则2a =，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立直线与椭圆的方程：2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得222(14)8440k x ktx t +++-=，则122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+， 122214t y y k +=+，22122414t k y y k -=+，又(0,1)A ，则直线1111y AP y x x --=：，令0y =，则111x x y =-，则11||1x OM y =-，同理22||1x ON y =-，()21212212121244||||411121x x x x t OM ON y y y y y y t t ⋅-⋅=⋅===---++⋅-+，又∵1t ≠±，∴0t =，则直线:l y kx =，过定点()0,0，得证．22．（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，TM TN ⋅的定值为48．【分析】（1）由12PF F △的周长与离心率，列方程组，解得,a b ，进而可得答案；（2）由221,4.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理得()()222418410k x kmx m +++-=，利用根与系数的关系结合平面向量的数量积坐标运算，即可求解【详解】（1）令222c a b =-，由题意可得：224c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩，故21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）直线l 的方程为y kx m =+（0m <）由221,4.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理得()()222418410k x kmx m +++-=，所以()()()22222264441411641k m k m k m ∆=-+⋅-=-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由根与系数的关系可得，122841km x x k -+=+，()21224141m x x k -=+．而()11,7TM x y =-，()22,7TN x y =-．所以()()121277TM TN x x y y ⋅=+--()()121277x x kx m kx m =++-+-()()()22121217(7)k x x k m x x m =++-++- ()()()()222224181774141m km k k m m k k --=+⨯+-⨯+-++ 2224485144541k m m k ⨯+-+=+．由TM TN ⋅为定值，可得24485144541m m ⨯-+=， 251430m m --=，解得15m =-或3m =（舍），故直线l 的方程为15y kx =-．所以直线l 过定点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时TM TN ⋅的定值为48．。

高考数学总复习——椭圆课件

椭圆中的最值问题
运用基本不等式
解决椭圆中的最值问题时，可以运用基本不等式，通过合理转化，将问题转化为容易处理的形式。
椭圆中的最值问题
数形结合
结合椭圆的几何图形，将问题转化为几何问题，利用几何性质求解最值，是解决这类问题的常用方法。
椭圆中的最值问题
代数运算
02
01
在解决椭圆最值问题时，需要进行一些代数运算，如配方、换元
2018年高考数学全国卷Ⅱ 椭圆题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点P到焦点的距离和为12，点P的横坐标是 3，且过点P作短轴的垂线
，垂足Q的轨迹为圆C。
01
2019年高考数学全国卷Ⅲ 椭圆题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点P到焦点的距离和为10，点P的横坐标是 4，且过点P作短轴的垂线
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是 $left{ begin{array}{l} x = a cos theta y = b sin theta end{array} right.$，其中 $theta$ 是参数。
该方程通过三角函数将椭圆上的点与角度 $theta$ 关联起来，方便进行角度和距离的计算。
高频考点总结与预测
总结
通过对近五年高考真题的分析，可以发现椭圆的离心率的计算、直线与椭圆的交点以及弦长问题等知识点是高频考点。同时还需要注意椭圆的几何意义和性质的应用。
预测
根据高频考点的规律和趋势，预测未来高考中可能会出现的考点包括椭圆的切线问题、椭圆的参数方程以及椭圆的对称性等知识点。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（）ABC ．D ．【答案】B 【解析】，选B ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=2359e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=.故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（）AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎭把点A 代入椭圆方程得到22221331c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，或1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+>，43-，∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b+（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，=∴10AM MF +≤+当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为10．9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】（1）由e =得：12c b a ==，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD =10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，①又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△即12F PF △1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C．⎫⎪⎪⎭D．⎫⎪⎭【答案】C练提升【分析】若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin b aα=求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 45b a α=≤︒=222a c ≤，∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠，∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF V 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emn mn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.1 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B = ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.和5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．.【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得：2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又2212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH（H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y，所以点0⎫⎪⎭H y 由λ=HQ PH ，所以λ=HQPH0⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ HQ x y y，0,0⎫=⎪⎭PH x 又λ= HQ PH，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x所以00x y y==由220014x y +=221=y 则点Q221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥所以234e ≥，则e ≥，又1e <所以⎫∈⎪⎪⎭e故答案为：⎫⎪⎪⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围.【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==.因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y +=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-，∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6+②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，结合MN =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C，原点O 到直线0bx cy bc +-=，所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎭，将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =，故直线n 的斜率为±1.练真题1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由得，，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒AP 222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=由正弦定理得,所以，故选D.3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠22214,π54sin(3c a c e a c =∴==+121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】12MF F △M (2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =20136x ∴=03x =03x =-M \(（1）c e a =====b a ∴=a ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

高考数学专题复习题：椭圆的标准方程

高考数学专题复习题：椭圆的标准方程一、单项选择题（共8小题）1.已知P是椭圆x225+y29=1上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 162.方程√ (x−4)2+y2+√ (x+4)2+y2=10的化简结果是（）A. x25+y23=1 B. x23+y25=1 C. x225+y29=1 D. x29+y225=13.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0<k<9)的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√ 33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√ 3，则C的方程为（）A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=15.椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为（）A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=16.已知椭圆C:x29+y26=1的两个焦点为F1，F2，若点P在椭圆C上，且|PF1|=2，则∠F1PF2=（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π67.已知动圆过点A(−3,0)，并且在圆B：(x−3)2+y2=100的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A. x216+y27=1 B. x216+y29=1 C. x225+y29=1 D. x225+y216=18.椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的动点，m=|PF1|，n=|PF2|，则m2+5m+4nm的最小值为（）A. 9B. 18C. 283D. 313二、多项选择题（共2小题）9.椭圆E ：x 25+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 是坐标原点，P(x 0，y 0)是椭圆E 上一点，则（）A. △PF 1F 2的周长是2√ 5+4B. 当PF 1⊥PF 2时，△PF 1F 2面积最大C. |OP|的最大值是5D. 当x 02+y 02=4时，△PF 1F 2面积为110.某位法国数学家发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆。

高考数学椭圆知识点总结

高考数学椭圆知识点总结在高考数学中，椭圆是一个重要的几何图形，掌握椭圆的相关知识点对于解题非常有帮助。

下面将对高考数学中与椭圆相关的知识点进行总结。

一、椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上的封闭曲线，其定义是到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点所构成的集合。

椭圆具有以下性质：1. 焦点和准线：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，准线则是连接两个焦点并且垂直于长轴的直线。

2. 焦距和半长轴：椭圆的两个焦点之间的距离称为焦距，焦距的一半称为半焦距。

椭圆的长轴是过焦点的直线，长轴的一半称为半长轴。

3. 直径：椭圆的直径是通过椭圆两个焦点的直线段，并且垂直于长轴的。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

三、椭圆的参数方程和焦点坐标椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ是0到2π的参数。

椭圆的焦点坐标为(h+c, k)和(h-c, k)，其中c是半焦距的长度。

四、椭圆的离心率和短焦距椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的重要指标，计算公式为e = c/a，其中c是焦距的长度，a是半长轴的长度。

离心率小于1的椭圆被称为椭圆形，离心率等于1的椭圆被称为抛物线，离心率大于1的椭圆被称为双曲线。

椭圆的短焦距的长度可以通过短焦距的平方等于长焦距的平方减去椭圆的半长轴的平方来计算。

五、椭圆和直线的方程椭圆的方程和直线的方程可以相交、相切或者相离。

椭圆和直线相交时，可以通过联立椭圆的方程和直线的方程求解交点的坐标。

六、椭圆的面积和周长椭圆的面积可以通过公式A = πab来计算，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

椭圆的周长近似于公式C ≈ 2π√(2a²+b²)/2。

综上所述，掌握高考数学中与椭圆相关的知识点对于解题至关重要。

高考数学专题复习：椭圆及其方程

高考数学专题复习：椭圆及其方程一、单选题1．椭圆C ：22194x y +=的短轴长为（）A ．2B ．3C ．4D ．62．设22:1p mx ny +=表示的是椭圆；:0,0q m n >>，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆22176y x +=的焦点坐标为（）A ．(0,1),(0,1)-B ．(1,0),(1,0)-C ．(0,D ．(0,+4．已知点A 是椭圆2212x y +=的上顶点，12,F F 分别是椭圆左右焦点，直线(0)y ax b a =+>将三角形12AF F 分割为面积相等两部分，则b 的取值范围是（）A ．()0,1B ．112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆C 交于A ，B 两点，且90AFB ∠=︒，则该椭圆的离心率为（）A B C D ．236．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 为第一象限内椭圆上的两个点，且60OFP PFQ ∠=∠=︒，2FP FQ =，则椭圆C 的离心率为（） A ．12B ．13C ．23D ．27．设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF成等比数列，则C 的离心率的最大值为（） A ．12B ．23C ．34D ．18．已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22=1128x y +B ．22=1124x y +C ．22=132x y +D ．22=13x y +9．椭圆2251162x y +=的两个焦点为1F ，2F ，点P 是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则12PF F △的周长为（）A ．14B ．16C ．18D ．10．已知焦点在x 轴的椭圆的标准方程为22135x yk k+=--，则k 的取值范围是（）A ．5k >B ．45k <<C ．4k <D ．4k <或5k >11．已知12,F F 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的两个焦点，过2F 作椭圆的弦AB ，若1AF B△的周长为16，椭圆的离心率e =） A ．22143x y +=B ．221163x y +=C ．2211612x y +=D ．221164x y +=12．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点在直线0x =上，1F ，2F 分别是椭圆的左､右焦点，点P 是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P 作椭圆C 的切线l 与直线2x =-交于点M ，设直线1PF ，2MF 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（） A ．-13B ．13C ．-12D ．-14二、填空题13．过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的左焦点，则PFQ△的周长的最小值为________.14．设12,F F 为椭圆22195x y+=的左､右焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为________.15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ，且以线段1A ,2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为________.16．A ，B 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的两点，1F ，2F 为其左右焦点，且满足112AF F B =，当123F AF π∠=时，椭圆的离心率为________．三、解答题17．已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x（1）求椭圆C 的标准方程（2）若点P 是椭圆上异于A B 、的点，判断直线PA 与直线PB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆C 过点(2,0)-，离心率12e =，O 为坐标原点，过2F 且不平行于坐标轴的动直线l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求C 的标准方程；（2）记直线OM 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，证明：12k k 为定值；（3）y 轴上是否存在点P ，使得ABP △为等边三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为C 上一点，2PF 垂直于x 轴，且1||PF 、12||F F 、2||PF 成等差数列，1294PF PF ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，与椭圆C 交于,A B 两点，且点A 在x 轴上方. 记212,ABF AF F 的内切圆半径分别为12,r r ，若122r r =，求直线l 的方程.20．已知命题[]:1,0,xp x m e∀∈-≥恒成立;:q 方程2213x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围;（2）若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数m 的取值范围.21．已知椭圆1C 以直线0x my +所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点坐标为()（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线4y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆229x y +=的位置关系，并证明你的结论.参考答案1．C 【分析】取分母较小的为2b 可得短轴长．【详解】由已知24b =，2b =，24b =．故选：C ． 2．A 【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果. 【详解】若221mx ny +=表示的是椭圆，则0,0m n >>且m n ≠，即p q ⇒成立；反例：当1m n ==时，221mx ny +=表示的是圆，即q p ⇒不成立；即p 是q 成立的充分不必要条件，故选：A. 3．A 【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得；【详解】解：因为椭圆方程为22176y x +=，焦点在y 轴上，且27a =，26b =，因为2221c a b =-=，所以1c =，所以焦点坐标为()0,1-、()0,1 故选：A 4．B 【分析】由题意，()0,1A ,()11,0F -，()21,0F ，先求出直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为,0b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由0ba-<，可得点M 在射线1OF 上．再求出直线y ＝ax +b （a ＞0）和2AF 的交点N 的坐标，分三种情况讨论：①若点M 和点1F 重合，求得13b =；②若点M 在点O 和点1F 之间，求得1132b <<；③若点M 在点1F 的左侧，求得113b <<．求并集即可得b 的取值范围．【详解】解：因为点A 是椭圆2212x y +=的上顶点，12,F F 分别是椭圆左右焦点，所以22a =，21b =，从而有2221c a b =-=，所以()0,1A ,()11,0F -，()21,0F ，由题意，三角形12AF F 的面积为1212F F OA ⋅⋅=1，设直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为,0b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由直线y ＝ax +b （a ＞0）将三角形12AF F 分割为面积相等的两部分，可得0b >，所以0ba-<，故点M 在射线1OF 上．设直线y ＝ax +b 和2AF 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为1,11b a b a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． ①若点M 和点1F 重合，如图：则点N 为线段2AF 的中点，故N 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，把1F 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点1F 之间，如图：此时13b >，点N 在点2F 和点A 之间，由题意可得三角形2NMF 的面积等于12，即21122N MF y ⋅⋅=，即111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 2012b b =>-，求得12b <，故有1132b <<．③若点M 在点1F 的左侧，则13b <，由点M 的横坐标1ba -<-，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和1AF 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为1,11b a b a a --⎛⎫⎪--⎝⎭，此时，由题意可得，三角形APN 的面积等于12，即()11122N P b x x --=，即()111111212b b b a a --+---=，化简可得()22211b a -=-．由于此时13>b ＞a ＞0，所以()2222111b a a -=-=- ．两边开方可得 )11b -=<，所以1b -<1b >故有113b <<．综上，b 的取值范围应是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点M 在射线1OF 上，然后分三种情况进行讨论：①若点M 和点1F 重合；②若点M 在点O 和点1F 之间；③若点M 在点1F 的左侧． 5．B【分析】求出点,A B 的坐标，根据90AFB ∠=︒得0FA FB ⋅=，从而建立,a c 的齐次式方程，进而可以求出结果. 【详解】由题意知12,,,22b b A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222221b x a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，则x =，不妨设12x x <，则12,x x ==，即,,,22b b A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又因为点F 是椭圆的右焦点，所以(),0F c ，所以33,,,2222b b FA a c FB a c ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为90AFB ∠=︒，所以0FA FB ⋅=，即2104c c b ⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为222b ac =-，则()222231044c a a c -+-=，即2232c a =，所以c e a == 故选：B. 6．C【分析】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，用椭圆的离心率e ，半焦距c 及a 表示出12,x x ，再由2FP FQ =探求出12,x x 的关系即可作答.【详解】设点1122(,),(,)P x y Qx y ，右焦点为(c,0)F ，椭圆的离心率为ce a=，222b c a +=， ||PF =1a ex =-，同理2||QF a ex =-，如图，过P ，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，因60OFP PFQ ∠=∠=︒，则||2||,||2||PF FM QF FN ==，即112()a ex c x -=-，222()a ex x c -=-，于是得1222,22c a c ax x e e-+==-+，又||2||FP FQ =，则122()c x x c -=-，即1223x x c +=，因此得242322c a c a c e e -++=-+，即2142322e e e e e-++=-+，整理得2(32)(1)0e e --=，而01e <<，则23e =，所以椭圆C 的离心率为23.故选：C 7．A 【分析】由椭圆定义得122PF PF a +=，再结合基本不等式可建立a c 、的不等关系可得答案. 【详解】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=，因为1122,,PF F F PF 成等比数列，所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立，所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A. 8．C 【分析】先利用周长为4a 求得a 值，得到M ，N 坐标，再设点00(,)A x y ，利用直线AM 与AN 的斜率之积构建关系，结合00(,)A x y 满足已知方程，解得22b =，即得结果. 【详解】由△AF 1B 的周长为1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23=23-，即22002(3)3y x =-- ①．又2200213x y b+=，所以22200(1)3x y b =- ②，由①②解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．故选：C ． 9．B 【分析】根据椭圆方程，可得a ，c 的值，根据椭圆定义，可得12PF PF +及12F F 值，即可得答案. 【详解】根据椭圆方程可得222225,9a c a b ==-=，解得5,3a c ==，根据椭圆的定义可得12210PF PF a +==，1226F F c == 所以12PF F △的周长1212+16PF PF FF +=. 故选：B 10．B 【分析】由椭圆方程焦点在x 轴列出不等关系求解即可. 【详解】解：因为椭圆方程22135x yk k +=--焦点在x 轴，所以有305035k k k k->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，所以45k <<. 故选：B. 11．D 【分析】根据焦点三角形的特征可得416a =，再由离心率可得c a . 【详解】由1AF B △的周长为16，可得416a =，所以4a =，又由c e a ==所以c =2b =，所以椭圆的方程为221164x y +=. 故选：D 12．A 【分析】根据题意求出a =1b =，进而写出椭圆的方程，设点P 的切线方程为y kx m =+，与椭圆联立，由0∆=得到2221m k =+，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出12,k k ，进而化简整理即可求出结果. 【详解】∵椭圆C的两顶点在直线0x =上，∴a =1b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=，∴()11,0F -，()21,0F ，设点P 的切线方程为y kx m =+，()00,P x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，∵直线l 与椭圆C 相切，∴0∆=，即()()222(4)421220km k m -+-=，∴2221m k =+，02221kmx k =-+，∴202022121km m y kx m k m k k ⎛⎫=+=⋅-+= ⎪++⎝⎭，∴点222,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又2221m k =+，∴21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()1101221m k m k mk -=----=，设点()12,M y -，又M 在切线y kx m =+上，∴()2,2M m k --，∴2202213m k k m k ---==--，∴12121233k m k k m k -⋅=⋅=--，故选：A . 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 13．18利用对称性，结合椭圆定义求解．【详解】记右焦点为F '，由题意5,4a b ==，由题意,P Q 关于原点对称，所以PF 等于Q 到右焦点F '的距离，所以210PF QF QF QF a '+=+==，而线段PQ 的最小值为短轴长28b =，所以PFQ △的周长的最小值10818+=．故答案为：18． 14．513【分析】由给定条件探求出PF 2⊥x 轴，由此求出2PF 的长，再借助椭圆定义即可得解. 【详解】依题意，12||||6PF PF +=，右焦点2(20)F ，，如图，因线段1PF 的中点在y 轴上，而O 是线段12F F ，于是得PF 2//y 轴，即PF 2⊥x 轴，由222195y +=得5||3y =，则有25||3PF =，于是有1213||6||3PF PF =-=，21513PF PF =，所以21PF PF 的值为513. 故答案为：51315【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于,a b 的方程，再利用离心率的计算公式可得c e a ==椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1(,0)A a -,2(,0)A a ,以线段1A ,2A 为直径的圆的圆心为(0,0) ，半径为a ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，a = ，即222224()ab a a b =+ ，可得223a b ，椭圆的离心率为c e a ==.16【分析】设1F B m =（0m ≠），则12AF m =，由椭圆的定义可得2222,2AF a m BF a m =-=-，然后在12F AF 和2ABF 中分别利用余弦定理可得两个式子，两式相结合可求得22727c a =，从而可求出离心率【详解】解：设1F B m =（0m ≠），则12AF m =，122F F c =，123F AF π∠=所以由椭圆的定义可得2222,2AF a m BF a m =-=-，在12F AF 中由余弦定理得，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即22244(22)22(22)cos3c m a m m a m π=+--⋅⋅-，化简得22233c a m am =+-，在2ABF 中，由余弦定理得，22222222cos BF AB AF AB AF BAF =+-∠,即222(2)9(22)23(22)cos3a m m a m m a m π-=+--⋅⋅- ，化简得2950m am -=，因为0m ≠，所以59m a =，所以22225533819c a a a a =+⨯-⋅，得22727c a =，所以c a =17．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为14-.【分析】（1）由条件转化为关于,a c 的方程，即可求椭圆的标准方程；（2）首先设00(,)P x y ，结合斜率公式和椭圆方程，即可求得PA PB k k ⋅是定值. 【详解】解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，2,c a a ==∴c =1b =. ∴椭圆C 的方程：2214x y +=（2）设00(,)P x y ，则220014x y +=， 002PA y k x =+，002PB y k x =-，20202200114444PA PBx x k y k x -===---⋅. 18．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由椭圆C 所过点及离心率，列方程组，再求解即得；（2）设出点A ，B 坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；（3）设直线l 的方程，联立直线l 与椭圆C 的方程，借助韦达定理求得AB ，MP ，再结合ABP △为等边三角形的条件即可作答.【详解】（1）显然2a =，半焦距c 有12c e a ==，即1c =，则b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由(1)知2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得22221212043x x y y --+=，即2112211234y y y y x x x x -+⋅=--+，而弦AB 的中点1212(,)22x x y y M ++，则有12112y y k x x +=+，所以1234k k =-；（3）假定存在符合要求的点P ，由(1)知2(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，于是得()121226234k y y k x x k k +=+-=-+，从而得点M 224(34k k +，23)34k k -+，因ABP △为等边三角形，即有MP =，MP AB ⊥，因此，212212(134)k AB x k +-=+，0MP =22)12(134k k ++，整理得223270k +=，无解，所以在y 轴上不存在点P ，使得ABP △为等边三角形.19．（1）22143x y +=；（2）1)y x =+. 【分析】(1)设出椭圆焦点坐标，由给定条件建立a ，b ，半焦距c 的方程组求解即得；(2)设出直线l 的方程，联立直线l ，椭圆C 的方程组，消去x ，借助三角形面积及其内切圆半径关系，确定出点A 与B 的纵坐标的关系即可作答. 【详解】（1）设点12(,0),(,0)F c F c -，因2PF 垂直于x 轴，则2(,)bP c a，122F F c =，显然有2122PF PF PF ⋅=，由已知得223||2b PF a ==，又12122||||||F F PF PF =+，即13||42PFc =-，而2221212||||||F F PF PF =+，从而得22233(2)()(4)22c c +=-，解得1c =，因222a b c =+，于是得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）令点11(,)A x y ，22(,)B x y ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线:1l x my =-，由2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my +--=， 122634m y y m +=+，122934y y m =-+，由题意，有10y >，20y <，由2121222111||()(||||||)22ABF S F F y y AB AF BF r =-=++⋅，而22||||||4AB AF BF a ++=，得1121()4r y y =-，由121211212211||(||||||)22AF F S F F y AF AF F F r =⋅=++⋅，又1212||||||22AF AF F F a c ++=+，得2113r y =，又122r r =，解得2153y y =-，于是得22211221212()3653229(34)35y y y y m y y y y m +++===--+-+，解得213m =，而21513y y =-<-，即1226034my y m +=<+，0m <，得m =，故直线l的方程为1)y x =+. 20．（1）1m ≥；（2）13m ≤≤. 【分析】（1）由条件可知，()maxxm e≥，即可求解；（2）根据椭圆的标准方程，求得q 为真时，3m >，再根据,p q 一真一假，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，()maxxm e≥，[]1,0x ∈-，x y e =是增函数，所以01m e ≥=，即m 1≥；（2）若q 为真，则3m > 由题可知，,p q 一真一假故“p 真q 假”时，13m m ≥⎧⎨≤⎩，则13m ≤≤，“q 真p 假”时，13m m <⎧⎨>⎩，无解，综上，13m ≤≤.21．（1）22194x y +=；（2【分析】(1)由给定条件求出椭圆C 1的半焦距，短半轴长即可得解；(2)设出直线l 的方程，联立直线l 与椭圆1C 的方程组，消去x 得关于y 的一元二次方程，借助韦达定理表示出OAB 面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答. 【详解】（1）直线0x my +=过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C的半焦距c 2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=，所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=；（2）显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点，由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t =+在)+∞单调递增，则t =0k =时，14t t =+≥于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立，所以OAB22．（1）221168x y +=；（2）相交，证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组222c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解方程组的,a b 的值即可求解；（2）设()00,A x y ，(),4B t ，且00x ≠，由0OA OB ⋅=可得00,,x y t 的关系，分类讨论直线AB 的斜率是否存在，求出原点到直线AB 的距离，与半径比较大小即可求解.【详解】（1）由题意可得：222c c e a a b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：4c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为221168x y +=，（2）设()00,A x y ，(),4B t ，且00x ≠，可得()00,OA x y =，(),4OB t =，因为OA OB ⊥，所以0040OA OB tx y ⋅=+=，解得04y t x =-，当0x t =时，204t y =-，将 2,4t A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆221168x y +=可得： 22241168t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=即4281680t t +-⨯=，解得28t =，所以t =± 所以直线AB的方程为：x =±圆心()0,0O到直线x =±3d =<，此时直线AB 与圆229x y +=相交，当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0044y y x t x t--=--，即()()0000440y x x t y x ty ---+-=，此时圆心()0,0O 到直线AB 的距离为：d =，因为2200216x y +=，0040tx y +=，04y t x =-，所以d =====()22163xrx+===，所以当x t≠时，直线AB与圆229x y+=相交，综上所述：直线AB与圆229x y+=相交.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是设()00,A x y，(),4B t，根据OA OB⊥得出00,,x y t的关系，结合点()00,A x y在椭圆上，计算圆心到直线的距离与半径比较大小.。

高考椭圆的知识点

高考椭圆的知识点椭圆是高中数学中常见的一个几何图形，也是高考数学中的重点内容之一。

下面将详细介绍高考椭圆的知识点。

一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。

椭圆的形状由焦距和常数决定。

二、椭圆的基本要素1. 焦点和直径：椭圆有两个焦点，焦点的位置决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，它的长度称为椭圆的长径；椭圆的短轴是垂直于长轴的直线，它的长度称为椭圆的短径。

2. 中心：椭圆的中心是长轴和短轴的交点，也是椭圆的对称中心。

3. 长径和短径：椭圆的中心到椭圆上任意一点的距离称为椭圆半径，椭圆的长径是指长轴的一半，短径是指短轴的一半。

4. 离心率：椭圆的离心率是一个0到1之间的实数，它表示椭圆的扁平程度。

离心率为0时，椭圆退化为一个点；离心率为1时，椭圆变为一条直线。

三、椭圆的方程1. 标准方程：椭圆的标准方程可以表示为（x-h）^2/a^2 + （y-k）^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半。

2. 参数方程：椭圆的参数方程可以表示为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半，θ是参数。

四、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有两个对称轴，分别是长轴和短轴，以中心为对称中心。

2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数（焦距）。

3. 切线性质：椭圆上任意一点的切线和从该点出发指向焦点的直线的夹角等于切线斜率的相反数。

4. 弦长性质：椭圆上任意一条弦的长度等于焦点到弦中点的距离与焦距之和。

5. 面积性质：椭圆的面积可以用公式S = πab表示，其中a是长轴的一半，b是短轴的一半。

五、椭圆在高考中的应用1. 椭圆的参数方程可以用来描述物体在椭圆轨道上的运动。

2. 椭圆的性质可以应用于建筑结构中的设计和力学分析。

高考数学知识点椭圆

高考数学知识点椭圆近年来，高考数学的难度逐渐提高，考察的知识点也越来越复杂。

椭圆作为高考数学中的一个重要知识点，经常出现在高考试题中。

椭圆是一种在平面上的几何图形，它具有许多特殊的性质和应用。

本文将从椭圆的定义、常用公式、性质和应用等方面，深入探讨高考数学中的椭圆知识点。

首先，我们来了解椭圆的定义。

椭圆可以由一个动点与一个定点和一个定长的线段构成。

这个动点称为焦点，定点与焦点的连线称为半径。

根据焦点和半径之间的关系，可以得到椭圆的定义为：平面上到焦点和到半径的距离之和为定值的点的轨迹。

接下来，我们来介绍椭圆的常用公式。

椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

根据半轴长的关系，椭圆可以分为长轴和短轴。

椭圆的几何中心为原点(0,0)，且椭圆对称于x轴和y 轴。

此外，还存在以原点为中心的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

除了椭圆的标准方程外，还有其他与椭圆相关的常用公式。

例如，椭圆的离心率公式为：$e=\frac{c}{a}$，其中$c$为焦点到原点距离，$a$为长轴的长度。

离心率决定了椭圆的形状，当离心率小于1时，椭圆是完全闭合的，当离心率等于1时，椭圆变成抛物线。

接下来，我们来探讨椭圆的性质。

椭圆具有很多独特的性质，其中一些常见的性质包括：椭圆的离心率小于1；椭圆的焦点到准线的距离之和等于长轴的长度；椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数；椭圆的离心角等于其对应的圆的圆心角。

这些性质为解决椭圆相关问题提供了重要的数学基础。

最后，我们来探讨椭圆在实际生活中的应用。

椭圆作为一种重要的几何图形，广泛应用于工程、建筑、天文学等领域。

在工程中，椭圆可以用来描述车轮轮廓、聚光灯的反射镜形状等。

在建筑中，椭圆常被应用于拱形建筑物的设计。

在天文学中，椭圆被用来描述行星公转轨道。

椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

2.［链接苏教选必一P88—P89知识］椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，若，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用，，表示，利用，，自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或（舍去）.故选C.