因式分解法解一元二次方程

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因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

∴ x 1= A解 , x 2= A解
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1.方程右边化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3.至少 有一个 因式为零,得到两个一 元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
课堂练习
用因式分解法解下列方程: (1) 2x2-8x=0 (2) (x+1)2-9=0 (3) (2x-1)2=x2 (4) (2x-5)2-2x+5=0
课堂
总结
回味无穷
• 本节课你学习了什么知识?
1.用因式分解法解一元二次方程的前题是什 么?关键是什么? 2.因式分解法解一元二次方程的步骤是什么? 3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法— —“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
发现解一元二次方而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我 们就可以用因式分解的方法求解.这种 用因式分解来解一元二次方程的方法 称为因式分解法.
提示:解题框架图
解:原方程可变形为: =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式B =0 得 一次因式A =0或或
因式分解法 解一元二次方程
学习目标
• 了解用因式分解法解一元二次方程 的概念 • 并会用因式分解法解一些特殊的方 程
复习: (1)什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 叫做因式分解. (2)因式分解有哪几种方法? ①提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法: 逆用平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b) 逆用完全平方公式:a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2

因式分解法解一元二次方程的步骤

因式分解法解一元二次方程的步骤

因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。

它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式,然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。

下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。

步骤1:确定一元二次方程的形式首先,我们要确定一元二次方程的形式,即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0,其中a、b和c是实数,且a ≠ 0。

确保方程满足这个条件后,我们才能使用因式分解法进行求解。

步骤2:计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式,我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。

这一步很重要,因为我们后续的计算都会用到a 的值。

步骤3:计算常数项c同理,我们从方程中读取常数项c的值。

这一步同样很关键,因为我们在解方程时,需要用到常数项的值。

步骤4:根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号,一元二次方程的因式形式分为两种情况:当a > 0时,我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解;当a < 0时,我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。

步骤5:根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式,我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式,其中m和n是实数,且m ≠ n。

将原方程的右侧展开并整理,得到二次项、一次项和常数项的关系式,然后通过求解m和n的值,可以得到方程的解。

对于“和平方”的形式,我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式,其中m和n是实数,且m ≠ -n。

也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式,然后求解m和n的值,得到方程的解。

步骤6:求解方程通过步骤5的因式分解,我们得到了一元二次方程的两个一次因式,接下来,我们可以将每个因式设置为零,分别求解得到方程的解。

步骤7:检验解的有效性最后,我们还需要检验求得的解是否满足原方程。

将解代入原方程中,如果方程两侧相等,那么我们的解就是有效的,否则需要重新检查求解过程。

用因式分解法解一元二次方程的步骤

用因式分解法解一元二次方程的步骤

用因式分解法解一元二次方程的步骤一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程,其中a、b、c 是已知实数且a≠0。

解一元二次方程的方法有多种,其中一种常用的方法是因式分解法。

下面将详细介绍用因式分解法解一元二次方程的步骤。

步骤一:将方程化为标准形式我们需要将给定的一元二次方程化为标准形式,即ax^2 + bx + c = 0。

确保方程的各项系数已经排列好,并且a≠0。

如果方程不是标准形式,可以通过移项、合并同类项等基本代数运算将其化简。

步骤二:对方程进行因式分解接下来,我们将对方程进行因式分解。

因式分解的目的是将二次方程表示为两个一次因式的乘积形式。

设方程为(ax + m)(nx + p) = 0,其中m、n、p是待确定的实数。

展开括号后得到(ax + m)(nx + p) = anx^2 + (am + np)x + mp = 0。

比较展开后的方程与原方程的系数,即可得到m、n、p的关系。

步骤三:求解因式的根确定了m、n、p的关系后,我们可以分别解出(ax + m) = 0和(nx + p) = 0这两个一次方程。

解一次方程的方法比较简单,可以直接得到一次方程的根。

步骤四:检验解的有效性在得到一次方程的根之后,我们需要将这些根代入原方程进行检验。

将根代入原方程,如果等式成立,则该根是方程的解;如果等式不成立,则该根不是方程的解。

步骤五:总结解的形式根据一次方程的根和检验结果,我们可以总结出一元二次方程的解的形式。

一元二次方程的解通常有两种情况:一种是有两个不同的实数解,即方程有两个不相等的根;另一种是有一个重根,即方程有两个相等的根。

步骤六:给出最终解我们将解的形式具体化,给出一元二次方程的最终解。

将步骤五中总结出的解的形式代入即可得到方程的解。

通过以上六个步骤,我们可以用因式分解法解一元二次方程。

这种方法相对简单直观,适用于一些较为简单的二次方程。

当方程较为复杂时,可以尝试其他解方程的方法,如配方法、求根公式等。

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀:一移,二分,三转化,四再求根容易得。

步骤:将方程右边化为0;将方程左边分解为两个一次式的积;令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

数学中用以求解高次一元方程的一种方法。

把方程的一侧的数(包括未知数),通过移动使其值化成0,把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积,然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。

在使用因式分解法解一元二次方程时:
①因式分解法解一元二次方程时,等式右边必须为0。

②方程中如果有括号不要急于去掉括号,要先观察方程是否可采用因式分解法求解。

③因式分解法有提公因式法,公式法,分组分解法等(十字相乘法最常用)。

④利用因式分解法解一元二次方程时,注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程

12.2 用因式分解法解一元二次方程一教学目标1、正确理解因式分解法的实质;2、熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程;二教学过程1.复习提问1、或.语言表述:如果两个因式的积等于零,那么这两个因式至少有一个等于零.反之,如果两个因式有一个等于零,它们的积也就等于零.2.例题讲解例1 解方程解:原方程可变形……第一步∴或……第二步∴,分析:(1)第一步变形的方法是“因式分解”,第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零”。

(2)对于一元二次方程,一边是零,而另一边易于分解成两个一次式时,可以得到两个一元一次方程,这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。

用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法。

由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”,达到了“降次”的目的,解高次方程常用转化的思想方法。

例2 用因式分解法解方程(1)解:原方程可变形为得,或∴,(2)∴或∴,教师板演,学生回答,总结因式分解的步骤:(1)方程化为一般形式;(2)方程左边因式分解;(3)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程;(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解.练习:P20中1,2.例3 解方程解:原方程可变形为∴或∴,此方程不需去括号将方程变成一般形式.对于总结的步骤具体情况具体分析.∴或.∴,.2.因式分解法解一元二次方程的步骤是:(1)化方程为一般形式;(2)将方程左边因式分解;(3)至少有一个因式为零,得到两个一元二次方程;(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解.但要具体情况具体分析.3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.四、布置作业教材P21 A 1教材P21 B 1、2(学有余力的学生做).。

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程一元二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程,其中 $a \neq 0$。

为了解二次方程,我们可以使用因式分解法。

下面我们来详细讲解因式分解法的步骤。

Step 1: 化简方程首先,我们需要将二次方程化简为标准的一元二次方程形式,即$ax^2 + bx + c = 0$,其中 $a \neq 0$。

如果方程中含有分式,我们可以通过消去分母的方式将方程化为整系数的二次方程。

Step 2: 因式分解我们假设可以将二次方程因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$,其中 $p, q, r, s$ 是实数。

展开上式得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。

我们可以发现,当 $pr = a$,$ps + qr = b$,$qs = c$ 时,上式与原方程相等。

因此,我们需要寻找满足这些条件的 $p, q, r, s$。

Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零,我们可以得到:$px + q = 0$$rx + s = 0$解这两个方程可以得到两个根:$x_1 = -\frac{q}{p}$$x_2 = -\frac{s}{r}$这两个根即为原二次方程的解。

需要注意的是,如果方程无法因式分解或者方程的根不是实数,那么我们不能使用因式分解法来解方程。

下面我们通过一个具体的例子来演示因式分解法的应用:例题:解方程$x^2-5x+6=0$Step 1: 化简方程方程已经是标准的一元二次方程形式,无需化简。

Step 2: 因式分解假设方程可以表示为 $(px + q)(rx + s) = 0$。

展开得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。

与原方程相比较可得:$p=1$$q=-2$$r=1$$s=-3$因此,我们可以将方程表示为$(x-2)(x-3)=0$。

Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零,我们可以得到:$x-2=0$$x-3=0$解这两个方程可以得到两个根:$x_1=2$$x_2=3$因此,原方程的解为$x=2$和$x=3$。

解一元二次方程的四种方法的利弊

解一元二次方程的四种方法的利弊

解一元二次方程的四种方法的利弊随着数学的发展,解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。

为了解决一元二次方程,人们提出了各种各样的方法。

本文将介绍解一元二次方程的四种常见方法,并分析它们的利弊。

方法一:因式分解法原理因式分解法是一种将一元二次方程转化为多个一次方程的方法,通过因式分解将二次项分解成两个一次项的乘积,进而求出方程的解。

优点1.简单直观:因式分解法不需要过多的计算步骤,对于简单的一元二次方程求解任务非常有效。

2.适用范围广:因式分解法适用于多种形式的一元二次方程,如完全平方式、含有一次项的方式等。

缺点1.局限性:因式分解法仅适用于可以进行因式分解的一元二次方程,对于难以因式分解的方程则无法使用此方法。

2.计算复杂度高:对于具有复杂因式分解形式的方程,计算量较大,容易出现计算错误。

3.解的个数限制:因式分解法只能求解出方程的实数解,无法求解出复数解。

方法二:配方法原理配方法是通过将一元二次方程的二次项与一次项相乘,构造出一个完全平方式,然后通过转化求解方程的解。

优点1.适用广泛:配方法适用于多种类型的一元二次方程,可以应对一些无法使用因式分解法解决的方程。

2.可求解复数解:配方法可以求解出一元二次方程的复数解,能够提供更全面的解决方案。

缺点1.计算复杂:配方法需要进行一系列的代数运算和变换,计算过程相对复杂,易出错。

2.限制:对于一些特殊形式的一元二次方程,配方法无法处理,需要采取其他方法解决。

方法三:公式法原理公式法是通过一元二次方程的一般公式解来求解方程的根。

一元二次方程的一般公式解为:x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。

优点1.通用性强:公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法,适用于所有的一元二次方程。

2.快速准确:通过代入方程参数直接计算公式,可以迅速而准确地求解方程的解。

缺点1.存在限制:公式法仅适用于解可求得实数解的一元二次方程,无法求解复数解。

因式分解法求解一元二次方程

因式分解法求解一元二次方程

因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程,其中a、b、c是常数且a≠0。

解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。

因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积,然后令每个因式等于零,得到多个简单的方程,再解这些方程得到所有的解。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0,首先需要判断方程的根的个数。

根据判别式Δ(delta)=b^2-4ac的值,可以得到如下结论:1.当Δ>0时,方程有两个不相等的实根。

此时可以使用因式分解法求解。

2.当Δ=0时,方程有两个相等的实根。

此时可以使用因式分解法求解。

3.当Δ<0时,方程没有实根。

此时无法使用因式分解法求解。

对于情况1和情况2,下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。

步骤一:将方程整理成一般形式。

将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。

步骤二:将方程左边进行因式分解。

根据二次三项完全平方式分解公式,将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0,其中p和q是待定常数。

步骤三:将方程化简并分别解得p和q的值。

将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比,得到以下等式:ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较,可得到以下等式组:a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组,得到p和q的值。

步骤四:求解x的值。

将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中,分别令每个因式等于零,求解得到x的值。

以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。

下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。

例题:解方程2x^2+7x+3=0。

解:根据判别式Δ=b^2-4ac,计算出Δ=49-24=25>0,所以方程有两个不相等的实根。

步骤一:将方程整理成一般形式。

将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。

一元二次方程的因式分解法

一元二次方程的因式分解法

一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程,其中a、b、c是已知常数,且a≠0。

解一元二次方程的方法有很多种,其中一种常用的方法是因式分解法。

一元二次方程的因式分解法是将方程转化成两个一次方程的乘积形式,从而求得方程的解。

我们来看一个简单的例子:x²-5x+6=0。

根据因式分解法,我们可以将x²-5x+6拆分成两个因式的乘积:(x-2)(x-3)=0。

接下来,我们分别将两个因式设置为0,得到两个一次方程:x-2=0和x-3=0。

解这两个一次方程,我们分别得到x=2和x=3。

所以,原方程x²-5x+6=0的解是x=2和x=3。

通过这个例子,我们可以总结出一元二次方程的因式分解法的步骤:1. 将一元二次方程化简为标准形式:ax²+bx+c=0,其中a≠0。

2. 将方程的三项分别与a的倒数相乘,得到新的方程:x²+(b/a)x+(c/a)=0。

3. 将新的方程进行因式分解,拆分为两个因式的乘积形式:(x-r₁)(x-r₂)=0,其中r₁和r₂是两个实数。

4. 分别将两个因式设置为0,得到两个一次方程:x-r₁=0和x-r₂=0。

5. 解这两个一次方程,得到方程的解x=r₁和x=r₂。

需要注意的是,一元二次方程的因式分解法只适用于一些特殊的情况,即方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积形式。

对于无法因式分解的一元二次方程,我们需要使用其他方法来求解,如配方法、求根公式等。

除了求解一元二次方程的根,因式分解法还可以用于化简一些复杂的代数表达式。

通过因式分解,我们可以将复杂的表达式转化为简单的因式乘积形式,从而更方便地进行计算和运算。

一元二次方程的因式分解法是解决一元二次方程的一种有效方法。

通过将方程进行因式分解,我们可以将问题转化为解两个一次方程的问题,从而求得方程的解。

同时,因式分解法还可以应用于化简代数表达式,方便进行计算和运算。

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程,它的格式一般是ax² + bx+ c = 0(其中a≠0)。

要解一元二次方程,通常用到的是因式分解的方法。

因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程,而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。

首先,要解一元二次方程,需要先将它转化成一元一次方程格式。

这一步可以通过将因式上乘以a来实现,即有:a(x²+ bx/a + c/a) = 0,于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程,即:x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0;其次,在解一元一次方程时,只要把方程按照常规形式写出来就可以了。

将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出,即有:x² + (b/a)x + (c/a) = 0;a = 0;之后,在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时,可以用a×b÷2来简化,并用b²-4ac来计算根。

需要注意的是,当b²-4ac<0时,证明该一元二次方程无解。

最后,我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。

首先,计算出b²-4ac,根据结果来判断一元二次方程是否有解。

如果b²-4ac>0,该一元二次方程就有解,由此可得x1 = (-b + √b²-4ac)/2ax2 = (-b - √b²-4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根,这样就解决了一元二次方程的问题。

总的来说,解决一元二次方程的时候,可以使用因式分解法,将一元二次方程分解成两个一元一次方程,再根据一元一次方程计算出x1和x2,最终就可以求出一元二次方程的根。

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程
1.一般地,当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0),
应选用直接开平方法;
2.若常数项为0( ax2+bx=0),应选用因式分解法;
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0),先化为
一般式,看一边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用
因式分解法,不然选用公式法;
4.当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较
即5x-2 = 0 或x+8 = 0,
2
5
∴ x1 = ,x2 =-8.
(4)9x2-12x-1 = 0.
分析:方程的结构没有明显特殊性,考虑公式法.
解:∵ a = 9,b = -12,c = -1,
∴ Δ = b 2-4 a c =(-12)2-4×9×(-1)=
144+36 = 180>0,
b b 2 4ac (12) 180 2 5
因式分解,得 x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
4
x1 0,x2
5
(2)移项,得 x 2 xx 2 0,
因式分解,得 x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2,x2 1
几种常见的用因式分解法求解的方程
(1)形如x2 +bx = 0 的一元二次方程,将左边运用提公因式法因式分解为
x(x+b)= 0,则x = 0 或x+b = 0,即x1= 0, x2 = -b.
(2)形如x2 - a2 = 0 的一元二次方程,将左边用平方差公式因式分
解为(x+a)(x-a)= 0,则x+a = 0 或x-a = 0,即x1 = -a, x2

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1 •因式分解法若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时,例如,X2—9 = 0,这个方程可变形为(x + 3)( X—3) = 0,要(x + 3)( X—3)等于0,必须并且只需(x+ 3)等于0或(x —3) 等于0,因此,解方程(x+ 3)( x —3) = 0就相当于解方程x+ 3 = 0或x —3= 0 了,通过解这两个一次方程就可得到原方程的解•这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2•因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程. 其理论根据是:若A-B= 0=A=0 或B= 0.【基础知识讲解】1 •只有当方程的一边能够分解成两个一次因式,而另一边是0的时候,才能应用因式分解法解一元二次方程•分解因式时,要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法.2 •在一元二次方程的四种解法中,公式法是主要的,公式法可以说是通法,即能解任何一个一元二次方程•但对某些特殊形式的一元二次方程,有的用直接开平方法简便,有的用因式分解法简便•因此,在遇到一道题时,应选择适当的方法去解.配方法解一元二次方程是比较麻烦的,在实际解一元二次方程时,一般不用配方法•而在以后的学习中,会常常用到因式分解法,所以要掌握这个重要的数学方法.【例题精讲】例1:用因式分解法解下列方程:2(1) y + 7y+ 6 = 0; (2) t(2t —1) = 3(2 t —1); ⑶(2 x —1)( x—1) = 1.解:(1)方程可变形为(y+1)( y + 6) = 0, y+ 1 = 0 或y+ 6 = 0,二y1 = —1, y2=—6•1(2) 方程可变形为t(2t —1) —3(21 —1) = 0, (2t —1)( t —3) = 0, 2t —1 = 0 或t —3 = 0,二t =2 12=3.2(3) 方程可变形为2x —3x = 0 • x(2x —3) = 0, x = 0 或2x—3= 0 •3…X1= 0, X2=2说明:(1)在用因式分解法解一元二次方程时,一般地要把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.(2) 应用因式分解法解形如(x —a)( x —b) = c的方程,其左边是两个一次因式之积,但右边不是零,所以应转化为形如(x—e)( x —f) = 0的形式,这时才有X1 = e, X2 = f,否则会产生错误,如(3)可能产生如下的错解:原方程变形为:2x— 1 = 1 或X—1 = 1 X1 = 1, X2= 2.(3) 在方程(2)中,为什么方程两边不能同除以(2t —1),请同学们思考?例2:用适当方法解下列方程:;2 ' 2 2 2(1) ,3(1 —X) = 27 ;⑵x —6x —19= 0; (3)3 x = 4x+ 1; (4) y —15= 2y; (5)5 x(x —3) —(x —3)( x+ 1) = 0 ;2 2(6)4(3 x+ 1) = 25( x—2).剖析:方程(1)用直接开平方法,方程(2)用配方法,方程(3)用公式法,方程(4)化成一般式后用因式分解法,而方程(5)、(6)不用化成一般式,而直接用因式分解法就可以了.2 移项,得x2—6x= 19,配方,得x2—6x+ ( —3)2= 19+ ( —3)2, (X —3) 2= 28, X—3 =± 27 ,解:(1)(1 —x) 2= . 9 , (x—1) 2= 3, x—1 = ± \ 3 ,二X1= 1 + ••. 3 , X2= 1 —, 3 .X i = 2 ,73^(y —5)( y+ 3) = 0;• X1 = b -a a bX i= 3 + 2 , 7 , X2 = 3—2、L7 .2⑶移项,得3x —4x— 1 = 0,■/ a= 3, b=—4, c =—1,—(⑷2一4 3(_i)2^3⑷移项,得y2—2y—15= 0,把方程左边因式分解,得• y — 5 = 0 或y + 3= 0,二y i = 5, y2= —3.⑸将方程左边因式分解,得(x —3) :5x—(x + 1) ]= 0, (x—3)(4 X—1) = 0,• x — 3 = 0 或4x— 1 = 0, • X1= 3, X2 = 1.4(6)移项,得4(3x+ 1) —25(x—2) = 0,2 2[2(3 x + 1): —[ 5(x—2): = 0,:2(3 x + 1) + 5( x —2): • : 2(3 x + 1) —5( x —2) ]= 0,(11 x —8)( x + 12) = 0,8• 11X—8= 0 或x + 12= 0, • X1= , X2=—12.11说明:(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样,只不过要注意二次根式的化简.(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式,对于这种形式的方程就不必要整理成般式了.例3:解关于x 的方程:(a2—b2)x2—4abx= a2—b2.解:(1)当a2—b2= 0,即 | a | = | b | 时,方程为一4abx= 0.当a= b = 0时,x为任意实数.当| a | = | b |工0时,x = 0.(2)当a2—b2^ 0,即a+ 0且a—b* 0时,方程为一元二次方程.分解因式,得[(a+ b)x+ (a—b) ] [(a—b)x —(a+ b) ]= 0,a +b 工0 且a —b* 0,a +bX2 =a -b说明:解字母系数的方程,要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解.本题实际上是分三种情况,即① a = b= 0;②| a | = | b |* 0;③| a |*| b | .例4:已知x2—xy —2y2= 0,且x* 0, y *0,求代数式剖析:要求代数式的值,只要求出x、y的值即可,但从已知条件中显然不能求出,要求代数式的分子、分母是关于x、y的二次齐次式,所以知道x与y的比值也可.由已知x2—xy —2y2= 0因式分解即可得x与y的比值.2 2解:由x —xy —2y = 0,得(x —2y)( x + y) = 0, • x —2y= 0 或x+ y = 0, • x= 2y 或x = —y.当x= 2y时,x2 -2xy -5y2 =(2y)2 -2 2y y - 5y2=-5y2 = 一5 x2 +2xy +5y2(2y)2 +2 2y y+5y213y2 131A. . x = —B . x = 22方程 5x ( x + 3) = 3( x + 3)解为()33 A . X 1 =, X 2= 3B . x =C.55方程(y — 5)( y + 2) = 1的根为() A . y 1 = 5, y 2=— 2B. y = 5方程(x — 1)2— 4(x + 2)2= 0 的根为()A . X 1 = 1, X 2=— 5 B. X 1=—1, X =— 5 C. x = 1 X 1=— 3 , X 2=— 35 D. x =— 1D. X 1 = — , X 2= — 35C. y =— 2D.以上答案都不对 C. X 1 = 1, X 2 = 5D. X 1 =— 1, X 2= 52m x — 3x + 2= 0较小的根设为 n ,则m^ n 的值为( 2⑶ X = 7x ;当x — y 时,与2Xy驾二超2("y 5y筠x +2xy +5y(_y) +2 .(_y) ,y +5y 亠4y说明:因式分解法体现了“降次” “化归”的数学思想方法,它不仅可用来解一元二次方程,而且在 「元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用.【同步达纲练习】 选择题方程(x — 16)( x + 8) = 0的根是() A . X i =— 16, X 2= 8B . x i = 16, X 2=— 8C. x i = 16, X 2= 8D.x i = — 16, X 2=— 8下列方程 4x — 3x — 1 = 0, 5x — 7x + 2= 0, 13x — 15x + 2 = 0 中,有一个公共解是 () A . 1 B . 2 C.— 4 D. 4已知三角形两边长为 4和7 ,第三边的长是方程x 2— 16X + 55= 0的一个根,则第三边长是()A . 5B . 5 或 11 C. 6D. 11方程x 2— 3| X — 1| = 1的不同解的个数是()A . 0B . 1C. 2D. 3填空题2方程 t (t + 3) = 28 的解为 _________ . (2)方程(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0 的解为 ______________方程(2y + 1)2+ 3(2y + 1) + 2 = 0 的解为 ____________ .关于x 的方程x + (耐n )x + mn= 0的解为 _____________. 方程x (x —J5) = J5 — x 的解为 ______________ .用因式分解法解下列方程:2 2(1) x + 12x = 0; (2)4 X — 1= 0;2解- 1.⑴ ⑵⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ (8)2.(1)⑶⑷ ⑸ 3.2(4) X —4x—21 = 0;(5)( x—1)( x + 3) = 12;2(6)3 x + 2x—1 = 0;2(7)10 x —X—3= 0;4 .用适当方法解下列方程:2(1)x —4x+ 3 = 0;2(2)( x—2) = 256;2(3) x —3x + 1 = 0;2(9)2 x — 8x = 7(精确到 0.2 2 (3) x — 2mx- 8m = 0;(8) ,5x 2 — (5 ,2 + 1)x + ,10 = 0;201) ; (10)( x + 5) — 2( x + 5) — 8= 0.5 .解关于x 的方程:2 2 2 2(1) x — 4ax + 3a = 1 — 2a ; (2) x + 5x + k = 2kx + 5k + 6;2 2(4) x + (2 m + 1) x + m + m = 0.6 .已知x 2+ 3xy — 4y 2= 0( y 丰0),试求 m 的值. x + y7.已知(x 2+ y 2)( x 2— 1 + y 2) — 12 = 0.求 x 2 + y 2 的值.8•请你用三种方法解方程: x (x + 12) = 864.9.已知x 2+ 3x + 5的值为9,试求3x 2 + 9x — 2的值.10 .一跳水运动员从 10米高台上跳水,他跳下的高度 h (单位:米)与所用的时间t (单位:秒)的关系式h =— 5( t — 2)( t + 1).求运动员起跳到入水所用的时间.11.为解方程(X 2— 1)2— 5(x 2— 1) + 4= 0,我们可以将x 2— 1视为一个整体,然后设 x 2 — 1 = y ,贝U y 2=(x 2— 1)2,原方程化为y 2— 5y + 4= 0,解此方程,得 y 1= 1, y 2= 4.22当 y = 1 时,x — 1 = 1, x = 2 ,••• x =± 2 . 当 y = 4 时,x — 1 = 4, x = 5, • x =± \ 5 .•原方程的解为 X 1 =—、、2 , X 2 = -.2 , X 3=— . 5 , X 4= 5 .⑷ X 2— 2x — 3 = 0;⑸(2 t + 3)2= 3(21 + 3);2 2(6)(3 — y ) + y = 9 ;(7)(1+ , 2 ) x — (1 —、、2 ) x = 0;以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想.(1) 运用上述方法解方程:X4—3X2—4 = 0.(2) 既然可以将x2—1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解这个方程吗当x = — 4y 时, 参考答案【同步达纲练习】1. ⑴B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D132. (1) 11 = — 7, 12= 4(2) x i = — — , X 2 =— 2(3) y i =— 1 , y 2=——⑷ x i = — m X 2=—n (5) x i=^5 , X 2=— 12 2113. (1) X 1 = 0, X 2 =— 12; (2)X 1=——,X 2=; (3) X 1= 0, X 2 = 7; (4) X 1 = 7, X 2=— 3; (5)X 1=— 5, X 2 = 3; (6)X 1 =22—1 , X 2 =13(7) X 1 =3 X =一 1; (8) X 1 = 8 , X 2 =— 2523 . . 53 ― '54.(1) X 1 = 1, X 2= 3; (2) X 1 =18, X 2=— 14; (3)为= ,X 2= ;(4) X 1= 3, X 2=— 1 ;2 2(5) 11 = 0, 12=— — ; (6) y 1 = 0, y 2 = 3; (7)为=0, X 2 = 2 . 2 — 3;2(8) X 1=5, X 2= ,10 ; (9) X 1~ 7.24 , X 2=— 3.24 ; (10) X 1=— 1, X 2=— 7. 55. (1) x 2 — 4ax + 4a 2 = a 2— 2a + 1, (x — 2a )2 = (a — 1)2,二 x — 2a =± (a — 1), 二 X 1 = 3a — 1, X 2= a +1.(2) x 2+ (5 — 2k ) x + k 2— 5k — 6= 0,2x + (5 — 2k ) x + (k + 1)( k — 6) = 0, :x — (k + 1)] :x — (k — 6)]= 0,•:X 1 = k + 1, X 2= ( k — 6).(3) x 2— 2m 才 m = 9m , (x —m 2=(3 m 2二 X 1 = 4 m, X 2=— 2m2⑷ x + (21)x +1) =0 ,(x + m [x + (计 1) ]= 0 ,--X 1 = — m X 2= — ir — 16. (x +4y )( x — y ) = 0 ,x =— 4y 或 x = yx — y = -4y _ y _ 5x y -4y y 37. (x 2 + y 2)( x 2+ y 2— 1) —12 = 0 , 2 2 2 2 2(x + y ) — (x + y ) — 12= 0 , (x 2 + y 2— 4)( x 2 + y 2+ 3) = 0 ,x2+ y2= 4 或x2+ y2=—3(舍去)8. X1=—36 , X2= 242 29. v x+3x+ 5 = 9, . x+ 3x= 4 ,.3x2+ 9x—2 = 3( x2+ 3x) —2 = 3 X 4—2 = 1010. 10=- 5( t —2)( t + 1),二t = 1(t = 0 舍去)11. (1) x i=—2, X2 = 2(2)( x2—2)( x2—5) = 0,(x+ , 2 )( x — .、2)(x+ ...5)(x—、. 5) = 0出师表两汉:诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程,其中a、b和c分别代表不为零的实数常数。

解一元二次方程的方法有多种,包括因式分解法、配方法、求根公式法等。

下面将逐一介绍这些解法。

一、因式分解法当一元二次方程的因式分解形式为(x + m)(x + n) = 0时,方程的解即为x = -m和x = -n。

通过因式分解法求解一元二次方程的具体步骤如下:1. 将方程移项,将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

2. 如果方程可以因式分解为两个一次式的乘积,即可直接得到方程的解。

3. 如果方程无法因式分解,可以通过配方法或求根公式等其他方法求解。

二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0,通过配方法将其变形为(a'x + p)(b'x + q) = 0的形式,从而得到方程的解。

具体步骤如下:1. 将方程移项,将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

2. 根据配方法的原则,首先将方程中二次项的系数a拆分为两个数m和n,使得a = m * n,并保证m + n等于一次项的系数b。

3. 将方程进行变形,得到(ax^2 + mx + nx + c = 0)。

4. 对方程进行因式分组,将前两项和后两项分组并提取公因式,得到((ax^2 + mx) + (nx + c) = 0)。

5. 分别对括号中的项进行因式分解,得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。

6. 化简方程,继续合并同类项,得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。

7. 根据方程(x(a + m) + (n + c) = 0),可得到方程的解。

三、求根公式法求根公式法是一种比较常用的解一元二次方程的方法,通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到方程的解。

求根公式法的具体步骤如下:1. 将方程移项,将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

一元二次次方程 因式分解法

一元二次次方程 因式分解法

一元二次次方程因式分解法一元二次方程因式分解法是解决一元二次方程的一种常用方法。

在这种方法中,我们将一元二次方程转化为一个或多个因式的乘积,从而得到方程的解。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0,其中a、b、c为实数且a≠0。

我们可以通过因式分解法将其转化为(a·x+m)·(n·x+p)=0的形式,其中m、n、p为实数。

我们需要找到一对数m和n,使得它们的和等于b/a,而它们的积等于c/a。

这个过程可以通过试错法或配方法来完成。

例如,对于方程x²+5x+6=0,我们可以将6分解为2×3或者1×6,然后找到一对数,使得它们的和等于5。

显然,这对数是2和3,因为2+3=5。

因此,我们可以将方程转化为(x+2)·(x+3)=0的形式。

接下来,我们需要解出方程中每个因式的根。

对于(a·x+m)·(n·x+p)=0的形式,我们可以得到x=-m/a和x=-p/n两个根。

因此,对于(x+2)·(x+3)=0的方程,我们可以得到x=-2和x=-3两个根。

我们需要检验解是否正确。

我们可以将每个根代入原方程中,看是否满足方程的等式。

例如,对于方程x²+5x+6=0,我们可以将x=-2代入原方程中,得到(-2)²+5(-2)+6=0,这个等式成立。

同样地,我们可以将x=-3代入原方程中,得到(-3)²+5(-3)+6=0,这个等式也成立。

因此,我们得到的解是正确的。

一元二次方程因式分解法是一种简单而有效的解方程的方法。

通过将方程转化为因式的乘积,我们可以更容易地求出方程的根,并且可以通过检验解的方法来验证解的正确性。

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

1.解下列方程
(1) x x 0
2
解 : x( x 1) 0. x1 0, x2 1.
(2) x 2 3x 0
2
解 : x( x 2 3) 0. x1 0, x2 2 3.
(4)4 x 2 121 0
(3)3x 6x 3
2
解 : x2 2x 1 0
2 2
解下列方程
6.(x 2) 2x 3 ;
2 2
5.5( x x) 3( x x);
5.x1 0; x2 4.
7.(x 2)x 3 12;
1 6.x1 5; x2 . 3
8.x 5 2 x 8 0.
2
7.x1 1, x2 6.
2
5.开平方,求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b2 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a


1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样想的 :
如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

变式
(y - 7)2 3y(y - 7)
(y - 7)2 3y(7 - y) 0
(y - 7)2 - 3y2 21y 0
我思我进步 ☞
用因式分解法解一元二次方程的的步骤:
1.化方程为一般形式. 2.将方程左边因式分解. 3.根据“两因式中至少有一个因式为零”
转化为两个一元一次方程. 4.分别解两个一元一次方程,得到的解
x1 3或x2 -3
探究
用两种方法解方程(每人挑战一题)
(1)x2 - 3x 0
(2)x 2 3x 10 0
回顾与复习
运用所学方法解下列一元二 次方程:
(1)x 2 9 0
(2)t2 4t 1
具有什么形式的一元二次方程 可以用因式分解法求解?
能够因式分解的多项式 = 0
特别注意
精确制导: 1、105页4题----7题(必做) 2、106页9题、10题(选作)
用因式分解法解下列一元二次方程: 1.4x2 9 2(. x - 3)2 - 4 0 3.5y2 7y 4.(3 x - 2) x(2 - x) 5.x2 - 5x 6 0
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=m 或(x+n)2=m (m≥0)
(2)配方法:式法:
x
b
b2 2a
4ac
.b 2
4ac
0
解一元二次方程的基本思路是什么?
回顾与复习
运用所学方法解下列一元二
次方程:
还有其它
解法吗?
就是原方程的解.
例学题习欣是件赏很愉快的事☞
你能用因式分解法解下列方程吗?
(1() x 1)2 - 25 0

解一元二次方程因式分解法

解一元二次方程因式分解法

2. 示例二:解方程 $2x^2+7x+3=0$。
所以方程的解为 $x_1=2, x_2=3$。
综合除法的实例分析
计算判别式 $Delta = 7^2
1
- 4 times 2 times 3 = 25
> 0$,方程有两个实根。
4
所以方程的解为 $x_1=-3, x_2=-frac{1}{2}$。
利用综合除法,将
步骤:将方程化为一般形式,计算判别式并 判断根的情况,根据求根公式写出方程的解

提公因式法
适用于各项含有公因式的一元二次方程,通过提取公 因式进行因式分解。
步骤:观察各项是否含有公因式,如有则提取公因式 ,将剩余部分化为两个一次式的乘积。
分组分解法
适用于可以通过分组进行因式分解的一元二次方程。
步骤:将方程的二次项和一次项分别进行分组,并尝试 进行因式分解,得到两个一次式的乘积。
3
将 $x_1 = -4$ 代入原方程,得 $(-4)^2 + 4 times (-4) + 3 = 0$,符合原方程,保留。
主元法的实例分析
将 $x_2 = 0$ 代入原方程,得 $0^2 + 4 times 0 + 3 = 3 neq 0$,不符合原方程,舍去。
因此,原方程的解为 $x = -4$。
换元法
01
适用于可以通过换元简化的一元 二次方程。
02
步骤:观察方程是否可以通过换 元简化,如可以则进行换元,将 原方程化为更易求解的新方程。
特殊值法
适用于一些特殊形式的一元二次方程,可以通过代入特殊值进行因式分解。
步骤:观察方程是否具有特殊形式,如具有则尝试代入特殊值(如1、-1、0等)进行因 式分解。

一元二次方程四大解法

一元二次方程四大解法

解一元二次方程有四种常见的方法,分别是:
1. 因式分解法:将一元二次方程进行因式分解,将方程化简为两个一次方程相乘的形式,然后解出方程的根。

例如,对于方程x^2 + 5x + 6 = 0,可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0,然后解出x 的值为-2 和-3。

2. 完全平方法:将一元二次方程表示成完全平方的形式,然后解方程。

例如,对于方程x^2 + 6x + 9 = 0,可以写成(x + 3)^2 = 0,然后解出x 的值为-3。

3. 公式法:利用求根公式解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c 是已知常数,而x 是未知数。

根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a),可以计算出方程的根。

需要注意的是,当判别式b^2 - 4ac 小于0 时,方程没有实数根。

4. 完全平方差法:将一元二次方程表示成两个平方数之差的形式,然后解方程。

例如,对于方程x^2 - 4x - 5 = 0,可以写成(x - 2)^2 - 9 = 0,然后解出x 的值为 2 ±3。

以上是解一元二次方程的四种常见方法。

根据具体的方程形式和求解需求,选择适合的方法进行求解。

希望以上信息对你有所帮助。

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因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
(1)移项 把方程的右边化为0;
(2)化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
(4)求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.
例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.
解:032=-x x
()03=-x x
∴0=x 或03=-x
∴3,021==x x .
例2. 用因式分解法解方程:()()01212
=---x x x . 解:()()0211=---x x x
()()()()0
11011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x
∴1,121-==x x .
例3. 解方程:121232-=-x x .
解:0121232=+-x x
()()0230
44322=-=+-x x x
∴221==x x .
例4. 解方程:332+=+x x x .
解:()0332=+-+x x x
()()()()0310
131=-+=+-+x x x x x
∴01=+x 或03=-x
∴3,121=-=x x .
因式分解法解高次方程
例5. 解方程:()()013122
2=---x x . 解:()()031122=---x x
()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x
∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x
∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .
例6. 解方程:()()034322
2=+-+x x . 解:()()043322=-++x x
()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x
∵032>+x
∴()()011=-+x x
∴01=+x 或01=-x
∴1,121=-=x x .
用十字相乘法分解因式解方程
对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.
例7. 解方程:0652=+-x x .
分析:()124256452
=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x
∴02=-x 或03=-x
∴3,221==x x .
例8. 解方程:03722=++x x .
分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.
解:()()0312=++x x
∴012=+x 或03=+x ∴2
11-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较
小根为b ,求b a -的值.
解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()012013101120130
1201320130
112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x ∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根
∴1=a
020*******=-+x x
()()020121=+-x x ∴01=-x 或02012=+x
∴2012,121-==x x
∵b 是该方程的较小根
∴2012-=b
∴()201320121=--=-b a . 习题1. 方程x x 22=的根是__________.
习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.
习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.
习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.
习题5. 如果()0
211+=--x x x ,那么x 的值为 【 】 (A )2或1- (B )0或1
(C )2 (D )1-
习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.
习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.
习题8. 解下列方程:
(1)()()x x x -=-2223; (2)()1232+=+x x ;
(3)()2
22344x x x -=+-; (4)2422-=-x x .
习题9. 解下列方程:
(1)0322=--x x ; (2)0452=+-x x .
习题10. 解方程:()()01122122
=++++x x .。

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