数列常见数列公式(很全)
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1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a +k}的形式求解。一般地，形如a =p a +q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a +k=p（a +k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k= ，从而得等比数列{a +k}。
例12、数列{a }满足a =1，a = a +1（n≥2），求数列{a }的通项公式。
例5．设数列 ： ，求 .
解：设 ，将 代入递推式，得
…（１）则 ,又 ，故 代入（１）得
说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之.
例6．已知 ， ，求 。
解：
。
类型3递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。
解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。
∴
令 则 ∴对于
∴
(4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有
令 则得 且 ≥2.
∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在.
于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在.
说明：形如: 递推式，考虑函数倒数关系有 令 则 可归为 型。(取倒数法)
（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列 满足
（I）证明：数列 是等比数列；
（II）求数列 的通项公式；
例16、数列 满足 =0，求数列{a }的通项公式。
分析：递推式 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列 。
解：由 得
∴
即
例22．已知数列 满足：对于 都有
（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求
（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？
解：作特征方程 变形得
特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵ 对于 都有
(2)∵
∴
令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，
当 ≤4， 时， .
(3)∵ ∴
例3. 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
类型2（1）递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
(2004全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）
数列
求数列 的通项公式.
解：由已知，得 ，其特征方程为 ，解之，得
，
，
。 P26 (styyj)
例21、已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式.
解: 数列 的特征方程为 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴
2.等比数列的通项公式: ，
3．｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0） “ ≠0”是数列｛ ｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）.
6．性质：若m+n=p+q，
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
例10. 已知数列 前n项和 .
（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .
解：（1）由 得：
于是
所以 .
（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以 得：
由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例11. 已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， , ，求 , .
P24（styyj）
例4. 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
（2）．由 和 确定的递推数列 的通项可如下求得：
由已知递推式有 ， ， ， 依次向前代入，得
，
简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
（3）递推式： 解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异．
当 <0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值
（2）利用 ：由 二次函数配方法求得最值时n的值
等比数列
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0）
解：由 得
设a ，比较系数得 解得
∴{ }是以 为公比，以 为首项的等比数列
∴
例14．已知数列 满足 ，且 ，求 ．
解：设 ，则 ，
是以 为首项,以3为公比的等比数列
点评：求递推式形如 （p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；P25（styyj）
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得：
引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型3的方法解决。
例8. 已知数列 中， , ，求 。
解：在 两边乘以 得：
解：因
所以
即 …………………………………………（1）
又因为
所以 ……
.即 ………………………（2）
由（1）、（2）得： ，
四、待定系数法（构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
∴
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 求解。
例2．已知数列 的前 项和 满足 ．求数列 的通项公式。
解：由
当 时，有
……，
经验证 也满足上式，所以
点评：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
即 或
这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ,应用类型1的方法，分别令 ，代入上式得 个等式累加之，
即
又 ，所以 。
类型6递推公式为 与 的关系式。(或 )
解法：利用 进行求解。
(2006.陕西.20)(本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项anP24（styyj）
例15．已知数列 满足 ， ，求 ．
解：将 两边同除 ，得
设 ，则 ．令
．条件可化成 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． ．因 ,
．ຫໍສະໝຸດ Baidu
点评：递推式为 （p、q为常数）时，可同除 ，得
，令 从而化归为 （p、q为常数）型．
2、通过分解系数，可转化为特殊数列 的形式求解。这种方法适用于 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列 ：设 ，比较系数得 ，可解得 。
例20：已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由 ，得
，
且 。
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是
。把 代入，得
，
，
，
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。
,
。
又由 ，于是
故
3、如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。
令 ，则 ,应用例7解法得： 所以
类型5递推公式为 （其中p，q均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为
其中s，t满足 ，再应用前面类型3的方法求解。
（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）
已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；P26（styyj）
例9. 已知数列 中， , , ，求 。
解：由 可转化为
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列 中, ,其中 ……，求数列 的通项公式。P24（styyj）
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， ．求数列 的通项公式.
解：设数列 公差为
∵ 成等比数列，∴ ，
即
∵ ，∴ ………………………………①
∵ ∴ …………②
由①②得： ，
① d= － ② d= ③ d=
4．等差中项： 成等差数列
5．等差数列的性质：m+n=p+q (m, n, p, q∈N )
等差数列前n项和公式
6.等差数列的前 项和公式
（1） （2） （3） ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）利用 ：当 >0，d<0，前n项和有最大值可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值
即 ，且
∴ 是以2为公比，3为首项的等比数列
∴
利用逐差法可得
=
=
=
=
∴
例17、数列 中， ，求数列 的通项公式。
解：由 得 设
比较系数得 ，解得 或
若取 ，则有
∴ 是以 为公比，以 为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
= =
说明：若本题中取 ，则有 即得
为常数列,
故可转化为例13。
例18．已知数列 满足 , , 求 ．
(2006.重庆.14）在数列 中，若 ，则该数列的通项 P24（styyj）
例7.已知数列 中， ， ，求 .
解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 .
类型4递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数）
例19．已知数列 满足： 求
解：作方程
当 时，
数列 是以 为公比的等比数列.于是
2、对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
解：由a = a +1（n≥2）得a －2= （a －2），而a －2=1－2=－1，
∴数列{a －2}是以 为公比，－1为首项的等比数列
∴a －2=－（ ） ∴a =2－（ ）
说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a －2}，从而达到解决问题的目的。
例13、数列{a }满足a =1， ,求数列{a }的通项公式。
例23：
解：取倒数：
是等差数列，
六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
常见数列公式
等差数列
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 － =d ，（n≥2，n∈N ），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
或 =pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
解：设
或
则条件可以化为 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得 ．
点评：递推式为 （p、q为常数）时，可以设 ，其待定常数s、t由 , 求出，从而化归为上述已知题型．
五、特征根法
1、设已知数列 的项满足 ,其中 求这个数列的通项公式。作出一个方程 则当 时， 为常数列，即 ，其中 是以 为公比的等比数列，即 .
8．等比数列的增减性：
当q>1, >0或0<q<1, <0时, { }是递增数列;
当q>1, <0,或0<q<1, >0时, { }是递减数列;
当q=1时, { }是常数列;
当q<0时, { }是摆动数列;
等比数列前n项和
等比数列的前n项和公式：
∴当 时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知 , q, n 时用公式①；当已知 , q, 时，用公式②.
例12、数列{a }满足a =1，a = a +1（n≥2），求数列{a }的通项公式。
例5．设数列 ： ，求 .
解：设 ，将 代入递推式，得
…（１）则 ,又 ，故 代入（１）得
说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之.
例6．已知 ， ，求 。
解：
。
类型3递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。
解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。
∴
令 则 ∴对于
∴
(4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有
令 则得 且 ≥2.
∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在.
于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在.
说明：形如: 递推式，考虑函数倒数关系有 令 则 可归为 型。(取倒数法)
（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列 满足
（I）证明：数列 是等比数列；
（II）求数列 的通项公式；
例16、数列 满足 =0，求数列{a }的通项公式。
分析：递推式 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列 。
解：由 得
∴
即
例22．已知数列 满足：对于 都有
（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求
（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？
解：作特征方程 变形得
特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵ 对于 都有
(2)∵
∴
令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，
当 ≤4， 时， .
(3)∵ ∴
例3. 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
类型2（1）递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
(2004全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）
数列
求数列 的通项公式.
解：由已知，得 ，其特征方程为 ，解之，得
，
，
。 P26 (styyj)
例21、已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式.
解: 数列 的特征方程为 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴
2.等比数列的通项公式: ，
3．｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0） “ ≠0”是数列｛ ｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号）.
6．性质：若m+n=p+q，
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
例10. 已知数列 前n项和 .
（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .
解：（1）由 得：
于是
所以 .
（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以 得：
由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例11. 已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， , ，求 , .
P24（styyj）
例4. 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
（2）．由 和 确定的递推数列 的通项可如下求得：
由已知递推式有 ， ， ， 依次向前代入，得
，
简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
（3）递推式： 解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异．
当 <0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值
（2）利用 ：由 二次函数配方法求得最值时n的值
等比数列
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0）
解：由 得
设a ，比较系数得 解得
∴{ }是以 为公比，以 为首项的等比数列
∴
例14．已知数列 满足 ，且 ，求 ．
解：设 ，则 ，
是以 为首项,以3为公比的等比数列
点评：求递推式形如 （p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；P25（styyj）
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得：
引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型3的方法解决。
例8. 已知数列 中， , ，求 。
解：在 两边乘以 得：
解：因
所以
即 …………………………………………（1）
又因为
所以 ……
.即 ………………………（2）
由（1）、（2）得： ，
四、待定系数法（构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
∴
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 求解。
例2．已知数列 的前 项和 满足 ．求数列 的通项公式。
解：由
当 时，有
……，
经验证 也满足上式，所以
点评：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
即 或
这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ,应用类型1的方法，分别令 ，代入上式得 个等式累加之，
即
又 ，所以 。
类型6递推公式为 与 的关系式。(或 )
解法：利用 进行求解。
(2006.陕西.20)(本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项anP24（styyj）
例15．已知数列 满足 ， ，求 ．
解：将 两边同除 ，得
设 ，则 ．令
．条件可化成 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． ．因 ,
．ຫໍສະໝຸດ Baidu
点评：递推式为 （p、q为常数）时，可同除 ，得
，令 从而化归为 （p、q为常数）型．
2、通过分解系数，可转化为特殊数列 的形式求解。这种方法适用于 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列 ：设 ，比较系数得 ，可解得 。
例20：已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由 ，得
，
且 。
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是
。把 代入，得
，
，
，
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。
,
。
又由 ，于是
故
3、如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。
令 ，则 ,应用例7解法得： 所以
类型5递推公式为 （其中p，q均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为
其中s，t满足 ，再应用前面类型3的方法求解。
（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）
已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；P26（styyj）
例9. 已知数列 中， , , ，求 。
解：由 可转化为
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列 中, ,其中 ……，求数列 的通项公式。P24（styyj）
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， ．求数列 的通项公式.
解：设数列 公差为
∵ 成等比数列，∴ ，
即
∵ ，∴ ………………………………①
∵ ∴ …………②
由①②得： ，
① d= － ② d= ③ d=
4．等差中项： 成等差数列
5．等差数列的性质：m+n=p+q (m, n, p, q∈N )
等差数列前n项和公式
6.等差数列的前 项和公式
（1） （2） （3） ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）利用 ：当 >0，d<0，前n项和有最大值可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值
即 ，且
∴ 是以2为公比，3为首项的等比数列
∴
利用逐差法可得
=
=
=
=
∴
例17、数列 中， ，求数列 的通项公式。
解：由 得 设
比较系数得 ，解得 或
若取 ，则有
∴ 是以 为公比，以 为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
= =
说明：若本题中取 ，则有 即得
为常数列,
故可转化为例13。
例18．已知数列 满足 , , 求 ．
(2006.重庆.14）在数列 中，若 ，则该数列的通项 P24（styyj）
例7.已知数列 中， ， ，求 .
解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 .
类型4递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数）
例19．已知数列 满足： 求
解：作方程
当 时，
数列 是以 为公比的等比数列.于是
2、对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
解：由a = a +1（n≥2）得a －2= （a －2），而a －2=1－2=－1，
∴数列{a －2}是以 为公比，－1为首项的等比数列
∴a －2=－（ ） ∴a =2－（ ）
说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a －2}，从而达到解决问题的目的。
例13、数列{a }满足a =1， ,求数列{a }的通项公式。
例23：
解：取倒数：
是等差数列，
六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
常见数列公式
等差数列
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 － =d ，（n≥2，n∈N ），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
或 =pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
解：设
或
则条件可以化为 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得 ．
点评：递推式为 （p、q为常数）时，可以设 ，其待定常数s、t由 , 求出，从而化归为上述已知题型．
五、特征根法
1、设已知数列 的项满足 ,其中 求这个数列的通项公式。作出一个方程 则当 时， 为常数列，即 ，其中 是以 为公比的等比数列，即 .
8．等比数列的增减性：
当q>1, >0或0<q<1, <0时, { }是递增数列;
当q>1, <0,或0<q<1, >0时, { }是递减数列;
当q=1时, { }是常数列;
当q<0时, { }是摆动数列;
等比数列前n项和
等比数列的前n项和公式：
∴当 时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知 , q, n 时用公式①；当已知 , q, 时，用公式②.