高一数学-函数的基本性质 (2)

1．3函数的基本性质-----奇偶性

（一）教学目标

1．知识与技能：

使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.

2．过程与方法：

通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.

3．情感、态度与价值观：

通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.

（二）教学重点与难点

重点：函数的奇偶性的概念；难点：函数奇偶性的判断.

（三）教学方法

应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.

（四）教学过程

一．复习与回顾

1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？

2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象.

3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，

x =±1

，…的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪

2

现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (–x) = –f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.

二．新课讲授

1、奇函数、偶函数的定义：

奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (–x) = –f (x)，

则这个函数叫奇函数.

偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (–x) = g (x)，

则这个函数叫做偶函数.

问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？

强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .

问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？

奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.

问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：

（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？

点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.

（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否

判断它的奇偶性？

2、奇函数与偶函数图象的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

3、举例分析

例1 判断下列函数的奇偶性；

（1）f(x) = x + x3+x5；（奇）（2）f(x) = x2 +1；（偶）

（3）f (x) = x + 1；（非奇非偶）（4）f (x) = x2，x∈[–1，3]；（非奇非偶）

（5）f (x) = 0.（既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称）.

归纳：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：

第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f(–x) = f(x)还是判断f (–x) = –f (x).

（2）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：

是奇函数但不是偶函数；

是偶函数但不是奇函数；

既是奇函数又是偶函数；

既不是奇函数也不是偶函数.

学生练习：

1、判断下列函数的是否具有奇偶性：

(1) f (x ) = x + x 3； （奇） (2) f (x ) = – x 2；（偶） (3) h (x ) = x 3 +1； （非奇非偶）

(4) k (x ) =

21

1

x +，x [–1，2]； （非奇非偶） (5) f (x ) = (x + 1) (x

– 1)；（偶）

(6) g (x ) = x (x + 1)； （非奇非偶） (7) h (x ) = x

； （奇 ） (8)

k (x ) =

21

1

x -.（偶） 2、判断下列论断是否正确：

（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；（错）

（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称，（对） （3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（错） （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数. （对） 3、如果f (0) = a ≠0，函数f (x )可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？

（不能

为奇函数但可以是偶函数）

4、如果函数f (x )、g (x )为定义域相同的偶函数，试问F (x ) =f (x ) + g (x )是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？ （偶函数）

5、如图，给出了奇函数y = f (x )的局部图象，求f (– 4).