函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
1、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
2、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
3、)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。
4、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称.推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.5、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: y f (x),
x a,b,T b a 。把 y f (x)沿x轴平移KT K(b a) 个单位即按向量
a (kT,0)平移，即得y f (x) 在其他周期的图像：
y f (x kT), x kT a, kT b。
y＝f(*＋a)为奇函数，则 f(－*＋a)＝－f(a＋*)
〔3〕y＝f(*＋a)为偶〔或奇〕函数，等价于单层函数 y＝f(*)关于直线*＝
a 轴对称〔或关于点〔a，0〕中心对称〕
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3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(b－*)关于直线*＝〔b－a〕/2 轴对称 性质 4、复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(b－*)关于点〔〔b－a〕/2，0〕中 心对称 推论 1、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(a－*)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(a－*)关于原点中心对称 4、函数的周期性 假设 a 是非零常数，假设对于函数 y＝f(*)定义域内的任一变量*点有以下 条件之一成立，则函数 y＝f(*)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。 ①f(*＋a)＝f(*－a) ②f(*＋a)＝－f(*) ③f(*＋a)＝1/f(*) ④f(*＋a)＝－1/f(*) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 假设函数 y＝f(*)同时关于直线*＝a 与*＝b 轴对称，则函数 f(*)必 为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 6、假设函数 y＝f(*)同时关于点〔a，0〕与点〔b，0〕中心对称，则 函数 f(*)必为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 7、假设函数 y＝f(*)既关于点〔a，0〕中心对称，又关于直线*＝b 轴 对称，则函数 f(*)必为周期函数，且 T＝4|a－b|
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
高中数学-函数周期性奇偶性对称性
课题:函数的周期性、奇偶性、对称性规律总结一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
()()()()012...516f f f f ++++× ()()()()()01234f f f f f +++++， 01633=×+=，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（ ） A ．2023− B ．0 C ．2 D ．2023【答案】B【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)−+=+f x f x ，所以(2)()f x f x −+=， 因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x −+=−+， 所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数，由(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，得(2)(2)f f =−，则(2)0f =， 又(1)(2)2f f +=，得(1)2f =， 由(2)(2)f x f x −+=−+，令1x =，得(1)(3)f f =−，则(3)2f =−， 由(2)()f x f x +=−，令2x =，得(4)(2)0f f =−=， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++×+++=×++−=∑. 故选：B ．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x +关于点()2,0成中心对称，则函数()f x 的一条对称轴为（ ） A ．2023x = B ．2022x =C ．2021x =D ．2020x =【答案】C【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x +=−+，所以()f x 关于1x =对称，即()()2f x f x =−，因为()1f x +关于点()2,0成中心对称，且()f x 向左平移1个单位长度之后得到()1f x +， 所以()f x 关于()3,0对称，所以()()60f x f x +−=， 因为()()2f x f x =−，()()60f x f x +−=， 所以()()62f x f x −−=−，故()()()48f x f x f x =−+=+，故()f x 的周期为8， 因为()f x 关于1x =对称，关于()3,0对称，所以()f x 关于5x =对称，由图象可知，()y f x =与|lg |y x =有10个交点， 所以方程()lg f x x =有10个根. 故答案为：10。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全1.函数的奇偶性在介绍函数的奇偶性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，常用的函数表示方法是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数关于y轴对称。
例如，y=x^3就是一个奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
例如，y=x^2就是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，它们被称为非奇非偶函数。
例如，y=x是一个非奇非偶函数，因为f(-x)=-x=-f(x)不成立，f(-x)也不等于f(x)。
2.函数的对称性函数的对称性是指函数图像在其中一种变换下保持不变。
常见的对称性有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称是指函数图像关于y轴对称，即对于任意的x，f(-x)=f(x)。
这时函数的奇偶性可以被判断出来，如果f(-x)=f(x)，则函数是一个偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是一个奇函数。
关于x轴对称是指函数图像关于x轴对称，即对于任意的x，f(x)=f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
关于原点对称是指函数图像关于原点对称，即对于任意的x，f(x)=-f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
3.函数的周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，对于任意的x，f(x+T)=f(x)成立。
换句话说，函数的值在周期T内不发生变化。
周期函数的最小正周期被称为函数的周期。
周期函数是一类特殊的函数，它在一些范围内不断重复。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数是否具有周期性。
如果函数的图像在一个范围内不断重复，则函数是一个周期函数；如果函数的图像没有重复的部分，则函数是一个非周期函数。
函数的奇偶性、周期性、对称性
【知识梳理】 一、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义：函数 f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 x 都满足
① f (x) f (x) 函数 f (x) 为偶函数；
② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数 f (x) 为奇函数. 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，
②函数 y f (x) 的图像关于点 (a,0) 对称 f (x) f (2ax) f (a x) f (a x) .
③函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ，则 y f (x) 的图像关于直线 x ba 对称. 2
④若函数 y f (x) 对定义域中任意 x 均有 f (a x) f (b x) c 0 ，则函 b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递增（减）；
③偶 函数 在 关于 原 点 对称 的 区间 上 若有 单 调 性， 则 其单 调 性恰 恰 相反 .即 偶函 数 f (x) 在 区间
[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递减（增）；
( a b , c ) 成中心对称图形. 22
5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直 线均为它的对称轴. ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直 线均为它的对称轴.
④ 任 意 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 都 可 以 唯 一 地 表 示 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 的 和 . 即
抽象函数奇偶性对称性周期性总结 知识点
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性
函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性第一部分 函数的奇偶性一、奇偶函数的定义 偶函数 奇函数定义 设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数 图象特征 关于y 轴对称 关于原点对称一、函数的奇偶性常用结论1、奇(偶)函数定义的等价形式①f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数； ②f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数. 2、如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的奇偶性常见题型（一）函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x； (2)f (x )＝x 2－1 ＋1－x 2 ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0.跟踪练习1、下列函数中为偶函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝1x 2 D ．f (x )＝x ＋1x2、函数f (x )＝1x －x 的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称3、已知函数f (x )＝x ·|x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(－∞，0)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(0，＋∞)4、设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋15、设函数f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )A ．y ＝－|f (x )|B ．y ＝xf (x 2)C ．y ＝－f (－x )D ．y ＝f (x )＋f (－x )6、已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数7、已知定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，则() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )－1是偶函数D ．f (x )－1是奇函数8、(多选)下列函数是奇函数的是( )A ．y ＝2x 2－3B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0，1]D ．y ＝x9、(多选)下列说法中正确的是( )A ．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴对称的函数是偶函数C ．函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数D ．若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝010、(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x11、(多选)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的有( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数12、(多选)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )13、(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x )与f (x ＋1)都为奇函数，则( )A ．f (x －1)为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋2)为偶函数14、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；15、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1； (2)f (x )＝x 2－x 3；(3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|；(4)f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R).16、(1)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数；(2)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证：f (x )为偶函数；(3)设函数f (x )定义在(－l ，l )上，证明：f (x )＋f (－x )是偶函数，f (x )－f (－x )是奇函数．17、已知f (x )是定义在R 上的函数，设g (x )＝f （x ）＋f （－x ）2，h (x )＝f （x ）－f （－x ）2. (1)试判断g (x )与h (x )的奇偶性；(2)试判断g (x )，h (x )与f (x )的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？（二）根据奇偶性求函数值例2(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，求f (－2)的值.跟踪练习1、(2022·青岛模拟)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－262、如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图像，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A.－2 B ．2 C ．1 D ．03、已知f (x )为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．54、已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2019)＝k ，则f (－2019)＝( )A ．kB ．－kC ．1－kD ．2－k5、已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．36、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝3 ，则f (10)＝________．7、已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．8、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 9、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________．10、已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (1)的值是________．11、若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．（三）根据奇偶性求函数的解析式例3(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x －2)，则当x ＜0时，求f (x )的表达式.(2)已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，求f (x )的表达式跟踪练习1、(2022·广东模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________．2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝_______.3、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，f (x )＝_______.4、已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图像．5、已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0，2]上的最小值为g (m )．求函数g (m )的解析式；6、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．7、已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；(3)解关于实数t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0.（四）函数奇偶性的应用例4已知定义在(－1，1)上的函数f (x )＝x x 2＋1. (1)试判断f (x )的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；(2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.跟踪练习1、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )有3个单调区间B ．当x >0时，f (x )＝x (x －1)C ．函数f (x )有最小值14D ．不等式f (x )<0的解集是(－1，1)2、已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112 的大小关系为( )A ．f (4)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112B ．f (－1)<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫112 C ．f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4)<f (－1) D ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4) 3、定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 4、若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( )A ．f (x )·f (－x )>0B ．f (x )·f (－x )<0C ．f (x )<f (－x )D ．f (x )>f (－x )5、(2022·白银模拟)已知f (x )＝a x －2x (a ≠2)为奇函数，则“m <－12”是“f (m )>0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)7、如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( )A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－58、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．29、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)10、设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}11、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足在[0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，则关于x 的不等式f (x ＋2)＋f (－x －2)x>0的解集为( ) A ．(－5，－2)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－5)∪(0,1)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－5,0)∪(1，＋∞)12、设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)13、(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( )A ．f (－1.1)＝0.9B ．函数f (x )为奇函数C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1D ．函数f (x )的值域为[0,1)14、(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－715、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________． 16、已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.17、若函已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝________18、单调递减区间是_______．数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________． 19、已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．20、若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________．21、已知实数a ，b 满足(a －1)5＋(b －3)5＝2 020(1－a )3＋2 020(3－b )3，则a ＋b ＝________．22、函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________．23、(2022·福建质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )在(0,2)上单调递减；③f (x )满足f (x )＝f (4－x )；其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．24、设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．25、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．26、设函数f (x )＝x 2－2|x －a |＋3，x ∈R .(1)王鹏同学认为，无论a 取何值，f (x )都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f (x )是偶函数，求a 的值；(3)在(2)的情况下，画出y ＝f (x )的图象并指出其单调递增区间．第二部分 函数的周期性一、函数周期的定义(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数．非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．二、函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0). 三、函数周期性的应用例1定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)等于( )A ．336B ．338C ．337D ．339跟踪练习1、(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( )A ．－94B ．－14 C.14 D.942、在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1， 其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.53、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x ).若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)4、(2022·宿州市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A ．⎝⎛⎦⎤1，32 B ．⎣⎡⎦⎤32，52 C ．⎣⎡⎭⎫32，3 D ．[2，3)5、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 025)＝( )A ．－3B ．0C ．1D ．36、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (2＋x )＋f (x )＝0，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝－x 2－2x ，则当x ∈[4，6]时，y ＝f (x )的最小值为( )A ．－8B ．－1C ．0D ．17、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－48、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32 ，f (－1)＝1，f (0)＝－2，且f ⎝⎛⎭⎫x －34 为奇函数，则下列说法错误的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )是周期为3的周期函数D ．f (0)＋f (1)＋…＋f (2 021)＝010、函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋4)，若f (2)＝3，则f (2 022)＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．2 02211、已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为812、函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________.13、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________. 14、函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (2 021)＋f (2 022)＝________.15、已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．16、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－6)＝0，则f (2 022)＝________．17、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 026)＝_______．18、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．19、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．第三部分 函数的对称性一、函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3) f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．二、函数对称性的应用例已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.跟踪练习1、(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 2、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－43、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．24、(多选)(2022·湖北新高考9＋N 联盟模拟)已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为85、(2022·承德模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称C ．f (x )的周期为4D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数6、已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( )A ．f (x )是周期函数且周期为4B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点7、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝________.8、已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______.9、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝______.10、已知函数f (x )满足：①f (0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f (1＋x )＝f (1－x )．请写出一个满足以上条件的f (x )＝_______．11、已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.12、函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＝________．13、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________．。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
函数单调性、奇偶性、周期性常用结论
1.函数图象的变换1平移变换（1）水平平移：函数()y f x a =+图象是由()y f x =沿x 轴左右平移a 个单位得到（2）垂直平移：函数()y f x a =+图象是由()y f x =沿y 轴上下平移a 个单位得到2翻折变换（1）函数()y f x =的图象是由函数()y f x =图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分得到（2）函数()y f x =的图象是由函数函数()y f x =图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =的右边部分得到3对称变换（1）函数()y f x =−的图象是由()y f x =图象关于y 轴对称得到（2）函数()y f x =−的图象是由()y f x =图象关于x 轴对称得到（3）函数()y f x =−−的图象是由()y f x =图象关于原点中心对称得到（4）函数(2)y f m x =−的图象是由函数()y f x =图象关于直线x m =对称得到（5）函数2()y n f x =−的图象是由函数()y f x =图象关于直线y n =对称得到（6）函数2(2)y n f m x =−−的图象是由函数()y f x =图象关于点(,)m n 对称得到2.函数对称性：关于y 轴对称：()()f x f x −=关于原点对称：()()f x f x −=−关于直线x m =对称：()()f m x f m x +=−或()(2)f x f m x =−关于点(,)m n 对称：()()2f m x f m x n ++−=或()(2)2f x f m x n +−=3复合函数：设()y f u =的定义域为D , ()u g x =值域为R , DR ≠∅，则y 通过u 构成x 的函数， 称为复合函数记作[()]y f g x =，其中x 为自变量，y 为因变量，u 为中间变量, ()g x 称为内层函数，()f x 称为外层函数。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
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函数奇偶性、对称性与周期性
奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2
(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称
3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2
a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称
（三）函数的周期性
1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T
2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -
=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)
(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=
10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=
11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=
12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=
13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 2=。
二、例题讲授
例题1
（1）已知)(x f y =是定义在实数集R 上奇函数，0<x 时，12)(+=x x f ，求)(x f y =的解析式。
（2）已知)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，1<x 时，12)(+=x x f ，求)(x f y =的解析式。
（3）已知奇函数)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，02<<-x 时，12)(+=x x f ，求)18(log 2f
（4）已知)(x f y =满足0)1()1(=-++x f x f ，1<x 时，12)(+=x x f ，求)(x f y =的解析式。
例题2
（1）已知2sin )(++=x b ax x f ，1)2(=f 求)2(-f
（2）已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在[]4,0上只
有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]10,8-中的根．
（3）已知1
22)(+=x x
x f ，求)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值 例题3
（１）设函数)(x f y =的定义域为R ，若)(x f y =的图象关于1=x 对称，则函数满足
A 、)1()(x f x f +=
B 、0)2()(=-+x f x f
C 、)1()1(x f x f -=-
D 、)1()1(x f x f -=+
（２）函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称
（３）函数)1(+=x f y 和函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称
（４）设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于
__________对称。
)2(x f y =的图象关于__________对称。
（５）设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。
例题５
2、设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0,2
1]，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2)，且f(1)=a>0。
（1）求f(21)及f(4
1) （2）证明f(x)是周期函数
（3）记a n =f(2n+n
21),求证：a n =a n 21
三、自我检测
1、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)
D.f(4)＜f(2)＜f(1) 3、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是
A.增函数且最小值为－5
B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5
D.减函数且最大值为－5
4、F(x)＝[1＋1
22-x ]f(x)，(x ≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x) 5、A.是奇函数 B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
6、设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1，f(x)＝x ，则f(7.5)＝()
A.0.5
B.－0.5
C.1.5
D.－1.5
7、设f(x)是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+3)=0，且
当－1<x ≤1时，f(x)=2x －3，求当2<x ≤4时，f(x)的解析式。
8、定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间
提示： ===)4
()2()(42x f x f x f ， f(21)=f(n ·n 21)=f[n 21+(n －1)·n 21]=f(n 21)·f[(n －1)·。