高中数学论文应用三角形的面积巧解竞赛题

应用三角形的面积巧解竞赛题

三角形是几何中最基本的多边形。在求其它多边形问题时，经常把多边形问题化归成三角形

问题来求解。特别是三角形的面积，在解题中更是应用广泛。下面就举例说明。 一、知识点回顾： 三角形的面积公式：

三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。 性质：

1、等底同高的两个三角形，面积相等。

2、同底等高的两个三角形，面积相等。

3、等底等高的两个三角形，面积相等。

请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。 二、应用举例

例1、如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩

形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2

，

则四边形PFCG 的面积为_________cm 2

．08年浙江省初中数学竞赛初赛试题

解法1、如图2所示，连接EH 、HG 、GF 、FE ，

在矩形ABCD 中，

因为，DH=BF ，BE=DG ，∠B=∠D ， 所以，△BEF ≌△DGH ， 所以，EF=GH ，

同理可证，△AEH ≌△CFG ， 所以，EH=GF ，

所以，四边形EFGH 是平行四边形， 因为，

S △AEH =

21×AE ×AH=21

×2×3=3= S △CFG ， S △DGH =21×DH ×GH=2

1

×4×1=2 =S △DGH ，

所以, S 四边形EFGH =24-2(3+2)=14,

所以，S △EPH + S △PGF =7，

因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2

， 所以，S △EPH =2， 所以，S △PGF =5，

所以，S △PGF + S △CFG =5+3=8，

即四边形PFCG 的面积为8cm 2

。

解法2、如图3所示，连接PA 、PC ，

过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ， 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形， 设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ，

因为，

S △PAH =

21×PM ×AH=21

×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2

3

y ，

因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2

， 所以,x+2

3

y=5， S △PFC =

21×FC ×PN=21

×2×(4-x)= 4-x ， S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2

3

y ，

因为，四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2

3

y =13-（x+

2

3

y ）=13-5=8， 即四边形PFCG 的面积为8cm 2

。

解法2、如图3所示，连接PA 、PC ，

过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ， 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形， 设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ，

因为，

S △PAH =

21×PM ×AH=21

×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2

3

y ，

因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2

，

所以,x+2

3

y=5， S △PFC =

21×FC ×PN=21

×2×(4-x)= 4-x ， S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2

3

y ，

因为，四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2

3

y =13-（x+

2

3

y ）=13-5=8， 即四边形PFCG 的面积为8cm 2

。

例2、如图5，点A 在平行四边形BCDE 的对角线上，试判断12S S ，之间的大小关系（ ） A ．12S S = B ．12S S > C ．12S S < D ．无法确定 （08年广东省初中数学竞赛初赛试题）

解析：

如图6所示，连接EC ，与BD 的交点设为G ，

过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ， 因为，四边形BCDE 是平行四边形， 所以，△BED ≌△DCB ， 所以，S △BED =S △DCB ，

因为，四边形BCDE 是平行四边形， 所以，EG=CG ，

因为，∠EFG=∠CHG=90°,∠EGF=∠CGH 所以，△EFG ≌△CHG ， 所以，EF=CH ，

因为，三角形AED 和三角形ACD 有相同的底AD ，并且有相等的高， 所以，S △EAD =S △CAD ，

所以，S △BED - S △EAD = S △DCB -S △CAD ， 即S 1=S 2，所以，选择A 。

例3如图7所示，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（ ）（08年广东省初中数学竞赛初赛试题） A ．

75 B ．125 C ．135 D ．145

解析：

如图8所示，连接PO ，

因为，四边形ABCD 是矩形，

所以，S △AOD =

41

×3×4=3,AO=DO, 因为，S △PAO =21

×AO ×PE ，

S △POD =2

1

×DO ×PF ，

S △AOD = S △POD + S △PAO =21×AO ×PE+21×DO ×PF=2

1

×DO ×（PF+PE ），

所以，2

1

×DO ×（PF+PE ）=3，

因为，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4， 所以，BD=5，因此，DO=2

5, 所以，PF+PE=

5

12， 因此，选择B 。

例4、如图9所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则（ ）

A ．S=2

B ．S=2.4

C ．S=4

D ．S 与B

E 长度有关 （08年广东省初中数学竞赛初赛试题）