考点1 等差数列的判定与证明

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等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

等差数列的判定与证明-通项公式法

2－1.已知数列{an}为等差数列，且 a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. 求数列{an}的通项公式．解：由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，即a2＝4， ∴d＝a2－a1＝2，∴an＝2n.
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2，解得 n＝6. 解：(1)由 7＝－3＋n－1·

a1＋4d＝11 (2) 由等差数列的通项公式及已知得 a1＋7d＝5 a1＝19 d＝－2
，解得
，所以 an＝19＋(n－1)(－2)，即 an＝－2n＋21.

则 ap＋q＝____. 0
求等差数列的通项公式例 2：在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．
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思维突破：给出等差数列的两项，可转化为关于a1 与d 的方程组，求得a1 与d，从而求得通项公式．
解法一：由 an＝a1＋(n－1)d 得
10＝a1＋4d 31＝a1＋11d a1＝－2 ，解得 d＝3
等差数列的判定与证明-通项公式法
ab A 2
a1＋(n－1)d
na1
n( n 1) d 2
n(a1 a2 ) 2
难点
等差数列常见的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)； (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数 a、b、c 成等差
a＋c 数列，一式为 an＝3n－5. 解法二：由 an＝am＋(n－m)d 得 a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3. ∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5. ∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
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求等差数列的通项公式①确定首项a1 和公差d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方程求得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．

等差数列的判定方法

判断一个数列为等差数列的方法一．定义法1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d（1）R d ∈（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n例1 在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知nn n a a 221+=+得1122222111+=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ，又111==a b∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。

例2 存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．【解析】不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！二．等差中项法定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 推广2：若数列{}n a 为等差数列，2nm +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是λd若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。

等差数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)

等差数列及其前n 项和一、知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 小结：1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A.31B.32C.33D.34解析由已知可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案 B3.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.12解析设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( )A.－3B.－52C.－2D.－4 解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4.答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析在等差数列{a n }中，∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0， ∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5.答案 S 5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8 (2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A.9B.10C.11D.15 解析 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4.法二等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.答案 (1)C (2)B【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于()A.3B.4C.log 318D.log 324(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. 答案 (1)A (2)30考点二等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎨⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23. ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A.6B.12C.24D.48 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.27 解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.1914C.3929D.43 解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质，∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8.∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A考点四等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2).所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2n λ.(2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n 100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n ＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 规律方法求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( ) A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎨⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S n n ＝na 1＋n （n －1）2d n ＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4. (2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110三、课后练习1.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269.答案 B2.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( )A.154B.158C.237D.3 解析由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A3.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 1304.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81， ∴⎩⎨⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎨⎧a 7＝13，a 5＝9，∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2， ∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.。

高考研究一等差数列的考点求项求和及判定课件(1)

列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则SS45－－SS23的值为 (
)
A．－2
B．－3
C．2
D．3
解析：设{an}的公差为 d，因为 a1，a3，a4 成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，可得 a1＝－4d，
所以SS45－－SS23＝aa34＋＋aa45＝－－3dd＝3. 答案：D
返回 [解析] (1)由 a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝32，得 4a8＝32，即 a8＝8，m＝8. (2)因为{an}，{bn}为等差数列，且TSnn＝3n2＋n 2，
13a1＋a13 所以ab77＝22ba77＝ab11＋＋ab1133＝13b12＋b13＝TS1133＝3×2×131＋3 2＝4216.
＋a4＝60，那么 a7＋a8＝
()
A．95
B．100
C．135
D．80
解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7
＋a8 构成新的等差数列，于是 a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋
a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.
答案：B
返回 2．(2018·广州模拟)已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
[解析] 法一：用“函数法”解题由 S3＝S11，可得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，即 d＝－123a1.从而 Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－1a31(n－7)2＋4193a1，因为 a1>0，所以－1a31<0. 故当 n＝7 时，Sn 最大．
法二：用“通项变号法”解题由法一可知，d＝－123a1. 要使 Sn 最大，则有aann≥ ＋1≤0，0，即a1＋n－1－123a1≥0，

高考数学《等差数列、等比数列》复习

(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)等差数列前 n 项和公式：Sn＝n
a1＋an 2
＝na1＋n
n－ 2
d．
(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.
na1 q＝
(2)等比数列前n项和公式：Sn＝ a1 －qn 1－q
高考数学《等差数列、等比数列》复习
高考考点
1. 等差（比）数列的基本运算 2. 等差（比）数列的判断与证明 3. 等差（比）数列的性质
考点解读
1. 在等差（比）数列中， a1,an, Sn,n,d(q) 这五个量中已知其中的三个量，求另外两个量 2. 考查等差（比）数列的通项公式，前n项和公式，考查方程的思想以及运算能力
(2)等差数列中连续 k 项的和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为 k2d．
5．若 A2n－1，B2n－1 分别为等差数列{an}，{bn}的前 2n－1 项的和，则an＝A2n－1．
bn B2n－1
解题技巧
判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．
A.15
B.30
C.45
√D.60
S100 a1 a2 a100 90 ,设 S a1 a3 a99 ,则 2S a2 a4 a100 ,S 2S S100 90,S 30 , 故 a2 a4 a100 2S 60 .故选 D.
1.不能忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，注意各项都不为零的条件． 2.不能漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，不能漏掉－． 3.对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1

第13讲等差数列的判断和证明

第十三讲等差数列的判断和证明等差数列的判断方法：(1)定义法：对于2n ≥的任意自然数，验证1n n a a --为同一常数；(2)等差中项法：验证*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈都成立；(3)通项公式法：验证n a pn q =+；(4)前n 项和公式法：验证2n S An Bn =+.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．例1 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它是首项与公差分别是什么？.【解析】当2n ≥时，221111[(1)(1)]2222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-①，当1n =时，211131122a S ==+⨯=，也满足①式，∴数列{}n a 的通项公式为122n a n =-，由此可知，数列{}n a 是一个首项为32，公差为2的等差数列. 【经典理由】结合具体实例，给出了数列通项公式的求法与等差数列的判定，并可就此发散，引申出等差数列通项公式与前n 项和n S 的特点.例2 已知数列{a n }和{b n }（b n ≠0，n ∈N *），满足a 1＝b 1＝1，a n b n +1﹣a n +1b n +b n +1b n ＝0．（1）令nn n b a c =，证明数列{c n }是等差数列，并求{c n }的通项公式；（2）若b n ＝2n ﹣1，求数列{a n }的前n 项和S n ．（1）证明：由a n b n +1﹣a n +1b n +b n +1b n ＝0，得﹣＝1，因为c n ＝，所以c n +1﹣c n ＝1，所以数列{c n }是等差数列，所以{c n }＝n ；（2）由b n ＝2n ﹣1得a n ＝n •2n ﹣1，所以S n ＝1×20+2×21+3×22+…+n •2n ﹣1，①2S n ＝1×21+2×22+3×33+…+n •2n ，②由②﹣①，得S n ＝2n （n ﹣1）+1．例3 (2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．【解析】(Ⅰ)由题设，11211, 1.n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121().n n n a a a a λ+++-=由于10n a +≠，所以 2.n n a a λ+-=（Ⅱ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得2 1.a λ=-由(Ⅰ)知，3 1.a λ=+令2132a a a =+，解得 4.λ=故24n n a a +-=，由此可得{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a --=. 因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列．例4 （2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；【解析】(Ⅰ)由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=，所以数列{}n c 是等差数列．课后练习：。

「证明或判断等差数列的常用方法」

「证明或判断等差数列的常用方法」等差数列是指数列中后一项减前一项得到的差值是恒定的数列。

也就是说，如果一个数列满足每一项与前一项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

证明或判断一个数列是否为等差数列的常用方法有以下几种：1.求差法求差法是最常见的方法之一、通过计算数列中相邻两项之间的差值，如果这些差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

具体步骤如下：1）计算数列中相邻两项的差值，可以采用后一项减去前一项的方式。

2）比较这些差值是否相等，如果相等，则数列为等差数列；如果差值不相等，则不是等差数列。

2.公式法公式法是一种利用等差数列的通项公式进行判断的方法。

等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列中的第一项，d表示公差（即相邻两项之间的差值）。

根据公式法，可以按照以下步骤判断一个数列是否为等差数列：1）找到数列中的第一项a1和任意一项an。

2）计算公差d，d = (an - a1) / (n - 1)。

3）对于数列中的每一项，带入通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算，如果等式成立，则该数列为等差数列。

3.判断差值是否恒定除了上述两种方法，还可以观察数列中相邻两项之间的差值是否为恒定值来判断是否为等差数列。

对于等差数列，相邻两项之间的差值应该是恒定的，如果差值不是恒定的，则数列不是等差数列。

具体步骤如下：1）计算数列中相邻两项的差值。

2）比较这些差值是否恒定，如果恒定，则数列为等差数列；如果差值不恒定，则不是等差数列。

以上是几种常用的方法来证明或判断一个数列是否为等差数列。

当然，在实际问题中，有时也可以通过观察数列的规律、推导数列的通项公式等方法来判断等差数列。

不同的方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合多种方法进行判断。

如何证明等差数列的方法

如何证明等差数列的方法要证明等差数列的方法是数学中一个重要的知识点。

等差数列具有一定的结构和特性，公式可以帮助我们更容易地证明等差数列。

本文将详细地介绍如何证明等差数列的具体方法，这对于掌握等差数列的概念及其应用有很大的帮助。

首先，我们需要先了解等差数列的定义及其特点。

等差数列是指首项、公差全都相同的一组数字组成的数列，每一项与直接前项之差是一个常数，叫做公差。

一般可以用如下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，a1是等差数列的第一项，d是公差，n是任意整数，an表示等差数列的第n项。

因此，一个等差数列可以表示如下：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,…,an。

等差数列的具体特征有以下几点：1、任意一项减去它的前一项等于公差d;2、每一项与前项的和等于它的后项;3、任意一项与它的后项的差等于公差d;4、任意两项的积等于它们相邻三项的积。

接下来，我们来看看如何证明等差数列：1、比较邻项差等于公差：即将每一项减去前一项，看看结果是否相等；2、使用奥卡姆剃刀原理：若给定一组数，它们的三项之积与两项之积相等，则称它们符合等差数列的性质；3、用公式法：可以用上面提到的an = a1 + (n-1)d的公式进行推导。

首先，将a1代入公式，得到a2 = a1+d;由此可以得出a3 = a1 + 2d，继续这样做，可以得出结果：an = a1 + (n-1)d，显然，前面的数都相等，差值都为公差d，故该数列为等差数列。

最后，常用公差求和公式来求出等差数列的和。

总和=（首项+末项）×总项数÷2。

综上所述，要证明等差数列，可以从比较邻项差等于公差、使用奥卡姆剃刀原理和用公式法等方法去判断。

本文所介绍的方法，只要深入了解，在学习中就可以熟悉掌握。

总之，在研究等差数列的时候，要熟悉常用的式子及其证明方法，只有这样才能得到正确的结果。

专题三第1讲等差数列、等比数列

等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1. (3)等差数列的求和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn－ 2 1d.
(4)等比数列的求和公式： Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.(2022·济宁模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则aa105＋＋aa172
等于
A.－8
B.16
C.32
√D.－32
设等比数列{an}的公比为q，则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32，故aa105＋＋aa172＝aa5＋5＋aa77q5＝q5＝－32.
∴S14＝14a12＋a14＝14a42＋a11>0， S15＝15a12＋a15＝15×2 2a8<0，
∴当Sn>0时，n的最大值为14，D正确.
考点三
等差数列、等比数列的判断
核心提炼
定义法通项法中项法
等差数列 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的
石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项
1＝6
√B.{an}的公差为9
C.a6＝3a3
√D.S9＝405
设{an}的公差为d.由a4＋a6＝90，得a5＝45，又a2＝18，联立方程组aa11＋＋d4＝d＝184，5，解得ad1＝＝99，，故 A 错误，B 正确；

(完整版)等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。

③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=2d ，B=21da -. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n n s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶；nn s s 1-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n2、等比数列的判断方法： ①定义法：1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。

证明数列是等差数列的方法

证明数列是等差数列的方法数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。

其中，等差数列是一种常见的数列类型，它的每一项与前一项之差相等。

那么，如何证明一个数列是等差数列呢？下面我们将从几个方面进行探讨。

一、定义法我们可以从等差数列的定义入手，即每一项与前一项之差相等。

因此，如果一个数列满足这个条件，那么它就是等差数列。

例如，数列1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列，因为每一项与前一项之差都是2。

二、通项公式法我们可以通过求出数列的通项公式来判断它是否是等差数列。

对于等差数列来说，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

如果一个数列的通项公式符合这个公式，那么它就是等差数列。

例如，数列2，4，6，8，10的通项公式为an=2n，其中d=2，因此它是一个公差为2的等差数列。

三、公差法我们还可以通过计算数列中相邻两项之差来判断它是否是等差数列。

如果数列中任意两项之差相等，那么这个数列就是等差数列，其公差就是这个差值。

例如，数列3，6，9，12，15的公差为3，因为任意两项之差都是3。

四、前n项和法我们还可以通过计算数列的前n项和来判断它是否是等差数列。

对于等差数列来说，其前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项。

如果一个数列的前n项和符合这个公式，那么它就是等差数列。

例如，数列1，3，5，7，9的前3项和为9，其公式为S3=3(1+5)/2=9，因此它是一个公差为2的等差数列。

我们可以通过定义法、通项公式法、公差法和前n项和法来证明一个数列是等差数列。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。

无论采用哪种方法，都需要注意计算过程的准确性和逻辑性，以确保判断结果的正确性。

等差数列知识点总结及考点练习

8.设、分别是等差数列、的前项和, ,则 .
考点4：等差数列与其它知识的综合
【解题思路】１、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求;
（２)等差中项法：验证2an-1＝an＋aｎ-2(n≥３,n∈Ｎ*)都成立;
(3)通项公式法:验证an=pｎ＋ｑ；
(4)前n项和公式法:验证Sn＝Ａｎ2＋Bｎ.
注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
回顾:
1.已知等差数列{an}中，a3=9,ａ9=３，则公差d的值为（）
（2)若{ａｎ｝为等差数列，且ｍ+n=p＋ｑ，
则am+an＝ap＋aq（m,n,ｐ,ｑ∈N*）.
（3)若｛an}是等差数列,公差为ｄ，则ak，aｋ+ｍ,ａk＋2ｍ,…(ｋ，m∈N*)是公差为md的等差数列．
（4)数列Sm，Ｓ2m-Sm，S3m－S２m,…也是等差数列.
（5)Ｓ２ｎ-１=(2ｎ－1)an.
由，得，当时, ；当时，．
（１) ;
⑵
；
(３）时，，
当时,
对应练习：5、已知为等差数列的前项和，，求．
考点2：证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有:
１、定义法: （，是常数) 是等差数列；
2、中项法: ( ) 是等差数列;
3、通项公式法: ( 是常数）是等差数列;
2．等差数列的通项公式
若等差数列{ａｎ}的首项是ａ1，公差是ｄ,则其通项公式为ａn=a1＋(n－１)ｄ=（n－m)ｄ=p.
３.等差中项
如果三个数x,A,ｙ组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项,如果Ａ是x和y的等差中项,则A＝．

(完整版)等差数列知识点总结和题型分析

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k kS S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）A ．8B ．7C ．6D ．53、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为（）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

等差数列四种判定方法

等差数列四种判定方法等差数列是数学中的一个重要的概念，在高中数学中也经常涉及到。

在判断等差数列的时候，常常有四种方法。

这篇文章将为大家介绍等差数列的四种判定方法，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

掌握这些方法，可以更加准确的判断一个数列是否为等差数列。

一、通项公式等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)dan表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

在使用通项公式判断等差数列时，可以先求出前几项的值，然后利用通项公式求出后面的项，再与实际值进行比较，判断是否为等差数列。

已知一个数列的前五项为1、3、5、7、9，要判断它是否为等差数列。

首先可以看出，这个数列的公差为2，于是可以利用通项公式求出后面的项：a6 = a1 + (6 - 1)d = 1 + 5 × 2 = 11将求得的a6、a7与实际值比较，发现它们与数列中的后两项9、11并不相等，因此这个数列不是等差数列。

二、公差公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。

在判断一个数列是否为等差数列时，可以先求出前两项的差，然后比较后面各项之间的差，看是否相等。

如果相等，则说明这个数列是等差数列。

然后比较后面各项之间的差：a3 - a2 = 2发现它们之间的差都是2，因此这个数列是等差数列。

三、前两项差总结等差数列的判定方法有四种，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

不同的方法在不同的情况下使用，可以选择合适的方法进行判断。

在求等差数列的和、第n项等问题时，也可根据不同的情况选择不同的方法求解。

除了判定等差数列的四种方法以外，还有一些其他的相关内容需要了解。

一、等差数列的求和公式对于一个等差数列a1，a2，……，an，它们的和Sn可以通过下列公式求得：Sn = (a1 + an)×n/2a1为数列的首项，an为数列的末项，n为数列的项数。

应用等差数列求和公式可以快速计算等差数列的和，节省手工计算的时间。

已知一个等差数列的首项a1为1，公差d为2，项数n为10，要求这个数列的和。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解44---等差数列

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第44讲等差数列考向预测核心素养等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，中等难度.数学抽象、逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．等差数列的概念(1)定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a 与b的等差中项且a＋b＝2A．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋a n）2．3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d 是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.常用结论1．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若p ＋q ＝s ＋t ，则a p ＋a q ＝a s ＋a t .特别地，若p ＋q ＝2m ，则2a m ＝a p ＋a q (p ，q ，s ，t ，m ∈N *)．(3)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (4)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(5)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 成等差数列；数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n. 二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 15练习T 4改编)已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则a 10＝( )A ．18 B.16 C.20D.17解析：选A.因为a 4＋a 8＝2a 6＝20，所以a 6＝10.又a 7＝12，所以d ＝2，所以a 10＝a 7＋3d ＝12＋6＝18.2．(人A 选择性必修第二册P 21例6改编)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________．解析：由已知可得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝6.所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126. 答案：1263．(人A 选择性必修第二册P 24练习T 3改编)设等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n项和为S n，则当n＝________时，S n取得最小值．解析：由已知得，a1＝－4.2，d＝0.5，所以a9＝a1＋8d＝－4.2＋4＝－0.2＜0.a10＝－4.2＋4.5＝0.3＞0，所以当n＝9时，S n取得最小值．答案：9一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．( )(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.( )(4)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏1．(多选)(不会判断项的符号致误)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )6A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解析：选ABD.S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5.由a7＝0，a6＞0知S6，S7均是S n中的最大值．从而ABD均正确．2．(忽视相邻项的符号致误)首项为30的等差数列{a n}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎨⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－307考点一等差数列基本量的运算(综合研析)[学生用书P152]复习指导：探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(链接常用结论1)(2021·新高考卷Ⅱ)记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n ＞a n 成立的n 的最小值．【解】 (1)由等差数列的性质可得S 5＝5a 3，则a 3＝5a 3，所以a 3＝0，设等差数列的公差为d ，从而有a 2a 4＝(a 3－d )(a 3＋d )＝－d 2，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 3－2d )＋(a 3－d )＋a 3＋(a 3＋d )＝－2d ，从而－d 2＝－2d ，由于公差不为零，故d ＝2，数列的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －6.(2)由数列的通项公式可得a 1＝2－6＝－4，则S n ＝n ×(－4)＋n （n －1）2×2＝n 2－5n ，则不等式S n ＞a n 即n 2－5n ＞2n －6，整理可得(n －1)·(n －6)＞0，解得n ＜1或n ＞6，又n 为正整数，故n 的最小值为7.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．|跟踪训练|1．(2022·福州市质量检测)已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12 B.54 C.45 D.－45解析：选C.因为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45.2．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2. 因为a 1＝－2，所以d ＝1. 所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 答案：25考点二等差数列的判定和证明(综合研析)复习指导：判定一个数列是否为等差数列，可以根据数列的定义，也可以利用等差中项、等差数列的通项公式、前n 项和公式等．(链接常用结论1)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列．由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. 所以S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，则d 为常数，所以数列{S n ＋kn }为等差数列．故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列．(1)等差数列的判定与证明的常用方法①定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数，n ∈N *)或a n －a n －1＝d (d 是常数，n ∈N *，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．②等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．③通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． ④前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔{a n }为等差数列．(2)根据数列的条件证明或判断等差数列，进而利用等差数列的公式解题，体现了逻辑推理的核心素养．[提醒] 若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2，使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须证明任意n ∈N *都满足．|跟踪训练|(2021·高考全国卷乙)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2 S n ＋1bn＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．解：(1)证明：因为b n是数列{S n}的前n项积，所以当n≥2时，S n＝bnbn－1，代入2Sn＋1bn＝2可得，2b n－1bn＋1bn＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2)．又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)可知，b n＝n＋22，则2Sn＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝32，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用(多维探究)复习指导：了解等差数列与一次函数的关系，并能用等差数列的有关知识解决相应问题．角度1 等差数列项的性质(1)在公差不为0的等差数列{a n}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝( )A．－1 B.0C.1D.2(2)(2020·高考北京卷)在等差数列{a n}中，a1＝－9，a5＝－1.记T n＝a1a2…a n(n＝1，2，…)，则数列{T n}( )A．有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【解析】(1)由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a 5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1.(2)设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝－9，a5＝－1，所以a5＝－9＋4d＝－1，所以d＝2，所以a n＝－9＋(n－1)×2＝2n－11.令a n＝2n－11≤0，则n≤5.5，所以n≤5时，a n<0；n≥6时，a n>0.所以T1＝－9<0，T2＝(－9)×(－7)＝63>0，T3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315<0，T4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945>0，T5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945<0，当n≥6时，a n>0，且a n≥1，所以T n＋1<T n<0，所以T n＝a1a2…a n(n＝1，2，…)有最大项T4，无最小项．【答案】(1)C (2)B角度2 等差数列和的性质中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )A ．71 B.72 C.89D.90【解析】设这些老人的年龄形成数列{}a n ，设最年长者的年龄为a 1，则由题可知数列{}a n 是公差为－1的等差数列，且S 19＝1 520，则S 19＝19a 1＋19×182×()－1＝1 520，解得a 1＝89.故选C. 【答案】 C角度3 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11.则当n 为多少时，S n最大？【解】方法一：设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．方法二：易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知A ＝－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值． (3)项的符号法(邻项变号法)：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .|跟踪训练|1．(多选)(2022·济宁邹城期中)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差为d ，若S 9＝a 5＋a 12，a 1>0，则以下结论一定正确的是( )A ．d <0 B.S 2＝S 5C ．|a 1|>|a 9|D.S n 取得最大值时，n ＝3解析：选AB.因为数列{a n }是等差数列，所以S 9＝a 5＋a 12⇒9a 1＋36d ＝2a 1＋15d ⇒a 1＝－3d . 对于A ：因为a 1>0，所以d <0，故A 对．对于B ：S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝－5d ，S 5＝－5d ，故B 对．对于C: |a 9|＝|a 1＋8d |＝53|a 1|，因此|a 1|<|a 9|，故C 错误．对于D ：S n ＝d2n 2－7d 2n ，当n ＝72时S n 取到最大值，因为n ∈N *，所以n ＝3或4，故D错误．2．(链接常用结论1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023＝( )A ．2 023 B.－2 023 C ．4 046 D.－4 046解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，所以d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，所以S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，所以S 2 023＝2 023×2＝4 046.3．(2022·广东韶关一模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＋a 7＝1，则S 12＝________，若a 7＜0，则使得不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝________．解析：根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝6(a 6＋a 7)＝6；若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13. 答案：6 134．(链接常用结论2)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9的值为________．解析：a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8，又a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943.答案：2943[A 基础达标]1．(2022·新高考模拟)等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C.2D.－12解析：选A.由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，且1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．－5B.－15C.5D.15 解析：选D.因为1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N*)，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，又因为a 1＝2，a 2＝1，所以1a 1＝12，1a 2－1a 1＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列，所以1a n ＝n 2，a n ＝2n ，所以a 10＝15.故选D.3．两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正整数的n 的个数是( )A ．5 B.4 C.3D.2解析：选A.因为a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＋1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，a nb n为正整数．故选A.4．若等差数列{a n }首项为2，公差为2，其前n 项和记为S n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为( )A.2nn ＋1 B.n n ＋1C.1n （n ＋1）D.n 2（n ＋1）解析：选B.由题意得S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)，所以1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(多选)已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋3a 3＝S 6，则以下结论正确的是( )A ．a 10＝0 B.S 10最小 C ．S 7＝S 12D.S 19＝0解析：选ACD.因为2a 1＋3a 3＝S 6，所以2a 1＋3a 1＋6d ＝6a 1＋15d ，所以a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，A 正确；当d ＜0时，S n 没有最小值，B 错误；S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0，所以S 12＝S 7，C 正确；S 19＝（a 1＋a 19）×192＝19a 10＝0，D 正确．故选ACD.6．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100.优解：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 4＋a 7)＝100.答案：1007．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 11，则S n 取最大值时n 的值是________．解析：设S n ＝An 2＋Bn .由a 1＞0，S 4＝S 11可知，d ＜0，则d2＝A ＜0.易知{S n }是y ＝Ax 2＋Bx 图象上一系列孤立的点的纵坐标，y ＝Ax 2＋Bx 的图象开口向下，对称轴是直线x ＝4＋112＝152.故S n 取最大值时n 的值是7或8. 答案：7或88．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，则a n＝________．解析：因为S n －S n －1＝1，所以{S n }为等差数列，又S 1＝a 1＝1，所以S n ＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －19．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由题意得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．(2021·新高考卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．解：(1)因为b n ＝a 2n ，且a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5.因为b n ＝a 2n ，所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3，所以数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，n ∈N *. (2)因为a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时，a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1，即a 2k ＝a 2k －1＋1 ①，a 2k ＋1＝a 2k ＋2 ②，a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1，即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1 ③，所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3，即a 2k ＋1－a 2k －1＝3，所以数列{a n }的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3，即a 2k ＋2－a 2k ＝3，又a 2＝2，所以数列{a n }的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300. [B 综合应用]11．(多选)设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200解析：选ABD.由题意得(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.A ．a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 选项正确；B ．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 选项正确；C.1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 选项错误；D ．结合A 的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 选项正确．12．(多选)(2022·石家庄二中一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( )A ．a n ＝－12n －1B ．a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 050解析：选BCD.由题意得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，整理得1S n ＋1－1S n＝－1(常数)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合通项公式)，故a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误；所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D 正确．13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为________．解析：因为所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列．如图：由图可得⎩⎨⎧y －36＝12x －107＝y ，解得⎩⎨⎧x ＝155y ＝48.答案：15514．(2022·河北桃城衡水中学检测)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n＝________；a 2n ＋143n的最小值为________．解析：因为na n －(n －1)a n ＋1＝1，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列．当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11得公差d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n－4＝44，当且仅当4n ＝144n，即n ＝6时等号成立．答案：2n －1 44[C 素养提升]15．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？解：(1)由题意得a n －a n －1＝4(n ＞1，n ∈N *)，即数列{a n }是公差d ＝4的等差数列，所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0，解得n ≥254，所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数，所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．16．(2022·青岛高三模拟)已知{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列．请从①a 1＝2，②a 1＝1，③a 1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n}存在；并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝(－1)n＋1a2n，求数列{b n}的前n项和T n.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，则a1＝2放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．若选择条件②，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝1，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝1，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，当放在第一行第二列时，由题意知，可能的组合有a1＝1，a2＝9，a3＝12，不是等差数列，a1＝1，a2＝4，a3＝7，是等差数列，则公差d＝a2－a1＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*.若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，则a1＝3放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．综上可知，a n＝3n－2，n∈N*.(2)由(1)知，b n＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，T＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a2n－1－a2nn＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3＋a4)(a3－a4)＋…＋(a n－1＋a n)(a n－1－a n)＝－3(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝－3×n （1＋3n －2）2＝－92n 2＋32n ；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－92(n －1)2＋32(n －1)＋(3n －2)2＝92n 2－32n －2，所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－92n 2＋32n ，n ＝2k ，k ∈N *，92n 2－32n －2，n ＝2k －1，k ∈N *.。

数列证明与判断

2023届高考数学复习讲义5.6数列的证明及判定1.等差数列通项公式：a n ＝=．2.等差数列前n 项和公式：nd a n d d n n na aa n S n )2(22)1(2)(12121-+=-+=+=3.等比数列通项公式：a n ＝=．．4.等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q naS n n 一．判定一个数列为等差数列的常见方法：(1)定义法：若d a a n n =-+1(d 是定值)，则数列{a n }是等差数列；(2)等差中项法：若n n n a a a 211=++-(2≥n ），则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立，则数列{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：若S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立，则{a n }是等差数列二、判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 是非零常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若a n ＝Aq n (A ，q 为非零常数)，则数列{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列考向一等差数列的判定与证明例1若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．思维升华判断数列{a n }是等差数列的常用方法方法解读定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列等差中项法2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列【举一反三】1、已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎭⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．2、(2021·台州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1a n .(1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．考向二等比数列的判定与证明例2已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n，设b n＝a n n .(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．感悟升华等比数列的4种常用判定方法定义法若a n＋1a n＝q(q为非零常数，n∈N*)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a n}是等比数列中项公式法若数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成a n＝c·q n－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列前n项和公式法若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{a n}是等比数列【举一反三】1、(2022·威海模拟)记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋1.设b n＝a n＋1－2a n.求证：数列{b n}为等比数列；2、已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n-1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32{a n }的通项公式．A 组1、(2022届河南调研,18)已知数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1(n ∈N *),设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是等差数列.(2)求S n .2、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；3、(2022届哈尔滨期中,20)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n.(1)求证:;(2)n 项和S n .4、(2020哈尔滨香坊月考,17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -n(n ∈N *).证明：数列{a n +1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;B 组5、(2022届陕西宝鸡月考,18)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =14(a n +1)2(n ∈N *).(1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等差数列.6、(2021·全国统一考试模拟演练)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32{a n }的通项公式．7、(2021吉林白山第三次联考,19)在数列{a n }中,已知a 1=1,且a n+1a n =2n+1a n -2n a n +1.,并求出{a n }的通项公式;8、(2017课标Ⅰ,17,12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.9、(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．10、(2021全国百强名校联考,18)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=12a n-12×3,b n=a n-13t1.求证:数列{b n}是等比数列;11、(2022·烟台模拟)已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n1＋1(n≥2，n∈N*)，记b n＝log2(a n＋1)．－(1)判断{b n}是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列{a n}的通项公式．12、(2021全国甲,18,12分)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >0,a 2=3a 1,且数列{}是等差数列.证明:{a n }是等差数列.13、(2021·全国乙卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2，证明：数列{b n }是等差数列；14、(2020河南名校联盟调研)已知首项为2的正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且当n ≥2时,3S n -2=2-3S n-1.证明:数列{a n }是等差数列;C 组15、(2021·温州调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．16、已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n1＝λS n－1，其中λ为常数．＋(1)证明：a n2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．＋17、若S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求a n及S n；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．方法与技巧。

等差数列的判定方法

判断一个数列为等差数列的方法一．定义法1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d（1）R d ∈（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n例1 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+设,21-=n n n a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知n n n a a 221+=+得1122222111+=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ，又111==a b∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。

例2 存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．【解析】不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x = 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！二．等差中项法定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+推广2：若数列{}n a 为等差数列，2n m +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是λd若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。

考点1 等差数列的判定与证明

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列的判定与证明-通项公式法

等差数列的判定方法

等差数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)

高考研究一等差数列的考点求项求和及判定课件(1)

高考数学《等差数列、等比数列》复习

第13讲 等差数列的判断和证明

「证明或判断等差数列的常用方法」

如何证明等差数列的方法

专题三 第1讲 等差数列、等比数列

(完整版)等差、等比数列的判断和证明

证明数列是等差数列的方法

等差数列知识点总结及考点练习

(完整版)等差数列知识点总结和题型分析

等差数列四种判定方法

备战高考数学复习考点知识与题型讲解44---等差数列

数列证明与判断

等差数列的判定方法

第13讲等差数列的判断和证明

专题三第1讲等差数列、等比数列