一元二次方程的基本概念及性质

一元二次方程的基本概念及性解法

1、 一般式：____________，a 为____________，b 为___________，c 为________。

即时巩固:

1．方程（m 2－1）x 2

＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）

（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1

2.方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法

(1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2

(0)x a a =≥ 解为:________ ②2

()(0)x a b b +=≥ 解为:__________

③2

()(0)ax b c c +=≥ 解为:_______ ④22

()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:_______

1．方程x 2

－2＝0的解是x ＝ ；

(2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+=示例：222

33310()()1022

x x x -+=⇔--+=②二次项

的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

22220 (0)()0 ()()022b b b

ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠+

+=⇒-⇒++=

(3)公式法：一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：

222

4()24b b ac

x

a a -+=①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根：

② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c

②求出2

4b ac ∆=-，并判断方程解的情况。③代公式：1,2x =(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：2

0(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 适合用提供因式，而且其中一个根为0

24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=

课堂巩固：

1、若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 22

12x x +； (2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；

(4) 12||x x -．

2、已知关于x 的方程22

1(1)104

x k x k -++

+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

3、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）是否存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请您说明理由．(2) 求使12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

4、韦达定理相关知识

(1)一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有两实数根21x x 和，那么=+21x x ，12*x x = 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称____________。

（2）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么_________________．如果方程

)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解。

即时巩固：

(1)一元二次方程02

=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。 (2)以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212

=•++-x x x x x x (3)在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

课后练习：

1．方程（m 2－9）x 2

＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）

（A ）m ≠3 （B ）m ≠0 （C ）m ≠-3 （D ）m ≠±3 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是（ ）

（A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x x -=+65的解是（ ）

（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3

4．若关于x 的方程2x 2

－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是（ ）