天体的旋进与角动量守恒

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大 学 物 理
第 29 卷
) × 矢量代数理论得 ( rme - r ′ d F = 0,即 rme × d F = r′ × d F. 又因 d F = - d F ′ , 所以 rm e × dF = - r′ × dF ′ ,
的作用力矩 , M I = -
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© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第 4期
于凤军 : 天体的旋进与角动量守恒
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球质心系中地 - 月系统对于地球质心的角动量不守 恒 . 只有当 m m ν m e 、 惯性力矩 M I 远小于内力矩 、 MI 可以忽略时 ,才可近似地认为地 - 月系统对地球质 心的角动量守恒 . 众所周知 ,物理学中的守恒定律使 人们对物理现象的理解与分析更加容易和简捷 , 因 此下面考虑地 - 月系统质心参考系 (简称地 - 月质 心系 )中的角动量问题 ,讨论在哪里角动量守恒 .
作者简介 : 于凤军 ( 1959 —) ,男 ,河南安阳人 ,安阳师范学院物理与电气工程学院教授 ,主要从事理论物理 、 天体力学研究和教学工作 .
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天体的旋进是一种常见的天文现象 . 文献 [ 1 ], 即《 用引潮力计算岁差 》 及其引用的参考文献讨论 了岁差 — — — 地轴旋进现象 ; 文献 [ 2 ], 即《地球扁率 对卫星轨道平面的影响 — — — 兼谈卫星的太阳同步轨 道》 讨论了卫星轨道平面的旋进现象 . 本文通过非 惯性平动参考系中的角动量定理和地 - 月系统质心 参考系中的角动量及其守恒规律分析上述现象 , 并 表明角动量守恒定律在分析天体旋进运动时所起的 作用 .
第 29 卷第 4 期 2010 年 4 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol . 29 No. 4 Ap r . 2010
天体的旋进与角动量守恒
于凤军
(安阳师范学院 物理与电气工程学院 ,河南 安阳 455000)
摘要 : 通过非惯性系中的角动量定理和惯性系中的角动量守恒定律分析天体的旋进 ,指出地轴的旋进与卫星轨道平面的 旋进这两种现象同根同源 ,相互依存 . 关键词 : 旋进 ; 角动量守恒 ; 地球扁率 ; 卫星 ; 月球 中图分类号 : O 31311 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 20712 ( 2010 ) 04 20011 204
球质心系的平动加速度 ,下同 ) ,角动量定理为 dJ e ( 6) =M dt 式 ( 6 )就是文献 [ 1 ]使用的动力学方程 . J e 的变化规 律由式 ( 6 ) 决定 , 说明 M 是地轴旋进 (岁差 ) 的根 [ 3, 4 ] 源 . 其实 ,式 ( 6 ) 也是一般教材 上提到的质点系 对质心的角动量定理应用到本例中的具体表现 . 2 ) 研究对象是月球或卫星 . 这时 , 质点系中只 含一个质点 ,仍取地球质心系 (原点为地球质心 C1 , 这属于质点系质心与参考系原点不重合情况 ) , J = J m = rm e × m m vm 为月球的轨道角动量 ( vm 是月球相 对于地球质心系的速度 ) ,外力矩 M ′ 是扁平的地球 对月球的作用力矩 (与 M 等大反向 ) , M I = rm e ×( m m aC 1 ) . aC 1的方向沿月球对地球引力 F 的方向 . 值
(外 ) i (内 ) i
得注意的是 ,当地球形状不是球形时 , aC 1 、 rme二者的 方向并不严格一致 . 而有一很小的夹角 (原因是月 球或卫星对地球引力的合力作用点不在地球质心
C1 上
[5 ]
,见图 4. 这种现象与地 、 月之间存在力矩互
为因果 ) ,因此 M I ≠0. 但当卫星质量远小于地球质 (可以证明 M I = M ′ 量时 aC 1很小 , M I ν M ′ m m /m e ) , 这时可以略去 M I. 角动量定理为 dJ m ( 7) ≈M ′ dt 这是文献 [ 2 ]使用的动力学方程 . 它是一个近似方 程 ,这一点过去文献未作说明 .
2 非惯性平动参考系中的角动量定理
设有一非惯性平动参考系 C xyz, 其加速度为 aC . 我们在此非惯性参考系中研究某一质点系的运 动 . 取该质点系为研究对象 (质点系质心不一定与 参考系原点 C 重合 ) ,设质点系中某质点 m i 的位矢 为 ri ,受到的外力为 F 、 内力为 F 、 惯性力为 - m i aC . 依照文献 [ 3 ]的方法 (见第 120 页式 ( 2. 3. ), 8 )的推导过程 , 这里省去字母上所带的符号“′ ” 可得如下方程 : d ri × m i vi = dt 6 i 令 J =
图 2 卫星轨道角动量旋进
1 作用力矩与反作用力矩
岁差是指地轴绕黄道平面法线的旋进带来的二 分点的移动 (见图 1 ) , 其动力学原因是月球和太阳 的引力作用在倾斜的扁平地球上形成的力矩 . 文献 [ 1 ]取地球质心参考系 (简称地球质心系 ) , 导出了 月球对地球的平均力矩 3Gm m ( I3 - I1 ) sin θ (1) M a = ey cosθ 3 2r me
图 1 地轴的旋进
式 ( 1 )中 , m m 为月球质量 , r me为月球与地球质心的 距离 ,θ为赤道平面与月球轨道平面的夹角 . 文献
[ 2 ]研究地球形状对卫星轨道平面的影响 — — — 旋进 (见图 2 ) ,其原因是扁平的地球对卫星有力矩的作
收稿日期 : 2008 - 06 - 12; 修回日期 : 2009 - 12 - 04
点 C 的力矩之和 , 则有 dJ =M +M I dt
(5)
3 ) 研究对象是地 - 月系统 . 这时 , 质点系中含
上式就是在非惯性平动参考系中质点系的角动量定 理 . 现讨论 3 种情况 . 1 ) 研究对象是地球 . 这时上述质点系为地球本 身 ,取地球质心系 (上述原点 C 化为地球质心 C1 ,这 属于 质 点 系 质 心 与 参 考 系 原 点 重 合 情 况 ) , J
[6 ]
3 地 - 月系统质心参考系中的角动量
以地 - 月系统质心 C2 为原点建立该系统的质 心坐标系 C2 xyz, 即 3 个坐标轴相对于惯性空间无转 动 . 当略去任何第三物体的作用 (仅考虑二体问题 ) 时 , 可以认为这是一个惯性系 . 因系统不受外力和外 力矩的作用 , 故系统总角动量 J 守恒 . 设地球质心 C1 在坐标系 C2 xyz中的位矢为 rC 1
系统的轨道角动量 . 式 ( 10 ) 表明地 - 月系统对其质 心的角动量等于地 - 月系统的轨道角动量与地球自 [4 ] (如果考虑月球大小 , 还有月球自 转角动量之和 转角动量 ) . 如前所述 ,它是一个守恒量 .
4 天体旋进与角动量守恒
取地 - 月 (或地 - 卫 ) 质心系 , 现在用角动量守 恒定律分析天体的旋进运动 . 上面已指出 , 式 ( 10 ) 中的 J e 意义与式 ( 6 )中的相同 ,所以 J e 的变化规律 遵守方程 ( 6 ) — — — 作旋进运动 . 当 J e 旋进时 ,由于总 角动量 J 守恒即 J e 、 J l 构成的平行四边形的对角线 大小方向不变 , J l (及地 - 月轨道平面 ) 必然也作同 步旋进 ,转轴为该对角线 ,如图 5. 需要强调 ,这里的 J、 J l 都是对于地 - 月质心的 , J e 是对于地球质心 的 ,图 5 表示的是一种抽象的数学几何图像 (数学 上严格成立 ,不意味图上所有角动量都是对于同一 点的 ) ,它为问题的分析与理解提供了直观图像 . 以 上图像如同原子的矢量模型 , 在那里电子自旋 轨道相互作用引起的自旋角动量与轨道角动量一起 绕总角动量旋进 .
地球
6
m e i ri
× aC 1 = 0 ( aC 1是地
上式两边对地球作体积分
V
µr
me
× dF = -
V
× dF ′ µr′
(3)
这正是要证明的结论 . 文献 [ 1, 2 ]利用式 ( 1 ) 、 式 ( 2 )计算旋进角速度 , 所用的参考系是地球质心系 ,它是以地球质心 C1 为 原点建立的坐标系 C1 xyz, 3 个坐标轴相对于惯性坐 标架 (或惯性空间 ) 无转动 . 然而 , 由于它受到月球 (或卫星 ) 引力而具有加速度 aC 1 , 因此 , 这是一个非 惯性平动参考系 . 天体的旋进与角动量的方向变化 有关 ,作用 、 反作用的存在往往与守恒规律相关 , 故 有必要探讨非惯性平动参考系中的角动量定理及角 动量是否守恒 .
=
地球
地球 (视为刚体 )和月球 (视为质点 ) ,取地球质心系 (原点为地球质心 C1 , 这属于质点系质心与参考系 原点不重合情况 ) , J = J e + J m , 外力矩为 0, M I =
地球
6
m e i ri
×aC 1 + rm e ×( - m m aC 1 ) = rme ×( dJ =M I dt
( = C2 C1 ) ,速度 vC 1 ; 月球 (质点 ) 在坐标系 C2 xyz 中
的位矢为 rmC 2速度 vmC 2 ; 地球上质点 m e i的位矢 re i , 速度 ve i. 再建立一地球质心系 C1 x ′ y′ z′ ,其坐标轴与 地 - 月质心系的平行 . 并设质点 m ei在地球质心系中 的位矢为 r ′ e i ,速度 v ′ e i. 显然 re i = rC 1 + r ′ e i , ve i = vC 1
用 . 它也取地球质心系 ,给出平均力矩 3Gm s ( 2) M = 3 ( I3 - I1 ) sin αcosα j 2 rse 式 ( 2 )中 , m s 为卫星质量 , rse为卫星与地球质心的距 离 ,α为卫星轨道平面与赤道平面的夹角 . 对比式 ( 1 )和式 ( 2 )可以发现 ,两者形式完全一 样 (因 α与 θ的意义相同 ) . 然而 , 它们是在研究两 种不同现象时用不同的方法得到的 . 这是巧合吗 ? 当然不是 . 其实 ,月球也是地球的一颗卫星 , 月球对 扁平的地球有力矩作用 , 反过来扁平的地球对月球 也有反作用力矩 , 而式 ( 1 ) 、 式 ( 2 ) 表示的正是作用 与反作用力矩 ,它们应等大反向 . 下边作严格证明 . 图 3 中 , 将月球看作质点 , 相对地球质心 C1 位 矢为 rm e , 把地球看作由 诸多质 量元组成的 . 根 据牛顿第三定律和引力 定律知 , 地球上任一质 量元 dm e (设其 位矢 为 作用力与反作用力 )对月球 m m 的作用力 图 3 r′ d F 与月球 m m 对该质量元的作用力 d F ′ 等大反向 , 且都沿二者连线方向 , 即都与矢量 rme - r ′ 共线 . 由
6
i
ri × Fi
(外 )
+
6
i
ri ×( - m i aC )
(4)
6
i
ri × m i vi ,它是质点系对参考系原点 C 的
角动量 ; M =
6
i
ri × Fi
(外 )
,它为诸外力对原点 C 的
图 4 合力 F 的作用点不在质心 C
力矩之和 ; M I =
6
i
ri ×( - m i aC ) ,它为惯性力对原
m m aC 1 ) ,角动量定理为
6
ri × m e i vi 是地球质心系中地球对于其质心
( 8)
C1 的角动量 ,称它为地球的自转角动量 (固有角动
量
[4 ]
) ,用 J e 表示 . 外力矩 M 是月球对扁平的地球
如果地球是球形 , 则上式等于 0, 总角动量守恒 (分 角动量也守恒 ) . 但地球不是球形 , M I ≠0, 说明在地