(八年级数学)第14章一次函数(四)——一次函数图象
八年级数学第十四章一次函数的解析式课堂实录1课时教案全国通用
《一次函数的解析式》课堂教学实录课题：人教版初中数学八年级上册《一次函数的解析式》执教时间：2008-10-12执教班级：城南中学八年级8班执教老师：张小丽教学过程：一、提出问题，创设情境师：我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢?生（齐）：能．师：请看问题一：已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．师： 联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？生1：因为图象经过两个点，所以这两坐标必适合解析式．生2：求一次函数解析式，关键是求出k 、b 值．可列出关于k 、b 的二元一次方程组.师：请哪位同学具体讲一下解题过程?生3：设这个一次函数解析y=kx+b , 因为y=k+b 的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 21k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数解析式为y=2x-1.师:函数解析式 选取 满足条件的两定点 画出 一次函数的图象y=kx+b 解出 （x1，y1）与（x1，y2） 选取 直线L像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．今后我们要会用这种方法来求函数解析式.二、应用知识解决问题师: 请看问题: 某一次函数的图象与直线y=6-x 交于点A （5，k ），且与直线y=2x-3无交点，•求此函数的关系式.师: 请四人合作小组讨论此题.(学生讨论5分钟)师: 请一个小组的代表发言.生4： 由已知条件:一次函数的图象与直线y=2x-3无交点，可知所求此函数的关系式可设为y=2x+b.师： 很好，其他小组有补充的吗?生5：我来补充. 由已知直线可求点A 为（5，1）.又要求直线过点A （5，1）可求得函数关系式.师： 请一同学上黑板扳演.生6：学生在黑板扳演.三、能力提升师：请看这道题：在直角坐标系中,直线y= kx+4与x 轴正半轴交于点A.于y 轴交于点 B.已知△BOA 的面积为10，求这条直线的解析式．师：请四人合作小组讨论此题．学生讨论5分钟后请一同学到前面来讲．讲对鼓掌，讲错的请其他同学纠正．生：讨论师：请 同学来试试．生7：由已知可得点B 为（0，4）. 已知△BOA 的面积为10,可知点A 为（5，0）.所以直线为y= 54-x+4. 生8：我认为不对. 点A 为（5，0）或者点A 为（-5，0）. 所以直线为y= 54-x+4或者y= 54x+4. 师: 很好, 今后解题时要注意考虑问题全面，注意两解的情况．四、课堂练习，巩固深化师：我们掌握了求一次函数的解析式，下面我们来完成一组练习．(学生板演，教师点评)五、课堂总结，发展潜能师： 我们这节课学习了如何求一次函数的解析式，下面大家来谈谈这节课的收获．生9: 我知道了已知两点可以求出对应的直线解析式．生10: 我知道了什么是待定系数法.生11: 我们今后解题时要注意考虑问题全面，注意两解的情况．六、布置作业，专题突破师： 刚刚同学们说得都很好．本节课就到这儿，作业是教科书第35页第5,7题.七、课后反思本节课的重点是用待定系数法求一次函数的解析式．这种方法求解析式的一般步骤是：先写出字母系数的解析式，再根据题中条件确定系数的值，进而得到相关的函数解析式．如遇到面积问题，要考虑是否有两解．本节课的内容学生掌握情况尚可．《一次函数与实际问题》课堂教学实录课题：人教版初中数学八年级上册《一次函数与实际问题》执教时间：2008-10-14执教班级：城南中学八年级8班执教老师：张小丽教学过程：一、提出问题，创设情境师：我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实际问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.下面我们来学习一次函数的应用．请看例１：生1：读题例1 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y （米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．师：请同学们思考一下．师：请一同学来分析一下．生2: 本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x•变化函数关系式时要分成两部分．生3: 画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．师: 分析得很好.请同学来黑板扳演.生4: 一同学黑板扳演.师: 我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．二、应用知识解决问题师: 请看例2生5: 读题例2 Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？师: 请四人合作小组讨论此题.(学生讨论,教师下去作适当指导)生6: 我发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．•然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来.师: 很好.请哪位同学来试一试?生7: 若设Ａ城──Ｃ乡肥料为x吨，则：由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．师: 请问运费如何算?生8: 各运输费用为：Ａ──Ｃ 20xＡ──Ｄ 25（200-x）Ｂ──Ｃ 15（240-x）Ｂ──Ｄ 24（60+x）若总运输费用为y的话，y与x关系为：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．化简得：y=40x+10040 （0≤x≤200）．师: 请问怎样解决运费最少的问题?生9: 我可以由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，•运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．师：我们来把本题变一下：若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？生10：我认为一样的．生11: 我不这样认为．解题方法与思路一样，过程有所不同．师：请你具体一点．生11: Ａ──Ｃ x吨Ａ──Ｄ 300-x吨Ｂ──Ｃ 240-x吨Ｂ──Ｄ x-40吨反映总运费y与x的函数关系式为：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．化简：y=4x+10140 （40≤x≤300）．由解析式可知：当x=40时 y值最小为：y=4×40+10140=10300因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．师：很好．生12: 老师，我还有点疑问？师：请讲．生12：自变量x的范围为什么是40≤x≤300呢？师：这个问题提得好．哪位同学来解决这个问题？生13：由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．生14：老师，我还可以通过列出不等式组来解决问题．x， 300-x， 240-x， x-40这四个式子表示实际运的吨数，不可能是负数，因此四个式子都为非负数．从而列出不等式组．师：很好．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．还要注意根据实际情况确定自变量取值范围.希望今后的学习中能不懂就问.就会收获很多.三、课堂练习，巩固深化师：下面请同学们完成一道课堂练习.生：做课堂练习.一学生扳演.四、课堂总结，发展潜能师：大家来谈谈这节课的收获．生15：通过这节课我知道了分段函数．生16：我知道了解决含有多个变量的问题时，选取其中某个变量作为自变量，再由条件寻求可以反映实际问题的函数．生17：在今后的解题中我要注意根据实际情况确定自变量取值范围.五、布置作业师：刚刚同学们总结得都很好．本节课就到这儿，作业是教科书11．2─7、9、11、12题.六、课后反思一次函数在实际生活中的应用十分广泛，运用一次函数解应用题的关键是理解题意，从而得出含有两个变量的等式或从图像信息中得出一定的数量关系，建立一次函数模型，结合一次函数的性质和实际问题的需要求解．部分学生还不能理解．今后要多练．《一次函数与一元一次方程》课堂教学实录课题：人教版初中数学八年级上册《一次函数与一元一次方程》执教时间：2008-10-15执教班级：城南中学八年级8班执教老师：张小丽教学过程：一、提出问题，创设情境师： 前面我们学习了一次函数．实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存．它与我们七年级学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系．这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程的求解问题．首先请看一道思考题．生1:(读题) 思考:下面的两道题有什么关系？（1）解方程0202=+x （2）当自变量为何值时，函数202+=x y 的值为零? 问题：①对于0202=+x 和202+=x y ，从形式上看，有什么相同和不同的地方？ ②从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？③作出直线202+=x y ，看看（1）和（2）是怎样一种关系？师: 请坐. 四人学习小组讨论（鼓励学生用自己的语言说明）生: 讨论.师: 五分钟后.请哪位同学说一说自己的理解?生2: 我认为一个一元一次方程的求解问题，可以与某个相应的一次函数问题相一致.师： 很好．再请哪位同学说一说？生3: 方程的解为10-=x ,当10-=x 时, 一次函数值为0.师： 请一位同学来归纳一下．生4: 任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 .从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 师： 很好．二、应用知识解决问题师：请一位同学来读例1．生5: 例1 一个物体现在的速度是5m/s ，其速度每秒增加2m/s ，再过几秒速度为17m/s ？（用几种方法求解）（思考3分钟）生6: 我可以设再过x 秒物体速度为17m/s ．由题意可知：2x+5=17 解之得：x=6． 生7: 我的解法是: 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为：y=2x+5. 当函数值为17时，对应的自变量x 值可通过解方程2x+5=17得到x=6. 生8: 我还有另一种解法: 由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）．得x=6．师: 同学们讲的都很好.我请同学来说说通过例1你学到了什么?生9: 我知道了一次函数与一元一次方程的关系．生10: 我学到了可以利用函数图象的直观性来解题．生11: 我学到了利用函数图象来解决方程的题目．师: 同学们讲的都很好.请看例2.生12: 读题例2 利用图象求方程6x-3=x+2的解，并笔算检验．师: 好．请一位同学来讲．生13: 原方程6x-3=x+2可化为5x-5＝0. 由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．生14: 我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．生15: 我同意．由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．师：很好．我们来看下面一题．三、能力提升生16: 读题某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？并且求出y1、y2分别是x之间函数关系式？师：四人学习小组讨论．生17：一生扳演．四、课堂练习，巩固深化．师：下面请同学们完成一道课堂练习.生：独立完成课堂练习.五、课堂总结师：大家来谈谈这节课的收获．生18：我知道了用函数的观点看方程．生19：我今天学习了数形结合的数学思想．生20：我知道了一次函数与一元一次方程的关系．六、布置作业师：刚刚同学们总结得都很好．本节课就到这儿，作业是教科书习题11．3─1、2、5、8题七、课后反思从函数的角度看：任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 .从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．从方程的角度看：若要确定一次函数y=kx+b的函数值为0时，自变量x的值或求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标，可以转化为解一元一次方程kx+b=0，求方程的解．转化是本节知识中的核心思想方法．本课内容学生掌握情况尚可．。
人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义
课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。
《 一次函数的图象》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时
第四章一次函数4.3 一次函数的图象第2课时教学设计一、教学目标1．经历一次函数图象的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤；经历一次函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力.2．能熟练画出一次函数的图象；掌握一次函数及其图象的简单性质.二、教学重点及难点重点：用“两点法”画出一次函数图象是研究一次函数的性质的基础．难点：直线y=kx+b(k、b是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响．三、教学用具多媒体课件.四、相关资源《正比例函数y=－2x+1的图象的画法》动画或图片，《两点法画图象》的动画，《一次函数y=2x+3，y=－x，y=－x+3和y=5x－2的图象的画法》动画或图片.五、教学过程【复习导入】师：1．什么叫函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．2．函数的表示方法有哪几种?（1）解析法（2）列表法（3）图象法3．同学们，上节课我们学习了正比例函数的图象，请画出正比例函数y=－2x的图象。
【探究新知】1．师：正比例函数y=－2x的图象是过原点的一条直线，那你们知道一次函数y=－2x+1 的图象是什么形状吗?那就让我们一起做一做，看一看，如何作出一次函数？要回答这个问题，必须弄清楚以下几点：（1）函数的图象是由无数个点构成的．（2）这些点在坐标系中是一对一对的有序实数．（3）此解析式实际上是一个二元一次方程，它的一对一对的x、y值可看作是图象上的点的坐标．（4）要找出它的某个点，实际上就是求出这个二元一次方程的一组解．（5）把x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标．（6）把函数作图问题转化为求方程的解的问题．例画出一次函数y =－2x +1的图象。
解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出对应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+1的图象，它是一条直线。
北师大版初中八年级上册数学课件 《一次函数的图象》一次函数PPT(第2课时)
的取值范围是 m>1 .
1
14.( 教材母题变式 )如图,在平面直角坐标系中,点 P - 2 , 在直线
y=2x+2 与直线 y=2x+4 之间,则 a 的取值范围是 1<a<3 .
综合能力提升练
解:( 3 )∵C 为直线 y=x 在第一象限内的图象上的点,则直线上所有
第四章一次函数
一次函数的图象
第2课时
知识要点基础练
知识点1 一次函数的图象
1.一次函数y=kx-k(k<0)的图象大致是(D)
【变式拓展】下面四条直线,可能是一次函数y=kx-k(k≠0)的图象的是(D)
知识要点基础练
2.如图,①y=ax+b,②y=cx+b,③y=ex+b三个一次函数的图象分别由图中的三条直线表示,用
点的横纵坐标相等,
∴将直线 AB 沿射线 OC 方向平移 3 2个单位长度,其实是先向右平
移 3 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,
∴y=2( x-3 )+1+3,即 y=2x-2.
拓展探究突破练
16.对于三个数 a,b,c,用 M{a,b,c}表示这三个数的平均数;用
max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.
图象( 不需列表描点 ),通过观察图象,填空:max{x-1,-|x+1|,-2-x}的
最小值为 -1 .
拓展探究突破练
解:( 2 )∵M{-2,x-1,2x}=max{-2,x-1,2x},
1
M{-2,x-1,2x}= (
3
-2+x-1+2x )=x-1,
八年级数学上册第14章一次函数教学案
14.1.1变量问题一：汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行驶时间为t 小时． １．请同学们根据题意填写下表：２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． ３．试用含t 的式子表示s: s=________,t 的取值范围是 _________ .这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x 张，票房收入y 元．• １．请同学们根据题意填写下表：2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． ３．试用含x 的式子表示y: y=______ ,x 的取值范围是 .这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm ，设重物质量为mkg ，受力后的弹簧长度为L cm.1．请同学们根据题意填写下表：2３．试用含m 的式子表示L: L=____________ ,m 的取值范围是 .这个问题反映了_________随_________的变化过程．小结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的数值是始终不变的。
得出结论： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化．．．．的量为________； 在一个变化过程中，我们称数值始终不变．．．．的量为________； 课堂作业：1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q•（元）与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是 （ ）A ．Q=8x B ．Q=8x-50 C ．Q=50-8x D ．Q=8x+502．甲、乙两地相距S 千米，某人行完全程所用的时间t （时）与他的速度v （千米/时）满足vt=S ，在这变化过程中，下列判断错误的是 （ ）A ．S 是变量 B ．t 是变量 C ．v 是变量 D ．S 是常量 3．在一个变化过程中，__________________的量是变量，•________________的量是常量． 4．长方形相邻两边长分别为x 、•y•，面积为30•，•则用含x•的式子表示y•为:y=_______，则这个问题中，___________常量；_________是变量．5．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．（1）用20cm 的铁丝所围的长方形的长x （cm ）与面积S （cm2）的关系．（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系． 课后作业：1、《大河报》每份0.5元，购买《大河报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是 ，其中 是常量， 是变量。
章复习 第14章 一次函数
章复习 第十四章 一次函数一、一次函数1、一次函数与正比例函数的概念一般地，形如______________________的函数，叫做一次函数．特别地，当b=O 时，解析式就是____________．此时的函数叫做____________．注：正比例函数是一次函数的特殊形式，即正比例函数是一次函数；反之，一次函数不一定是正比例函数．2、一次函数与正比例函数的图象⑴一次函数的图象一次函数的图象都是______，因为一次函数b kx y +=b k k ,,0(=/是常数）过点(O ，______)和（1，______），所以过点(0，______)和（1，______）作直线，即可得一次函数b k k b kx y ,,0(=/+=为常数）的图象．⑵正比例函数的图象正比例函数k k kx y ,0(=/=为常数）的图象是一条过点(0，______)和(1，______)的直线，故过点(0，______)，(1，______)作直线即可得正比例函数kx y =的图象．注:①当b>O 时，将直线kx y =的图象向x 轴上方平移b 个单位长度，就得到b kx y +=1的图象，②当b<O 时，将y=kx 的图象向x 轴下方平移|b|个单位长度，就得到了b kx y +=2的图象．③对于两条直线111:b x k y l +=和222:b x k y l +=，(i)2121k k l l =⇔∥且21b b =/；(ii)12121-=⋅⇔⊥k k l l ；(iii)11与2l 重合21k k =⇔且21b b =．3、一次函数与正比例函数的性质⑴一次函数b kx y +=的性质：①0>k 时，y 随x 的增大而______；0<k 时，y 随x 的增大而______；②|k|越大，直线b kx y +=的倾斜程度______．注：一次函数),,0(为常数b k k b kx y =/+=中，k ，b 符号对图象的影响如下图：①当0,0>>b k 时，直线经过______象限，与y 轴交点在x 轴上方，如图_____；②当0,0<>b k 时，直线经过______象限，与y 轴交点在x 轴下方，如图_____；③当0,0><b k 时，直线经过______象限，与y 轴交点在x 轴上方，如图_____；④当0,0<<b k 时，直线经过______象限，与y 轴交点在x 轴下方，如图_____．⑵正比例函数的性质：①当k>O 时，直线kx y =经过一、三象限，且y 随x 的增大而________；②当k<O 时，直线kx y =经过二、四象限，且y 随算的增大而________；③|k|越大，直线kx y =的倾斜程度________．*注：一次函数值是随自变量的匀速变化而匀速变化的．当一次项系数大于0时，函数值是随自变量的匀速增加而匀速增加，当一次项系数小于0时，函数值是随自变量的匀速增加而匀速减少．这个特征是一次函数所特有的，即如果一个函数，它的值是随自变量的匀速变化而匀速变化的，那么它一定是一次函数（或正比例函数）．4、求一次函数的解析式常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是：①设出函数________；②根据已知条件求出未知的________；③具体写出这个解析式．注：正比例函数有一个基本量k ，需要____个条件；一次函数有两个基本量k 和b ，需____个条件．5、用函数的观点看方程（组）与不等式⑴一次函数与一元一次方程，由于任何一元一次方程都可以转化为b a b ax ,0（=+为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的________的值．注：以上转化相当于已知直线b ax y +=．确定它与x 轴交点的横坐标的值．⑵一次函数与一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以转化为0>+b ax 或)0,,(0=/<+a b a b ax 为常数的形式，所以解一xyO图① x y O 图② x y O 图③ x y O 图④元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求________相应的取值范围．⑶一次函数与二元一次方程（组）一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．所以解方程组相当于确定两条直线____________．二、一次函数的应用现实生活中有许多问题涉及一次函数，一次函数有着广泛的应用，如行程、温度、运费等问题。
数学 中考 第一轮 单元讲义(含中考真题)第14章 一次函数1
第十四章一次函数本章小结小结1 本章概述本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．小结2 本章学习重难点【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．小结3 学法指导1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．知识网络结构图一次函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法变量与函数一次函数正比例函数定义：形如y＝kx(k≠0)的函数性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小一次函数定义：形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小待定系数法求函数关系式函数与方程(组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式就转化为方程(组)：当函数值是一个范围时，函数关系式就转化为不等式；两直线的交点坐标就是二元一次方程组的解一次函数的实际应用专题总结及应用一、知识性专题专题1 函数自变量的取值范围【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论． 例1 函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ( ) A ．x ≠0 B ．x ≠1C ．x ≠2D ．x ≠－2 分析 由x ＋2≠0，得x ≠－2．故选D ． 例2 函数xx y -+=21中，自变量x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥－1 B ．－1＜x ＜2 C ．－1≤x ＜2 D ．x ＜2分析 由⎩⎨⎧≥+-,01,0＞2x x 得⎩⎨⎧-≥,1,2＜x x 即－1≤x ＜2．故选C ．专题2 一次函数的定义【专题解读】 一次函数一般形如y ＝kx ＋b ，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．例3 在一次函数y ＝(m －3)x m －1＋x ＋3中，符x ≠0，则m 的值为 ．分析 由于x ≠0，所以当m －1＝0，即m ＝1时，函数关系式为y ＝x＋1．当m －3＝0，即m ＝3时，函数关系式为y ＝x ＋3；当m －1＝1，即m ＝2时，函数关系式为y ＝(m －2)x ＋3，当m ＝2时，m －2＝0，此时函数不是一次函数．所以m ＝1或m ＝3．故填1或3． 专题3 一次函数的图象及性质【专题解读】 一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为⎪⎭⎫⎝⎛-0,k b ，(0，b )．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置．例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点． (1)画出这个函数的图象； (2)求这个一次函数的解析式．分析 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．解：(1)图象如图14－104所示． (2)设函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧-=+-=+,1,52b k b k 解得⎩⎨⎧==,1,2b k所以函数解析式为y ＝2x ＋1．二、规律方法专题专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系 【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．例5 如图14－105所示，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax－3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 ．分析 由图象知当x ＞－2时，y ＝3x ＋b 对应的y 值大于y ＝ax －3对应的y 值，或者y ＝3x ＋b 的图象在x ＞－2时位于y ＝ax －3的图象上方．故填x ＞－2．专题5 一次函数的应用【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题．例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．(1)写出油箱中余油量Q (升)与工作时间t (小时)之间的函数关系式； (2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时? 分析 由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)．解：(1)设函数关系式为Q ＝kt ＋b (k ≠0)．由题意可知⎩⎨⎧+=+=,322,228b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.40,6b k∴余没量Q 与时间t 之间的函数关系式是Q ＝－6t ＋40． ∵40－6t ≥0，∴t ≤320． ∴自变量t 的取值范围是0≤t ≤320． (2)当t ＝0时，Q ＝40；当t ＝320时，Q ＝0． 得到点(0，40)，(320，0)． 连接两点，得出函数Q ＝－6t ＋40(0≤t ≤320)的图象，如图14－106所示．(3)当Q ＝0时，t ＝320，那么320－3＝323 (小时)． ∴拖拉机还能耕地323小时，即3小时40分．规律．方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的． 三、思想方法专题 专题6 函数思想【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．例7 利用图象解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-②.5①,22y x y x分析 方程组中的两个方程均为关于x ，y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数．由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解． 解：由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5．在平面直角坐标系中画出一次函数y ＝2x －2，y ＝－x －5的图象，如图14－107所示．观察图象可知，直线y ＝2x －2与直线y ＝－x －5的交点坐标是(－1，－4)．∴原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.4,1y x规律·方法 解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．例8 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL ．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了y mL 水． (1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头几小时?分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL ，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．解：(1)y 与x 之间的函数关系式为y ＝360x (x ≥0)． (2)当y ＝1620时，有360x ＝1620，∴x ＝4．5．∴当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头4．5小时． 专题7 数形结合思想【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．分析 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB ＝OA ＝2，所以点B 的坐标为(0，－2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)．∵OA ＝OB ，点A 的坐标为(2，0)， ∴点B 的坐标为(0，－2)．∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y ＝kx ＋b ， ∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k∴一次函数的解析式为y ＝x －2．【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用． 专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．例10在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录?分析 根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t (s)与赛车速度v (m ／s)之间的关系，在10 s 内，赛车的速度从0增加到7．5 m ／s ，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．解：观察图象可知．当t 在0～1 s 内时，速度v 与时间t 是正比例函数关系，v ＝7．5t (0≤t ≤1)．当t 在1～8 s 内时，速度v 保持不变， v ＝7．5(1＜t ≤8)；当t 在8～10 s 内时，速度v 与时间t 是一次函数关系，设一次函数为v ＝kt ＋b (k ≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)， 则⎩⎨⎧+=+=,100,85.7b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.5.37,75.3b k∴v ＝－3．75t ＋37．5(8＜t ≤10)．即7.5(01),7.5(18),3.7537.5(810).t t v t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩专题9 方程思想 【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．例11 已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点A (－3，－2)及点B (1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，通过解方程组求出k ，b 的值，从而确定函数关系式． 解：由题意可知⎩⎨⎧=+-=+-,6,23b k b k ∴⎩⎨⎧==.4,2b k∴函数关系式为y ＝2x ＋4．图象如图14－110所示．。
新人教版八年级数学上册第14章一次函数精品课件
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活动二.分析思考,理解定义 1.问题:正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2， 你能想 到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？ 2.定义. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每 对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些 点组成的图形，就是这个函数的图象。
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例2 .在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对 应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象:
（1）y=x+0.5; 解:
(2)y= 6 (x&g009 版权所有 盗版必究
活动四:知识巩固,课堂练习 1.课后小练习1，2题 2.思考:画函数图象的一般步骤是什么？ 活动五.知识梳理,课堂小结 （1）什么是函数图象 （2）画函数图象的一般步骤 活动六.知识反馈,布置作业 课本第106-107页第5,6,7题
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活动三.知识应用,强化提高 例1.下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米 地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小明离家的距离. 根据图象回答问题:
(1)菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？； (2)小明给菜地浇水用了多少时间？ (3)菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ (4)小明给玉米锄草用了多少时间？ (5)玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多 少？
新人教版八年级数学上册第14章一次函数 第1节变量与函数第3小节 第1课时函数图象
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活动三.共同探究,理解知识 1.例题.画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个 函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律. １.y=2x ２.y=-2x
学生通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规 律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过 程,从而提高各方面能力及学习兴趣.并能正确画图、积极 探索、总结规律、准确表述.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
画出图象如图(1). (2)y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应 值:画出图象如图(2).
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(3)分析比较两个图象的共同点和不同点 1)共同点:都是经过原点的直线. 2)不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的 增大y也增大；经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向 右呈下降状态,即随x增大y反而减小；经过第二、四象限.
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟) 套上标志环.４个月零１周后人们在2.56万千米外的澳 大利亚发现了它. (１)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 (精确到10千米)？ (２)这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有 什么关系？ (３)这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
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活动四.自己动手,课堂练习
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行
比较.(１)y=0.5x
(２)y= -0.5x
北师大版八年级数学上册一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质
13．已知正比例函数y＝kx(k≠0)，点(2，－3)在函数上，则y随x的 增大而__减__小____．(填“增大”或“减小”) 14．若点A(－5，y1)和点B(－2，y2)都在函数y＝2x的图象上，则 y1__＜__y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
15．已知函数y＝(k＋3)x. (1)k为何值时，函数为正比例函数？
7．若点A(2，4)在函数y＝kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的 是( A )
A．(1，2) B．(－2，－1)
C．(－1，2) D．(2，－1) 8．函数y＝－4x的图象是经过点(0，__0__)与点(1，_－__4_)的一条直线．
9．已知函数y＝(2－m)x＋2m－3，当m为何值时？ (1)此函数为一次函数； 解：m≠2. (2)此函数为正比例函数．
序号)
4．当x<0时，函数y＝－2x在(B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如果y＝mxm2－8是正比例函数，且其图象在第二、四象限，那么m的 值是_－__3_． 6．函数y＝6x的图象是经过点(0，__0__)和点(__1__，6)的一条直线，点A(2 ，4)_不__在_(填“在”或“不在”)直线y＝6x上．
图象时，只要再确定_一___个点，过这点与原点作直线就可以了．
练习1：函数y＝－
1 2
x的图象在第
二、四
象限．
4．在正比例函数y＝kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而_增__大_；当k<0
时，y的值随着x值的增大而_减__小_．
练习2：若正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数值y随着x的增大而减 小，则k的值可能是_－__1_．(写出一个即可)
t(分) … 2 4 6 8 10 … Q(m3) … 4 8 12 16 20 …
详解 14 章 一次函数
第十四章 一次函数14.1 变量与函数14.1.1 变量知能新视窗知识结构学点博览学点1 变量和常量在一个变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，我们称它为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量．理解要点：（1）判断一个量是常量还是变量的方法，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况．（2）变量与常量必须存在同一个变化过程中，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的．如：圆的半径R 和周长C 的关系式C=2πR 中，其中C 、R 可取不同数值是变量，而圆周率π和2都保持不变，是常量．（3）在某一个变化过程中，变量、常量都可以有多个，常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）． 学点2 变量与常量的关系常量与变量是相对的，变量是随不同的问题而有所不同，在这个式子中是变量，也许在其它式中就是常量，也就是说一个量是否是变量、常量是相对的，要看具体问题而定。
理解要点：（1）相对性：例如，在汽车行驶中有三个量：路程S ，行驶时间t,速度v ，当速度v 一定时，路程S 与时间t 是变量，速度v 是常量；当行驶时间t 一定时，路程S 与速度v 是变量，行驶的时间是常量;当路程S 一定时，速度v 与时间t 是变量，路程S 是常量．（2）常量也可以是常数，如C=2πR 中π是常数．名师开小灶金考点考点1 判断变化过程中的变量和常量常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它的判别应紧扣定义及相应的实际情境．[例1]指出下列各关系式中的常量与变量（1）圆的面积公式S=πr 2（S 是圆的面积，r 是半径）中，变量是 ，常量是 ． （2）求补角的公式y=180°－x 中，变量是 ，常量是 ． （3）△ABC 的底边是a ，底边的高为h ，则△ABC 的面积S=21ah ，若h 为一定长，则此式中，变量是 ，常量是 ．[点拨]根据变量、常量的定义，抓住“变“与”不变”来解答． [解答]（1）S 和r ，π （2）y 和x ，180° （3）S 和a, 21和h[方法规律]根据实际问题情境，判断“量”的变化与否，数值发生变化的量是变量，否则为常量．考点2 常量和变量的相对性常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的．[例2]（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=πR2h在这个式子中，常量和变量分别是什么？（2）设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式是V=πR2h中在这个式子中，常量和变量分别又是什么？[点拨]常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，并非一成不变。
人教版数学八年级下册课件 19.2一次函数的图像和性质 (共28张PPT)
课堂小结
说一说你在这节课上都收 获到了什么知识？
时间是一个常数,但对勤 奋者来说,是一个“变数”.
你在学业上的收获与你 平时的付出是成正比的
求出y=kx+b（k,b为常数，k≠0） 的图像与x轴、y轴的交点，你发现 了什么规律？
结论：
函数y=kx+b（k，b为
常数，k≠0）的图像
与x轴交于（-
b k
，0）
与y轴交于（0，b）
用你认为最简单的方法画出函 数y=2x-1与y=-2x+l的图象.
思考：一次函数解析式y=kx+b (k, b是常数，k≠0)中，k的正负对 函数图象有什么影响？（3分钟）
即它可以看作由直线
y=x向_上___平移 2 个
1 2 3 x 单位长度而得到．
函数y=x-2的图象与y轴 交于点(0,-2)，即它可以看
作由直线y=x向下 平移_2_
个单位长度而得到．
一次函数y=3x-4的图象是 什么形状？它与直线y=3x有什 么关系？
函数y=-2x+3的图像是由 哪个正比例函数的图像平移 得到的？ 需要平移几个单位 长度？
y=-2x+1
y
o·· x
y=-2x-1
k的取值范围 b的取值范围
的象限
一、三、二
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
二、四、一
k<0
b<0
二、四、三
比一比看谁记得快，你发现 什么规律了么？
直线y=2x-3与x轴交点坐标为_(_23__,0_)_, 与y轴交点坐标为_（__0_，_-_3_）__ 图象经过第__一_、__三_、__四__象限, y随x增大而__增__大_______.
八年级数学一次函数图像课件人教版
320 200 320 200 3 8
y/ 升
Ｏ
Ａ．
x/ 分
Ｏ
3
11
Ｂ．
x/ 分
y/升 y/ 升
320 200 200 3 11
Ｏ
Ｃ．
x/ 分
Ｏ
3
11
Ｄ．
x/ 分
4 ．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果
两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图 中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图 中信息可知，下列结论中正确的是（ B ） ． Ａ．李华先到达终点 Ｂ．弟弟的速度是8米／秒 Ｃ．弟弟先跑了10米 Ｄ．弟弟的速度是10米／秒
y/千 米
2
1.1
小 明
o
15 25
37
55
80
x/分
你能回答下列问题了吗?
1.从家到菜地用了多少时间? 菜地离小明家有多远? 2.小明给菜地浇水用了多少时间? 3.从菜地到玉米地用了多少时间? 菜地离玉米地有多远? 4.小明给玉米地锄草用了多少时间? 5.玉米地离家有多远?小明从玉米 地回家的平均速度是多少?
2
y/千 米
1.1
小 明
o
15 25
37
55
80
x/分
y/千米
2 1.1
o
解：由图象的横纵坐标来看：
15 25 37
55
80
x /分
（1）菜地离小明家 1.1千米，小明从家到菜地用了15分； （2）小明给菜地浇水用了 25－15=10 分； （3）菜地离玉米地 2－1.1=0.9 千米，小明从菜地到玉米地用了 （4）小明给玉米地锄草用了 55－37=18 分； （5）玉米地离小明家 2千米；小明从玉米地走回家用了 80—55=25 分，平均速度 是 0.08千米／分．
一次函数的图像和性质
③函数 ，中，b=，它的图像都经过（0，），即点。
学生独立完成师生共同反馈
从本节针对性训练到与前面所学知识的综合性训练，学生既能巩固基础知识，又可以提高自己综合运用新知的能力。同时设置了一道能够利用多种方法来解答的习题，积极调动学生思维，给学有余力的学生展示自己的空间，同时也能培养学生的抽象归纳概括能力。
但是否会解决问题，是否学生真的都进行了彻底的思考，可能会影响到学习效果。就像这节课，学生在讨论性质时，场面很热闹，在总结时又好像都没问题，但在解决问题时（小测和作业中的反映）非常容易出错。
教学反思
本节课立足于“一次函数的概念、图象和性质”这一教学重点，从创设情境、提出问题，到新课学习、规律发现，再到例题，小结，练习，老师不断地引导，学生不断地思考、讨论，在这个过程中，认识了一次函数的形式，会用两点法画一次函数的图象，并且能够结合图象获取相关信息（得出性质）。从整节课的效果上看，学生们学的还是很有信心，也很积极主动，学习气氛也很浓烈。这节课知识点比较多，但都算基础，关键是教学设计能够牵着学生主动去探索知识。
学生分析解题思路，配合老师做例题，这样学生运用新知的同时，又进一步加深对新知的理解与渗透。
3、反馈练习，巩固提高
①一次函数 中k=； 中k=；
两个图像的相同之处是：从左到右图象（上升或下降），即 随 的增大而；（此时k0）
②一次函数 中k=； 中k=；
两个图像的相同之处是：从左到右图象（上升或下降），即 随 的增大而；（此时k0）
北师大版八年级数学上册：4.3 一次函数的图象 课件(共36张PPT)
课堂小结 3、一次函数 y kx b 的图象：
一次函数的图象是一条直线。
4、一次函数 y kx b 图象的画法： 用两点法画一次函数的图象。
C
4x
y
O
y
x
5
•
4
3•
2
•1
-2
-1
•
0
-1 1
2
3
x
例1:画出一次函数y=2x+1的图象
⑴先列表：
自变量的值和函数的对应值具有代表性
x
… -2 -1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
(2) 描点
将自变量的值和对应的函数值分别作为、 纵坐标，在坐标系中描出表格中的各点；
课堂小结
1、函数图象的定义：
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值 分别作为横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出 它的对应点，所得这些点组成的图形叫做该函数 的图象。
课堂小结
2、作函数图象的一般步骤：
(1)列表：选择具有代表性的自变量的值和函数的 对应值列成表格； (2)描点：将自变量的值作为横坐标，对应的函数 值作为纵坐标，在坐标系中描出表格中的各点； (3)连线：按自变量从小到大的顺序，把所有点用 平滑的曲线连接起来。
b
．
第 4 题. 如果函数 y x b 的图象经过点 P(0，1) ，则它经过 x 轴上的点的坐标
为
．
第 5 题. 若一次函数 y mx (4m 4) 的图象过原点，则 m 的值为
．
第 6 题. 若三角形的一边长为 6，这边上的高为 h式； （2）画出此函数的图象．
一次函数的图象
复习旧知
若两个变量x ,y间的关系式可以 表示成__y_=_kx_+_b___(k,b为_常__数__且k ____0_)的形式,则称y是x的一次函数 (x为_自_变__量__,y为_因_变_ 量__ ).特别地,当 b=__0_时,(即 y=kx)称y是x的正比例 函数.
2014-2015年数学-八年级上册-第14章一次函数-人教课标版-皮雄亚-神湾中学
第1课时 变量与函数学习目标：1.了解变量和常量的概念，会正确说出某一变化过程中的变量和常量；2.了解函数的概念，知道函数的三种表示方法；一．知识准备1. 已知某汽车以60千米/小时的速度匀速行使，行使t 小时的路程S ＝ ；2. 已知长方形的长为10厘米，宽为x 厘米，则长方形的面积y ＝ 平方厘米；长方形的周长C ＝ 厘米；3.圆的半径为r ，则圆的面积S ＝ ；二．知识探究 探究一：1.已知铅笔每支x 元，则购买10支铅笔的总钱数y ＝ ；2.已知弹簧的原长为10cm ，在弹性限度内，重量每增加1千克，弹簧的长度增加0.5cm ，则挂重x 千克的物体后，弹簧的总长度y ＝ ；3.如图，已知长方形的周长为20cm ，若长方形的长为xcm ， 则长方形的面积y ＝ ；观察上面的变化过程，我们发现，某些量在发生变化，某些量保持不变。
概念：在某一变化过程中，数值发生改变的量，叫做 ，数值始终保持不变的量，叫做 ；探究二：1.在关系式S ＝60t 中，当t ＝1时，S ＝ ；当t ＝5时，S ＝ ；2.在关系式100.5y x =+中，当x =2时，y ＝ ；当x ＝10时，y ＝ ；3.在关系式(10)y x x =-中，当x =2时，y ＝ ；当x ＝5时，y ＝ ；从上面，我们可以发现，当一个变量有一个确定的值时，另一个变量有一个唯一确定的值与它对应。
函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们说y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量；x在实际问题中，函数主要有以下三种表示方法：1.用函数表达式表示，如上面的关系式2S r π=等，称为解析法，上面的表达式也叫解析式；2.图像法：用图像表示变量之间的变化关系，如图2；3.列表法：用表格的形式表示变量之间的变化关系，如图3；中国人口数统计表函数值：如果当x a =时，y b =，那么a 时的函数值； 例1：购买一些铅笔，单价为0.2元/枝，总价y 随铅笔枝数x 的变化而变化； （1）写出y 关于x 的函数解析式；并指出常量和变量； （2）求当x ＝10时的函数值；三．课堂练习1. 某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y （元）与学生数n （个）的关系 式是 。
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（八年级数学）第14章一次函数（四）——一次函数图象
第 周星期 班别 姓名 学号 一、学习目标：
1、会求一次函数与坐标轴的交点；
2、会用两点法画一次函数的图象。
二、学习过程：
1、复习：求一次函数与坐标轴的交点坐标。
已知一次函数21y x =+，求函数与x 轴、y 轴的交点坐标。
解：
2、知识点一：用两点法画一次函数图象 例1：已知一次函数2y x =，画出图象。
方法一：①列表 方法二：①列表
②描点 ③连线 ②描点 ③连线
④两种方法画出的图象 （相同或不同）；正比例函数的图象可能是一条 。
x 0 1 y
（x ，y ）
x … -2 -1 0 1 2 … y
… … （x ，y ）
…
…
例2：已知一次函数1y x =+，画出它的图象。
方法一：①列表 方法二：①先求与x 轴和y 轴的交点坐标
②描点 ③连线 ②描点 ③连线
④两种方法画出的图象
（相同或不同）；一次函数的图象可能是一条 ；
⑤画一次函数图象的简便方法：
∵两点 一条直线，
∴画 点，连线，即可得到正比例函数和一次函数的图象。
正比例函数和一次函数的图象都是一条 。
练习：
1、已知一次函数21y x =-，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。
解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点
（2）描点 （3）连线
x … -2 -1 0 1 2 … y
… … （x ，y ）
…
…
x 0 y
0 （x ，y ）
x 0 y
0 （x ，y ）
2、已知一次函数1y x =-+，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。
解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点
（2）描点 （3）连线
3、已知一次函数1
22
y x =-+，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。
解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点
（2）描点 （3）连线
4、已知正比例函数3y x =，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。
（1）先求与x 轴和y 轴的交点
（2）∵正比例函数3y x =与x 轴的交点和 与y 轴的交点都是（ ， ）。
∴画正比例函数图象需要另外找一个点
x 0 y
0 （x ，y ）
x 0 y
0 （x ，y ）
x 0 y
0 （x ，y ）
x 0 1 y
（x ，y ）
5、已知正比例函数3
y x
=-，
6、已知一次函数42
y x
=--，求直线与x轴和y轴的交点坐标，并画出它的图象。
解：（1）先求与x轴和y轴的交点
（2）描点
（3）连线
7、已知一次函数25
y x
=-+，求直线与x轴和y轴的交点坐标，并画出它的图象。
解：（1）先求与x轴和y轴的交点
（2）描点
（3）连线
归纳：
正比例函数的图象是一条；一次函数的图象是一条；它们的图象都可以用点法画出。