匀速圆周运动动力学问题及实例分析

高三物理二轮专题学案

匀速圆周运动动力学问题及实例分析

课时：2 编写人：郭 云 编号：03—04

【问题导引】

一、圆周运动的动力学问题

解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解.

二、圆周运动的临界问题

圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题.

1.在竖直面内做圆周运动的物体

竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v 临＝Rg .绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.

竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v

临＝0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧

向力.

2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题.

【典例精析】

1.圆周运动的动力学问题

【例1】质量为m 的物体沿着半径为r 的半球形金属

球壳滑到最低点时的速度大小为v ，如图所示，若物

体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时

( )

A.向心加速度为r v 2

B.向心力为m(g ＋r

v 2) C.对球壳的压力为r mv 2 D.受到的摩擦力为μm(g ＋r v 2)

【拓展1】铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之相对应的轨道的高度差h.

(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h 的设计值.

(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α) 2.圆周运动的临界问题

【例2】过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最

低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R

1＝2.0 m、R

2

＝1.4 m.一个质量为m＝

1.0 kg的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A点以v

＝12.0 m/s的初速度沿轨

道向右运动，A、B间距L

1

＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足

够长，圆形轨道间不相互重叠.重力

加速度取g＝10 m/s2，计算结果保

留小数点后一位数字.试求：

(1)小球在经过第一个圆形轨

道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；

(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的

设计中，半径R

3

应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离.

【拓展2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小

球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )

A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零

B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零

C.若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为

零

D.若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力

【例3】如图所示，两绳系一质量为m ＝0.1 kg 的小球，两绳的另一

端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长l ＝2 m ，两绳拉直时与轴的

夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力

(取g ＝10 m/s 2)？

【拓展3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其

轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l 的绳，

一端固定在圆锥体的顶点O ，另一端系一个质量为m 的小球(可视

为质点)，小球以速率v 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周

运动.试分析讨论v 从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的

支持力及摆角的变化情况.

【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为

v 0.设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的

合力为零，那么m 1、m 2、R 与v 0应满足的关系式是：

【错解】依题意可知在A 球通过最低点时，圆管给A 球向上的弹力N 1为向心力，则有

N 1＝m 1R v 20 ①

B 球在最高点时，圆管对它的作用力N 2为m 2的向心力，方向向下，则有

N 2＝m 2R v 21 ②

因为m 2由最高点到最低点机械能守恒，则有

m 2g2R ＋2022122121

v m v m = ③

N 1＝N 2

由①②③式解得v 0＝1

224m m gR m - 【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N 1＝N 2，但实际并没有真正明白为什么

圆管给m 2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功——受力分析不

过关.

【正解】