有限元基本原理与概念资料
有限元的基础理论
§1有限元的基础理论§1-1 概述有限元法是一种数值计算的近似方法。
早在40年代初期就已有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到50年代中期，高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件，才使有限元法得以迅速发展。
有限元法在西方起源于飞机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德的J.H.Argyris教授，于1954–1955年间，他在《Aircraft engineering》上发表了许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书成为有限元法的理论基础。
美国的M.T.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人于1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，说明了如何利用计算机进行分析。
美国教授R.W.Clough于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首次提出了有限元法的名字。
1965年英国的O.C.Zienliewice教授及其合作者解决了将有限元应用于所有场的问题，使有限元法的应用范围更加广泛。
有限元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。
发展至今，不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构，而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。
而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂，也不论材料的性质和外载荷的情况如何，原则上都能应用。
§1-2 有限元的基础理论有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连接而组成整体。
把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。
先对单元进行特性分析，然后根据各节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。
这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。
有限元分析原理
有限元分析原理有限元分析是一种工程数值分析方法，用于求解结构、流体、热传导等领域的复杂问题。
它通过将整个问题分解为有限数量的小元素，利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个系统的行为。
有限元分析原理是有限元方法的基础，下面将对其进行详细介绍。
有限元分析的基本原理是将连续的问题离散化为有限数量的小元素，然后利用数学方法对这些小元素进行计算。
这些小元素通常是由节点和单元组成，节点是问题的离散点，而单元则是连接这些节点的小区域。
通过对每个单元的行为进行分析，可以得出整个系统的行为。
在有限元分析中，通常会使用一些数学模型来描述问题的行为。
这些数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，可以描述结构的刚度、流体的流动、热传导等各种物理现象。
通过将这些数学模型与有限元离散化方法相结合，可以得出问题的数值解。
有限元分析的核心思想是将复杂的问题简化为小的、简单的元素，然后通过对这些元素进行计算，得出整个系统的行为。
这种离散化的方法使得原本复杂的问题变得更容易处理，同时也为分析提供了更多的灵活性和精度。
在实际工程中，有限元分析被广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等领域。
它可以帮助工程师们更好地理解和预测系统的行为，从而指导工程设计和优化。
同时，有限元分析也为新材料、新结构的设计提供了重要的工具和方法。
总的来说，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化和数学建模的方法，帮助工程师们更好地理解和预测系统的行为。
有限元分析原理是有限元方法的基础，对其进行深入的理解和掌握，对于工程技术人员来说至关重要。
通过不断地学习和实践，我们可以更好地运用有限元分析方法，为工程实践提供更多的帮助和支持。
有限元基本概念
单元位移的一般表达形式：
选定单元的类型和位移函数之后，我们可将单元位移 表示为以单元节点位移为插值点的插值函数，并用矩阵表示 之。 单元中任意点的位移：
其中：
——形函数 ——单元节点位移
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
根据物理方程——应力与应变的关系：
1 c r bs 2 1 cr c s br bs 2
K ii 、 K jj
分割子矩阵
K rs T K sr
K
e
对称、奇异、稀疏矩阵
§8-5 结构刚度矩阵
本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平 衡式，包括结构刚度矩阵的建立。
数，由于形函数是我们假设的近似函数，所
以等效的过程是一个近似计算的过程。
边界条件的处理
边界条件处理的必要性： 总刚度矩阵为奇异矩阵，要将边界的条件代入消除 奇异性。 从位移边界而言一般有几种类型的边界条件： ①指定某些节点具有不变的确定性位移； ②某些点上的位移=零 ③某节点为弹性边界——节点的反力与节点位移具有线性 或非线性的关系。
Fi
P
各单元因节点发生可能位移 而产生的节点力之合。 可由各单元刚度矩阵依对号入座方式 形成
具有n个节点的结构,总节点力平衡方程式为：
K 11 K 21 K i1 K n1 K 12 K 22 Ki2 K n2 K1 j K2 j K ij K nj K 1n 1 P1 K 2 n 2 P2 K in i Pi K nn n pn
有限元入门
有限差分方法
(Finite Differential Method)
该方法将求解域划分为差分网格，用有限 个网格节点代替连续的求解域。有限差分 法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中 的导数用网格节点上的函数值的差商代替 进行离散，从而建立以网格节点上的值为 未知数的代数方程组。该方法是一种直接 将微分问题变为代数问题的近似数值解法， 数学概念直观，表达简单，是发展较早且 比较成熟的数值方法。
三、 塑性加工中的有限元法概述
有限元法与其它塑性加工模拟方法相比，功能最 强、精度最高、解决问题的范围最广。它可以采 用不同形状、不同大小和不同类型的单元离散任 意形状的变形体，适用于任意速度边界条件，可 以方便地处理模具形状、工件与模具之间的摩擦 、材料的硬化效应、速度敏感性以及温度等多种 工艺因素对塑性加工过程的影响，能够模似整个 金属成形过程的流动规律，获得变形过程任意时 刻的力学信息和流动信息，如应力场、速度场、 温度场以及预测缺陷的形成和扩展。
1-7 有限单元法的基本内容
有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛 函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载 体是有限元分析软件。必须掌握的基本内容应包括： 1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念） 2、数学求解原理（即能量原理） 3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（有限元分析 步骤） 4、有限元法的应用（即有限元法的工程问题研究） 5、各种分析建模技巧及计算结果的评判 6、学习典型分析软件的使用，初步掌握一种塑性有限元 软件 注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具
有限元基本原理与概念
图（c）的单元是三角形块体（注意：三角
形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。
取各结点位移 δi (ui vi )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δi (i 1,2,) 来表示。
• 淬火3.06 min 时的 温度分布
导出方法
• 淬火3.06 min 时的 马氏体分 布
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量：
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
• 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法， 变分原理和加权余量法。
• 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限 元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
有限元基础知识归纳
有限元基础知识归纳(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
有限元法的基本概念和特点
边界条件和载荷对分析结果的影 响
边界条件和载荷的设置直接影响分析结果 的精度和可靠性，因此需要仔细考虑和验 证。
03 有限元法的特点
适应性
有限元法能够适应各种复杂形状和边 界条件，通过将连续的求解域离散化 为有限个小的单元，实现对复杂问题 的近似求解。
有限元法的适应性表现在其能够处理 不规则区域、断裂、孔洞等复杂结构 ，并且可以根据需要自由地组合和修 改单元，以适应不同的求解需求。
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通过将不同物理场（如结构、流体、电磁等）耦 合在一起，可以更准确地模拟复杂系统的行为。
多物理场耦合分析将为解决复杂工程问题提供更 全面的解决方案面具有重要作用。
通过先进的建模技术和优化 算法，可以更有效地设计出 高性能、轻量化的结构。
有限元法在结构优化方面的应 用将有助于提高产品的性能和
近似性
利用数学近似方法对每个单元体的行 为进行描述，通过求解代数方程组来 获得近似解。
通用性
适用于各种复杂的几何形状和边界条 件，可以处理多种物理场耦合的问题。
高效性
通过计算机实现，能够处理大规模问 题，提高计算效率和精度。
02 有限元法的基本概念
离散化
离散化
将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接的单元，每个单 元称为“有限元”。
随着计算机技术的发展，有限元法的精度不断提高，对于一些高精度要求的问题 ，有限元法已经成为一种重要的数值分析工具。
04 有限元法的应用领域
工程结构分析
01
02
03
结构强度分析
通过有限元法，可以对工 程结构进行强度分析，评 估其在各种载荷条件下的 稳定性。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
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4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
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2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元概念
1、有限元的概念有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展，它的基本思路就是将复杂的结构看成由有限个单元仅在节点处连接的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立县官的物理量之间的相关联系。
然后，依据单元之间的联系，再将各单元组装成整体，从而获得整体性方程，再应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。
这种先“化整为零”，然后再“集零为整”和“化未知为已知”的研究方法，是有普遍意义的。
有限单元法作为一种近似的（除杆件体系结构静力分析外）数值分析方法，它借助于矩阵等数学工具，尽管计算工作量很大，但是整体分析是一致的，有限强的规律性和统一模式，因此特别适合于编制计算机程序来处理。
一般来说，一定前提条件下的分析近似值，随着离散化网络的不断细化，计算精度也随之得到改善。
所以，随着计算机硬件、软件技术的飞速发展，有限单元分析技术得到了越来越多的应用，40多年来的发展几乎涉及了各类科学、工程领域中的问题。
从应用的深度和广度来看，有限单元法的研究和应用正继续不断地向前探索和推进。
有限元法是随电子计算机应用的日益普及和数值分析技术日益发展而迅速发展的一种新颖有效的数值方法。
它在50年代起源于飞机结构的矩阵分析，60年代开始被推广用来分析弹性力学平面问题。
由于它所依据的理论的普遍性，很快就广泛应用与求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题。
目前已再各个工程技术领域中得到了十分广泛的应用。
2、有限元的发展概况从经典结构力学派生的结构矩阵分析方法，早就用于建筑工程的复杂钢架等的分析。
但这些结构本身都是明显地由杆件所组成，杆件的特性可通过经典的位移分析来建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但它与目前广泛应用的有单元法是有本质区别的。
前者只能用以分析具有已知单元结点力－单元结点位移关系的杆件体系结构，而不能分析非杆件体系的连续体结构。
因为对离散所得的非杆件连续体单元，无法像矩阵位移法那样用传统方法建立起单元结点力和单元结点位移之间的关系。
2.有限元基本原理_2011_pdf
2.2. 有限元法基本原理2011-10-1302.有限元法基本原理一、什么是有限元法有限元法是结构分析的一种数值计算方法。
它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。
理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效理论基础牢靠物理概念清晰解题效率高，适应性强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
有限元法F inite E lements M ethod2.有限元法基本原理有限元法的雏形阿基米德问题约250 B.C.): 用内接正多边形的周长()去逼近圆周长以求得π 值z 将连续体进行离散化有限元法基本思想的雏形S pace S tructure R esearch C enter , HIT, CHINA 2z 计算各正多边形边长的值z 用各边的边长总和近似代替园周长2.有限元法基本原理二、有限元法的发展历史z1943年R. Courant用三角形区域上的多项式函数(形函数)解决扭转问题。
1946电子计算机问世使结构分析发生重大变革z年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革；z50年代由德国工程师提出用能量原理和矩阵方法来计算航空器的结构强度，逐渐波及土木工程；z1960年由R. H. Clough命名“有限单元法（FEM)以来，有限元法蓬勃发展。
法”（以来有限元法蓬勃发展z在60年代初开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序，但真正的CAE软件是诞生于70年代初期，而紧接的30年则是CAE软件商品化的发展阶段。
S pace S tructure R esearch C enter, HIT, CHINA32.有限元法基本原理三、有限元常用术语单元：有限元模型中每一个小的块体；z线、三角形、四边形、四面体、六面体。
节点确定单元形状表述单元特征连接相邻单 节点：确定单元形状、表述单元特征、连接相邻单元的点；载荷：外在施加的力或力矩；不同的学科有所区别；z集中力、分布力、力矩、温度、磁场。
有限元法基础理论
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。 （2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有 两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
它最早由Courant、Bubnov和Galerkin等人在20世纪50年代提出，并在以后的几十年中得到了广泛的发展和应用。
有限元方法的基本原理是将要求解的区域分割成若干个小的子区域，通常称为有限元，每个有限元内部的物理量可以用一个简单的数学表达式来表示。
然后，通过在有限元之间建立连续性条件，将整个问题转化为一组代数方程，进而得到数值解。
有限元方法的基本步骤包括：建立有限元模型、离散化、建立代数方程、求解代数方程和后处理。
下面将详细介绍每个步骤的具体内容。
第一步，建立有限元模型。
该步骤主要是对要求解的问题进行数学建模，包括选择适当的坐标系、定义物理量和约束条件等。
通常，物理问题可以通过连续介质假设，将其离散化为一组小的有限元。
第二步，离散化。
将要求解的区域划分为有限个小的子区域，通常称为有限元。
常见的有限元形状包括三角形、四边形和六面体等。
有限元的选择通常是根据问题的几何形状和物理条件来确定的。
第三步，建立代数方程。
有限元方法的核心是建立代数方程，用于描述物理问题在离散点上的数值解。
代数方程通常是通过施加适当的数学形式和边界条件来建立的。
建立代数方程的基本思想是使用一组试验函数来近似描述有限元内部的解。
通常采用Galerkin方法，即在离散点上进行加权残差积分，使得残差的加权平均为零。
第四步，求解代数方程。
一旦代数方程建立完成，就可以使用数值方法求解这组代数方程。
常见的求解方法包括直接法和迭代法等。
直接法适用于方程较小的情况，而迭代法适用于方程较大的情况。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。
第五步，后处理。
求解代数方程后，需要对结果进行后处理和分析。
后处理包括计算和显示物理量、绘制图形以及进行误差估计等。
通过后处理，可以对模型进行验证，并对结果进行解释和解释。
有限元基本原理与概念
有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。
它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。
有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。
有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。
离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。
2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。
它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。
3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。
该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。
4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。
这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。
5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。
这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。
有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。
常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。
2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。
节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。
3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。
在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。
4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。
这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。
5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。
有限元分析理论基础
2 有限元法的基本原理2.1有限元简介有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
有限元分析理论基础-大全-超详细
应力的单元平均或节点平均处理方法
最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。
• 1.取相邻单元应力的平均值 这种方法最常用于 3 节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得
到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元 形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力
们的平均值作为该节点的最后应力值 ，即 i
i
1
m
m
e i
e 1
其中，1~m 是围绕在 i 节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。
有限元法求解问题的基本步骤
1.结构离散化
对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；
2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)
虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们 上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则 它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。
虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指 出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于 小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式； 虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。 虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的 功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它 们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而 言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
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应用插值公式，可由 因此称为位移模式。
δ
e 求出位移
d。
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。 所以三角形单元的位移模式，可取为：
u 1 2 x 3 y , （ a） v 4 5 x 6 y。
导出方法
• 型材挤压成形的分析。型材在挤 压成形的初期，容易产生形状扭 曲。
• 螺旋齿轮成形过程的分析
第六章 用有限单元法解平面问题
有限元应用实例
• 焊接残余应力分析（用Sysweld完 成）
导出方法
• 结构与焊缝布置
• 焊接过程的温度分布与轴向残余应力
第六章 用有限单元法解平面问题
有限元应用实例
首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 E D μ 2 1 μ 0 μ 1 0 (c )
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
虚功方程:
(δ ) F
* T
y
Fiy ,vi*
i
Fjy , v* j
j
其中:
• δ*
A
(ε* )T σdxdyt
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
有限单元法的形成与发展
•
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不 同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以 回顾到二十世纪 50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和 工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架 结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在 结构上存在相似性。 • 1956 年 M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移 法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和 矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与 节点位移关系的单元刚度矩阵。 • 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量 原理和结构分析论文。 • 1960年，Clough在他的名为“ The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element） 这一术语。
(a) 桁架
(b) 深梁（连续体）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
• 将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构 成所谓‘离散化结构’。
(c)
深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 • 图（c）与图( a）相比，两者都是离
• 淬火3.06 min 时的 温度分布
导出方法
• 淬火3.06 min 时的 马氏体分 布
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
•
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法， 变分原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限 元法就是变分原理中 Ritz 近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。 • 1965年O.C.Zienkiewicz 和Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能 写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相 同步骤求解。 • 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
基本物理量： 体力: f ( f x
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x
应变: 应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。
ε (ε x ε y γxy )T 。 σ (σ x σ y τ xy )T 。
F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
•
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的 工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大 的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
算法与有限元软件
• 从二十世纪 60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限 元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。 • 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： • 大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方 法。 • 目前应用较多的通用有限元软件如下表所列： 软件名称 MSC/Nastra n MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS 简介
第六章 用有限单元法解平面问题
导出方法
•
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献， 其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原 理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯 康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间， 我国的研究工作受到阻碍。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析；
3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
1. 结构离散化－－将连续体变换为离散化结构
• 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联 系（图（a））。 弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。 取各结点位移 δi (ui v i )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δ (i 1,2,) 来表示。 i
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；
e
F F
i e e
Li
,
(i 1,2,)
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求 出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
解题的具体步骤 单元的划分
计算成果的整理 计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章
用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节
第二节
基本量及基本方程的矩阵表示
有限单元法的概念
第三节
第四节
单元的位移模式与解答的收敛性
单元的应变列阵和应力列阵
第五节
第六节
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单元的结点力列阵与劲度矩阵
荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
结构的整体分析结点平衡方程组
第八节
第九节 第十节
--结点虚位移;
o
x
图6-1
ε * --对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
求解方法
• （2）应用几何方程，由单元的位移函数d， e 求出单元的应变，表示为 ε Bδ 。
（3）应用物理方程，由单元的应变 ε ， 求出单元的应力，表示为 σ Sδ e。 （4）应用虚功方程，由单元的应力 求出单元的结点力，表示为
σ
，
F (Fi F j Fm kδ 。
e e
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
• Fi ( Fix Fiy T
--结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。