2021-2022年高考数学一轮复习专题五圆锥曲线课时作业含解析文

2021年高考数学一轮复习专题五圆锥曲线课时作业含解析文

1．(xx·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝2

2

，且经过点

(6，1)，O 为坐标原点．

(1)求椭圆E 的标准方程；

(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．

解：(1)由题意可得e ＝c

a ＝

22

， ∵椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1

b

2＝1，

又a 2－b 2＝c 2

，解得a ＝22，b ＝2， ∴椭圆E 的标准方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ，依题意可设M (－4，m )．由圆的切线性质及∠

PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°，∵|OP |＝22，∴|OM |＝42，∴

－4

2

＋m 2

＝42，

又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)， ∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ，

∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OPA ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2，∴

|n |12

＋－1

2

＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，

∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.

2．如图，分别过椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2的动直线l 1，l 2相交于

P 点，l 1，l 2与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 且这四点两两不同，直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜

率k 1，k 2，k 3，k 4满足k 1＋k 2＝k 3＋k 4.已知当l 1与x 轴重合时，|AB |＝23，|CD |＝43

3

.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)是否存在定点M ，N ，使|PM |＋|PN |为定值？若存在，求出M ，N 点坐标；若不存在，说明理由．

解：(1)当l 1与x 轴重合时，由2a ＝|AB |

＝23，得a 2

＝3.又2b 2

a ＝|CD |＝433，所以

b 2

＝2，所以椭圆E 的方程为x 2

3＋y 2

2

＝1.

(2)焦点F 1，F 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点的坐标为(－1,0)或(1,0)．

当斜率存在时，设直线l 1，l 2的斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由

⎩⎪⎨⎪⎧

x 23＋y 2

2＝1，

y ＝m 1x ＋1

得(2＋3m 2

1)x 2

＋6m 21x ＋3m 2

1－6＝0， 所以x 1＋x 2＝－6m 2

12＋3m 21，x 1x 2＝3m 2

1－6

2＋3m 21，

所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2

＝m 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2

＝m 1⎝

⎛

⎭⎪⎫2＋

x 1＋x 2x 1x 2＝－4m 1

m 21－2

. 同理k 3＋k 4＝－4m 2

m 22－2

.

∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2

m 22－2，

即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0， 由题意得m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0.

设P (x ，y )，则

y x ＋1·y x －1＋2＝0，即y 2

2

＋x 2

＝1(x ≠±1)． 当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点坐标为(－1,0)或(1,0)也满足上式，所以P (x ，y )在椭圆y 2

2

＋x 2

＝1上．

所以存在点M ，N ，其坐标分别为(0，－1)，(0,1)，使得|PM |＋|PN |为定值2 2. 3．已知动点P 到定点F (1,0)和直线l 0：x ＝2的距离之比为

2

2

，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．

(1)求曲线E 的方程；

(2)当直线l 与圆x 2

＋y 2

＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．

解：(1)设点P (x ，y )，由题意可得

x －12＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22

＋y 2

＝1，即曲线

E 的方程是x 2

2

＋y 2＝1.

(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，不合题意．

当m ≠0时，由直线l 与圆x 2

＋y 2

＝1相切，可得

|n |

m 2

＋1

＝1，即m 2＋1＝n 2

.

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝mx ＋n ，x 2

2

＋y 2

＝1，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0.Δ＝4m 2n 2

－4⎝

⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)

＝2m 2

>0，

所以x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2n 2

－2

2m 2＋1，

则S 四边形ABCD ＝1

2|AB ||x 2－x 1|

＝22m 2

－n 2

＋12m 2

＋1＝2|m |2m 2＋1 ＝

22|m |＋

1|m |

≤22

， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62.经检验可知，直线y ＝

2

2