高中数学-函数的基本性质小结

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高中数学函数的基本性质 doc

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高一数学函数的基本性质一、知识点1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。

注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。

(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数;若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。

(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2) (2)如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

函数的概念与性质归纳与总结

函数的概念与性质归纳与总结

函数的概念与性质归纳与总结函数是数学中一个非常重要的概念,广泛应用于各个领域。

它在数学理论研究与实际问题求解中起着至关重要的作用。

本文将对函数的概念和性质进行归纳与总结。

1. 函数的概念函数是一个关系,它将一个集合的元素映射到另一个集合。

通常表示为f(x),其中x是函数的自变量,f(x)是函数的因变量。

函数可以用图像、方程、表格或者文字描述的形式来表示。

函数包含定义域和值域两个重要的概念,定义域是自变量的取值范围,而值域是因变量的可能取值范围。

2. 函数的性质函数有许多性质,下面将归纳与总结其中的几个重要性质。

2.1 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的值随自变量的增减而增减。

单调递增是指函数随着自变量的增大,函数值也随之增大;单调递减是指函数随着自变量的增大,函数值递减。

例如,当函数f(x) = x^2时,它在定义域上是单调递增的函数。

2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于y轴对称还是关于原点对称。

奇函数是指函数满足f(-x) = -f(x),即关于原点对称;偶函数是指函数满足f(-x)= f(x),即关于y轴对称。

一个例子是函数f(x) = x^3,它是一个奇函数。

2.3 周期性函数的周期性是指函数具有重复性质,即在某个特定的周期内函数值呈现出重复的规律。

例如正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)就是周期函数,它们的周期为2π。

2.4 上下界函数在定义域内的取值范围称为上下界。

上界是函数的最大值,下界是函数的最小值。

例如,函数f(x) = x^2没有下界,但上界为正无穷。

3. 总结函数的概念与性质是我们在数学学习和实际应用中必须掌握的基础知识。

了解函数的概念,可以更好地理解数学的思维和应用方法。

同时,掌握函数的性质可以帮助我们更好地分析问题并解决问题。

通过归纳与总结函数的性质,可以更好地掌握函数的特点,提高数学学习和问题求解的能力。

总之,函数是数学中一个重要的概念,它具有丰富的性质和特点。

高中数学-函数概念及其性质知识总结

高中数学-函数概念及其性质知识总结

数学必修1函数概念及性质(知识点陈述总结)(一)函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注重:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重:求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注重:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用:1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

《函数的基本性质》知识总结大全

《函数的基本性质》知识总结大全

《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容,对于理解和应用函数有着重要的作用。

以下是《函数的基本性质》的知识总结大全:1. 定义域和值域:函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围,值域是指函数实际取值的范围。

函数的定义域和值域可以用图像来表示。

2. 奇偶性:如果对于函数中的任意实数x,有f(-x) = f(x),则称函数f(x)为偶函数;如果对于函数中的任意实数x,有f(-x) = -f(x),则称函数f(x)为奇函数。

3. 函数的图像:函数的图像是指函数在坐标平面上的显示,可以通过画图来表示函数的特点。

可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。

4. 单调性:如果函数f(x)在定义域上是递增的,则称函数f(x)为增函数;如果函数f(x)在定义域上是递减的,则称函数f(x)为减函数。

5. 极值:如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大(或小),则称这个点为函数的极大值点(或极小值点)。

极大值和极小值统称为极值。

6. 零点:函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。

7. 对称轴:如果函数的图像关于某一直线对称,则这条直线称为函数的对称轴。

8. 周期性:如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立,其中T>0,则称函数f(x)为周期函数,T称为函数的周期。

9. 常用函数:常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等,这些函数有着特殊的性质和应用。

10. 复合函数:复合函数是指由两个函数构成的新函数,其中一个函数的输出是另一个函数的输入。

复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。

高考数学函数的定义和性质

高考数学函数的定义和性质

高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。

它在高考数学中占有重要的地位,理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。

本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。

1. 函数的定义函数是一种特殊的关系,可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。

用数学语言描述就是,对于集合A和B,如果存在一种规律,使得对于A中的每个元素a,都能找到B中唯一一个元素b与之对应,那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。

2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质,包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。

2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合,常用符号表示为D;值域是指函数所有可能取得的值的集合,常用符号表示为R。

2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。

如果在定义域内任取两个实数a和b,并且a小于b,那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。

2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。

如果对于定义域上的任何实数x,有f(-x) = -f(x)成立,则称函数是奇函数;如果对于定义域上的任何实数x,有f(-x) = f(x)成立,则称函数是偶函数。

2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。

如果存在一个正数T,使得对于定义域上的任何实数x,有f(x+T) = f(x)成立,则称函数具有周期性。

3. 常见函数的性质在高考数学中,有许多常见的函数,其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

每个函数都有其独特的性质,掌握这些性质对于解题非常有帮助。

3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b,其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线,其特点是斜率恒定。

3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数,且a不为零。

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义:函数是一种特殊关系,它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。

2.表示方式:函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。

二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域:函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。

2.值域:函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。

3.对应关系:对于函数中的每个输入值,都有一个唯一的输出值与之对应。

三、函数的图象和图像1.图象:函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示,其所有的点坐标满足函数的对应关系。

2.图像:函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。

四、函数的性质1.单调性:函数可以是递增的(单调递增)或递减的(单调递减)。

2.奇偶性:函数可以是奇函数(关于原点对称)或偶函数(关于y轴对称)。

3.周期性:函数可以是周期函数,即函数在一定区间内具有重复的规律。

4.奇点和间断点:函数的奇点是指函数在定义域内的特定点,其函数值不存在或趋于无穷;间断点是指函数在特定点不连续。

五、函数的极限与连续性1.极限:函数的极限是指当自变量趋于一些值时,函数值的趋向或趋近的特性。

2.连续性:函数在定义域内的所有点都连续,当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。

六、函数的导数与微分1.导数:函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。

导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。

2.微分:函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。

七、函数的极值与最值1.极值:函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。

极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值,极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。

2.最值:函数的最大值和最小值称为函数的最值。

八、函数的反函数1.反函数:如果函数f的定义域与值域互换,且对于f的每一个输出值,存在唯一的输入值与之对应,则这个函数称为f的反函数。

以上是函数的基本性质的总结,函数理论是数学中的基础内容,也是其他学科中的重要概念。

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。

注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。

(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数;若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。

(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2) (2)如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

高中数学函数知识点总结(精华版)知识分享

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高中数学函数知识点总结(精华版)知识分

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1. 函数的定义和性质
- 定义:函数是一个将各个元素从一个集合映射到另一个集合的规则。

- 函数的性质:单调性、奇偶性、周期性等。

2. 基本函数
- 幂函数:y = x^n,n为常数,图像为直线或曲线。

- 三角函数:包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,图像具有周期性。

- 指数函数:y = a^x,a为正常数,图像单调递增或递减。

- 对数函数:y = log_a(x),a为正常数,图像单调递增或递减。

3. 函数的运算与变换
- 四则运算:加法、减法、乘法、除法。

- 复合运算:由两个或多个函数构成一个新的函数。

- 反函数:原函数与定义域互为值域的函数。

- 平移、压缩、翻折等函数的变换。

4. 函数的图像与性质
- 函数图像的绘制和分析方法。

- 函数的最值、零点、极值等特性。

5. 函数的应用
- 函数在物理、经济等领域的应用。

- 函数在数学建模中的应用。

6. 解函数方程
- 求函数方程的解法与步骤。

以上是高中数学函数知识点的精华总结和知识分享。

掌握这些知识能够帮助学生更好地理解和应用函数概念,提升数学能力。

注:本文档内容仅为总结分享,并不保证所有内容的正确性,请酌情参考。

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结篇一一、增函数和减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)>f(x2),那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

二、单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y,随自变量X增大而增大(或减小)恒成立。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间。

一、指数函数的定义指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。

二、指数函数的性质1、曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为(-∞,+∞)2、曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴(x轴是曲线的渐近线)〈=〉函数的值域为(0,+∞)一、对数与对数函数定义1、对数:一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

2、对数函数:一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

二、方法点拨在解决函数的综合性问题时,要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决,然后再整合解决的结果,这也是分类与整合思想的一个重要方面。

一、幂函数定义形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

二、性质幂函数不经过第三象限,如果该函数的指数的分子n是偶数,而分母m是任意整数,则y0,图像在第一;二象限。

这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关。

函数基本性质及分类

函数基本性质及分类

函数基本性质及分类函数是数学中一个重要的概念,是一种从一个集合到另一个集合的映射关系。

每一个函数都有一组输入值和对应的输出值,通常写成函数名加上括号内的自变量,例如f(x)。

函数的基本性质和分类是我们在学习和应用函数时必须掌握的知识点,下面就来一起探讨一下。

一、函数的基本性质1. 定义域和值域:一个函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合,值域是指函数所有可能的输出值的集合。

例如,函数f(x)=x^2的定义域是实数集,值域是非负实数集。

2. 单调性:一个函数在定义域内的单调性表示函数的增减趋势。

如果一个函数在它的定义域上是单调递增的,则对于任意两个自变量,它们对应的函数值的大小关系是前者小于后者。

如果一个函数在定义域内是单调递减的,则其中任意两个自变量所对应的函数值的大小关系是前者大于后者。

3. 奇偶性:一个函数的奇偶性表示函数是否具有对称性。

如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)对于所有x成立,则函数称为奇函数;如果f(-x)=f(x)对于所有x成立,则函数称为偶函数。

例如,函数f(x)=x^3是奇函数,而函数g(x)=x^2是偶函数。

4. 周期性:一个函数如果满足f(x+T)=f(x)对于所有x成立,则称函数具有周期性,其中T是函数的周期。

例如,正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期都是2π。

二、函数的分类1. 一次函数:一个函数f(x)如果可以表示为f(x)=ax+b的形式,则称它为一次函数。

其中a和b是常数,a称为斜率,表示函数曲线在每个点的增长速率,b称为截距,表示函数曲线与y轴之间的距离。

一次函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线,其斜率为正表示函数递增,为负则表示函数递减,为零则表示函数为常数函数。

2. 二次函数:一个函数f(x)=ax^2+bx+c称为二次函数。

在平面直角坐标系中,二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

其中,a决定了抛物线的开口方向和斜率,当a>0时开口向上,a<0时开口向下;b决定了抛物线的位置,c决定了抛物线与y轴的交点。

高中数学函数的概念和性质

高中数学函数的概念和性质

高中数学函数的概念和性质数学是一门抽象的学科,而函数是其中一个最基本、最重要的概念之一。

函数在高中数学中占据着非常重要的地位,它不仅是数学的基础,也是理解其他数学分支的关键。

本文将介绍高中数学函数的概念和性质。

一、概念函数是一种数学关系,它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在函数中,输入的值被称为自变量,输出的值被称为因变量。

函数可以用各种符号表示,例如f(x)、g(x)等。

高中数学中主要研究的是实函数,即自变量和因变量都是实数。

函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。

例如,对于函数f(x)=x^2,定义域是所有实数集合R,而值域是非负实数集合[0,+∞)。

二、性质1. 定义域与值域:函数的定义域和值域是函数的基本性质。

在确定定义域和值域时,我们需要注意函数的特殊情况,例如有理函数的分母不能为零等。

2. 奇偶性:函数的奇偶性是指函数关于y轴的对称性。

如果对于定义域内的任意x值,有f(-x) = f(x),则函数为偶函数;如果对于定义域内的任意x值,有f(-x) = -f(x),则函数为奇函数。

3. 单调性:函数的单调性描述了函数随着自变量增大或减小而变化的趋势。

如果对于定义域内的任意两个数a和b(a < b),有f(a) ≤f(b),则函数为递增函数;如果对于定义域内的任意两个数a和b(a < b),有f(a) ≥ f(b),则函数为递减函数。

4. 极值与最值:函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

我们可以通过求导数或研究函数的图像来确定函数的极值和最值。

5. 对称轴与顶点:对于二次函数,它们的图像通常是一个抛物线。

抛物线的对称轴是垂直于底边并通过顶点的直线,而顶点是抛物线的最低点或最高点。

6. 图像的平移和伸缩:通过对函数进行平移和伸缩,我们可以改变函数的图像。

例如,对于函数f(x),f(x + a)表示将函数图像向左平移a 个单位,而f(kx)(k>1)表示将函数图像在x轴方向上压缩,函数图像变窄。

高中数学函数的性质知识点整理

高中数学函数的性质知识点整理

一、函数(一)、函数的单调性1、定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 ,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数; 当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。

单调性定义的等价形式:设x 1,x 2∈[a,b],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0或>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0或<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.2、常用结论(1)若f(x),g(x)均为区间A 上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. (二)、函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义:函数()f x 的定义域必须关于原点对称,对定义域内的任意一个x 都满足 ①()()f x f x -=⇔函数()f x 为偶函数;②()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔函数()f x 为奇函数.2.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称;反过来如果一个函数的图像关于原点对称,则该函数为奇函数,若该函数的图像关于y 轴对称,该函数为偶函数. 3.函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即()0f x =,x D ∈,其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同.即奇函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增(减),则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递增(减); ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.即偶函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增(减),则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递减(增); ④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+(三)、函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:(1)()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称(当0a =时,恰好就是偶函数)特别的(2)()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; (3)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,进而可得到:()f x 关于x a =轴对称.本结论也可通过图像变换来理解,()f x a +是偶函数,则()f x a +关于0x =轴对称,而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位(方向由a 的符号决定),所以()f x 关于x a =对称. 3、中心对称的等价描述:(1)()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称(当0a =时,恰好就是奇函数); (2)()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;(3)()f x a +是奇函数,则()()f x a f x a +=--+,进而可得到:()f x 关于(),0a 中心对称。

函数知识点与公式总结

函数知识点与公式总结

函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义:函数是一个对应关系,它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

一个简单的函数可以用如下的记号来表示:f:X→Y,表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。

其中,X称为定义域,Y称为值域。

函数的性质:1. 定义域和值域:定义域是指函数的输入可以取的值的集合,值域是函数的输出可以取的值的集合。

2. 单调性:函数的单调性是指在定义域内,函数的增减趋势。

可以分为递增和递减两种情况。

3. 奇偶性:函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。

如果对于任意x∈定义域,都有f(-x)=f(x),那么函数是偶函数;如果对于任意x∈定义域,都有f(-x)=-f(x),那么函数是奇函数。

4. 周期性:函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。

5. 函数的图像:函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合,描述了函数的性质和特点。

二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。

线性函数的一般形式为y=ax+b,其中a和b 是常数,a称为斜率,b称为截距。

2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b和c是常数,a≠0。

3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数,一般形式为y=a^x,其中a为底数,x为指数。

4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数,一般形式为y=log_a(x),其中a为底数,x为真数。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们描述了角度和弧度之间的关系。

6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数,一般形式为y=k/x,其中k是常数。

7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|,它表示x的绝对值,即x的正数部分。

8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数,一般形式为f(x)=```{g(x),a≤x≤bh(x),b<x<c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量(或生成元素)是另一个函数的值域,即f[g(x)],表示函数f和g的复合。

高中数学函数知识点归纳

高中数学函数知识点归纳

高中数学函数知识点归纳高中数学函数知识点归纳(上)函数是高中数学中一个非常重要的知识点,是数学中的基础概念之一。

函数的研究和应用贯穿于高中数学的整个教学过程。

下面将对高中数学中函数的知识点进行系统的归纳总结。

一、函数的定义及其表达方式1. 函数的定义函数是指在两个集合之间有规律地对应元素的关系。

一般地,设A、B是两个非空集合,则f是从A到B的函数,如果对于任意的a∈A,有且只有一个b∈B与之对应,即f(a)=b,称b是a的像,a是b的原像,记作f:A→B。

2. 函数的表达方式(1)显式表达式:y=f(x),y是关于x的函数,f(x)是y的表达式。

(2)参数方程:x=f(t),y=g(t),t是参数,x和y均为t的函数。

(3)极坐标方程:r=f(θ),θ是极角,r是极径。

二、函数的性质及其应用1. 奇偶性设f(x)是定义在R上的函数,如果对于任意x有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数。

如果对于任意x有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数,则称其为一般函数。

奇偶性可以通过图像的对称性来判断。

2. 周期性设f(x)是定义在R上的函数,如果存在一个正数T,使得对于任意x有f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T称为函数的周期。

周期性可以通过函数的图像来判断。

3. 单调性设f(x)是定义在[a,b]上的函数,如果对于任意的x1<x2有f(x1)≤f(x2),则称f(x)在[a,b]上是单调不降的;如果对于任意的x1<x2有f(x1)≥f(x2),则称f(x)在[a,b]上是单调不增的;如果存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),则称f(x)在[a,b]上是单调递增的;如果存在x1<x2,使得f(x1)>f(x2),则称f(x)在[a,b]上是单调递减的。

4. 函数的极限当自变量趋近于某一值的时候,函数值也会趋近于某一值,这种趋近可以用极限来描述。

2024年高二数学函数基本性质知识总结(2篇)

2024年高二数学函数基本性质知识总结(2篇)

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结(____字)一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系,每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数,当且仅当对于任意x,f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数,当且仅当对于任意x,f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x),其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数,其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集,值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式,函数表达式为f(x)=ax+b,其中a 和b为常数,a称为斜率,b称为截距。

高中数学函数的基本性质

高中数学函数的基本性质

函数的基本性质要点一、函数的单调性1.增函数、减函数的概念一般地,设函数f(x)的定义域为A ,区间D A ⊆:如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释:(1)属于定义域A 内某个区间上;(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <; (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或;(4)图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的.2.单调性与单调区间 (1)单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性,D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释:①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集;②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的;③不能随意合并两个单调区间; ④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式,如何判断一个函数在所给区间上的单调性? 3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ,是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量,且12x x <; (2)变形.作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形; (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系; (4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。

(2)图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性。

(3)直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调区间。

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。

文章首先介绍了函数的基本概念,包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。

文章详细阐述了函数的性质,包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。

文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系,以及如何利用函数性质解决实际问题。

文章总结了函数在数学学习中的重要性,强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。

通过本文的学习,学生可以更好地理解和掌握函数知识,为后续数学学习打下坚实的基础。

1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。

在物理、化学、生物等自然学科中,许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。

物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等,都需要借助函数概念进行建模和分析。

函数是数学体系中的核心和基础。

函数连接了代数、几何、三角学等多个分支,是数学知识和方法综合运用的基础。

对函数概念的深入理解,有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。

函数也是解决实际问题的重要工具。

在现实生活中,很多问题的解决都需要建立数学模型,而函数作为构建数学模型的基本元素之一,能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。

在经济学、统计学、工程学等领域,函数的运用非常广泛。

函数概念的重要性不言而喻。

高一学生在学习数学时,应深入理解函数的概念,掌握其性质和特点,为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。

2. 引出本文目的:总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。

函数是数学中的核心概念之一,具有广泛的应用领域。

在高中阶段,学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征,为后续学习奠定坚实基础。

本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点,加深对函数概念与性质的理解,以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。

最全函数知识点总结高中

最全函数知识点总结高中

最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。

在数学上,函数是一种对应关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

用数学符号表示就是:对于两个集合A和B,如果存在一个规则f,它使得对于A中的每个元素x,都有一个唯一的y属于B与之对应,那么我们说f是从A到B的一个函数,记作f:A→B。

其中A称为定义域,B称为值域。

1.2 函数的概念在我们的日常生活中,我们可以看到很多函数的例子。

比如,将一个数字加上3,或者乘以2,这就是两个函数的例子。

我们可以看到,函数本质上就是一种输入与输出的关系。

1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示,其定义为:y=f(x),表示x是自变量,y是因变量。

1.4 函数的自变量和因变量在函数中,自变量是输入的值,它在定义域中取值;而因变量是输出的值,它在值域中取值。

1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示,它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。

1.6 函数的性质函数有很多的性质,比如奇偶性、单调性、周期性等等。

1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。

初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。

1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B,对于B中的每一个y,存在一个唯一的x属于A与之对应,那么我们称这个函数有逆函数,记作f^(-1)。

1.9 复合函数如果有两个函数f和g,使得f的值域是g的定义域,那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x)),这就是复合函数。

1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律,比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。

对于这些性质和变化,我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。

1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算,还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。

二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。

函数的性质及应用知识点总结

函数的性质及应用知识点总结

函数的性质及应用知识点总结函数是数学中一个重要的概念,具有广泛的应用。

本文将对函数的性质以及其应用知识点进行总结。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等,应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。

一、函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围,值域是函数所有可能的因变量取值的范围。

2. 奇偶性:如果对于函数中的任意x值,都有f(-x) = f(x)成立,则称这个函数为偶函数;如果对于函数中的任意x值,都有f(-x) = -f(x)成立,则称这个函数为奇函数;如果函数既不满足偶函数的性质也不满足奇函数的性质,则称其为非奇非偶函数。

3. 单调性:如果对于任意两个x1和x2,当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)成立,则称这个函数为增函数;如果对于任意两个x1和x2,当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)成立,则称这个函数为减函数。

4. 周期性:如果对于函数f(x),存在一个正数T,使得对于所有的x,有f(x+T) = f(x)成立,则称这个函数为周期函数。

二、函数的应用知识点1. 最值问题:最大值和最小值问题是函数应用中常见的问题。

通过求函数的导数,可以找到函数的极值点,并通过比较这些极值点的函数值来确定最大值和最小值。

2. 极值问题:极值问题是在给定条件下,求函数取得最大值或最小值时自变量的取值。

可以通过拉格朗日乘数法等方法求解。

3. 函数图像的绘制:了解函数的形态对于理解函数的性质很有帮助。

可以通过计算函数的值并绘制函数图像,观察函数的波动、交点和拐点等来研究函数的特点。

综上所述,函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等;函数的应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。

理解和掌握这些性质和应用知识点对于深入学习和应用函数具有重要意义。

希望本文对您有所帮助。

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函数的基本性质【教学目标】【教学重点】函数的基本性质及应用【教学难点】函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。

【教学过程】:一.知识整理1.基本思想(1)函数主要研究两个变量的相互联系,故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题,大多可用函数的观点来解决。

(2)研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质(以图象说明性质)。

2.主要问题:(1)函数图象的基本作法:a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩(2)函数单调性的求法:a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义(3)函数最值(或范围)的求法:a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元f.数形结合(4)反函数求法:①解出x =φ(y),②调换x,y, ③写出反函数定义域3.函数的基本性质函数定义:在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与之对应,那么y就是x函数,记作y = f (x),x∈D,x叫做自变量,x的取值范围D叫做函数的定义域,和x 的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。

函数的相等:定义域相同,对应法则相同函数图象:以自变量x的值为横坐标,与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集,即{(x,y)|y = f (x), x∈D}a.定义域:自变量x的取值范围;亦为函数图象上点的横坐标的集合b.值域:因变量y的取值范围;亦为函数图象上点的纵坐标的集合c.奇偶性:如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a)= f(a),则称函数f(x)为偶函数;如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a)=-f(a),则称函数f(x)为奇函数;判断准则:1.定义域关于原点对称,2.偶奇 );x (f )x (f );x (f )x (f =--=-奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y 轴对称d.单调性:存在定义域的子集M ,对于M 内的任意两个值时,总有当2121x x ,x ,x < )成立(或)x (f )x (f )x (f )x (f 2121><,则称函数f(x)在集合M 上单调递增 (或递减)。

e.最值:定义域内的函数值的最大(小)值。

亦即函数图象上最高(低)点的纵坐标。

f.周期性:对于函数y =f (x ),若存在一个常数T ≠0,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x+T )=f (x )成立,则称f (x )为周期函数,常数T 叫做f (x )的周期。

4.基本函数:常数函数;正比例函数;反比例函;数一次函数;二次函数;xbax y += 5.函数构成在基本函数的基础上:(a) 运算:以和、差、商、积函数为代表,如:xb ax y += (b) 复合:y = f (g (x ))二.例题精析【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的单调性,填空题,易,逻辑思维能力。

【题目】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 。

【解答】答案为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。

由012>+x ,得21->x ,所以函数的单调增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。

要熟知各类函数的定义、性质,尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。

【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的单调性,填空题,中,分析问题与解决问题能力。

【题目】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩,若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是________. 【解答】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域为(0,1],3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞,()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是(0,1)。

【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的性质,解答题,难,分析问题与解决问题能力。

【题目】设a 为实数,函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥,求a 的取值范围;(2)求()f x 的最小值;(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞,直接写出....(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【解答】 (1)若(0)1f ≥,则20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩(2)当x a ≥时,22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩当x a ≤时,22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ (3)(,)x a ∈+∞时,()1h x ≥得223210x ax a -+-≥,222412(1)128a a a ∆=--=-当22a a ≤-≥时,0,(,)x a ∆≤∈+∞;当22a -<<>0,得:(0x x x a⎧⎪≥⎨⎪>⎩讨论得:当(2a ∈时,解集为(,)a +∞;当(2a ∈-时,解集为(,[)33a a a +⋃+∞;当[,22a ∈-时,解集为)+∞. 【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的实际应用问题,解答题,难,分析问题与解决问题能力。

【题目】有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度,其中x 表示某学科知识的学习次数(*x N ∈),()f x 表示对该学科知识的掌握程度,正实数a 与学科知识有关。

(1) 证明:当7x ≥时,掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降;(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。

当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。

【解答】(1)当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时,而当7x ≥时,函数(3)(4)y x x =--单调递增,且(3)(4)x x -->0……..3分 故(1)()f x f x +-单调递减∴当7x ≥时,掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降……………..6分(2)由题意可知0.1+15ln 6aa -=0.85……………….9分 整理得0.056ae a =- 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈-…….13分 由此可知,该学科是乙学科……………..14分【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的性质,解答题,难,数学探究与创新能力。

【题目】已知函数()y f x =的反函数。

定义:若对给定的实数(0)a a ≠,函数()y f x a =+与1()y fx a -=+互为反函数,则称()y f x =满足“a 和性质”;若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数,则称()y f x =满足“a 积性质”。

(1) 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”,并说明理由; (2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;(3) 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >,满足“a 积性质”。

求()y f x =的表达式。

【解答】(1)函数2()1(0)g x x x =+>的反函数是1()1)g x x -=>1(1)0)g x x -∴+=>而2(1)(1)1(1),g x x x +=++>-其反函数为1(1)y x =>故函数2()1(0)g x x x =+>不满足“1和性质”(2)设函数()()f x kx b x R =+∈满足“2和性质”,0.k ≠112()(),(2)x b x bf x x R f x k k---+-∴=∈∴+=…….6分 而(2)(2)(),f x k x b x R +=++∈得反函数2x b ky k--=………….8分由“2和性质”定义可知2x b k +-=2x b kk--对x R ∈恒成立 1,,k b R ∴=-∈即所求一次函数为()()f x x b b R =-+∈………..10分(3)设0a >,00x >,且点00(,)x y 在()y f ax =图像上,则00(,)y x 在函数1()y f ax -=图象上, 00()f ax y =,可得000()()ay f x af ax ==, ......12分 故100()f ay x -=,令0ax x =,则0x a x =。

∴00()()xf x f x x =,即00()()x f x f x x =。

......14分综上所述,111n n b q b -==()(0)k f x k x =≠,此时()k f ax ax =,其反函数就是ky ax=, 而1()k fax ax-=,故()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数 。

......16分 三.课堂反馈【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的图像、对称性、周期性,选择题,易,分析问题与解决问题能力。

【题目】函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).【解答】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的图像、对称性、周期性,选择题,中,分析问题与解决问题能力。

D【题目】.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ,则f (2009)的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解答】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f (2009)= f (5)=1,故选C.【属性】高三复习,函数的基本性质,函数的图像、对称性、周期性,选择题,中,分析问题能力。

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